Исследование метода определения интегральных характеристик периодических сигналов по мгновенным значениям, связанным с переходом сигнала через ноль… Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.317

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПО МГНОВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ, СВЯЗАННЫМ С ПЕРЕХОДОМ СИГНАЛА ЧЕРЕЗ НОЛЬ1

B.C. Мелентьев, А.Н. Болотноеа2

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Рассматривается новый метод определения интегральных характеристик гармонических сигналов. Приводятся результаты оценки погрешности, обусловленной отклонением реального сигнала от гармонической модели.

Ключевые слова: интегральные характеристики, мгновенные значения сигнала, гармоническая модель, оценка погрешности.

Методы и средства измерения интегральных характеристик гармонических сигналов (ИХГС) путем обработки отдельных мгновенных значений предназначены, в первую очередь, для сокращения времени измерения.

При малых углах сдвига фаз между напряжением и током достаточно высокое быстродействие обеспечивает метод, согласно которому ИХГС определяются по двум мгновенным значениям напряжения и одному мгновенному значению тока. Причем мгновенное значение тока взято в момент перехода через ноль сигнала напряжения, первое мгновенное значение напряжения взято в момент перехода сигнала тока через ноль, а другое значение напряжения взято через промежуток времени, равный интервалу времени между моментами перехода через ноль сигналов напряжения и тока [1].

При малых углах сдвига фаз <р между сигналами напряжения и тока рассматриваемый метод обеспечивает достаточно малое время измерения Д/и = 2Д/ф + AtH ,

где Д= —; Atn ~ промежуток времени с момента начала измерения до момента со

перехода сигнала тока через ноль. Однако в тех случаях, когда <р=0 или <р= тг, время измерения может достигать двух периодов входного сигнала.

В общем случае сократить время измерения позволяет разработанный метод, основанный на определении ИХГС по двум мгновенным значениям напряжения и одному мгновенному значению тока. В данном методе мгновенное значение тока взято в момент перехода через ноль сигнала напряжения, мгновенные значения напряжения взяты одновременно в момент перехода сигнала тока через ноль, причем второе мгновенное значение напряжения сдвинуто относительно первого на 90°.

Для гармонических сигналов тока i(t) = 1т$\пш и напряжения M(/) = t/„,sin((o/-t-(p), где ф - угол сдвига фаз между напряжением и током, выраже-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 09-08-00459-а).

Мелентьев Владимир Сергеевич - доктор технических наук, профессор.

Болотнова Анна Николаевна - аспирант.

ния для мгновенных значений сигналов:

/, =/и sin(- ф>

< и2 = Um sin ф;

Ръ =Ь,от51п(ф + 90°)=г//пСО5ф.

В соответствии с (1) выражения для определения ИХГС:

-среднеквадратические значения (СКЗ) напряжения и тока

‘СКЗ -

I\№+U:

U7y[2

- активная (AM) и реактивная (РМ) мощности

2U-,

* 2 ’

- коэффициент мощности (КМ)

*.=

U-,

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

'2 ^ и3

где 1\ - мгновенное значение тока, взятое в момент перехода сигнала напряжения через ноль; Пі - мгновенное значение напряжения, взятое в момент перехода сигнала тока через ноль; £/з - мгновенное значение напряжения, сдвинутое относительно и2 на 90°;

1, если і/3 > 0;

sign(U?) = < 0, если і/з = 0;

-1, если из < 0.

Временные диаграммы, поясняющие метод, представлены на рис. 1.

Время измерения по сравнению с методом [1] уменьшается и составляет

Д/„=Д/ф+Д

Однако в общем случае, когда (р=0, время измерения может достигать периода входного сигнала.

Рассматриваемый метод предназначен для определения интегральных характеристик в цепях с гармоническими напряжениями и токами. Поэтому необходимо оценить погрешность метода из-за несоответствия модели реальному сигналу [2].

Рис. 1. Временные диаграммы, поясняющие метод

Предположим, что сигналы напряжения и тока определяются выражениями

00

и(0= Xumk sin(*m/ + V)/„* ); (7)

к=1

00

КО=X/т* sin(^co/+V/*)> (8)

*=1

где Umk , 1тк - амплитудные значения гармоник напряжения и тока /r-того порядка; Ц1ик , vjjik - начальные фазы гармоник напряжения и тока Л-того порядка;

\\>ик = Ц1,к + Ф* ; Ф* - угол сдвига фаз между гармониками напряжения и тока к-того порядка.

Сдвиги переходов через ноль Др„ и Др, сигналов напряжения и тока относительно их первых гармоник можно найти, приравняв к нулю выражения (7) и (8):

00 00

U\m sin(cO/) = -YjVkm sin(*CO/ + V|/,u* >, Ilm sin(cO/) = I km sin(*CO/ + Ц1ик ),

k=2 *=2

где ф1м*, — начальные фазы гармоник напряжения и тока к-того порядка отно-

сительно первых гармоник.

