CC BY
6
БОТ: 10.15587/2312-8372.2017.112771
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В1БРАЦ1ЙНИХ СИСТЕМ ДЛЯ ПОПЕРЕЧНОГО ШЛ1ФУВАННЯ ПЕРИФЕРИЮ КРУГА
Гнiтько С. М., Шпилька А. М., Шпилька М. М., Кравченко С. I.
1. Вступ
При обробщ металiв рiзанням в системi верстат - пристосування -шструмент - деталь виникають вiбрацii, що приводять до зниження якост оброблюваних поверхонь. З метою застосування ефективних методiв гасiння цих коливань необхщно розробити рацiональнi методики визначення iх амплiтудно-частотних характеристик. Одшею iз причин виникнення механiчних коливань при виконанш шлiфувальних операцiй е радiальне биття на шлiфувальному круз^ Радiальне биття виникае при першому встановленнi шлiфувального круга на верстат при вщсутност правки i балансування. Також радiальне биття збiльшуеться тсля певного часу виконання шлiфувальноi операцп в наслiдок виникнення хвилясто^т на робочш поверхнi круга [1-4].
Постановка задач динамки вiбрацiйних систем може бути досить рiзноманiтною. У самш загальнiй постановцi вказанi задачi зводяться до дослщження руху самоi вiбрацiйноi машини й системи привод - вiбрацiйна машина.
Актуальнiсть дослiдження полягае в створенш математичноi моделi, яка дасть змогу дослщити рух шлiфувальноi системи та отримати залежностi для визначення основних параметрiв системи.
2. Об'ект дослiдження та його технолопчний аудит
Об'ект дослгдження - вiбрацiйна система шлiфування. Вiбрацiйна система шлiфування е стохастичною системою, тому дуже важко визначити и стан в той чи iнший момент часу. Одним iз проблемних мiсць об'екту до^дження е визначення способу, яким буде виконано урахування закономiрностей взаемного впливу основних параметрiв руху системи.
Питання про облiк розсiювання енерги в пружних елементах при дослщженш коливань пружно!' системи досить складне, тому що внутршне тертя залежить вiд ряду чинникiв, вплив яких досить складний i практично не шдлягае прямому облiку. Серед множини ггпотез, як1 описують дисипативнi сили, останнiм часом найбтьше поширення одержала ггпотеза Кельвша-Фойгта.
При порiвнянiй простои ця гшотеза з достатньою точнютю характеризуе дисипативнi сили, що виникають тд час деформацii пружних в'язей i забезпечуе достатню збiжнiсть з експериментальними даними [5]. Тому в даному до^дженш будемо використовувати вказану гшотезу для опису сил, що виникають у пружних в'язях вiбрацiйноi системи.
3. Мета та задачi дослщження
гета до^идження - отримання математично1' моделi вiбрацiйноi системи шлiфування, яка дозволяе простежити основнi закономiрностi руху, одержати
аналггачш залежност руху шлiфувальних кругiв, перехщ системи через промiжнi резонанси, шляхи перетворення й розсшвання енергii в система
Для досягнення поставленоi мети необхщно:
1. Отримати аналiтичнi залежност руху системи шлiфування iз поздовжньою подачею.
2. З використанням рiвнянь Нiльсена отримати залежност руху вiбрацiйноi системи без врахування нерiвностi профiлю шлiфувального круга.
4. Дослщження iснуючих р1шень проблеми
В якост приводного двигуна шлiфувального верстату використовуеться трифазний асинхронний електродвигун. Оскшьки всяке реальне джерело енергп мае обмежену потужнiсть, виникае необхщшсть в урахуваннi процесiв взаемодii приводу з вiбрацiйною машиною. Важливiсть i складнiсть даного завдання визначили велике число присвячених йому дослщжень [6-12].
Автори роботи [13] указують на те, що динамiчнi процеси в мехашчнш частинi коливальноi системи i динамiчнi явища в електродвигунi знаходяться в безпосередньому зв'язку.
