Анализ погрешности определения интегральных характеристик периодических сигналов по отдельным мгновенным значениям, связанным с переходами сигналов через ноль Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

предающихся между узлом, содержащими OLAP файл, и узлом, содержащим клиента, инициировавшего MDX-запрос, за единицу времени, будет определяться следующим образом:

п р I

S2 = +rkh)(] ~гы)Уь ■

J= I t=l |

Допустим,

<p=±i<p».

*=1 h~\

Тогда получим средний объем данных, предающихся между узлами:

V2 + Г“)(Х ~ 2Ы)уи (4)

Ф 7=1 *=1 А=1

Каждый файл (к = 1,2,.. .р) находится только в одном из узлов сети, поэтому

П

Y,ykj =Нк = 12,...,р). (5)

1-1

Помимо этого, объем сегмента OLAP каждого узла Nj не должен превышать Rj - объема памяти узла N;, выделенного под сегмент данных (размещение файлов) OLAP. Следовательно,

^R,U = 1>2--и). (6)

*-1

Таким образом, аналогично математической модели процесса загрузки файлов данных

DWH в OLAP файлы, задача оптимального распределения файлов OLAP по узлам системы

сводится к тому, чтобы найти значения переменныхущ, где

ykj = {О и 1} (к = 1,2,..., р; j = 1,2,..., п),

которые дают минимум линейной функции (5) и удовлетворяют условиям (6) и (7). Данная математическая модель также является задачей целочисленного линейного программирования с булевыми переменными.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. W.H. In топ “Building the Data Warehouse. Third Edition", Wiley Computer Publishing, 2002.

2. Лебедев А.В., Орлов С. 11. Оптимальное размещение файлов системы OLAP и хранилища данных в вычислительной сети // Сб. докладов междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям, SCM’2005. - СПб.: Гидроме-теоиздат, 2005. с. 220.

3 Лебедев А.В. Построение географически распределенного хранилища данных // Компьютерные технологии в науке, практике и образовании: Тр. Всерос. межвуз. науч.-практ. конф. Самарский гос. техн. ун-т, 2004.

Статья поступила в редакцию 10 ноября 2005 г.

УДК 621.317 B.C. Мелентьев

АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПО ОТДЕЛЬНЫМ МГНОВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ,

СВЯЗАННЫМ С ПЕРЕХОДАМИ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ НОЛЬ

Рассматривается влияние погрешности квантования аналого-цифровых преобразователей на точность определения интегральных характеристик синусоидальных сигналов по мгновенным значениям. Приводятся результаты анализа погрешности измерения параметров из-за искажения формы сигнапов.

Методы и средства измерения интегральных характеристик периодических сигналов (ИХ11С) путем обработки отдельных мгновенных значений предназначены, в первую очередь, для сокращения времени измерения.

50

При малых углах сдвига фаз между напряжением и током достаточно высокое быстродействие обеспечивает метод, согласно которому ИХПС определяются по двум мгновенным значениям напряжения и одному мгновенному значению тока. Причем мгновенное значение тока взято в момент перехода через ноль сигнала напряжения, первое мгновенное значение напряжения взято в момент перехода сиг нала тока через ноль, а другое значение напряжения взято через промежуток времени, равный интервалу времени между моментами перехода через ноль сигналов напряжения и тока [1].

При синусоидальных сигналах тока /(/) = Iт$\пая и напряжения иЦ) = и тъ\п{ш + <р), где <р - угол сдвига фаз между напряжением и током, выражения для определения ИХПС имеют следующий вид:

- среднеквадратические значения напряжения и тока

и,

20’І

СК 3

•сю

УІ^иГиРі’ 2 /,1/2

у]і{^и2 -из2 )

(1)

(2)

- активная и реактивная мощности

Р = *і£п(и2)хі$п(и3)

4 и] - и]

да

риГ-иї'

- коэффициент мощности

2ІІ-,

(3)

(4)

(5)

где /, = яіп(- (р) - мгновенное значение тока, взятое в момент перехода сигнала напряжения через ноль; и2 = ^т энкр - мгновенное значение напряжения, взятое в момент перехода сигнала тока через ноль; = Vт 5Іп(2^) - мгновенное значение напряжения, взятое через промежуток времени, равный интервалу времени между моментами перехода через ноль сигналов напряжения и тока;

) =

1, если <У2 > О О, если и2=0 -1, если II2 < О

5/£Л(£/3) =

1, если 12 > о О, если /2=0 -1, если /2 < О

Временные диаграммы, поясняющие метод, представлены на рис. 1.

