CC BY
13АНАЛ1З ПОЗДОВЖН1Х КОЛИВАНЬ КОРЕНЕПЛОДУ ПРИ ЙОГО В1БРАЦ1ЙНОМУ ВИКОПУВАНН1 БУРЯКОЗБИРАЛЬНИМИ МАШИНАМИ В УТОЧНЕН1Й
ПОСТАНОВЦ1
1к. т. н., доцент Гуменюк Ю. О., 1к. т. н., доцент Човнюк Ю. В., 2к. т. н., доцент Герасимчук Г. А.
1 Украина, м. КиЧв, Нацюнальний утверситет бюресурЫв i природокористування Украгни,
2Укра1на, м. Луцьк, Луцький нацюнальний техтчний утверситет
Abstract. A mathematical model of vibration digging out working organ and root's body is proposed. The last body has oscillations of longitudinal view. The kinematic parameters of digging out working organ are determined with the help of dynamic analysis of such oscillations. Own forms and own frequencies of the longitudinal oscillations of the root's body are established. One may determine the main parameters of forced longitudinal oscillations as well.
Keywords: analysis of longitudinal oscillations, root, vibration, digging, beet harvester.
Постановка проблеми. Вiбрацiйне викопування коренеплодiв цукрових буряюв набуло широкого розповсюдження у багатьох бурякосдачих крашах св^у, адже саме воно надае низку переваг у порiвняннi з шшими способами викопування. Автори дано1 роботи вважають, що цей технолопчний процес вимагае подальшого всебiчного анал^ичного дослщження та розробки удосконалених вiбрацiйних викопуючих оргашв бурякозбиральних машин.
Основними необхщними умовами виконання технологiчних процесiв сшьсько-господарського виробництва е: 1) забезпечення продуктивностi; 2) зниження енерговитрат; 3) шдвищення якостi виконання технологiчного процесу в цшому.
Для бурякозбиральних машин необхщною умовою забезпечення якостi виконання технолопчного процесу е, у першу чергу, непошкодження коренеплодiв при ix викопуваннi. Зрозумiло, що ймовiрнiсть пошкодження коренеплодiв iснуе при наявностi взаемоди робочого органу бурякозбирально1 машини з тшом коренеплоду, закрiпленого у групп, яка призводить до виникнення рiзниx типiв коливань останнього (зокрема, поздовжшх, згинних, крутних, комбiнованиx-поздовжньо-згинниx, згинно-крутних тощо). Зрозумiло, що виникае нагальна потреба дослщити теоретично зазначену взаемодiю (наприклад, ту, що веде до виникнення поздовжшх коливань коренеплоду) i на цш основi визначити оптимальнi кiнематично-силовi та конструктивнi параметри викопуючих робочих оргашв за умови непошкодження коренеплодiв при 1х вiбрацiйному викопуваннi.
Анатз останнix дослiджень та публiкацiй. Фундаментальш теоретичнi дослiдження процесу вiбрацiйного викопування коренепщщв здiйсненi у працях [1 - 8]. У роботах [9, 10] наведет деяк експериментальт результат ударно1 взаемодiï маятникового копiра з головкою коренеплоду.
Проте анатз поздовжшх коливань коренеплоду в уточненш постановщ (з урахуванням сингулярностей математичноï модел^ у вказаних вище роботах не проводився.
Мете роботи полягае у розробщ основних положень теорiï взаемоди вiбрацiйного викопуючого робочого органу з тшом коренеплоду, закршленого у групп, за якоï виникають поздовжнi коливання коренеплоду, i на основi отриманих власних форм коливань i частот (цих коливань) обгрунтувати рацiональнi конструктивш й кiнематичнi параметри, енергосилов1 характеристики викопуючих робочих оргашв, котрi дозволяють виконати теxнологiчний процес викопування коренеплодiв цукрових бурякiв, виходячи з умов ïxнього пошкодження. У роботi використаш результати [11].