00

Тогда ДР„ =±arcsin2^/7u*sin(£cof + v|;]ujt); (9)

к=2

00

др, =±arcsin ^jhik sin(fao/ + ц/1л1), (10)

*=2

где huk, hik - коэффициенты £-тых гармоник напряжения и тока.

Выражения (9) и (10) принимают максимальные значения:

00 00 _

APMmax =±arcsinZ/,"*; ЛР/шах =±arcsinS^ ПРИ кш+ У\ик=1^> *=2 к=2

Л

Ы + \\)ик = /-,rae/e2g + l;g=0,l,2,... .

Таким образом, сдвиги переходов через ноль максимальны в том случае, когда начальные фазы высших гармоник напряжения и тока относительно первых гармоник и \|/ц* кратны —/.

Если угол сдвига фаз между сигналами напряжения и тока ф = ф!+Др0, где ДРо=ДРи+ДР„ то максимальное его значение имеет место при

ДРотах =|АР«тахМЛР/тах|- О1)

В общем случае мгновенные значения сигналов напряжения и тока имеют вид:

h 1 = Am jsin(- ф| + др„)+ Yjiik sin[Xr(— ф, + др„)+ Vh*]J; (12)

Un = ^|ОТ|зт(ф1 + др,)+ Yjiuk sin[А'(фj + Др,)+ Ц)Ы ]j; (13)

^13 =^1т1С05(ф| + ДР,)+^Л^СОв *(ф, + Др/)+ф,ц* + ^(*-1) I *=2 1- ^ .

На рис. 2-5 приведены графики зависимости погрешностей определения интегральных характеристик сигналов от угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока ср\ при наличии в сигнале первой и третьей гармоники и максимальном значении сдвига переходов напряжения и тока через ноль согласно (II).

Предельные значения погрешностей определения интегральных характеристик при одинаковом гармоническом составе по абсолютной величине близки друг к другу.

В [2] предложена методика метрологической оценки влияния несоответствия модели виду сигнала на погрешность результата измерения, основанная на определении погрешности измерения информативного параметра как функции, аргументы которой заданы приближенно с погрешностью, соответствующей отклонению модели от реального сигнала. Погрешность при вычислении какой-либо функции, аргументы которой заданы приближенно, может быть оценена с помощью дифференциала этой функции. Если известны только предельные абсолютные погрешности аргументов, то при вычислении дифференциалов необходимо для всех производных брать их абсолютные значения.

В соответствии с этой методикой абсолютные погрешности определения СКЗ напряжения и тока, активной и реактивной мощности и коэффициента

Р и с. 4. Графики зависимости У01 от (р|

Р и с. 5. Графики зависимости уХ| от ф,

мощности рассчитываются из выражений

ЬУскз ~

(исю) >

А и2 +

А/,

СЮ -

АР =

AQ -

(!сю)'\

И'л

А/, +

АI, +

{Iсю) и г

Ииг

(С?)'/. Д/| +№иг

АХ =

(*)'

Д£/2 +

АС/2 + Д£/2 +

л

(исю)и1 А и2 +

Ии

(О)

АЩ\ (1сю)из |Д^3 ;

д</3;

Д£/3;

и-

дел,.

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

С учетом (2)-(6) после вычисления производных абсолютные погрешности (15)-(19) соответственно примут вид:

А/,

Т2^5пф| С/,от

и,,

Д/> = ^[£/1тИ8ф|Д/1 + +Ат(1+С082фЬ^з];

Л£? = -^ (^]«,ДЛ + Ат5'п2фД^2 + ЛтИпфСОвф^з);

АХ = |5ШфС05ф| ^^2 + зт2ф-^^

и.

и,,

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

В соответствии с (20)-(24) относительные погрешности определения СКЗ напряжения и тока и приведенные погрешности определения АМ, РМ и КМ равны:

Ьискз = —{5тфИ2+|С05

ф|д^з);

Ьккз -

I т

А и.

Ипф|/| , д/.

•) 2 I • I Аиз

фрШф] + —

1т 1 т и\т

СОБ'

ф|;

Ур- ^ф------------ + СОБ Ф С1§ф|

11 т

А/,

У(? =ТА + 51П“Ф

|Д^2 Щт А I/,

(1 + С052ф)

д С/,

иХт

А и-.

1Л11 . 2 ^^>7 I • I

-—Lj.cn ■‘л»-----------— -1- 'втфсовфр ■

1т

и,,

и.

]т

и

1 т

(25)

(26)

(27)

(28) (29)

1т

Абсолютные погрешности аргументов А1\, Д£/2 и А11у в соответствии с (12)-(14) определяются выражениями

= X 1кт «*»[*(“Ф| + Дрм) + Фи* ]- 71 т 8«п(-ф| );

(30)

*=!