и(,)

ппн

ппт

—I—

П1

* АЦП

кнт

П2

но

Прерывание

Рис. 1. Временные диаграммы, поясняющие метод

Р и с. 2. Схема средства измерения, реализующего метод

Схема средства измерения (СИ), реализующего данный метод, представлена на рис. 2 [2|.

В состав СИ входят: первичный преобразователь напряжения Г1ПН, первичный преобразователь тока ПГ1Т, два аналоговых переключателя П1 и П2, аналого-цифровой преобразователь АЦП, нуль-орган НО и контроллер КНТ.

ППН и ПП Г осуществляют гальваническое разделение силовых измерительных цепей от измерительных каналов СИ, а также масштабное преобразование измеряемых сигналов напряжения и тока в нормированные сигналы напряжения.

Оценим погрешность вычисления среднеквадратического значения напряжения согласно (I) с учетом погрешности АЦП. Если пренебречь погрешностью от нелинейности, то можно считать, что основной погрешностью АЦП является абсолютная погрешность квантования

А(/ = и„р /2" , где и„р - максимально допустимое входное напряжение АЦП; п - число двоичных разрядов.

Погрешность при вычислении какой-либо функции, аргументы которой заданы приближенно, может быть оценена с помощью дифференциала этой функции. Если известны только предельные абсолютные погрешности аргументов, то при вычислении дифференциалов необходимо для всех производных брать их абсолютные значения.

Предположим, что при амплитудном значении напряжения Vт мгновенные значения напряжений и2 и С/3 измеряются с погрешностью преобразования АЦП и предельные абсолютные погрешности измерений равны Л[/2 и Д£/3. В этом случае предельная абсолютная погрешность вычисления среднеквадратического значения напряжения искз определяется выражением

д и.

скз

(и сю)

(искз) и} Д£/3 ■

Вычислив производные и считая, что А1/2 =Л£/3 = АС/ , где Д(У можно представить как отношение амплитудного значения напряжения на входе АЦП к числу уровней квантования ЭТОГО напряжения, для относительной погрешности вычисления и СЮ получим

8

7

6

5

3

2-|------

1

О

г

±

Р и с. 3. Зависимость погрешности определения ис'КЗ от Угла слвига фаз между напряжением и током при и=12

2” эш3 (р\

(бш 2 $?-0,5 +|0,25со8^|).

(6)

100

200

300

Р и с. 4. Зависимость погрешности определения 1СКЗ от Угла сдвига фаз между напряжением и током при «=12

18 — 16 14

12 10

н—

300

Р и с. 5. Зависимость погрешности определения Р от угла сдвига фаз между напряжением и током при л=12

Па рис. 3 приведен график зависимости от Угла сдвига фаз между напряжением и

током <р при 12-разрядном АЦП в соответствии с выражением (6).

Анализ графика и выражения (6) показывает, что относительная погрешность зависит от угла сдвига фаз между напряжением и током. При <р=рл (где р=0, 1, 2) знаменатель выражения (6) превращается в ноль, а в окрестностях этих точек возрастает. Увеличение разрядно-

сти АЦП приводит к уменьшению погрешности (в 2 раза при увеличении разрядности на единицу).

Произведем оценку погрешности вычисления среднеквадратического значения тока согласно (2) с учетом погрешности АЦП.

При преобразовании мгновенного значения тока /, будем считать, что абсолютная погрешность АЦП пропорциональна Л/ = 1пр /2я, где 1 пр - максимально допустимый входной гок.

В этом случае предельная абсолютная погрешность вычисления среднеквадратического значения тока равна

А/

С КЗ -

скз) Л + (!скз) и2 А£/2 + + \(^скз)

ДС/3.

Так как погрешность АЦП при преобразовании сигналов, пропорциональных мгновенным значениям тока и напряжения, одинакова, то относительная погрешность вычисления 1СКЗ

1

Лч-1

2л|8т^|

I +

сЩ2<р

2 ъ\п<р

(7)

На рис. 4 приведен график зависимости £/Ск3 от угла сдвига фаз между напряжением и током <р при 12-разрядном АЦП в соответствии с выражением (7).

