CC BY
23
Раздел VII. Математика. Механика. Физика.
А. А. Илюхин
АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ В УРАВНЕНИЯХ ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА
Аннотация. Указаны свойства движений, при которых в уравнениях неподвижного годографа вектора кинетического момента возникают устранимые и неустранимые особенности. Приведены случаи интегрируемости уравнений Эйлера - Кирхгофа, для которых выполняются определенные типы особенностей.
Ключевые слова. Гиростат, кинетический момент, годограф, особенности, дифференциальные уравнения.
A. А. Ilyukhin
ANALYSIS OF FEATURES IN THE EQUATION FOR KINETIC MOMENT WHEN DRIVING HEAVY GYROSTAT
Abstract. Shown properties of motion, in which in the equations of the stationary locus angular momentum vector having removable and irremovable features. Results integrable cases of the Euler equations - Kirchhoff, for which the specific types of features.
Keywords. Gyrostat kinetic moment, hodograph, especially differential equations.
Вектор кинетического момента является одной из основных переменных в задаче о вращательном движении тела [1], а также в теории деформации упругих стержней [2]. Для некоторых задач в исследовании ориентации спутниковых систем могут быть использованы его компоненты в неподвижной системе координат [3], одна из осей которой направлена по вектору вертикали у.
Дифференциальные уравнения Эйлера - Пуассона движения тяжелого гиростата [1] или уравнения Кирхгофа в теории упругих стержней [2], совпадающие в силу аналогии Кирхгофа, имеют следующий вид.
(х + Я)' + шх(х + А) = Р(тху)у'=ухш (1)
Приведем формулы для компонент вектора х + X в неподвижной цилиндрической системе координат [3].
£ = х.у, р2=±[(х + Л)хГ]2, - = (2)
dt р2 LV у '1 ' dt Рр v '
В связи с тем что вместо декартовой системы координат рассматривается цилиндрическая, для полярного угла а в начале координат возникает естественная в этом случае особенность. Однако в данном случае уравнения (2) можно рассматривать как один из видов уравнений для траекторий систем дифференциальных уравнений (1). Поведение траектории вблизи случая р = 0 может быть различным в зависимости от того, является начало координат особой точкой для системы (1) или нет. Как известно, в случае особой точки поведение траектории зависит от ее типа. Примеры различного поведения траекторий в задачах механики изучены и приведены, например в работах [1,2], что показывает необходимость изучения некоторых из возникающих вопросов в общем случае. В теории особых точек для дифференциальных уравнений необходимо определять поведение полярного угла а при р ^ 0. Это может быть, когда естественный параметр t (время или дуговая координата) стремятся к некоторому значению t = tt.
Покажем, что в этом случае в третьем уравнении в равенствах (2) обращаются в нуль одновременно знаменатель и числитель в производной для угла а. С этой целью преобразуем выражение в числителе производной
[(* + Я)ху]-(у-т)-(^ + Я)хт.
Воспользуемся тем, что вектор т касательной выбран единичным: т • т = 1. Таковым является вектор у: у • у = 1.
[(* + X) х у] • (у • т) - (х + X) • т = [(* + X) х у] • (у • т) - (у • у) • [(* + Я)хт] =
= ^[(* + А)ху]^(* + А) (3)
Таким образом, при t = производная ^ равна неопределенному отношению типа ^ . Для раскрытия этой неопределенности используем правило Лопиталя, в том числе и потому, что входящие в выражение для производной ^ величины определяются дифференциальными уравнениями (1), и это несколько смягчает требования к дифференцируемости входящих функций и позволяет вычислить производные от них в силу уравнений (1). Однако эти действия снижают общность оценки поведения кривых (2), т.к. они относятся только к траекториям дифференциальных уравнений (1), хотя уравнения (2) и были выведены в предположении, что входящие в них функции являются решением уравнений (1). Поэтому замечание относительно кривых (2) является скорее напоминанием о том, с чем имеем дело. Очевидно, что первые производные числителя и знаменателя в производной ^ при р = 0 равны нулю. Поэтому будем дифференцировать их дважды:
в [(*+Я)х7]-|:(д:+Я) = ^^^Я)
0 [(х+я)ху]2 0 [ХХ;|(*+Л)]2
В правой части соотношения (4) опущены члены, равные нулю при р ^ 0. Если
ух^(* + А)*0 , (5)
то предел в правой части равенства (4) существует и конечен, т.к. при t = все величины определены и ограничены. Преобразуем знаменатель в правой части равенства (4), представив выражение для производной, взятое из первого уравнения в системе (1):
ух^(х + Я) = р[гх^(^ + А)] = Р[т-(тху)ху] (6)
Выражение (6) может обратиться в нуль только в случае коллинеарности векторов т и у. Если векторы т и у неколлинеарны, то функция, содержащаяся в левой части равенства (4), имеет устранимую особенность и, следовательно, значение производной ^ в точке t = можно доопределить по непрерывности. Необходимо отметить, что при условии т Ф ±у, точка t = не может быть бесконечно удаленной, т.к. система дифференциальных уравнений (1) имеет точки покоя [4] при условии:
р
х + Л = сш--т, ш = о)0т (7)
ш0
Соотношение (7) вместе с равенством
х + А = ку.