Виклад основного змюту дослiдження.
1. Диференцiальне рiвняння поздовжшх коливань тша коренеплоду.
Теорiя вiбрацiйного викопування коренеплодiв цукрових бурякiв була створена i опублшована у пращ [8], у якш коренеплiд моделюеться тiлом, що мае пружнi властивосп i його подано стрижнем змшного поперечного перерiзу, що мае один закршлений кiнець. Коливальнi рухи вщ вiбрацiйного викопуючого робочого органу надаються коренеплоду у поздовжньо-вертикальнiй площинi. Вважатимемо, що коренеплщ, який знаходиться у груш!, е
складною суцшьно-пружною системою з нескшченним числом степешв в1льност1 i моделюеться також як стрижень змшного поперечного перер1зу з нижшм закршленим кшцем.
Отримане у [8] р1вняння розглядуваного коливного процесу мае наступних вид:
9 9 9 9 9 dv
pnx^tg^y-:^ — Епх2tg2y-^ — 2Епхtg2y— = H sino t а1(х — --2 псх tgy, (1)
де: p - густина коренеплоду, кг/м3, 2y -кут при вершит коренеплоду, який розглядаеться як конусопод1бне тшо; у (х, t) - поздовжне змщення будь-якого поперечного перер1зу коренеплоду на вщсташ х вщ нижнього кшця, в момент часу t, м; Е - модуль Юнга для матер1алу коренеплоду, H/м2; H - ампл1туда збурюючо1 сили, м; o - частота збурюючо1 сили, c-1; а(х) - одинична функщя (функщя Хевюайда); х1 - точна прикладання збурюючо1 сили, м; c - коеф1щент пружно1 деформаци грунту, вщнесений до площ1 контакту, H/м2; а1 (х) -дельта-функщя П. Д1рака.
Введемо позначення c* = I—, яке визанчае швидюсть поздовжшх хвиль у матер1ал1
*Р
коренеплоду, а вс члени р1вняння (1) подшимо на вираз Епх21g2y, тод1 матимемо:
1 д2у д2у 2 ду H ffi(x—xi) . , 2csinûJt ... т-тт-тт — zrr— ~r = —H—S i no t--. (2)
(c*)z atz дхг x ах Епхг1дгу Ex tgy
Для розв'язування р1вняння (2) використовуемо тдхщ роботи [11] й введемо замшу:
v(х, t) = х у (х, t) . (3)
Тод1 (2) набувае вигляду:
1 d2v d2v H ал{х-хлЛ . , 2csinûJt ...
-—:■-— — —■ =-i-^S i ПО t--. (4)
(c*)2 dt2 dx2 xEn tg2y Ex tgy
2. Власш форми та власш частоти поздовжшх коливань тша коренеплоду.
На вщмшу вщ результатов, отриманих у [8], власш форми поздовжшх коливань коренеплоду будемо знаходити за нульового значення право1 частини р1вняння (4) й наступних граничних умов:
у(х, t)
_ g. ày(x,t)
dx
= 0, (5)
x=h
де: h - загальна довжина тола коренеплоду, х = а - перер1з коренеплоду, яким заюнчуеться його ф1зичне тшо (а > 0 ), причому а < h. При а = 0 перер1з коренеплоду, у якому вш закршлений у грунто, стягуеться у точку й шяких сил до нього прикласти не можна! (У цьому принципова вщмшшсть розв'язку гранично1 задач1 для дослщжуваних поздовжшх коливань щодо тдходу роботи [8]).
Власш форми, яю автоматично задовольняють граничним умовам (5) й описують просторовий (по координат! х) розподш коливань поздовжнього типу у тш коренеплоду, мають вид:
у (х) = a i s i n , « i = c о ns t, i = l ,2,3 . (6)
Вщповщш значення v i (х) набувають вигляду:
V i 00 = х у i 00 = a i х s i n 1 . (7)
Тодi загальний розв'язок р1вняння (4) розшукуемо у формi:
у (х, 0 = х у(х, t) = т?= гАi(t) х sin [i2i~2^~a)]. (8)
Вимушенi поздовжнi коливання й метод визначення коефiцieнтiв Аi(t) будуть розглянуп нижче. Щодо спiввiдношень, якi визначають власнi частоти поздовжшх коливань тiла коренеплоду у груни, можна навести наступнi мiркування.