Однак у дослщженнях [14] показано, що за умови, коли величина електромеханiчноi постiйноi часу бшьш нiж у три рази перевищуе значення електромагнiтноi постшно!' часу, вплив електромагнiтних процесiв на динамжу механiчноi системи можна не враховувати. Таким чином, виникае можливють використовувати при розрахунку не динамiчну, а статичну характеристику двигуна.
До^дження [15] показують, що при використаннi у вiбрацiйних системах асинхронних електродвигунiв, електромагштна постiйна часу мiзерно мала в порiвняннi з електромеханiчною постiйною часу.
Автор роботи [16] пропонуе шдхщ, заснований на використанш статичних характеристик джерел енергп при проведенш динашчних розрахункiв.
Автори роботи [17] вказують, що закон руху ротора приводного двигуна мае такий вигляд:
(1)
де - перюдична функщя часу.
Таким чином, на рiвномiрне обертання ротора з кутовою швидюстю ю накладаються перiодичнi коливання, але величина цих коливань невелика, що тдтверджуеться на пiдставi експериментальних дослiджень [18].
5. Методи дослщжень
В ходi роботи застосовувались аналггичш методи дослiджень, основанi на базових принципах теорп механiчних коливань та теоретичних напрацювань вчених в данш галузi.
В данiй роботi при складанш диференцiйних рiвнянь руху вiбрацiйноi систем шлiфування питання про врахування нерiвномiрностi обертання
приводниx вaлiв верстaтiв нaвмисне не стaвилося, aле обрaнa розрaxyнковa сxемa повинта допyскaти можливiсть тaкого врaxyвaння.
6. Результати дослщжень
Розглянемо вiбрaцiйнy системy при поперечномy шлiфyвaннi. Тодi шлiфyвaльний круг бyде обертaтися в площинax, перпендикyлярниx нaпрямкy перемiщення зaготовки. Будемо розглядaти рyx вiбрaцiйноï системи з жорстко зaкрiпленою нa верстaтi зaготовкою, тaк що вiбрaцiйнy систему можш ввaжaти одномaсною моделлю. Розрaxyнковy сxемy вiбрaцiйноï системи приймемо y виглядi системи з чотирмa ступенями вшьносл (рис. 1).
Рис. 1. Сxемa вiбрaцiйноï системи при поперечному шлiфyвaннi: 1 - шлiфyвaльний (aлмaзний) круг; 2 - зрaзок; 3 - зaтискне пристосyвaння
Узaгaльненими координaтaми e: вертикaльне перемiщення z, горизонтaльнi перемщення х i y й кут повороту ф шлiфyвaльного крyгa. Питaння про зв'язки мiж основними мaсaми, що рyxaються в реaльнiй вiбрaцiйнiй системi досить склaдне, й визтачити всi чинники, що описують ïxню взaeмодiю, прaктично неможливо. Тому для визтачення основниx зaкономiрностей рyxy вiбрaцiйноï системи прийнято розрaxyнковi сxеми, побyдовaнi нa основi припущень, звичaйниx для бшьшосл приклaдниx зaдaч динaмiки вiбрaцiйниx систем.
При цьому основнi мaси, що рyxaються, предстaвленi aбсолютно жорсткими. Мaси прyжниx в'язей внaслiдок ïx вiдносноï мaлостi в розрaxyнкax не врaxовyються.
Для побудови мaтемaтичноï моделi вiбрaцiйноï системи скористaeмося рiвняннями Ншьсета. У дaномy випaдкy вони будуть мaти тaкий вигляд:
x дх o y dy
* y (2)
oz oz дф ocp
дq T - юнетична енергтя системи; T - повна похщна за часом вщ кшетично1 енерга; QX' Qy Qz Ор - узагальненi сили, як вщповщаютъ узагальненим координатам.
