Алгоритм калмановской фильтрации изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391.2

о.в. ПОПОВ

АЛГОРИТМ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ4

Рассматривается алгоритм квазиоптимальной калмановской фильтра! изображений на фоне аддитивной помехи. Алгоритм требует существенно мены! вычислительных затрат, чем известные оптимальные алгоритмы, но по эффективна близок к ним. Приводятся результаты моделирования на ЭВМ.

Случайные функции многих переменных часто применяются 1 представления сигналов в различных информационных системах. I синтезе и анализе подобных систем используются методы оптимально линейного оценивания случайных полей, заданных на многомерных с ел на фоне аддитивных помех [1-4]. Строго оптимальное решение Я задачи [1,2] предполагает применение методов векторной калманово фильтрации. Однако при этом возникают значительные техничеи проблемы, связанные с большим числом вычислительных операций! реализации процедур оценивания в реальном масштабе времени, настоящей работе предлагаются рекуррентные алгоритмы оценив!»» позволяющие значительно сократить число операций при близкое оптимальной эффективности. '^Н

Рассмотрим марковское поле Х={ху|. заданное на двумерной ом

ГЛ —• $1 4 • \ • % _ 1 г1 ^ • _ 1 ХТ 1 л» — — ^ • • — « ■ " Т ГО"?*

а с — »и* |х — j — j стирс! ис^ипиппия мОДслью

л

хи =Рух1-1о +Рхху-1 -РхРу*Ы,М + I

А 1

где рх, ру - коэффициенты корреляции соседних элементов изображен»*!

ГТпм^ 7Я РТПГГ^т; РЛЛТРАТЛФОЙШТЛ» I _ ГГТ>\/^утотГЛ (*

^ ^^ ДА V АД^ч/ д. V г^ у \ ихимххи^ ЧУ^Х^Г "ЛиГЦНии Л Ч

гауссовских случайных величин с нулевыми средними и дисперс!

= М^у |= — р^д1 — Ру ; <з\ =м{ху}. Задача оптимального (в см! минимума дисперсии ошибки) оценивания X;; рассматривается обычп» аддитивной модели наблюдений [2,3]: ■

где } - белое гауссовское поле с дисперсией а^ = м|э» ]. I

и

АТЛ I I I П П Пг Л » ТЛ /ЧУ»/ЧУУ» Ж Г^ Л Т » » V /г Г» Г ▼ ▼ /Ч Л Г- Л «« «я» V Л- -- - *т » -

рсгОихч* { j задела иЦ^Ш'ШОПШ! ДСУГ.'^ипи! и 1ГОЛЛ «Л \jZ\J1\Л £ К »|

4 Статья подготовлена при поддержке РФФИ (грант № 99—01—00913) 36 Вестник Ул ГII

_ ———

юм 1» расширенный вектор состояния хк включаются все элементы к-й ||>оки изображения. Модель (1) для этого случая преобразуется к виду:

xk =Rxk_,+V£k,

(3)

им - вектор коррелированных гауссовских случайных величин с имитационной матрицей V^ = WT = (l —pj) Vx; R = pyE - переходная

»мфица системы; Vx =M^ckxj} - корреляционная матрица

i информационного случайного поля; Е - единичная матрица. После перехода ► инь горной форме модель наблюдений (2) запишется следующим образом:

/,к =хк+0к, к = 1,2,...М, (4)

• {К =(öp02—)Т- Соотношения (3), (4) приводят к следующему

• имритму построчной калмановской фильтрации [1]:

4 ik ^^k-l' = *эк + ^к^е К^к "~^эк)> IV + (5)

• v млчйльные условия задаются следующим образом:

А

l\, Vx, Р, =Рэ1(Е + Уе^Рэ/Г', Хэ1 =0. (6)

И гоотнетствии с процедурами (5)< (6\ на каждом шаге пиоизводится Ми'м мсей строки изображения. Число операций умножения на каждом

ш*м исчисления оценки составляет около N4 -ьКГ + 4N2, где N - длина

^ —»

И|»«И1 II юбражения. При этом основное число операций N J+N*+NZ Ц|йН«чгн для вычисления обратной матрицы в формулах (5).

