Многомодельное байесовское оценивание вектора состояния маневренной воздушной цели в дискретном времени Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.96

МНОГОМОДЕЛЬНОЕ БАЙЕСОВСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ МАНЕВРЕННОЙ ВОЗДУШНОЙ ЦЕЛИ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ

Л.Б. Рязанцев

Кафедра вычислительной техники и автоматики,

Тамбовское высшее военное авиационное инженерное училище радиоэлектроники (Военный институт) (ТВВАИУРЭ (ВИ)); [email protected]

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: калмановская фильтрация; многомодельные алгоритмы; случайная структура; сопровождение воздушной цели.

Аннотация: Рассмотрены многомодельные алгоритмы сопровождения маневренной воздушной цели: автономный многомодельный алгоритм, обобщенные псевдобайесовские алгоритмы первого и второго порядков, многомодельный алгоритм с межмодельным взаимодействием. Приведены результаты моделирования, на основе которых определены точностные характеристики для каждого из исследуемых алгоритмов.

Введение

В условиях современного маневренного воздушного боя, когда маневренные возможности современных летательных аппаратов постоянно улучшаются, использование одномодельного фильтра Калмана и его модификаций не может обеспечить требуемую точность оценки вектора состояния цели по причине низкой адекватности модели, заложенной в фильтр [1]. Существенно повысить точность вычисления оценки вектора состояния можно с помощью многомодельных байесовских алгоритмов. В этом случае принимают, что реальная траектория воздушной цели представляет собой набор ограниченных по времени участков движения, отличающихся видом пространственной кривой и характером движения воздушной цели. В частности, можно выделить участки прямолинейного равномерного, прямолинейного равноускоренного движения, движения по окружности с постоянной угловой скоростью и т.д. Многомодельные алгоритмы используют несколько фильтров, согласованных с различными участками траектории, взаимодействующих между собой, с последующим объединением их оценок.

Целью работы является рассмотрение многомодельных байесовских алгоритмов оценки вектора состояния маневренной воздушной цели, сравнение их точностных характеристик и вычислительных затрат.

1. Нелинейная байесовская фильтрация

Рассмотрим задачу фильтрации для системы, уравнения состояния и измерения которой имеют вид:

хк = ¥к (хк-ъ и-1); (1)

2к = нк(хк, Пк X (2)

где ¥к : ВПх х Кп ^ КПх , Ек : Rnx х ВПг| ^ в"2 - известные нелинейные функции вектора состояния Хк и вектора измерений гк соответственно; пх , п2 , п^ , Пл - размерности векторов состояния Хк , измерения 2к , формирующего шума %к

и шума измерения Пк соответственно; {^к,к = 0,1,...}, {Пк,к = 0,1,...} - последовательности статистически независимых между собой и во времени случайных

величин |к е , Пк е в"4 , описываемых заданными плотностями вероятности.

Алгоритм байесовской фильтрации заключается в рекурсивном вычислении на каждом к-м шаге по полученным измерениям апостериорной плотности

вероятности вектора состояния р(Хк | г-"к), на основе которой определяется

оценка вектора состояния Хк . Алгоритм состоит из двух последовательных этапов прогноз-коррекция [2-4] и определяется выражениями:

ровки плотности вероятности р(х^ | ) .

Вероятностная модель эволюции вектора состояния р(х% | х%-і) определяется уравнением (1) с известными статистическими характеристиками формирующего шума %% , функция правдоподобия р(гк | хк) определяется моделью измерения (2), известными статистическими характеристиками шума измерения , и

согласно уравнению Фокера-Планка-Колмогорова могут быть найдены по следующим выражениям [2]:

где i - мнимая единица; Ф(|к-1) и Ф(Пк) - функции вероятности случайных величин ^к-1 и Пк соответственно.

Реализация алгоритма является сложной задачей, требующей решения функциональных интегральных уравнений (5) и (6).