Знайдемо кiнетичну енергiю системи як суму кшетичних енергш механiзму подачi, що знаходиться в поступальному русi:
_ mv2Q
1к ~ о
т(х2 + г/2 + ¿2)
i обертальних частин, що знаходяться в складному (плоскому) русг
Г =те1'с , 1сЖ D 2 2'
де vc - швидкють точки С (центру мае невр1вноважених частин); 1сх - момент шерцн неврiвноважених частин вiдносно осi, що проходить через точку С. Швидкють точки С складаеться з переносно!' й вщносно! швидкостей:
vc=ve+vr\
ve = i х + j у+ k i;
z\. = j vr eos (p-kvr sin (f>; vr = фе.
У такому разi:
v2 = x2 +(y + ф есоъсрУ + (z- ф esincpy.
Звщси повна кiнетична енергiя системи буде:
т + 2т / .2 -2 -л • • \ 1гу'Ф2 ri\
1 =--ух +у + z" } + тиеф\усоъ(р-тът(р)+ ,х , (3)
Де + ■
Визначимо повну похiдну вiд кiнетичноi енергн за часом:
t = (m + 2mô)-(x • x + y- y + z- z) + md еф (z/cos<p- zsin<^) + +тдеф (ycos(p-zsm(p)-mdeç2(zcos(p + ysm(p) + I0Y -ф-ф.
Запишемо 4acTKOBi похiднi, що входять у лiву частину рiвнянь Нiльсена:
= ( т + 2тд)х ;
дх
= ( т + 2тд)у + тдефcos(р-тдеф2 т\ср]
ду
= ( m + 2тд Xz - тдеф$тф - тд еф2 cosç;
dz
^-7 = 1охф + тде [(¿/cos<^-zsin<^)-2<^ (г/sin^ + zcos^)] ;
дТ_дТ_дТ_0
дх ду dz
дТ ... . . ч
— = -пгдеф{у sm<^ + zcosç). dtp
Визначимо узагальнет сили, що вщповщаютъ узагальненим координатам системи: Q =Т -Рх; О = -Ру ;
^.Г п ' ^у 1Щ) '
Qz = -cz-az; (4)
Qp = -mbgesm<p + M/l-Mc,
де С - коефщент жорсткостi, який характеризуе пружнi сили, що виникають в систему а - коефщент, який характеризуе розсшвання енергiï.
Визначимо проекцп сили рiзaння на осi Z, Х i У таким чином [15]:
Р
т(г)
ЛТДОООгд
(5)
р = (0,1-0,2)^1000^ ' 7
де Л^. - потужшсть, що необхцща для обертання круга, кВт; 7// - КЕСД приводу алмазного круга; Ук - лшшна швидюсть обертання круга:
К- = фг,
де r - рaдiус шлiфувaльного круга.
Пдставимо отримаш результати в р1вняння Нльсена й одержимо результат:
(т + 2тд)х = Тп-Рх,
6)
(т + 2тд)у + тдеф со^(р-тдеф2^и\(р = -Ру\ ^
{т + т^)2-тдеф sin(р-тдеф2соъ(р = -с2-а,2 ;
10Хф+тде(у coscp-'zsinср) = -тд gеsinср+МД - Мс.
Математична модель в цьому випадку матиме такий вигляд: (т + 2тд)х-Тп+Рл.= 0;
[m + 2md)y + Py =-mde-^j-jsm<p;
(т + 2mdyz + с z + az = -mde-^j-jCOS(p;
(8) (9)
(10)
(11)
(12)
10Хф+тде(у cos ср - z sin ср) + mdg е sin ср = МД - Мс, ^ ^
де Мд - обертаючий момент двигуна, приведений до валу версгату; т - маса рухомих части н верстата; т(, - маса невр1вноважених частин; Мс - момент сил опору на валу версгату; 1ох - момент шерци частин, як\ обергакпъся, вщносно oci валу версгату.
З досвщу розв'язання б1льш простих задач дшдемо до висновку, що виршення приведених систем диференцiальних нелшшних рiвнянь нi в елементарних функщях, m в квадратурах виразити неможливо, тому для анашзу складених математичних моделей доцтьно застосовувати чисельнi методи.