Анализ графика и выражения (7) показывает, что при <р=рп знаменатель выражения (7) превращается в ноль, а в окрестностях этих точек возрастает.

При вычислении активной мощности согласно выражению (3) предельная абсолютная погрешность имеет вид

АР =

а приведенная погрешность равна

Гр =

И

А/,

(/>)'

А и2 +

И'

А и3,

2 <*%<Р 4_ 1 1 + СОБ2^

2" \ 2 Т 4зш V )

(8)

На рис. 5 приведен график зависимости уР от угла сдвига фаз между напряжением и током <р при 12-разрядном АЦП в соответствии с выражением (8).

Анализ графика и выражения (8) показывает, что приведенная погрешность определения активной мощности практически в два раза выше относительных погрешностей вычисления среднеквадратических значений напряжения и тока. При (р=рп знаменатель выражения (8) также превращается в ноль, а в окрестностях этих точек у Р возрастает.

Оценим погрешность вычисления реактивной мощности согласно (4) с учетом погрешности АЦП.

Предельная абсолютная погрешность вычисления реактивной мощности

А0 =

(*?)'

А/, +

(£)'

А и2 +

У'с/з

А С/3.

Приведенная погрешность определяется следующим выражением:

г' 1 + ещер +

ч 2ъ\х\(р

• 2 2 БШ ^-СОБ ф

. 2 БШ (р

(9)

На рис. 6 приведен график зависимости уд от угла сдвига фаз между напряжением и током <р при 12-разрядном АЦП в соответствии с выражением (9).

Анализ графика и выражения (9) показывает, что реактивная мощность определяется с меньшей погрешностью. При (р=рл знаменатель выражения (9) также превращается в ноль, а в окрестностях этих точек уд возрастает.

г0,%

V

V ) ^ .... J

О 100 200 300 <Р,'

Р и с. 6. Зависимость погрешности определения Q от угла сдвига фаз между напряжением и током при л=12

Р и с. 7. Зависимость погрешности определения X от угла сдвига фаз между напряжением и током при л= 12

При вычислении коэффициента мощности согласно выражению (5) предельная абсолютная погрешность имеет вид

АЛ =

(Я)

А и2 +

(4

АС73,

а приведенная погрешность равна

У х ='

3

С08$Р +

0,5).

(Ю)

2л|5т^|

На рис. 7 приведен график зависимости уд от угла сдвига фаз между напряжением и током <р при 12-разрядном АЦП в соответствии с выражением (10).

Анализ графика и выражения (10) показывает, что при тех же условиях погрешность определения коэффициента мощности значительно меньше.

Проведенный анализ показывает, что в общем случае определение ИХПС согласно данному методу производится со значительной погрешностью, величина которой зависит от угла сдвига фаз между напряжением и током. При <р=рк измерение ИХПС лишено смысла, так как знаменатели выражений для определения параметров принимают нулевые значения, а в окрестностях этих точек погрешности резко возрастают.

Эффективным средством сокращения данного вида погрешности является увеличение разрядности АЦП. Погрешность уменьшается в два раза при увеличении разрядности на единицу.

Рассматриваемый метод предназначен для определения ИХПС в цепях с синусоидальными напряжениями и токами. Исследуем погрешность метода из-за искажения формы сигналов [3].

Предположим, что сигналы напряжения и тока в исследуемой цепи определяются выражениями

«(') = Xи"к «"(*** + Уик);

(П)

*=1

(12)

*=|

где I!тк, I тк - амплитудные значения гармоник напряжения и тока Л-того порядка;

ц/ик , - начальные фазы гармоник напряжения и тока &-того порядка; у/ик = ц/1к + (рк;

<рк - угол сдвига фаз между гармониками напряжения и тока Л-того порядка.

В качестве расчетных среднеквадратических значений напряжения и тока принимают

.. . 1 я

СКЪр |

^и^й^^ая + Уик)

.*=1 .