Нелинейное маневренное поведение воздушной цели, описываемое уравнением состояния (1), можно представить множеством линейных моделей М = {т1, i = 1,2,., Щ. В каждый момент времени к поведение цели характеризуется одной из N входящей в это множество моделей, которая определяется индексом структуры &'к . Смена моделей является случайным марковским процессом

(3)

(4)

где р(2к | г0-£-і) = | р(2к | хк)р(хк | )ёхк и определяется из условия норми

p(xk I xk-1) = (2n) nx jjє'” (Fk(Xk 1’^k 1) Xk)dФ(%k-1)dra ; p(zk I xk-1) = (2n)-nz jj e'”' (Hk (xk ,nk) zk ^(nk )d” ,

(5)

(6)

2. Многомодельная байесовская фильтрация

с вероятностью перехода из одного состояния в другое q(уг) = q(sk = У | Як- = О. Уравнения состояния и измерения для каждой модели имеют вид:

Хк = р(1) Хк-1 +4г-р (7)

гк = Екг) Хк +пк').

где ^ и Е^ - матрицы перехода и измерения соответственно.

Вектор состояния для каждой структуры характеризуется апостериорной плотностью вероятности р(Хк, Як | г-к). Апостериорная плотность вероятности

р(Хк | ^-"к), независящая от номера структуры, может быть записана на основе формулы полной вероятности как

N N

“0,к> " XР(Хк,Як = | ^) = X” к г^~к\ °к- •>^0,к;

(i)

(8)

p(xk) = P(xk I ZQT) = ZP(xk-sk = i I zQk) = ZWk(°P(xk I sk = i-ZQ1) - (9)

i=1

i=1

где №^г) = р(^% = і | г0к) - апостериорная вероятность структуры я% = /, определяющаяся рекурсивно аналогично выражениям (3) и (4), в которых операция ин-

тегрирования заменена операцией суммирования:

^(0 = ^р(2к\*к = 0^ . ^(0 = . X р(гк | 5к = Л^к } ]=1

(1Q)

j=1

Учитывая, что во многих прикладных задачах имеет место неполнота или недостоверность наблюдений, а также неточное задание моделей состояния и измерения, можно произвести приближенную замену условных плотностей вероятности р(хк | Хк-1) = р(хк | Як,Хк-1), р(^к | Хк) = р(2к | Як,Хк) в уравнениях (3), (4) и р(Хк | Як, ), р(2к | Як) в уравнениях (9), (10), используя их гауссовскую ап-

проксимацию с известным математическим ожиданием и дисперсией:

p(Xk I Sk = i, Xk-1) = N

p(zkI sk =i- xk) = N

Xk I Fk(-\xk-1-Qk-1

ZkIHki) Xk, Rki)

(11)

P(xk I sk =i- zQ-k ) = N

xk I Xki), Pk]

P(zk I sk = i) = P(vki))= N

vki)IQ,Vk(i)

(12)

Ж[а | т, Е] = (2п) г/^е1(Е) 1/2ехр|- "“(а-т)Т Е 1(а-т)|, (13)

где и Як^ - ковариационные матрицы некоррелированных между собой

гауссовских случайных последовательностей ^-1 ~ N §к-1 10, Qk-l

роятности г-мерной случайной величины а с математическим ожиданием т и дисперсией Е ; Х^), Р^, ), ^к( ) - оценка вектора состояния, ковариация оцен-

ки, невязка и ковариация невязки для г-й модели соответственно, которые определяются выражениями калмановской фильтрации:

~ki) = Fk(-1xk-1; pk(i) = Fk-1Pk-1 fe)T + Q&;

xki) = ~ki) + Kki)vki); PP = (i -Kki)Hki))pi);

Kki) = pk(i)(Hki))T(i))-1; Vk(i) = Hki)pk(i)(Hki))T + Rk0,

(i)

= zk - H,

(i)~(i)

(14)

(15)

(16)

где I - единичная матрица; к« - матрица коэффициентов усиления фильтра Калмана для г-й модели в момент времени к.

Плотность вероятности р(Хк) представляет собой взвешенную сумму гауссовских плотностей вероятности, математическое ожидание и ковариация которой определяются выражениями:

N N

xk =EWf xk°-; pk =Z

i=1

i=1

P(i) + (X X(i)

p + X - X

k

k

)(xk- xki) )T

(i)

k

(17)

Структурная схема многомодельного алгоритма фильтрации представлена на рис. 1 и состоит из следующих этапов:

- переинициализации фильтров для обеспечения взаимодействия между моделями;

- вычисления оценок хк) и их ковариаций Р^г) для каждого из N фильтров, настроенных на соответствующую модель;

- объединения оценок отдельных фильтров в итоговую оценку Хк и нахождения ее ковариации Рк с учетом весовых коэффициентов

