Оценка погрешности аппроксимационного метода измерения интегральных характеристик по отдельным мгновенным значениям сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математическое моделирование

УДК 621.317

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИОННОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ОТДЕЛЬНЫМ МГНОВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ СИГНАЛОВ

В. С. Мелентьев, Е. Е. Ярославкина, А.Н. Болотнова

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: vs_mel@mail.ru

Рассматриваются различные подходы к оценке результирующей погрешности определения интегральных характеристик сигналов по отдельным мгновенным значениям, обусловленной отклонением реальных сигналов от используемой гармонической модели.

Ключевые слова: гармоническая модель, результирующая погрешность, интегральные характеристики.

В настоящее время широкое распространение получили методы определения интегральных характеристик гармонических сигналов по их мгновенным значениям, обеспечивающие время измерения менее периода сигнала. Упрощение реализации данных методов обеспечивает использование перехода сигналов через ноль. Модели большинства реальных сигналов отличаются от гармонической. Возникает задача оценки погрешности результата измерения интегральных характеристик при искажении формы сигналов.

При малых углах сдвига фаз между напряжением и током сокращение времени измерения обеспечивает разработанный метод, согласно которому интегральные характеристики сигналов определяются по двум мгновенным значениям напряжения и одному мгновенному значению тока. Для данного метода [1] мгновенные значения определяются соотношениями

где 11 — мгновенное значение тока, взятое в момент перехода сигнала напряжения через ноль; и — мгновенное значение напряжения, взятое в момент перехода сигнала тока через ноль; и% — мгновенное значение напряжения, взятое через промежуток времени, равный интервалу времени между моментами перехода через ноль сигналов напряжения и тока; ит, 1т —амплитудные значения сигналов напряжения и тока; ¡р — угол сдвига фаз между сигналами напряжения и тока.

Для гармонических моделей напряжения и тока выражения для определения интегральных характеристик имеют следующий вид:

Владимир Сергеевич Мелентьев (д.т.н., доцент), зав. кафедрой, каф. информационно-измерительной техники. Екатерина Евгеньевна Ярославкина, аспирант, каф. информационно-измерительной техники. Анна Николаевна Болотнова, аспирант, каф. информационноизмерительной техники.

Ii = Im sin (-у>), U2 = Um sin y>, U3 = Um sin (2y>),

(1)

- среднеквадратические значения напряжения и тока;

P = sign (U2) sign (U3)

4U22 - U2

о- hiq (2)

Q- ( )

— активная и реактивная мощности соответственно.

При малых углах сдвига фаз £ между сигналами напряжения и тока рассматриваемый метод обеспечивает малое время измерения Atu = 2Atv + Д£н, где Дtv=£/lv; AtH — промежуток времени с момента начала измерения до момента перехода сигнала тока через ноль.

Рассматриваемый метод предназначен для определения интегральных характеристик в цепях с гармоническими напряжениями и токами. Поэтому необходимо оценить погрешность метода из-за несоответствия модели реальному сигналу [2].

В общем случае при наличии высших гармоник сигналы напряжения и тока имеют вид

ОО ОО

u (t) = ^2 Umk sin (kwt + фик ) , i (t) = ^2 Imk SÍn(k^t + фik ) , (3)

k=1 k=1

где Umk, Imk —амплитудные значения k-тых гармонических составляющих напряжения и тока; фик, фш —начальные фазы гармоник напряжения и тока k-того порядка.

Сдвиги переходов через ноль Дви и Двг сигналов напряжения и тока относительно их первых гармоник, обусловленные наличием высших гармоник, можно найти, приравняв к нулю выражения (3):

ОО

Дви = ± arcsin huk sin (kwt + ф1ик), Двi = ± arcsin Е hik sin(k^t + фик), (4)

k=2 k=2

где hик, hik —коэффициенты гармоник напряжения и тока k-того порядка; hик =

Umk/Um1, hik Imk/Im1-

Выражения (4) принимают максимальные значения

ОО

Двитах = ± arcsin^2 ник, Двгтах = ± arcsin^ hik

k=2 k=2

при kwt + ф1ик = (2n + 1)п/2, kwt + ф1гк = (2n + 1)п/2, где n £ N U {0}.