«*

(13)

Используя ортогональность тригонометрических функций, из (13) и ('.4) после преобразований получку

U

U

з,—; 05)

СЮр к,

' 2 \ к—2

1СКЪр -~Т:\+

V2 \ ыг

где Иик , к1к - коэффициенты гармоник напряжения и тока к -того порядка;

1. _ ^ тк . и _ Iтк

ик - 77— > % - ----•

ит1 1т\

Аналогично в качестве расчетных активной и реактивной мощностей принимаются выражения

и I 00

рР = м\ т‘ со^1 С05(^ -^а) ; (17>

^ I *=2 ]

и I \ 00

= "1 Я|1 j cos9?: +2,A«t^sin(^

- *=2

(18)

В качестве расчетного значения коэффициента мощности берется отношение активной мощности к полной мощносги S:

ос

cos щ + X hft cos- у/1к)

--------^-77-------------------—- (19)

'-г CJ**.

\ к=2 J \ к=2 У

1-1^ i+j>i

Относительная погрешность измерения среднеквадратических значений напряжения и тока определяется выражениями

г _ иСКЪ ~ ^СКЪр .

°и\~-----7:--------» (20>

иСКЗр

„ 1сКЗ~1сКЗр /Л1Ч

°п ------}--------• (2Ь

1СКЪр

Приведенные погрешности измерения активной и реактивной мощности:

У р\ <22>

<23>

Приведенная погрешность измерения коэффициента мощности определяется согласно выражению

П1=^-, (24)

А

Н

где /.И - номинальное значение коэффициента мощности, Яя=1.

На рис. 8 приведены сигналы напряжения и тока при наличии первой и третьей гармоник. Очевидно, что форма сигналов зависит от значения коэффициентов третьих гармоник и углов сдвига фаз между первыми и третьими гармониками.

Сдвиги переходов через ноль Ьфи и Д/?/ сигналов напряжения и тока относительно их первых гармоник можно найти, приравняв к нулю выражения (11) и (12):

00

U\m sin(fl#) = -Y^km Sin(^ + ¥\uk >. k=2

oo

I\m Sin(cor) = 1Ы Sin(^ + lj/uk \

k-2

где Ц/\иь , у/\ik - начальные фазы гармоник напряжения и тока &-того порядка относительно первых гармоник.

Тогда

ос

ДД„ = ±arcsin YКк sin(kcot + ¥\ик)> (25)

к=2

00 *

ДД = ± arcsin Y hik sin {kcot + y/uk ). (26)

*=2

Выражения (25) и (26) принимают максимальные значения:

00 00

= ± arcsin £ Кк i ЛАт>х = ± arcsin £ Кк, к=2 *=2

при kcot + y/luk =/у; kcot + у/ик =/—, где/е 2g +1;g=0,l,2..........

Таким образом, сдвиги переходов через ноль максимальны в том случае, когда начальные

фазы гармоник напряжения и тока относительно первых гармоник кратны —/.

Если угол сдвига фаз между сигналами напряжения и тока ср = <рх + Д/?0, где

Д/?0 = ДРи + ДД, то максимальное его значение имеет место при

АД0 шах “!'АД/тах | + |ДД max |. (27)

Итак, максимальное значение угла сдвига фаз между сигналами напряжения и тока будет достигнуто, когда начальные фазы гармоник напряжения и тока относительно первых гармоник соответствуют ~ ^ (или наоборот).

В общем случае согласно данному методу мгновенные значения сигналов можно представить с учетом рис. 8 и выражений (11), (12) в следующем виде:

Л1 = Л*»<8>П(-®! -ДД„)т -дД()-^;^]>;

I к=2 „

' оо '

и\2 =и]т<ып[<Р\ т ДД)+^Г/ги* з1п[Л:(^: 4-ДД)+^;и/. ]>;

Ч *=2 ;

Г ОС

^13 = и1т ] 51'п[2(^; + ДД,)+ ДД„]тХ Л«* ып[Фя + 2ДД -АД,)-])•.

I *=2 ]

Согласно выражениям (20) - (24) с учетом (15) - (19) и выражений для мгновенных значений сигналов были построены графики зависимости погрешностей 8щ, 8 п , уР1, •/д1 и /,-> от угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока <р\ при максимальном значении АДо, определяемым соотношением (27).