Существует несколько способов реализации данного алгоритма, отличающихся правилами переинициализации фильтров, их взаимодействия и объедине-

ґ~

ц

а

к w

лио

н &

и £

л

нии

н

иф

е

р

е

С

Ч_

-(i=1) p(i=1) Zk

xk-1 ’ k-1

=1) ^k Г

-(i=N) p(i=N) xk-1 - pk-

-1 - pk-1 Г

------1—

-(i=1) ^=1)

* U 1 1 -L U 1

ґ~

Фильтр для модели і = 1

Фильтр для модели і=2

Фильтр для модели і =N

1 x(i= xk-1 1 ► 2) p(i=2) - p -v

-л N) p(i=N) , pk-1 ►

X(i=-7 xk-1

к

о

н

е

ц

о

е

и

К

е

н

и

д

е

б

о

ч_

x k- pk -►

Рис. 1. Структурная схема многомодельного алгоритма

ния оценок. Рассмотрим наиболее распространенные: автономный многомодельный алгоритм (Autonomous Multiple-Model (AMM) Algorithm) [4, 5], обобщенный псевдобайесовский алгоритм первого порядка (First-Order Generalized Pseudo-Bayesian (GPB1) Algorithm) [2, 4, 5], обобщенный псевдобайесовский алгоритм второго порядка (Second-Order Generalized Pseudo-Bayesian (GPB2) Algorithm) [3-5] и многомодельный алгоритм с межмодельным взаимодействием (Interacting Multiple-Model (IMM) Algorithm) [4, 5].

3.1. Автономный многомодельный алгоритм

Фильтр состоит из N дискретных калмановских фильтров, настроенных на разные математические модели и работающих параллельно. Оценки каждого из фильтров вычисляются независимо от значений оценок других фильтров. Переинициализации фильтров не осуществляется.

Алгоритм фильтрации описывается следующими уравнениями:

- переинициализация фильтров (не осуществляется):

4-== 4-i; (18)

- вычисление оценок фильтров x() и их ковариаций р£г) в соответствии с уравнениями (14) - (16);

- вычисление весовых коэффициентов в соответствии с уравнениями (10), (12), (13);

- объединение оценок отдельных фильтров в итоговую оценку Х, и нахождения ее ковариации Р, в соответствии с уравнениями (17).

3.2. Обобщенный псевдобайесовский алгоритм первого порядка

В этом случае оценки фильтров предыдущего шага Х^— и их ковариации

рк-1 на текущем шаге заменяются итоговой оценкой x , _1 и ее ковариацией Р, — соответственно.

Алгоритм фильтрации описывается следующими уравнениями:

- переинициализация фильтров:

xk_1 = Хк _1; рЛ = 4 _1; (19)

- вычисление оценок фильтров Х(г) и их ковариаций р£г) в соответствии с уравнениями (14) - (16);

- вычисление весовых коэффициентов в соответствии с уравнениями (10), (12), (13);

- объединение оценок отдельных фильтров в итоговую оценку Х, и нахождения ее ковариации Р, в соответствии с уравнениями (17).

3.3. Обобщенный псевдобайесовский алгоритм второго порядка

2

Является самым сложным из рассматриваемых. Фильтр состоит из N калмановских фильтров, работающих параллельно. Оценка состояния вычисляется

2

по каждой из возможной модели на текущем и предыдущем шаге - всего N гипотез.

Алгоритм фильтрации описывается следующими уравнениями:

- переинициализация фильтров:

XОЛ = xO') . p(ij) = p(i) •

к-1 _ к-1; к-1 _ к-1;

(2Q)

- вычисление оценок фильтров X9j и их ковариаций:

~(iJ ) = F(i) X (i/). P(i/ ) = F(i) p (iJ ) (f (i) )T + Q(i) •

xk ~pk-1xk-l; pk ~pk-1pk-1 Vk-1/ Qk-l;

Xkj) = P®) + Kf-V®); pf) = (і - K®)Hf )p<lj);

K®) = pklj) (h(') )T (VP )-1; v(j = Hkl) pf) (Hkl) )T + Rkl);

^ = Zk - );

- вычисление весовых коэффициентов Wk(i), совместных оценок и их ковариаций:

(21)

(22)

(23)

w( т =.