приводит к условию
Р
—т = (сш0 - к)у, ш0
что противоречит предположению о неколлинеарности векторов т и у.
Предположим теперь, что при t = выполняется одно из равенств т = у или т = -у. В этом случае, четырежды продифференцировав по t числитель и знаменатель в производной получим
Л Ь^]' _ 11т—<> (8)
Как и в предыдущем, случае в этой формуле опущены слагаемые, равные нулю в точке t _ Вычислим знаменатель правой части в (8)
й2
у Х -— (х + А)_Р(шху)(т-у)_ Х у).
Здесь учтено, что рассматривается случай коллинеарности векторов т и у. Итак, если вектор Дарбу ш кривой не направлен вдоль вектора у, то производная ^ имеет устранимую особенность в точке t _ причем из тех же соображений, что и ранее, следует значение t _ - конечно. Любая точка на интегральной кривой, не совпадающая с точкой покоя, достигается за конечное значение независимой переменной t.
Рассмотрим случай ш _ ш0у. Правые части в системе уравнений (1) обращаются в нуль, поэтому особенности в уравнениях (2) и особенности в производной ^ соответствует точка покоя, а, следовательно, бесконечное значение естественной переменной t.
Исследование выражения для производной ^ для особого случая представляет интерес по двум причинам. Оно дает возможность, во - первых, провести качественный анализ свойств оси стержня для достаточно длинных стержней и, во - вторых, в силу аналогии Кирхгофа проанализировать годограф вектора кинетического момента для одного класса асимптотически равномерных вращений тяжелого гиростата.
Предположим, что исследуемое решение допускает разложение в ряд по вспомогательной переменной а в окрестности точки а=0, соответствующей значению t _
У_т + <УпТи ш_ш0т+атТ1^=0Пкак (9)
(10)
Существование таких примеров показано в работе [2], а в главе 5 монографии [1] установлено, что показатели степеней т и п положительны и равны. Из геометрических соотношений у •у _ 1 и т-т_ 1 получим следующие равенства:
Рк • т _ 0, к _ 0,..., т — 1
2Гт т _ Го • Го
На стационарном решении у _ ±т и ш _ ш0х должны выполняться [4] условия:
(Вт х А) • т _ 0, В12Я3 — В13Я2 _ 0, (12)
где К - постоянная в интеграле площадей [1], а матрица В присутствует в уравнениях, связывающих векторы ш и х
х_Вш (13)
Равенство (12) является ограничением на первоначальную геометрию стержня либо на характер движения несомых тел в гиростате, при котором возможен данный особый случай. Соотношения (11) накладывают ограничения на начальные условия, которые обеспечат возможность существования изучаемого особого случая.
