Анализ процессов в системах с модуляцией -демодуляцией при внешнем конечномерном воздействии с использованием кронекеровского модельного представления Текст научной статьи по специальности «Физика»

АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ С МОДУЛЯЦИЕЙ -ДЕМОДУЛЯЦИЕЙ ПРИ ВНЕШНЕМ КОНЕЧНОМЕРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРОНЕКЕРОВСКОГО МОДЕЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Л. В. Кожевникова, А. В. Ушаков

Рассматривается задача анализа процессов в системах с модуляцией - демодуляцией при внешнем конечномерном воздействии с использованием возможностей кронекеровских векторно-матричных представлений. Полученные результаты иллюстрируются примером.

Введение

В развитие представлений, изложенных в работах [1, 2] и посвященных анализу возможностей кронекеровских векторно-матричных представлений для целей исследования динамических процессов с модуляцией - демодуляцией и фильтрацией, в настоящей работе ставится задача описания всего цикла прохождения конечномерного сигнала через динамическую систему, использующую сигнал-носитель ненулевой частотной модуляции [6].

Как и в [1, 2], описание всего цикла преобразования сигнала модуляция -демодуляция - фильтрация осуществляется с использованием возможностей кронекеровских векторно-матричных представлений.

Постановка задачи

Весь цикл преобразования задающего воздействия в динамических системах с сигналом-носителем ненулевой частоты, который состоит из процессов модуляции, демодуляции и фильтрации, представлен структурной схемой рис.1.

Модельные представления всех фаз указанных выше преобразования сигналов в таких системах с использованием кронекеровских векторно-матричных представлений обнаруживают дополнительные возможности. Эти дополнительные возможности порождаются тем обстоятельством, что матрицы состояния системы с модуляцией -демодуляцией (М-ДМ) содержат в своей структуре кронекеровские матричные суммы матрицы состояния источника внешнего задающего воздействия, источника моделирующего сигнала, источника демодулирующего сигнала, а также исследуемой динамической системы.

В силу свойств алгебраического спектра собственных значений таких матриц они составлены из аддитивных композиций собственных значений матричных компонентов кронекеровских сумм на всех возможных сочетаниях их индексов.

По существу это алгебраическое свойство кронекеровских матричных сумм содержит доказательство утверждения: □

Утверждение 1(У.1). Процессы модуляции и демодуляции являются спектрально-согласованными (в смысле спектров собственных значений), если среди собственных значений |ям 1 ; и {Лд, ;1 = 1,Пд } матриц состояния Гм и Гд ,

соответственно источников модулирующего и демодулирующего сигналов есть такие значения, которые порождают нулевые аддитивные структуры:

Лм +лД1 = ■ (1)

Нетрудно видеть, что соотношение (1), являясь необходимым условием согласованности процессов модуляции и демодуляции, является содержательным математическим основанием для построения согласованных пар сигналов модуляции и демодуляции. Простейшими из них являются одночастотные модулирующие сигналы.

Как известно, при суммировании модулированных одночастотных сигналов обнаруживается проблема их фазирования, которая не существует в теории и практике в системах, работающих на постоянном токе. Эта проблема в рамках кронекеровских векторно-матричных представлений сводится к проблеме согласования начальных состояний генераторов модулирующего и демодулирующего сигналов. Задача фазирования здесь приобретает постановку оптимизационной задачи, которую можно выразить в форме следующего утверждения.

Утверждение 2 (У .2). Начальные состояния ZM (0), Zд (0) источников

одночастотных гармонических модулирующего и демодулирующего сигналов являются согласованными, если постоянная составляющая сигнала на выходе фильтра устройства демодуляции при постоянном внешнем задающем воздействии принимает максимальное на множестве пар ZM (0), Zд(0) значение, или, что то же самое,

выполняется соотношение:

{zm (0)^д (0)}= arg max {}ф(t) при g(t) = g0 = const f ■ (2)

zm (0)Дд (0)'

Основной результат

Z |Z(0

W

М

М- и$ь-

ИВВ

1

S

ГМ

Zm(0

М'

x(0) y(t) Уд(1)

А*

СМ—

gм(t)

ИМВ

i S дРд

Гд

И дМВ

ДМ

Z

Ф

Уф

Гф

Рф

Фильтр

gд(t)

Рис. 1. Содержательная структурная схема:

Полная схема преобразования сигнала источника внешнего воздействия (ИВВ) в модулированный сигнал с последующим его прохождением через динамическую систему устройством демодуляции и фильтрации демодулированного сигнала приведена на рис. 1.

Основные функциональные звенья схемы имеют следующие векторно-матричные представления.

ИВВ - источник внешнего воздействия, описываемый системой г = Гг; 2(0); g(г) = Рг(г). (3)

ИМВ - источник модулирующего воздействия:

¿m

= rmzm; zm (0); gm (t) = pmzm (t).

Объект управления (система):

X = Ax + Bu; x(0); _y(t) = Cx(t). .