N

vj I Q,v(ji)

q(ji)Wk(-)

(i)

N r -|

; lk(i) = Z n vkji) I Q, V,Ji) Iq(^wj; (24)

j=1

NN

xki)=zwjxkji); ^i)=z

i =1

pkji) + ( - Xkji))(( - Xkji))'

rn.

(25)

- объединение оценок Х() в итоговую оценку Хк и нахождения ее ковариации Рк:

l(i) =-

W,

(i)

N

Z lk(J) j=l

xk = Z1J)xkJ); = Z ^"к(J)+(xk-xkJ))(-xkJ))T

j=l j=lL

N

w( j).

(26)

(27)

3.4. Многомодельный алгоритм с межмодельным взаимодействием

Состоит из N дискретных калмановских фильтров, каждый из которых пере-инициализируется с учетом оценок других фильтров.

Алгоритм фильтрации описывается следующими уравнениями:

- переинициализация фильтров:

P N „ q (ji)lV(j)

=Nq(Jl'4-1; .

j =1 l

(28)

N N / \ т

k-l = Z^f; pk(-1 = Z pj+fe -x()(xk-l -xjl) ; (29)

j=1

j=1

- вычисление оценок фильтров Х() и их ковариаций Р^г) в соответствии с уравнениями (14) - (16).

- вычисление весовых коэффициентов в соответствии с уравнениями (10), (12), (13).

- объединение оценок отдельных фильтров в итоговую оценку Хк и нахождения ее ковариации Рк в соответствии с уравнениями (17).

4. Результаты моделирования

Каждый из рассмотренных многомодельных алгоритмов использует три модели движения - одну модель прямолинейного движения с постоянной скоростью (МДПС) и две модели движения по окружности с постоянной угловой скоростью (МДО) 0, 122 рад/с и -0,122 рад/с соответственно, что эквивалентно движению с перегрузкой ± 3^, где g - ускорение свободного падения. Уравнение состояния

• Т

моделей для вектора состояния х = [ х, х, у, у ] имеет вид:

Хк = ?кХк-1 + &^к-1; ^к-1 ~ NЕк-1 I 0, б];

(30)

где для модели прямолинейного движения с постоянной скоростью:

"1 т 0 1

F = diag[ Fcv, Fcv ]; Fcv =

; G diag[Gcv, Gcv]; Gcv

T 2/2

T

для модели движения по окружности с постоянной угловой скоростью:

F =

1 (sin юТ )/ю 0 _ (1 _ cos юТ )/ю Т 2/2

0 cos юТ 0 _ sin юТ ; G = Т

0 (1 _ cos юТ )/ю 1 (sin юТ )/ю Т 2/2

0 sin юТ 0 cos юТ _ Т _

Интервал дискретизации Т = 1 с. Значения дисперсии формирующего

шума ст^ = 2,25 м/с2 для модели прямолинейного движения с постоянной скоростью и ст^ = 50 м/с2 для остальных. Матрица вероятностей переходов имеет вид

У, м

" 0,95 0,025 0,025"

q = 0,025 0,95 0,025 . (33)

0,025 0,025 0,95

(31)

(32)

Для моделирования использовалась траектория движения воздушной цели, представленная на рис. 2, пара-

Рис. 2. Траектория движения цели

х, м

метры которой приведены в табл. 1, среднеквадратические ошибки (СКО) оценивания алгоритмов приведены на рис. 3 и в табл. 2, нормированные вычислительные затраты алгоритмов и оценки вероятности структуры приведены в табл. 2 и на рис. 4 соответственно.

На основе анализа рассмотренных алгоритмов АММ, вРБ1, вРБ2, 1ММ и проведенного математического моделирования в среде Ма1ЬаЪ можно сделать следующие выводы:

- точностные характеристики рассмотренных алгоритмов различны в зависимости от вида межмодельного взаимодействия, что обуславливает наилучшие показатели у алгоритма вРБ2;

Таблица 1

Параметры движения цели

Номер шага к Угловая скорость <в, рад/с

1-59 0

6Q-84 - 0,122

85-119 0

12Q-129 0,122

13Q-15Q 0

Рис. 3. Среднеквадратическая ошибка оценивания координат:

-------АММ;.......- ОРБ1;--------ОРБ2;-------ІММ

Таблица 2

Среднеквадратические ошибки оценивания координат и вычислительные затраты алгоритмов