Таким образом, сдвиги переходов через ноль максимальны в том случае, когда начальные фазы высших гармоник напряжения и тока относительно первых гармоник ф1ик, фик кратны (2n + 1)п/2.

Если угол сдвига фаз между сигналами напряжения и тока £ = у>1 + Дво, где Дво = Дви + Двг, то максимальное его значение имеет место при

Дво max |Дви max 1 + |Двг max I. (5)

В общем случае мгновенные значения сигналов напряжения и тока имеют следующий вид:

( °°

ik

1ц = Дт \ sin ( —£1 — Дви) + hik sin k (—£1 + Дви) + фИ

I к=2

( О

U12 = U1m N sin (<£>1 + Двъ) + 'У ' huк sin k (<£>1 + Двi) + ф 1ик I ^ ;

(6)

^ик >

к=2

иіз = и1г

2 (^і+Д^і) +Дви

+

Ж

Е'

к=2

к (2^1+2Дв*+Дв„) +ф1ик

Подставляя (6) в выражения (1), (2), можно определить интегральные характеристики сигналов с учётом погрешности из-за отклонения реальных сигналов от гармонической модели. Используя полученные выражения, можно определить относительные погрешности измерения среднеквадратических значений напряжения и тока, а также приведенные погрешности измерения активной и реактивной мощностей в соответствии с выражениями

г ЦскЗ — ЦскЗр г

ди, = ------Гт---------->

/сКЗ — ІСКЗр

и

СКЗр

СКЗр

7Р1

Р-Ру

Б

ІЯі

я-я,

Б

3 = иСКЗ 1СКЗ —полная мощность, а иСКЗр, 1СКЗр, Рр, ^р —расчётные значения среднеквадратических значений напряжения, тока, активной и реактивной мощностей, соответственно вычисляемые как

и.

и,

ті

СКЗр

Рр

у/2 \

Ж у

^скэр = -т=

к=2

2

и,11т1

2

1 + £ 4,

к=2

СОЯ ^1 + Е ЬпФік СОЯ (фик — фік ) , к=2 ж

СОЯ ^1 + Е ^ик^ік (фик фік ) •

к=2

Проведённое моделирование зависимости погрешностей определения интегральных характеристик сигналов 6ц1, 6і1, 7р1 и ^<э1 от угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока у>1 при различном гармоническом составе сигналов показало, что при искажении формы сигналов появляется существенная погрешность, зависящая от угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока и спектрального состава сигналов.

Оценка данного вида погрешности определения интегральных характеристик по расчетным значениям дает наиболее точный результат. Однако для этого необходимо знать вид реальных сигналов.

Более просто можно оценить погрешность из-за отклонения реальных сигналов от гармонической модели с помощью метода [2], основанного на определении погрешности измерения интегральной характеристики как функции, аргументы которой заданы приближенно с погрешностью, соответствующей максимальному отклонению модели от реального сигнала.

При этом абсолютные погрешности определения среднеквадратических значений напряжения и тока, активной и реактивной мощностей рассчитываются из выражений

ди = |(и)и21 • Ди2 + |(и)'и31 • диз,

Д/ = |(І)І11 • ДІ1 + |(%21 • ди2 + |(%31 • Диз,

ДР = | (Р)І11 • ДІ1 + | (Р)и1 • Ди2 +1 (Р)и | • Диз,

Дд = |(д)111 • Д/1 + |(д)и21 • Ди2 + |(д)из| • Диз.

После вычисления производных выражения (7) примут вид

диг

л/2

Yj (|sin2 у>1 — 0,51 Ди2 + |0,25cos^і| ДЦэ) ,

СКЗ | sin3 (р

А/скз = (A/i + ctg2 ViMJ2 + ^

2 sin ері

ди3

АР = \Uim І ctg Д h + hm I ctg3 vi І A[/2 + hm^^AUa AQ = \ (U-imAIl + /lm | 1 — Ctg2 (fil | AU2 + Jlm

(8)

уі

2 sin

Ди,.