ИдМВ - источник демодулирующего воздействия:

(4)

¿Д = Гдzд; zд (0); £Д (г) = Рд ¿Д (г). (6)

Опишем процесс модуляции (выход блока М на схеме), используя оператор кронекеровского сужения с матрицей Б, в форме

и = ® Ем). (7)

Процесс демодуляции (на выходе блока Д) задается как

Уд = Б(у ® Ед), (8)

а фильтр - как

¿Ф = ГФ ¿Ф + Офуд; УФ (г) = Рф ¿Ф (г). (9)

Далее составим единую векторно-матричную модель. Сначала объединим векторные модели ИВВ и ИМВ ¿ ® ¿м :

4(¿® ¿м) = (Г®I +1 ®Гм)(¿ ®¿м); ¿(0)® ¿м(°), т

(1°)

т.е. на входе системы будем иметь следующее воздействие:

и(г) = Б{е(г) ® Ем ($)} = Б{(Р ® Рм)(¿ ® ¿м } = Б(Р ® Рм)(¿ ® ¿м). (11)

Объединение (11) с моделью (5) дает описание прохождения модулированного сигнала через объект управления:

х = Ах + Ви(г) = Ах + В • Б(Р ® Рм)(¿ ® ¿м). (12)

Сформируем вектор с компонентами (¿ ® ¿м) их. Тогда дифференциальная модель его изменения во времени принимает вид

(¿ ® ¿м)

Г®I+1®Гм ! °

в -"БгР® РмТГА.

(¿ ® ¿м) х

Соотношение (13) получает эквивалентное представление

где

х =

А =

г ® г

м

х

; ~ () = А~; ~ (0); у(г) = С~ (г^

(13)

(14)

г®I +1®гм !

; С = [0! С]. (15)

В • Б(Р ® Рм) ¡а_|'

Если теперь систему (14), (15) объединить с процессом демодуляции, то получим следующее дифференциальное представление:

я ® ¿м ® г Д

х ® 2

Д

Г® 1м ® 1д + I ®Гм ® 1д +1 ® 1м ®Гд ]

г ® ¿м ® Т Д

х ® X

Д

В • Б (Р ® Рм ® IД)

" Б/(Г,Гм, Гд) ^ 0

_ Б• б(Р ®Р~м ~®Т~)~\ А; ГД")

и сформируем выходной сигнал уд демодулятора в виде у Д = Б (С ® Рд )(~ ® ¿ Д) = Б ([0 ! С ]® Рд )(~ ® ¿Д) = = Б[0 ® Рд \С ® Рд]• [ ® ¿Д] при этом

| А ® ^ +1 ®ГД

(16)

* ® ¿м ® г Д

х ® ¿

Д

(17)

0

~ ® гД = [о ! I]

тм ® г Д

~ ® г

Д

Для полного описания процесса в системе с модуляцией - демодуляцией при внешнем конечномерном воздействии с использованием кронекеровского модельного представления дополним систему (17) процессом фильтрации, в результате чего получим:

г ® гМ ® г Д

X ® г

Д

'"ф

г ® гм ® г д

в■ ~§(Р®РМ ®7ДТ

о

о

I I

-4-

0

Оф ■ §(С ® Рд )| Гф

Д0

х ® г

Д

Ф

г (0) ® гм (0) ® г д (0)

х(0) ® г д (0) гф (0)

Уф = р

I ® Iм ® г Д

х ® г

Д

-Ф

= [0 ! 0 ! р

ф

г ® гм ® ! д

х ® г

Д

-ф

(18)

Итак, объединенную систему можно описать следующим образом:

А =

х =

__§]Г'_Гм £д } ~в- ~§(р ®РМ ~® /До"

0

г ® гм ® г Д

00 {А,ТД~ "0" Оф• §(С ® РД)"! "Гф"

х ® г

Д

'-ф

~ = А~; х(0); Уф = С~, (19)

где С = [0 | 0 \ Рф ]. Нетрудно видеть, что (19) представляет собой описание

автономной системы, для решения которой достаточно процедуры вычисления матричной экспоненты. Процессы по внешнему конечномерному воздействию, модулированному сигналу на выходе системы (5), демодулированному сигналу (8) и сигналу на выходе фильтра (18) с помощью строк матрицы выхода могут быть сформированы из вектора состояния системы (19).

Полученная модель (19) предоставляет разработчику богатые возможности по проведению комплексного компьютерного эксперимента с целью исследования динамических систем, дополненных процессом модуляции - демодуляции -фильтрации.

Литература

1. Кожевникова Л.В., Ушаков А.В. Кронекеровская матричная модель динамических процессов с модуляцией. // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). Выпуск 6. Информационные, вычислительные и управляющие системы / Главный редактор ВН. Васильев. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002.

2. Кожевникова Л.В., научный руководитель А.В. Ушаков. Кронекеровские технологии в исследовании многомерных динамических систем. // Современные технологии. Сборник научных статей / Под редакцией С.А. Козлова и В.О. Никифорова. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2002.

3. Ланкастер П. Теория матриц. / Пер. с англ. М.: Наука, 1978..

4. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

5. Сабинин Ю.А. Позиционные и следящие электромеханические системы: Учебное пособие. СПб: Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отд-ние, 2001.

6. Куракин К.И., Куракин Л.К. Анализ систем автоматического регулирования на несущей переменного тока. М.: Машиностроение, 1978.

7. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. / Пер. с англ. М.: Наука, 1970.

8. Ту Ю. Современная теория управления. / Пер. с англ. М.: Наука, 1971.