А1/2 =Х{/ь.5>пИф1 + ЛЭ/)+Ч'ы]-^и.**пф|;

*=|

*=1

А и3 = £ икт сое А-(ф1 + ЛРУ)+V ы + {к -1)

совф,.

(31)

(32)

Если считать, что абсолютные погрешности аргументов равны наибольшим отклонениям в моменты времени /| и /2, то предельные значения выражений (30)-(32) с учетом (9)-(14) приводятся к виду

(33)

( 00 ' ® 1

I\т 5111 -ф^агсвт^А^ + 2А -!5'п(-фм

^ *=2 ) к=2

5ир(Аи2) = и1т вир (ДС/3 ) = «/,„,

( со Л 00

Ф, н-эгсвш^й* ^Пф,

*=2 ) к=2

(34)

СОБ

Ф^агсвт^А,* +^Кк~совф, . (35)

Ч к=2 ) к-2

Для случая, когда в сигналах напряжения и тока присутствуют 1-я и 3-я гармоники, (33)-(35) примут вид

зир(д/,) = /|М|зш[- ф, + агсып^з)]+ А/3 - зт(- ф,)(; 5ир(Д£/2) = £/1||||ип[ф| +агс8т(А/3)]+Ли3 -зтф||;

5ир(ДС/3) = (/|ОТ|со5(^| +агс5тЛ/3)+Ли3 -созр,|.

(36)

(37)

(38)

1.6

1.4

1.2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

О

На рис. 6-10 приведены 3^2% графики зависимости погреш- 1,8 ностей определения интегральных характеристик сигналов 8щ,

(5/2, Уп, У01 И Уп ОТ угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока <р\, изменяющегося в диапазоне от 0 до 90°, в соответствии с (25)-(29) с учетом (36)-(38).

Анализ рис. 6-10 показывает, что метод оценки погреш- „ ...

о 12, %

ности результата измерения 12 интегральной характеристики как функции, аргументы которой заданы приближенно с погрешностью, соответствующей наибольшему отклонению модели от реального сигнала в соответствующих точках, дает существенно за-

-1л , =0,01

Аиз=0,005

—

■

10 20 30 40 50 60 70 80 90,

<Р\,

Р и с. 6. Графики зависимости 5ш от ф|

\

V

\ ч Ив с с II _ 1

Ч

\ ^.

А/з—0,005 1 1 '

10 20 30 40 50 60 70 80 90^ 0

Р и с. 7. Графики зависимости б|2 от (р!

87

вышенные значения погрешности при определении СКЗ тока и АМ, особенно для малых углов сдвига фазы щ.

Рис. 10. Графики зависимости у^ от Ч>/

При определении остальных интегральных характеристик данную методику можно использовать для оценки верхнего предела погрешности, поскольку полученные с его помощью оценки близки к реальным значениям.

Анализ погрешности метода из-за несоответствия модели реальному сигналу показал, что погрешность зависит от угла сдвига фаз между первыми гармониками напряжения и тока и спектрального состава сигналов.

Одним из существенных недостатков средств измерений, реализующих данный метод, является частотная погрешность фазосдвигающего блока (ФСБ), обеспечивающего сдвиг сигнала на 90°. В результате этого при изменении частоты входного сигнала ФСБ производит сдвиг сигнала на угол, отличный от 90°. Поэтому такие средства измерений целесообразно использовать в цепях со стабильной частотой сигнала, например, в электрических сетях общего назначения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Батищев, В.И. Цифровые методы измерения интегральных характеристик периодических сигналов [Текст] / В.И. Батищев, B.C. Мелентьев. - Самара: Самар, гос. техн. ун-т, 2002. - 96 с.

2. Батищев, В.И. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний и диагностики [Текст] / В.И. Батищев, B.C. Мелентьев. - М.: Машиностроение-1, 2007. -393 с.

Статья поступила в редакцию 17 февраля 2009 г.

Р и с. 9. Графики зависимости yQ2 от ф/

UDC 621.317

RESEARCH OF THE METHOD OF DEFINITION OF INTEGRATED CHARACTERISTICS OF PERIODIC SIGNALS ON THE INSTANT VALUES CONNECTED WITH TRANSITION OF THE SIGNAL THROUGH THE ZERO

V.S. Melenlyev, A.N. Bolotiiova1

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya str., Samara. 443100

The new method of integrated characteristics of harmonious signals definition is considered. Results of an estimation of the error caused by a deviation of a real signal from harmonious model are described.

Key words: integrated characteristics, instant values of a signal, harmonious model, error estimation

1 Vladimir S. Melentyev - Doctor of Technical Sciences, Professor. Anna N. Rolotnova - Postgraduate student.