Рт» иотрим возможности сокращения требуемого числа операций для • ■ •■много оптимального калмановского алгоритма оценивания

4**м> иною СП. Для этого вначале выпишем элементы

iMtf^'Mn представляюпще собой ковариации опшбок оценивания

1 ч f. Как следует из (5), матрица Рк образуется из матрицы Рэк с.

mi мчи P.^j равными ковариациям ошибок экстраполяции

■к)

Mi и чим i-й элемент k-й строки изображения и запишем (5) в (■ •• • шгП скалярной форме

w» > ,1 | у. 2/99

37

где

3=1

Анализ показывает, что соотношение (7) можно рассматривать к|

к - 1 оценку величины иР с помощью оптимального нерекурсивного линеино!

фильтра (фильтра Винера) [3, 4]. При этом для оценки использую!

разности у* = ъ • - х*- = х • - х^ + = и • + 9 - .

Для преобразования винеровской нерекуррентной оценки (7)

•••

калмановскую, допустим, что модели состояния и наблюдения для описываются следующими уравнениями: |

"г =Т/им У 1=ие+Ъе

где индекс к опустим для сокращения записи. В этом сл; М{и} = у ^М(и где = м|и^}=Р^£ - элемен

матрицы Рэк, Отсюда можно определить параметры уЕ У^ = М^ |= Р^ — ■ ^ учетом (7), (8) составим уравна!

калмановского оценивания и£, состоящего из двух этапов - фильтрацш последующего сглаживания, соответствующих прямому и обратному >'<■

1'

сип иии I та

вдоль строга. Исххользование двухпроходного алгорив продиктовано тем фактом, что в оценивании каждого отсчета Ху I

формулам (5), (6) участвуют все элементы ьй строки изображения, По:щ] для получения оптимальной оценки с использованием скалярного фшп<| необходимо провести интерполяцию полученных прямым ходом оценок помощи известных процедур, приведенных, например, в работе [4]. Первый этап работы скалярного алгоритма имеет следующий вид: ,

Ри ри

=рэиД1+у0-1рэи,)"!,

с начальными условиями:

г: п ~ "л 11т 7—1,, т>1* тчи , г*и 1

а., = О , и> = Г1 Уа V,. Р, = Г-1 П 4- Уо Р., I

' 4 х О * А ' 1 Л \ О Л )

-1

Л )

рэи1 = м{и? }= м|(е ^ ^ | = Рэ1!.

38

Вестник УлП

И юрой этап предполагает использование значений Р" ммчислонных на предыдущем этапе:

&, « а , + Реи у, (рэ%+1) У (йы - у ¿и £\ £ = N -1, N - 2,... ,1,

и

и

N

и

N

(И)

Цнм вычисления коэффициентов у^ и У^ требуются точные значения

I1),, элементов матрицы Рэк. Как показывают эксперименты, значения

шов Рэк, к = 1,2,..., N устанавливаются достаточно быстро. Например, ,1 0.9, N = 100 уже на 5 шаге (после оценивания 5 строки изображения)

ф"

м» нем матрицы Рэ практически нешзменяются. Поэтому коэффициенты I, и \ предлагается вычислять на основе установившегося значения этой

Щ^ицы =РЭ •

1ии1М образом, предлагается использовать следующий ЦИМмн гимальный алгоритм оценивания. Для получения установившегося

.V. •

ШЧкмни митрицы Рэ первые несколько строк изображения оцениваются при

»♦ми Iк--кторного фильтра Калмана (5), (6). Затем осуществляется

и | нос по пространству оценивание на основе процедуры (9),(10). • • •• 'нтииза эффективности предложенных алгоритмов были проведены

кмм. ! ним на ЭВМ. На рис. 1 представлены графики зависимости «пр. ни ошибки фильтрации от номера] элемента в последней строке N1**411 И1 размером ! П0х!00 элементов при использовании векторного им«-мимо фильтра (5), (6) (сплошные линии) и квазиоптимального гний» алгоритма (9), (10) (пунктир) при коэффициентах корреляции

II |» ( 0.9 и двух отношениях сигнал/шум 4 = а7х Ду^ .