На рис. 9-12 приведены графики зависимости погрешностей измерения ИХПС от <р\, изменяющегося в диапазоне от 0° до 90°, при наличии в сигнале первой и третьей гармоник с ко-

эффициентами Иик = 0.005 и Иік = 0,005.

0 15 30 45 60 75 90

Р н с. 9. Г рафик зависимости 5и 1 (511) от ср[ при наличии в сигналах первой и третьей гармоник

Рис. 11. Г рафик зависимости уО\ от при нали чии в сиг налах первой и третьей гармоник

0 15 30 45 60 75 90

Рис. 10. График зависимости ур{ от <р■ при наличии в сигналах первой и третьей гармоник

Рис. 12. График зависимости у;., от <р, при наличии в сигналах первой и третьей гармоник

Проведенный анализ показывает, что при искажении формы сигналов появляется существенная погрешность измерения ИХПС, зависящая от угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока и спектрального состава сигналов. Величина погрешности возрастает с ростом номера гармоники и коэффициента гармоники. При этом предельные абсолютные

значения погрешностей измерения среднеквадратического значения сигнала и активной мощности более чем на порядок выше погрешностей измерения реактивной мощности и коэффициента мощности. С увеличением угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока погрешности измерения среднеквадратического значения сигнала и активной мощности уменьшаются.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Батищев В И.. Мелентьев В С. Цифровые методы измерения интегральных характеристик периодических сигналов. Самара: Самар, гос. техн. ун-т, 2002. % с.

2. Ах. №1599792. Устройство для определения коэффициента мощности / B.C. Мелентьев, опубл. в Б.И 1990, №38

3 Мелентьев B.C., Десятников А.В. Сравнительный анализ методов измерения коэффициента мощности по отдельным мгновенным значениям сигналов // Приборы, системы, информатика: Межвуз. сб. науч. тр. Самара: Самар, гос. техн. ун-т, 1997. С. 3-10.

Статья поступила в редакцию 23 августа 2005 г

УДК 519.673

А.И. Никонов

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ-ЗАВИСИМОСТЕЙ

МЕЖДУ СИСТЕМНО-ФИЗИЧЕСКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Изложены результаты разработки графоаналитических средств, реализующих в форме уравнений

модельное операционно-параметрическое отображение зависимостей между задаваемыми и определяемыми величинами в обобщенно-физических цепях.

Операционно-параметрическое моделирование технических объектов позволяет получать знаковые описания процессов-оригиналов, относящихся к цепям и совокупностям цепей различной физической природы [1-6]. Обобщенными системно-физическими величинами, связи между которыми могут представляться структурно-аналитически, здесь принято считать напряжение и, его временные производную и и интеграл ц/ (импульс, потокосцепление), а-также ток / и его временные производную i и интеграл q (заряд). Кроме того, известны обобщенные параметры емкости С, активного сопротивления R, индуктивности L и обратные им параметры жесткости 1/С, активной проводимости 1/R, дедуктивности 1/L. В общем случае они выражаются непрерывными функциями от времени /.

В осуществлении конструктивных возможностей операционно-параметрического моделирования важную роль играют операционно-параметрические сети [5-7], которые включают в себя отображения однократных, однозвенных преобразований величин, действующих в обобщенно-физической цепи.

К несомненным достоинствам операционно-параметрического моделирования относятся, во-первых, сочетание наглядности и математической строгости описания связей типа «вход-выход» устройства-оригинала и его составных частей, возможность визуализированного представления того, что, по сути дела, происходит в рамках моделируемого процесса, и, во-вторых, его способность концентрировать модельное описание на той или иной части устройства-оригинала, особенно интересующей составителя, пользователя данной операционной модели, способность дойти в этом направлении до детального уровня выразительности принципиальной схемы. Ниже приводится выявление модельно-параметрических зависимостей, отображающих преобразования в физических цепях с искомыми величинами при подаче в данные цепи известных величин-аналогов напряжения или тока заданных уровней.

На рис. 1 приведены варианты совокупностей операционно-параметрических сетей с множествами входов.

Мс4={u,i,u',i'}, Мсp={q,u.i,u'.i',y} они представляют однократные операции, реализуемые непосредственно элементами данной

обобщенно-физической цепи. Нетрудно заметить, что Мсч с МСР, т.е. множество Мер, яв-