Алгоритм СКО, м Нормированное время выполнения

Автономный алгоритм АММ 35,7 1

Псевдобайесовский алгоритм первого порядка вРБ1 15,6 1,1

Псевдобайесовский алгоритм второго порядка вРБ2 3 3

Алгоритм с межмодельным взаимодействием ІММ 5,4 1,3

150 к

Рис. 4. Оценка вероятности структуры:

-------МДПС;------------МДО -0,122 рад/с; ....... - МДО ОД22 рад/с;

а - автономный алгоритм АММ; б - псевдобайесовский алгоритм первого порядка GPB1; в - псевдобайесовский алгоритм второго порядка GPB2; г - алгоритм с межмодельным взаимодействием IMM

- вычислительные затраты и простота реализации, оцененные в ходе работы, выявили приоритет в использовании алгоритма АММ;

- лучшим соотношением «точность - вычислительные затраты» обладает алгоритм ІММ, что позволяет рекомендовать его использование для оценки вектора состояния маневренной воздушной цели.

1. Оценивание дальности и скорости в радиолокационных системах / В.И. Меркулов [и др.]. - М. : Радиотехника, 2007. - 304 с.

2. Бухалев, В.А. Распознавание, оценивание и управление в системах со случайной скачкообразной структурой / В. А. Бухалев. - М. : Наука, Физматлит, 1996. -288 с.

3. Клекис, Э.А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной структурой в дискретном времени / Э.А. Клекис // Автоматика и телемеханика. - 1987. -№ 11. - С. 61-70.

4. Bar-Shalom, Yaakov. Estimation with Applications to Tracking and Navigation / Yaakov Bar-Shalom, X. Rong Li, Thiagalingam Kirubarajan. - New Youk : John Wiley & Sons, 2001. - 558 p.

5. Li, Rong. Engineer's guide to variable-structure multiple-model estimation for tracking in Multitarget-Multisensor Tracking: Applications and Advances / X. Rong Li, Y. Bar-Shalom, W.D. Blair // Eds. Boston, MA: Artech House. - 2000. - Vol. III, Ch. 10. - P. 499-567.

Multi-Model Bayesian Estimation of Maneuvering Air Target Vector

in Discrete Time

L.B. Ryazantsev

Department of Computer Science and Automation,

Tambov Higher Military Aviation Engineering College of Radio-Electronics (Military Institute) THMAECRE (MI); [email protected]

Key words and phrases: Kalman filtering; multiple model algorithms; random structure; target tracking.

Abstract: This paper presents the multiple model algorithms for tracking maneuvering air target. Autonomous multiple model algorithm, generalized pseudo-Bayesian algorithm of first order, and of second order, interacting multiple model algorithm are considered. Simulated results and precision characteristics for each algorithm are showed.

Multimodelle Bayesianeinschatzung des Vektores des Zustandes des manovrierfahigen Luftzieles in der Diskretzeit

Zusammenfassung: Es werden die Multimodellealgorithmen der Begleitung des manovrierfahigen Luftzieles betrachtet: autonomer Multimodellealgorithmus, zusammengefassten Pseudobayesianalgorithmus der ersten und der zweiten Ordnung, Multimodellealgorithmus mit dem intermodellen Zusammenwirken. Es sind die Modellierungsergebnisse und die exakte Charakteristiken fur jeden aus den untersuchenden Algorithmen angefuhrt.

Appreciation multimodele bayesienne du vecteur de l’etat du but aerien de manoeuvre dans le temps discret

Resume: Sont examines les algorithmes multimodele de l’accompagnement du but aerien de manoeuvre: algorithme multimodele autonome, algorithme generalise pseudobayesien du premier ordre, algorithme generalise pseudobayesien du dexieme ordre et algorithme multimodele avec une interaction intermodele. Sont cites les resultats du modelage a la base desquels sont definies les caracteristiques de precision pour chacun des algorithmes etudies.

Автор: Рязанцев Леонид Борисович - адъюнкт кафедры вычислительной техники и автоматики, ТВВАИУРЭ (ВИ).

Рецензент: Данилов Станислав Николаевич - доктор технических наук, доцент кафедры «Радиоэлектронные средства бытового назначения», ГОУ ВПО «ТГТУ».