(Слiд зазначити, що у тому випадку, коли коренеплщ знаходиться у грунт лише частково, тобто для значень х Е [ a; ht ] , причому h1 < h, тодi у рiвняннi (4) бiля останнього доданку з'являеться множник { а (х — a) — а (х — ht ) }).
Пщставляючи вираз (8) у рiвняння (4) отримаемо:
1 А i( t) ф i (х) — Т?= ,А i(t)0"i (х) ^^sinat, (9)
де введет наступш позначення:
in/ л Н аг(х2х-,) 2с [и(х2a)2а(х2ht)] ( )
Ч'(х) =-----.
. v у хЕл tg2y Etgy
Домножаючи (9) злiва й справа на множник Yj = sin [(2 j ^ ^^ a] й iнтегруючи кожний
член такого нового рiвняння у межах вiд 0 до h, матимемо лiнiйну систему п -рiвнянь вiдносно змiнних Аi (t) (при (i, j) = ( 1 , п)), яка е неоднорiдною:
1А i (t) Tij — 1А i(t) и ij = © i sina> t, j = (11 п), (11)
де
Tij = ^ф^х) Yj(х)йх, U ij = J0V 'i(х) Yj(х)йх, ©i = J0h¥(х) Yj(х)ах. (12)
Слiд зазначити, що обмеження кiлькостi члешв ряду по i величиною п (тобто imax = п) е фiзично обгрунтованим, бо у тш коренеплоду збуджуеться лише обмежена кшьюсть просторових форм коливань (як власних, так i вимушених). З системи рiвнянь (11) легко стандартним методом диференщального числення знайти А i (t) . Стосовно частот власних коливань (поздовжнього типу) тша коренеплоду, то !х значення (р) можна знайти, прирiвнюючи нулю головний визначник системи (11):
D = Dеt iP2Tij — Ya=1Uij] = 0, j = (11 п). (13)
Кожний елемент визначника (13), розмiром Ф, мае вигляд:
aij = JPyP2Tij — Uij, j = ( 11 п). (14)
Такий алгоритм знаходження частот власних поздовжшх коливань тша коренеплоду сшвпадае iз запропонованим у [8].
Нижче запропонований альтернативний шдхщ, який на думку авторiв дано! роботи, швидше призводить до визначення частот р власних поздовжшх коливань тша коренеплоду.
На рис. 1 поданий перерiз коренеплоду вздовж ос ОX. Вважатимемо, що останнш мае форму зрiзаного конусу.
x=h
dx
x=0
Рис.1. Поперечний nepepi3 коренеплоду Пщдатливють елементу dx коренеплоду визначасться наступним сшввщношенням:
d/c(x) =
dx Е S(x)'
(15)
де Е - модуль пружносп тша коренеплоду, S (x) - площа поперечного перерiзу останнього на вiдстанi x вiд початку системи координат (S (x) = п x2tg2a). Тодi жорсткiсть Ф тiла коренеплоду може бути знайдена наступним чином:
с Ja Enx,Ltg'La Entg,La\ h aJ
(h-a)
Ja Enx2tg2a Entg2a\ h a) Entg2aah' Отже, для жорсткостi тша коренеплоду отримаемо:
(16)
с =
Entg2 a ah (h-a)
(17)
Маса коренеплоду визначаеться так:
т = pnh2 tg2a h-, h » a.
