CC BY
36
УДК 621.391 М. Н. СЛУЖИВЫЙ
АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ПО ДИСКРЕТНЫМ ОТСЧЁТАМ
Рассмотрены алгоритмы интерполяции случайных полей по неполным наблюдениям, позволяющие существенно снизить вычислительные затраты при незначительном снижении точности оценивания.
Во многих приложениях [1-3] возникает задача интерполяции непрерывного в Яп случайного поля (СП) х(Т),ТеК”, по наблюдениям
г , х = 1,2,..., N, сделанным в N точках
^еД\/ = 1,2,...,ЛГ (рис. 1). Важными примерами таких применений являются системы обработки данных глобального мониторинга Земли, сжатия изображений и томографии [4, 6-8]. В последние годы методы решения задач интерполяции изображений применяются при проектировании многочастотных цифровых систем мобильной связи 4-го поколения. В таких системах для оценки амплитудно-фазовых искажений, возникающих из-за многолучевого распространения радиоволн и доплеровских сдвигов несущих, используются пилот-сигналы (тест-сигналы), вставляемые в кадр передаваемых данных [5].
Для получения оптимальных (в смысле минимума дисперсии ошибки) оценок х (Г) СГ1
х(?) по наблюдениям г(Т),Т е И, обычно используются винеровские или калмановские процедуры линейной фильтрации [1-7]. Для ряда моделей таких СП получены оценки эффектив-
_ і /
і.
/
'І
/і !
І
Г
~п
+
-9
/
і
' г.
і
Ч
/
/
і
і
і
і
/
/
1 1 1
гг
3
і
і *
г и
/
/
/
і/
/
і
Рис. 1
ности фильтрации. Вместе с тем в известных работах практически отсутствуют результаты анализа алгоритмов интерполяции СП, т. е. получение оценок £(7), Т’тЦ, г = 1,2,...,7/, по дискретным наблюдениям г(7~) в отдельных точках
СП. В настоящей работе получены зависимости для максимальной дисперсии ошибки интерполяции СП по наблюдениям в точках , находящихся в ближайших узлах п -мерной прямоугольной сетки (рис. 1). При этом максимальная дисперсия ошибки о£2 = М |(л'0 -*о)*} будет
соответствовать оценке х0 =х(Т) в точке Т, находящейся в центре п -мерного параллелепипеда [9]. При одинаковой «информативности» всех наблюдений интерполяционная оценка оказывается наиболее простой:
N
*0=“оЕ2(<;),
(1)
N
/=1 N N
где а0=]Г В„ (і,0) / £в2 (і,;) - оптималь-
ныи
і=I / /=! У=1
весовой
коэффициент;
вш О"0)=м{хА‘<)) • в-. (!'>/)=м ИФЫ} •
Нетрудно показать, что дисперсия ошибки при оптимальной интерполяции находится по формуле
N
-а^Ви{і, 0),
(2)
Г=1
где ъгх -М{хо}. Таким образом, при заданных
вероятностных характеристиках СП г(ґ) и
х(Т) может быть рассчитана максимальная дисперсия оптимальной линейной интерполяции.
Модель наблюдений представляет собой аддитивную смесь ~ х(^)+9 (]Г) информационного СП и независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними и дисперсиями се2 =М {9(2-)}. При этом для случайного
о
10
15
20
25
д, дБ
Рис. 2
Рис. 3
поля предполагается, что коэффициенты корре- В частности, для последовательности отсчё-
ляции р в обоих направлениях одинаковы. тов: при оценивании по двум ближайшим
т
10'
10
10
10
о
-5
0
10
15
20
д, дБ
Рис. 4
наблюдениям ос =
Р|4
=а£-а £м[;^0] = а2 [1-2ар,];
/=1
при оценивании по четырём ближайшим наблюдениям (рис. 2).
2(а2с-2М) 2(а^-2 Ьс)
ам^-АЬ2
ах =
а2 =
/
а, = 2
1Д
12
\
\
/
+ 2р3,
аг-2
а{а2 - АЬ2 ’
н!4
+ 2р,
\
/
6=р(р+1), с= рТр , ^ = л/р ,
сте2тш =сг^-а1ХмЬл]-а2Ё^[>,л]
./=1
/*1
= сг£ {а,2 а, +а2 а2 +4а1а26-4а,с-4а2^ + 1|.