7. SWOT-аналiз результатiв дослiдження
Strengths. Серед сильних сторiн даного дослiдження слад вщзначити, що за допомогою отримано! моделi вiбрацiйноi системи шлiфування можливо аналiтично дослiдити взаемозалежтсть основних параметров шлiфування для визначення ефективного спiввiдношення на основi аналiзу отриманих залежностей.
Weaknesses. Математична модель вiбрацiйноi системи розроблена без врахування нерiвностi профiлю шлiфувального круга, що призводить до певно! розбiжностi прийнято! моделi з реальною системою.
Opportunities. Додатковi можливостi, що забезпечують досягнення мети дослщження, е зменшення обсягiв експериментальних дослiджень для
перевiрки отриманих aнaлiтичних залежностей для процешв шлiфувaльних оперaцiй. Зменшення об'ему експериментальних дослiджень призведе до економiï ресуршв i часу.
Threats. Труднощi у впровадженш виконаних розробок пов'язaнi з наступними факторами. Перший з них - шшшфувальна операщя е стохастичним процесом, тому практично неможливо врахувати вс фактори, що впливають на коливальну систему. Другий фактор - в ходi експериментальних дослiджень важко зарееструвати вiдчутний ефект вiд змши пaрaметрiв коливально!' системи, тому впровадження дaноï розробки потребуватиме додаткових затрат на експериментальну перевiрку результaтiв отриманих анаштичним шляхом.
Таким чином, SWOT-aнaлiз результaтiв розробок дозволяе означити основш напрямки для успiшного досягнення постaвленоï мети. Серед них:
- застосування отриманих залежностей може спростити проведення експериментальних дослщжень;
- аналггачне моделювання шлiфувaльноï обробки дае змогу розширення можливостей пiдвищення ефективностi процесу.
8. Висновки
1. Отримано aнaлiтичнi зaлежностi руху системи шлiфувaння iз поздовжньою подачею у виглядi диферинцiйних рiвнянь, якi враховують осровнi параметри системи привод-верстат-шшифувальний iнструмент-зaготовкa та визначають 1'х взaемозaлежнiсть. Це дозволяе проводити теоретичш дослiдження процесiв для встановлення доцшьних режимiв шлiфувaння.
2. З використанням алгоритму Ншьсена отримано зaлежностi руху вiбрaцiйноï системи без врахування нерiвностi профiлю шлiфувaльного круга, якi дозволяють прогнозувати положення шлiфувaльного iнструменту в ходi обробки в будь-який момент часу. Це дае змогу детально вивчити стани вiбрaцiйноï системи шлiфувaння в рiзних умовах i розробити заходи по тдвищенню ефективностi процесу шлiфувaння за рахунок правильного вибору режимiв шлiфувaння (швидкiсть подaчi, швидюсть обертання шлiфувaльного круга, глибина шлiфувaння та iн.).
Лiтература
1. Reznikov, A. N. Abrazivnaia i almaznaia obrabotka materialov [Text]: Handbook / ed. by A. N. Reznikov. - Moscow: Mashinostroenie, 1977. - 391 p.
2. Baikalov, A. K. Vvedenie v teoriiu shlifovaniia materialov [Text] / A. K. Baikalov. - Kyiv: Naukova dumka, 1978. - 207 p.
3. Burdun, G. D. Metody i sredstva kontrolia kachestva almaznogo instrumenta [Text] / G. D. Burdun, V. F. Surogin, V. G. Darevskii. - Moscow: Mashinostroenie, 1979. - 119 p.
4. Veits, V. L. Vynuzhdennye kolebaniia v metallorezhushchih stankah [Text] / V. L. Veits, V. K. Donshanskii, V. I. Chiriaev. - Leningrad: Mashgiz, 1959. - 287 p.
5. Gusev, B. V. Udarno-vibratsionnaia tehnologiia uplotneniia betonnyh smesei [Text] / B. V. Gusev, A. D. Deminov et al. - Moscow: Stroiizdat, 1982. -152 p.