(18)
Тодi квадрат власно! частоти поздовжнiх коливань тша коренеплоду (ш2) набувае вигляду:
9 с Е а 3
от = — = ■
т ph.2 (h-a)'
У (18) та (19) p - густина матерiалу коренеплоду, кг/м3 З формули (19) легко знайти величину ш, 1/с:
(19)
_ [Ё 1 I За ■J р h -J h-a'
Оскшьки a « h з (20) можна знайти наближений вираз для ш:
^ [Ё 1 [за
■J р h -J h '
(20)
(21)
Зазвичай [8]: Е = 1 8, 4 -106 Па, p = 1 , 3 ■ 1 0 3 кг/м , h = 0, 2 5 м, тому формула (21) може бути подана у виглядг
ш « 41 5 ,9 « 8 2 4,3 P .
h \ h
(22)
Для лшшно! частоти f (Гц) поздовжшх коливань з (21) маемо:
¡ = ш127Т ~ 1 3 1,2^ . (23)
У таблиц 1 наведенi значення f, Гц для рiзних значень вщношення При ^ = 0, 0 24, f « 20,33 Гц, що спiвпадаe з результатами роботи [1]. Для розрахунку вимушених поздовжшх коливань тша коренеплоду можна використати шдходи, розвиненi у робот [8], але замiсть власних функцiй наведених у цитованiй робот^ слiд застосувати спiввiдношення типу (6) - (8), (11), (12).
Таблиця 1. Значення {, Гц для рiзних значень ^
a/h f, Гц
0,1 41,49
0,01 13,12
0,001 4,149
0,0001 1,312
0,005 9,28
Нижче обчислеш основнi значення питомо! (на одиницю маси коренеплоду) потужносп та енергн, яку поглинае коренеплiд, у залежностi вiд координати х (таблиця 2). При цьому використаш вихiднi параметри для розрахунюв, наведенi у [8].
Таблиця 2. Питома енерпя Ш, Дж/кг та потужнiсть Р , Вт/кг, яку поглинае коренеплщ у залежносп вiд координати х
x, м W, Дж/кг Р, Вт/кг
0,07 0,023.. .0,042 0,456.0,835
0,1 0,042.. .0,097 0,835.1,934
0,12 0,062.0,120 1,238.2,402
0,15 (точка захвату) 0,081.0,182 1,617.3,638
Висновки
1. Запропонована адекватна фiзико-механiчна модель для математичного анатзу поздовжнiх коливань коренеплоду при вiбрацiйному викопуваннi, у межах котро! обчислеш власнi частоти вказаних коливань та знайдеш власш форми, якi коректно (у математичному сенсi) враховують основнi особливостi збудження та взаемодн робочого органу бурякозбирально! машини.
2. Знайденi питомi енергетичш характеристики поздовжнiх коливань, якi виникають у тiлi коренеплоду, у залежност вiд поздовжньо! координати х. Показано, що при наближенш вказано! координати до точки захвату (^ вщповщно, при вiддаленнi вiд «юнчика» коренеплоду) вказаш енергетичнi характеристики зростають.
3. Отримаш у роботi результати можуть у подальшому слугувати для уточнення й удосконалення iснуючих iнженерних методiв розрахунку робочих органiв бурякозбиральних машин як на стади !х проектування/конструювання, так i у режимах реально! експлуатацп.
Л1ТЕРАТУРА
1. Василенко П.М. Вибрационный способ уборки корнеплодов. / П.М. Василенко, Л.В. Погорелый, В.В. Брей //Механизация и электрификация социалистического сельского хозяйства. - 1970. - №2. - С.9 - 13.
2. Булгаков В.М. TeopÎH вiбрацiйного викопування коренеплодiв. / В.М. Булгаков, 1.В. Головач, Д.Г. Войтюк //Збiрник наукових праць Нацiонального аграрного унiверситету «Мехашзащя сiльськогосподарського виробництва». - 2003. - Т. XIV. - С.34 - 86.