С учётом (8) относительные погрешности определения среднеквадратических значений напряжения и тока и приведённые погрешности определения активной и реактивной мощностей определяются как

^скзз = (И11^1 -°’5| Аи2 + |0,25сое^>11 Аи3),

КЗ2 |sin <у2 і

-—г ( т~ + тг~~ c^g2 ^1 +

1^1І Wim Uim Ь '^1

ctgyi

2 sin ip і

AUА

Ulm

^ = tL lctg У11 AJ1 + lctg3 1 + vt Л ’ + 11 - ctS2 I +

(9)

2 sin ^i

A[/3

U1 m

Абсолютные погрешности аргументов в моменты времени ¿1, ¿2 и ¿3 определяются выражениями

Д11 — fkm sin [k (—^1 — ДДи) + ^1ik] — f1m sin (—^і) J

k=1

Ди2 — Ukm sin [k (^1 + Дві) + ^1uk] — U1m sin ^1,

k=1 о

Ди3 — $^ Ukm sin [k (2^1 + 2Дві + Дв„) + ф1иk] — U1m sin (2^1) .

k=1

(10)

Если считать, что абсолютные погрешности аргументов соответствуют наибольшим отклонениям в моменты времени ¿1, ¿2 и ¿3, то (10) с учетом (4)—(6) приводятся к виду

SUp (ДІ1) — hm sup (ДЦ^2) — U1„ 8Ир(Диз)— U1m

sin ( —^1 — arcsin h«k + hk — sin (—^1)

k=2 J k=2

sin ^1 + arcsin J2 hjH + I] h„k — sin ^1

V k=2 / k=2

/ OO OO \ OO

sin 2^1+2 arcsin ^ hjk + arcsin ^ h„k + ^ h„k — sin (2^1)

k=2 k=2 k=2

(11)

По соотношениям (9) с учетом (11) было проведено моделирование зависимости погрешностей определения интегральных характеристик сигналов §и2, ^т2, 1р2 и 7ц2 от угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока у>1 при различном гармоническом составе сигналов. Анализ показал, что при искажении формы сигналов появляется существенная погрешность, зависящая от угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока. Величина погрешности возрастает с ростом номера и коэффициента гармоники и может достигать 10% при Ник ~ Нік ~ 0,01. Второй метод оценки погрешности результата измерения интегральной характеристики как функции, аргументы которой заданы приближенно с погрешностью, соответствующей наибольшему отклонению модели от реального

сигнала в соответствующих точках, дает завышенные значения погрешности, особенно для малых углов сдвига фазы у>1.

Полученные результаты позволяют принимать решение о возможности использования разработанного аппроксимационного метода для определения интегральных характеристик (среднеквадратические значения напряжения и тока, активной и реактивной мощности) искаженных сигналов в зависимости от предъявляемых требований по точности и быстродействию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Батищев В. И., Мелентьев В. С. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики. — М.: Машиностроение-1, 2007. — 393 с.

2. Мелентьев В. С. Методы оценки влияния погрешностей, обусловленных не соответствием модели виду реального сигнала, на погрешность результата измерения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки, 2006. — №41. — С. 89-96.

Поступила в редакцию 14/1/2010; в окончательном варианте — 15/111/2010.

MSC: 42А10

ESTIMATION OF ERROR OF APPROXIMATION METHOD OF MEASUREMENT OF INTEGRATED CHARACTERISTICS ON THE SEPARATE INSTANT VALUES CONNECTED WITH TRANSITIONS OF SIGNALS THROUGH THE ZERO POINT

V. S. Melentyev, E.E. Yaroslavkina, A. N. Bolotnova

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.

E-mail: vs_mel@mail.ru

Approaches to the estimation of resulting inaccuracy of definition of integrated characteristics of signals on the separate instant values, caused by a deviation of real signals from used harmonious model are studied.

Key words: harmonious model, resultant an error, integrated characteristics.

Original article submitted 14/I/2010; revision submitted 15/III/2010.

Vladimir S. Melentyev (Dr. Sci. (Techn.)), Head of Dept., Dept. of Information Measuring Systems. Ekaterina E. Yaroslavkina, Postgraduate Student, Dept. of Information Measuring Systems. Anna N. Bolotnova, Postgraduate Student, Dept. of Information Measuring Systems.