CC BY
19
КРОНЕКЕРОВСКАЯ МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ С МОДУЛЯЦИЕЙ Л.В. Кожевникова, А.В. Ушаков
Решается задача конструирования модели динамических процессов с модуляцией. Для указанных целей используются возможности кронекеровских векторных и матричных структур, получаемую при этом избыточную размерность модели предлагается редуцировать с помощью оператора сужения.
Введение. Постановка задачи
Системы управления и следящие системы с модуляцией составляют заметную часть практики автоматического управления. Модуляторами в таких системах являются: сельсины, поворотные трансформаторы, индуктивные датчики, полудисковые модуляторы лучистой энергии и т.д. [1].
Однако теоретические исследования процессов в системах с модуляцией, иногда именуемых системами на несущей переменного тока [2], в последнее время заметно сократились, причем это произошло на фоне интенсификации исследования динамических систем с использованием возможностей метода пространства состояния (МПС) [3, 4].
Метод пространства состояния характеризуется значительной алгебраизацией общей теории систем, в рамках которой получены хорошие наработки применительно к кронекеровским матричным структурам [5]. Обнаруживается, что возможности этих структур могут быть эффективно использованы применительно к исследованию систем с модуляцией, причем получаемые модельные представления процессов с модуляцией оказываются максимально адаптированными к инструментарию МПС. Проблемам конструирования моделей динамических процессов с модуляцией на основе используемых возможностей кронекеровских векторных и матричных структур, инвариантных относительно размерности вход - выходных отношений посвящается данная работа.
Свойства векторных и матричных кронекеровских структур
Для целей погружения в сформулированную выше проблему приведем определение векторных и матричных кронекеровских структур, а так же те их свойства, которые непосредственно сориентированы на построение матричной модели процессов с модуляцией.
Определение 1 (О.1). Кронекеровским произведением двух векторов X и У, X е Я" У е Ят , называется вектор X ® У, составленный из сепаратных произведений {XjУj; г = 1,"; ] = 1, т} их элементов так, что становится справедливым представление
X ® У = 001^; г = 1"; ] = 1т}, где X ® У е Я"т (1)
Примечание 1 (П.1). Очевидно, кроме кронекеровского произведения X ® У векторов может быть построено также произведение У ® X векторов, причем, в общем случае эти произведения оказываются не коммутативными так, что X ® У * У ® X
Определение 2 (О.2). Если размерности векторов X и У одинаковы, то на их кронекеровском произведении X ® У может быть построено согласованное сужение этого произведения (X ® У) 5, задаваемого представлением
(X ® У) 5 = оо^У,; г = 1"} (2)
Примечание 2 (П.2). Согласованное сужение кронекеровского векторного произведения X ® У может быть осуществлено с помощью оператора сужения с матрицей Б вида
5 = diag{[0U : 1 : 01, ];, = 1,п} (3)
так, что становится справедливой запись
(X ® У) 5 = 5 (X ® У) (4)
В качестве одного из свойств кронекеровского произведения векторов рассмотрим правило дифференцирования кронекеровских векторных произведений по скалярному параметру, причем в основном сосредоточимся на случае, когда скалярным параметром является время.
Свойство 1 (СВ.1). Дифференцирование векторной кронекеровской структуры в виде их кронекеровского произведения осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультипликативной форме так, что
— (X (1) ® У (1)) = (X (1) ® У (1)) = X (1) ® У (1) + X (0 ® У (1) (5)
(— Л •
— (X (1) ® У (1) ® 7 (1)) = (X(1) ® У (1) ® 7 (1)) =
— (6)
X (1) ® У (1) ® 7 (1) + X (1) ® У (1) ® 7 (г) + X (г) ® У (г) ® 7 (г)
Определение 3 (О.3). Кронекеровским произведением прямоугольных матриц А е Япхт, В е Ярхд называется матрица (А ® В) размерности (пр х тд), составленная в силу соотношения
А ® В = со1[гом>(А,,}В; у = 1т);, = Ъи} (7)
Примечание 3 (П.3): Кронекеровское произведение произвольных прямоугольных матриц не обладает коммутативностью так, что
А ® В * В ® А (8)
Задача конструирования матричной модели динамических процессов с модуляцией в своей основе использует квадратные матрицы, коими являются матрицы состояния системы, конечномерного источника внешнего воздействия и конечномерного источника модулирующего сигнала, поэтому ниже имеется в виду класс квадратных матриц.
Определение 4 (О.4). Кронекеровской суммой квадратных матриц А е Япхп и В е ^тхт называется матрица (А Ф В), размерности (пт х пт), составленная в силу соотношения
А Ф В = А ® 1В + 1А ® В, (9)
где 1А, 1В - единичные матрицы, согласованные по размерности соответственно с матрицами А и В.