3. Булгаков В.М. Теорiя поперечних коливань коренеплоду при вiбрацiйному викопуванш / В.М. Булгаков, 1.В. Головач, Д.Г. Войтюк //Працi Тавршсько1 державноï агротехнiчноï академи. - Мелггополь, 2004. - Вип.18. - С.8 - 24.
4. Булгаков В.М. Про вимушеш поперечш коливання тша коренеплоду при вiбрацiйному викопуваннi. / В.М. Булгаков, 1.В. Головач //Вюник Харкiвського нацiонального технiчного унiверситету сшьського господарства îm. Петра Василенка: Збiрник наукових праць. - Харкiв: ХНТУСГ, 2005. - Вип.39. - С.23 - 39.
5. Булгаков В.М. Розробка математичноï моделi вилучення коренеплоду з грунту. /В.М. Булгаков, 1.В. Головач //Технка АПК. - 2006. - №.6, 7, 8. - С.36 - 38.
6. Булгаков В.М. Теоретичш дослщження поздовжшх коливань коренеплоду у грунп як у пружному середовищi при вiбрацiйному викопуванш / В.М. Булгаков, 1.В. Головач //Вюник Харювського нацiонального технiчного ушверситету сiльського господарства îm. Петра Василенка: Збiрник наукових праць. - Харюв: ХНТУСГ, 2006. - Т. 2. - Вип. 44. - С.131 - 155.
7. Головач 1.В. Теорiя дослщження поздовжшх коливань коренеплоду у грунп як у пружному середовищi при вiбрацiйному викопуваннi. /1.В. Головач //Вiсник Харкiвського нацiонального технiчного унiверситету сiльського господарства îm. Петра Василенка: Збiрник наукових праць. - Харюв: ХНТУСГ, 2006. - Т. 2. - Вип. 44. - С.77 - 100.
8. Булгаков В.М. Теорiя викопуючих робочих оргашв бурякозбиральних машин. / В.М. Булгаков, 1.В. Головач.- Кiровоград: КОД, 2009. - 202 с.
9. Свеклоуборочные машины (конструирование и расчет) /Л.В. Погорелый, Н.В. Татьянко, В.В. Брей и др., под общ. Ред. Л.В. Погорелого. - К.: Техшка, 1983. - 168 с.
10. Погорелый Л.В. Свеклоуборочные машины (история, конструкция, теория, прогноз). / Л.В. Погорелый, Н.В. Татьянко. - К.: Феникс, 2004. - 232 с.
11. Жарий Ю.О. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. /Ю.О. Жарий, А.Ф Улитко. - К.: Вища школа, 1989. - 184 с.
RESEARCH ADEQUACY OF THE MATHEMATICAL MODELS OF DEFORMATION SHELL ELEMENTS WITH
LARGE DISPLACEMENTS
Dr. of Techn. Sci. Dzyuba A. P., Safronova I. A.
Ukraine, m. Dnipro, Dnipropetrovskiy National University named after O. Honchar
Abstract. Results of numerical and experimental researches of adequacy of two mathematical models of behavior rotation shells and annular plates with large displacements are presented in this paper. The algorithm for acceleration of the iterative process convergence for solving of nonlinear boundary value problem and the results of the comparative analysis of numerical and experimental data are given.
Keywords: rotation shell, annular plate, large displacement, numerical algorithm, experimental research.
The development of effective methods of investigation and substantiation of adequacy of mathematical models for problems of mechanics shells with large displacements belong to very important problems of solid mechanics, as these designs are used in aerospace, chemical, oil and gas, equipment and other industries widely. For example, the bellows as a compensators thermal displacement pipelines, shell elements in the form of membranes as sensing elements measuring devices and others. The specified subject is still very important for research [1, 4, 6 - 9].
The various options for approach to building the equations of nonlinear theory and modeling stress-strain state annular plates and rotation shells that have large displacements with small strains [1, 2, 6] and based on different hypotheses and assumptions associated with additional (non-linear) components are exist. The essence of the known in modern literature approaches to calculating