6. Srinivasan, K. Grinding Chatter and Vibrations [Text] / K. Srinivasan // Handbook of Modern Grinding Technology. - 1986. - P. 119-169. doi:10.1007/978-1-4613-1965-8_6
7. Hashimoto, F. Growing Mechanism of Chatter Vibrations in Grinding Processes and Chatter Stabilization Index of Grinding Wheel [Text] / F. Hashimoto,
A. Kanai, M. Miyashita, K. Okamura // CIRP Annals. - 1984. - Vol. 33, No. 1. -P. 259-263. doi: 10.1016/s0007-8506(07)61421-8
8. Han, Q. K. Nonlinearity Analysis and Wavelet Package Transform of Measured Chatter Vibrations in Grinding Process [Text] / Q. K. Han, B. C. Wen // Key Engineering Materials. - 2008. - Vol. 359-360. - P. 494-498. doi:10.4028/www.scientific.net/kem.359-360.494
9. Altintas, Y. Manufacturing Automation: Metal Cutting Mechanics, Machine Tool Vibrations, and CNC Design [Text] / Y. Altintas. - Cambridge: Cambridge University Press, 2012. - 336 p. doi:10.1017/cbo9780511843723
10. An experimental study on chatter vibrations in grinding operations [Text] // Wear. - 1958. - Vol. 2, No. 2. - P. 161. doi:10.1016/0043-1648(58)90496-4
11. Dudas, I. Grinding wheel profiling devices [Text] / I. Dudas // The Theory and Practice of Worm Gear Drives. - 2004. - P. 182-199. doi:10.1016/b978-190399661-4/50008-3
12. Ohmori, H. Highly Efficient Grinding of Ceramic Parts by Electrolytic In-Process Dressing (ELID) Grinding [Text] / H. Ohmori, I. Takahashi,
B. P. Bandyopadhyay // Materials and Manufacturing Processes. - 1996. - Vol. 11, No. 1. - P. 31-44. doi: 10.1080/10426919608947459
13. Veits, V. L. Nekotorye voprosy dinamiki mashin s elektroprivodom [Text] / V. L. Veits, V. L. Dobroslavskii // Trudy semira TMM. - 1962. - Vol. XXIII, No. 91. - P. 54-66.
14. Kazovskii, E. Ya. Perehodnye protsessy v elektricheskih mashinah peremennogo toka [Text] / E. Ya. Kazovskii. - Moscow; Leningrad: AN SSSR, 1962. - 624 p.
15. Poturaev, V. N. Dinamika vertikal'nih vibrokonveierov s uchetom vliianiem massy transportiruemogo materiala i svoistv istochnika energii [Text] / V. N. Poturaev, A. G. Chervonenko // Mehanika mashin. - 1971. - Vol. 29-30. -P. 25-36.
16. Kononenko, V. O. Kolebatel'nye sistemy s ogranichennym vozbuzhdeniem [Text] / V. O. Kononenko. - Moscow: Nauka, 1964. - 256 p.
17. Panovko, Ya. G. Ustoichivost' i kolebaniia uprugih sistem [Text] / Ya. G. Panovko, I. I. Gubanova. - Moscow: Nauka, 1979. - 384 p.
18. Karpov, N. A. Ustoichivost' form statsionarnyh dvizhenii vibriruiushchih organov putevyh i stroitel'nyh mashin [Text] / N. A. Karpov. - Moscow: Transport, 1970. - 168 p.
19. Mazur, N. P. Osnovy teorii rezaniia materialov [Text]: Hanbook / N. P. Mazur, Yu. N. Vnukov, A. I. Grabchenko, V. L. Dobroskok, V. A. Zaloga, Yu. K. Novoselov, F. Ya. Yakubov; ed. by N. P. Mazur, A. I. Grabchenko. - Ed. 2. -Kharkiv: NTU «KhPI», 2013. - 534 p.