п

м М1|

<1III

0 И 4

А110

о

20

40

60 Рис. 1

80

100

| 3Л№

39

Анализ приведенных зависимостей показывает, что предложена подход позволяет получить алгоритмы фильтрации изображен) эффективность реализации которых существенно выше, чем известных [1,2]. Выигрыш в числе арифметических операций по сравнена аналогичным оптимальным алгоритмом [1] может быть оценен примерно

Ы2 раз. Например, при обычном размере кадра 256x256 элементов об' вычислений, а, следовательно, и время анализа сокращается примерно 65000 раз. Несмотря на то, что предложенный алгоритм не является стро| оптимальным, можно высказать предположение о том, что соответствую] подбор параметров модели (6) и порядка авторегрессии позволит получ) еще более близкие к оптимальным решения.

МОДЕЛИ, ИНСТРУМЕНТАРИЙ И ТЕХНОЛОГИИ

II I«>.7.24/25 + 519.873

III ВОЛГИН

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильев К.К., Герчес В.Г. Калмановская фильтрация изображений //Мет обработки сигналов и полей. Ульяновск, 1990. С. 105-111.

2. Woods J.W. Two-dimensional Kalman filtering // Topics in Applied Phy Berlin, 1981, v.42, pp. 155-208.

3. Васильев K.K., Крашенинников В.P. Методы фильтрации многомерц случайных полей. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1990. 128 с. 1

4. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в свмзм|

»/ I I л«* ^ . тт_ ~___г Т) гт_______ * /Г . П- ____ 1 аа/ л г\/ .

^цраол^пип / uep. V am J1., ниД р^д. r>.r. Jicbumi. M.I 1У/О. чуЬ и

Попои Олег Викторович, аспирант кафедры САПР УльяновЩ

(Н'пиинп х-'ятлнЯ

филиала Московсщ

государственного

тр-гтгиргъ-пяп

• ф г %>#r t W Г W » » w W

J Я ЯПП.'ТЯ ЯП* /7

у • » w^/ -

I » • •

математический факультет Ульяновского государственного университета. Имеет публикации в области статистиче* анализа и синтеза многомерных случайных полей

• НКЦИЯ ВЗВЕШЕННЫХ СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ Ч I I НЕРАГОР СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР I \ ГЮМАТИЧЕСКИХ ЛОГИК

Нимшю, что функция взвешенных степенных средних (ВСС) является (нощей для ряда вложенных математических структур (алгебра скалярных ииий, комплементарная алгебра, адцитавно-мультипликативная алгебра, тми алгебра выбора, непрерывная логика, двоичная булева алгебра и др-)> ни< и основой информационных технологий аппаратурной обработки кортежей и и котияуальной облаете с глобальным параллелизмом и без промежуточных «мшшшй в цифровой код.

ш\

Ь»1

к к к л кНиЕ

Г—V

-л

.„а.

мф м»11цсе время наблюдается опережающее развитие дискретных

I..... и средств цифровой обработки информации, в то время как

шт |м «ми макромир, технологии производства, измеряемые и Ннншч'УОМыс параметры в подавляющем большинстве сопровождаются

.....-ркшмми, а аналоговыми процессами. Указанное приводит к

| I и м II ротиворечиям развития цифровых методов обработки {•инмнм и среде аналогового физического и технического мира [lj. • мн. mux противоречий обуславливает необходимость разработки ни. ориентированных математических логик и специальных алгебр, ♦ ♦♦ '♦<• и м сдачей теоретической кибернетики и прикладной математики.

Вестник Ул1 г

ФУНКЦИИ ВЗВЕШЕННЫХ СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ

l|iiiM |имработан логико-алгебраический аппарат [2-4], порождаемый 1WT порядка \х:

I I I V ,(/«><)

41