Для двумерного случайного поля при оценивании по четырём наблюдениям (рис. 2)
л] Р\Рг
а =
1
1 + —+ р, + р2 + р,р2 Я
4 ____
а»™, =<4 -а£лфЛ]=с4 [1-4а^р7_
/=1
_СТ£
где д = —*—отношение сигнал/шум; рр р2 -
а
в
коэффициенты корреляции между элементами
СП х(/,) вдоль соответствующих координатных осей.
В настоящей работе проведён сравнительный анализ эффективности алгоритмов оценивания на основе ограниченного количества наблюдений с оптимальными алгоритмами на основе фильтра Калмана. Соответствующие зависимости относительной дисперсии ошибки оценивания ст е2 /ст д. от отношения сигнал/шум д показаны на рис. 2, 3.
На рис. 2 показаны зависимости для последовательности отсчётов при коэффициенте корреляции между отсчётами равном р=0.9995. При этом кривая 1 относится к случаю оценивания по двум ближайшим отсчётам, кривая 2 - по четырём ближайшим отсчётам, кривая 3 - оценивание с помощью фильтра Калмана.
На рис. 3 показаны зависимости для случайного поля отсчётов при коэффициенте корреляции между отсчётами равном р=0.999. При этом на рисунке кривая 1 относится к случаю оценивания по четырём ближайшим отсчётам, кривая 2 - оценивание с помощью фильтра Калмана.
Кроме этого, получены зависимости интервала корреляции т между отсчётами с тест-сигналами от отношения сигнал/шум д (рис. 4),
позволяющие дать рекомендации по оптимальному выбору количества отсчётов п между тест-сигналами, на основе которых выполняется интерполяция с целью достижения минимального
значения дисперсии ошибки оценивания в центре (между тест-сигналами).
На рис. 4 показаны зависимости интервала
корреляции т = 1/(1-р) между соседними отсчётами от отношения сигнал/шум ^, при кото-
•'л; у 'л ^
ром выполняется условие ае"/ах <0.01 для последовательности отсчётов (кривая 1) и для случайного поля отсчётов (кривая 2).
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:
-для последовательности отсчётов предлагаемые алгоритмы дают точность оценивания, сопоставимую с оптимальным алгоритмом при <7 > 15 дБ (рис. 2);
-для случайного поля отсчётов предлагаемые алгоритмы дают точность оценивания, сопоставимую с оптимальным алгоритмом при
д > 25 дБ (рис. 3).
Полученные результаты позволяют по заданной допустимой дисперсии ошибки определить необходимые корреляционные расстояния между наблюдениями, требуемыми для восстановления непрерывного информационного СП (рис. 4).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Виттих, В. А. Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований / В. А. Виттих, В. В. Сергеев, В. А. Сой-фер. -М.: Наука, 1982.-312 с.
2. Цифровая обработка изображений в информационных системах: / И. С. Грузман, В. С. Киричук и др. - Новосибирск: НГТУ, 2002. - 352 с.
3. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений / У. Претт, пер. с англ.; под ред. Д. С. Лебедева. - М.: Мир, 1982. - 790 с.
4. Методы компьютерной обработки изображений: учебное пособие (2-е издание) / под ред. В. А. Сойфера. - М.: Физматлит, 2004. -317с.
5. Hoeher P., Kaiser S., Robertson P. “Two-Dimensional Pilot-symbol-aided Channel Estimation by Wiener Filtering” IEEE GLOBECOM’97, Phoenix, Arizona, November, 1997.
6. Васильев, К. К. Методы фильтрации многомерных случайных полей / К. К. Васильев,
B. Р. Крашенинников. - Саратов: СГУ, 1990. -128 с.
7. Прикладная теория случайных процессов и полей / под ред. К. К. Васильева и В. А. Омельченко. - Ульяновск: УлГТУ, 1995. - 256 с.
•
8. Vasiliev, К., Sluzhivyi М. Errors of Random Field Restoration Based on Discrete Samples // The Proceedings of the 7th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies, PRIA-7-2004, St. Petersburg, Russian Federation, 18-23 October. 2004, pp. 130-132.
9. Васильев, К. К., Служивый М. Н. Восстановление случайных полей по дискретным отсчетам // Труды РНТОРЭС им. А. С. Попова, серия: Цифровая обработка сигналов и её применение, вып. VII-2, 7-я Международная научно-техническая конференция. - Москва, 2005. -
C. 345-349.
Служивый Максим Николаевич, аспиратп кафедры САПР. Имеет 15 публикаций в области статистической теории связи.