Примечание 4 (П.4). Для кронекеровской суммы квадратных матриц А и В, а в общем случае и произвольного числа матриц, существует альтернативное название -преобразование Сильвестра матриц, обозначаемое 5,{ А, В), тогда оказывается справедливой запись
А Ф В = А ® 1В + 1А ® В = 5,{ А, В} (10)
Для случая 3-х квадратных матриц А, В, С кронекеровская сумма или их преобразование Сильвестра будет записано в форме
5,{А, В, С} = А Ф В Ф С = А ® 1В ® 1С + 1А ® В ® 1С + 1А ® 1В ® С (11)
Отметим тут же, что как и кронекеровское произведение матриц кронекеровская сумма не коммутативна.
Кронекеровские матричные структуры обладают следующими свойствами.
Свойство 2 (СВ.2). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровского произведения A ® B квадратных матриц A е Rnxn и B е Rmxm как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными произведениями собственных значений кронекеровски перемножаемых матриц
а{A ® B} = [jK : det( jI - A ® B) = 0; jK = AAi ABj; i = 1, n; j = 1, m; k = 1, mn} (12) Свойство 3 (СВ.3). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровской суммы A Ф B квадратных матриц A е Rnxn и B е Rmxm как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными суммами собственных значений кронекеровски суммируемых матриц
a{A Ф B} = [vl : det(v,I - A Ф B) = 0; vl = AAl + ABj;i = Щ j = 1m;l = \mn} (13)
В (12) и (13) AAi и ABj собственные значения матриц А и В.
Сделаем следующее примечание к свойствам (СВ.2) и (СВ.3). Примечание 5 (П.5). Алгебраические спектры собственных значений кронекеровских произведений A ® B и B ® A в силу (12) совпадают, аналогичным свойством обладают и спектры кронекеровских сумм A Ф B и B Ф A .
Свойство 4 (СВ.4). Определитель кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет соотношению
det(A ® B) = (det A)m (det B)n, (14)
где A е Rnxn и B е Rmxm .
Свойство 5 (СВ.5). След кронекеровской суммы квадратных матриц удовлетворяет соотношению
tr(A Ф B) = m ■ trA + n ■ trB, (15)
где A е Rnxn и B е Rmxm .
Свойство 6 (СВ.6). Ранг кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет условию
rang (A ® B) = rangA ■ rangB , (16)
где A е Rnxn и B е Rmxm .
Для целей решения поставленной задачи полезно напомнить основные свойства кронекеровских матричных произведений произвольных матриц, которые оказываются необходимыми при преобразованиях матричных композиций, содержащих в своем составе эти произведения. Свойство 7 (СВ.7).
(P ® Q)(W ® V) = PW ® QV (17)
Свойство 8 (СВ.8).
(P + Q) ® R = P ® R + Q ® R (18)
P ® (Q + R) = P ® Q + P ® R (19)
P ® (Q ® R) = (P ® Q) ® R (20)
В (17) - (20) матрицы P, Q, R, W, V имеют произвольные размерности, не противоречащие правилам перемножения и сложения матриц. Свойство 9 (СВ.9).
p ® Q = (P ® Iq )(Ip ® Q) (21)
(P ® Qx)(P2 ® Q2)к(Pr ® Qk) = (PP2 kPk) ® (QQ ...QK) (22)
(P ® Q)-1 = P-1 ® Q-1 (23)
I ® P P2 к Pk ) = (Ip1 ® P\ )(Ip 2 ® P2) к (Ipk ® Pk ) (24)
В выражениях (21) - (24) Iq, Ip и т.д. - единичные матрицы, по размерности согласованные с соответствующими матрицами Q, P и другими аналогичными.
Свойство 10 (СВ.10). Оператор сужения кронекеровского произведения векторов с матрицей сужения 5 удовлетворяет соотношению
5(PX ® Q7) = 5(Р ® д)(X ® 7) (25)
Основной результат
Воспользуемся приведенными в предыдущем разделе свойствами векторных и матричных кронекеровских структур для целей построения динамической модели процессов в линейной многомерной непрерывной системе с модуляцией. При построении моделей процессов будем предполагать, что источник внешнего воздействия (ИВВ) является конечномерным и он представим автономной системой; будем предполагать, что модулирующий сигнал также является конечномерным и потому источник модулирующего сигнала (ИМС) также представим автономной системой. Таким образом полное априорное описание задачи приобретает вид
X (г) = FX (г) + Gv(t ); X (0); У (г) = CX (г) (26)
7 (г) = Г7 (г); 7 (0); g (г) = Р7 (г) (27)
7м () = Гм7м
(г); 7м (0); gм (г) = Рм7м (г) (28)
В модели (26) многомерной непрерывной системы Х - векторы состояния; V -вектор внешнего воздействия; У - вектор выхода; X е Кп; V, У е Кт ; F, G, С - матрицы
7-1 7~>пхп /"^Т /~ч 7~>пхт
состояния входа и выхода соответственно; F е К , С , и е К .
В модели (27) источника внешнего воздействия 7 и g - вектора состояния и выхода ИВВ соответственно; 7 е К1; g е Кт; Г, Р - матрицы состояния и выхода;
Ге К1х1; Р е Ктх1.
В модели (28) источника модулирующего сигнала 7м и gм - векторы состояния и выхода ИМС соответственно; 7м е Кк; gм е Кт; Гм, Рм - матрицы состояния и выхода ИМС; Гм е КкхК; Рм е Ктхк .
Процесс формирования модулированного внешнего воздействия v(í) представим в форме
v(t) = ео1{Е} (1) • gмJ (1); ] = 1,^} (29)
Нетрудно видеть, что процесс модуляции внешнего воздействия в форме (29) допускает представление его в виде кронекеровского произведения векторов с последующим сужением, что может быть представлено в форме:
V(t) = 5 ^ (г) ® gм (г)) (30)
Если теперь учесть правила формирования g (г) и gм (г) представленных в (27) и (28), то (30) в силу свойств кронекеровских произведений матриц может быть записано в форме
V(t) = 5 (£ (г) ® gм (г)) = 5 (Р7 (г) ® Рм7м (г)) = 5 (Р ® Рм )(7 (г) ® 7м (г)) (31)
Выражение (31) представляет модулированный сигнал v(t) как функцию состояния системы с вектором состояния 7 (г) ® 7м (г) .
Сформируем динамическую систему, с вектором состояния 7 (г) ® 7м (г), опираясь на модели (27) и (28), описывающих процессы по компонентам введенного вектора являющегося кронекеровским произведением векторов, а также свойства матричных кронекеровских структур. В результате получим следующую цепочку равенств
^ А • .
—(2 (г) ® 2М (г))=(7 (г) ® 2М (г)) = 7 (г) ® 7м (г) + 7 (г) ® 7м (г) = аг
= Г7 (г) ® 2м (г) + 7 (г) ® Гм7м (г) = (Г ® I Гм +I г ® Гм )(7 (г) ® 7м (г)) =
= (ГШГм )(7(г) ® 7м (г)); 7(0) ® 7м (0)
Для целей дальнейших исследований продолжим процесс построения автономной модели динамической системы с модуляцией, для чего введем в рассмотрение составной вектор состояния
~ Г х 1
X = (33)
[7 ® 7м ]
и сформулируем утверждение.
Утверждение 1 (У.1). Процессы в непрерывной системе (26) с модулированным внешним воздействием (29), компоненты которого задаются (27) и (28), могут быть представлены автономной системой
X(г) = РХ; Х~(0)
X (г) = С хХ(г); У (г) = СтХ(г), где матричные компоненты соотношений (34), (35) вычисляются выражений
08(Р ® Рм )"|
(36)
(34)
(35) помощью
Р =
Р
0
ГШГм
Сх = [ I
X
0]; Су = [С ; 0] (37)
Доказательство.
Доказательство утверждения строится на покомпонентном формировании производной по времени от вектора (33) с использованием исходной модели (26) многомерной системы, представления (31) процесса формирования внешнего модулированного сигнала, а также соотношения (32).
Приведенное утверждение содержит решение поставленной задачи формирования кронекеровской матричной модели динамических процессов с модуляцией.
Заключение
Нетрудно видеть, что модель вида (34) - (37) оказалась универсальной, т.к. позволяет исследовать процессы как с модуляцией входного воздействия, так и без нее. В последнем случае, в выражении (29) достаточно положить gMj (г) = 1; ] = 1, т . Это
означает, что источник модулирующего сигнала (27) вырождается в скалярный интегратор с единичным начальным состоянием, нулевой матрицей состояния Гм и единичной матрицей выхода Рм .
Литература
1. Сабинин Ю.А. Позиционные и следящие электромеханические системы: Учебное пособие. - СПб.: Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отд-ние, 2001. Куракин К.И., Куракин Л.К. Анализ систем автоматического регулирования на несущей переменного тока. - М.: Машиностроение, 1978. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. / Пер. с англ. М.: Наука, 1970. Ту Ю. Современная теория управления. / Пер. с англ. М.: Наука, 1971.
2.
3.
4.
5. Ланкастер П. Теория матриц. /Пер. с англ. М.: Наука, 1978.