Для вычисления значения производной ^ при а ^ 0 оценим порядки стремления к пределам для тех величин, которые входят в выражение для этой производной. Выпишем разложение числителя дроби в последней формуле в уравнениях (2)
х + А — Ку = А — Кт + ш0Вт + ат ^Г=0 (ВП1 — КГ1) а1 = ат ^Г=0 (ВП1 — КГ1) а1 (14)
Сумма слагаемых Х — Кт + ш0Вт равна нулю в силу соотношений (11). Таким образом, разложение вектора х + X — Ку в ряд по степеням а начинается со степени ат:
хр=х + Х — Ку=ат £Г=о (ВП1 — КГ1) а1 (15)
Знаменатель в производной ^ можно представить следующим образом:
х2 = [ух(х + X)]2 = *2т[1?=0(5л, — КГ1) а1]2 (16)
Преобразуем выражение (х + X — Ку) • т с учетом разложения (9) к следующему виду:
(х + Л — Ку) • т = хр • т = трХр
Здесь тр проекция вектора т касательной к кривой (2) на плоскость, перпендикулярную вектору у. Тогда разложение в ряд по степеням а величины тр с учетом соотношения 2Гт • т = Г0 • Г0 ,Г; • т = 0, 0 < I < т — 1 принимает вид:
тI = — ^2т[2£Г=оТ- Г1+та1+ (Т,Г=0* • Г1+та1)2] (17)
Итак, числитель производной ^ в точке а = 0 имеет корень кратности не меньше, чем
2т. Особенность в знаменателе может быть порядка больше 2т, если первые коэффициенты в формуле (16) обратятся в нуль.
Для определения соотношения порядка нуля числителя и знаменателя воспользуемся еще раз правилом Лопиталя. Однако дифференцированием по s решить этот вопрос нельзя, т.к. в точке
покоя все производные от входящих в выражения для ^ переменных задачи равны нулю. Пусть в
точке а = 0 обращаются в нуль векторы
ух(х + Х), ух^(* + А).....ух-^(х + Х). (18)
Тогда в этой точке выполняется равенство
¿{у х(* + ±(х + А)} = [у х ¿(х + X)] • + А) (19)
Справедливость равенства (19) вытекает из того, что левая часть этого равенства отличается от правой выражением, зависящим линейно и однородно от компонент векторов (18).
Используем соотношение (19) для определения предела производной ^ при а ^ 0 и учтем, что производные
коллинеарны и при условии неравенства их нулю:
лК „Л лк+1
(20)
Равенство (20) справедливо при условии равенства нулю векторов (18). Это предположение связано с тем, что дифференцирование может приводить к нулевым векторам. Здесь предполагается, что этот факт установлен k раз. Относительно вектора в знаменателе предполагается, что его длина отлична от нуля в точке а = 0. Отсюда следует, что кратность нуля числителя в точке а = 0 в равенстве (20) не может быть меньше его кратности в знаменателе. Таким образом, если
ВП1 — КГ1 = 0, I = 1,2,..., р, 260
то и в числителе производной — равны нулю р первых коэффициентов его разложения в ряд по степеням а.
Результат исследования поведения производной ^^ для всех трех возможных случаев обращения в нуль полярного радиуса р можно сформулировать в виде следующего утверждения.
Теорема. Если при некоторых значениях ^естественного параметра t (конечного или бесконечного) обращается в нуль в уравнениях (2) полярный радиус р, то всегда существует и коне" Ла 4-4- П
чен предел производной — при С ^ — 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горр, Г. В., Илюхин, А. А., Ковалев, А. М. Савченко, А. Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. — Киев.: Наукова думка, 1984. - 288 с.
2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев.: Наукова думка, 1979. - 216 с.
3. Илюхин, А. А. К определению углового положения твердого тела. Известия АН СССР. Механика твердого тела, М.: 1984. - № 1. - С. 49 - 54.
4. Харламов, П. В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку. - Прикл. Математика и механика, 1965. Вып. 2. - С. 373 - 375.
А. А. Илюхин
ТОЧКИ СИММЕТРИИ И ОТРАЖЕНИЯ НА УПРУГОЙ ЛИНИИ СТЕРЖНЯ
Аннотация. Доказаны две теоремы, позволяющие строить ось стержня по известному ее участку на основании изучения поведения кривой в окрестности точек ветвления в ее уравнениях. Эти теоремы дают возможность алгоритмизировать процесс построения оси стержня.
Ключевые слова. Упругая линия, точка ветвления, симметрия, отражение.
A. Ilyukhin
POINT SYMMETRY AND REFLECTION ON THE WEB ELASTIC LINE
Annotation. Two theorems are proved, allowing to build a rod axis from a known site on the grounds of its study of the behavior of the curve in the vicinity of the branching points in its equation. These theorems enable algorithmization the process of building the core axis.
Keywords. Elastic line branching point, symmetry, reflection.
Деформация упругого стержня концевыми нагрузками описывается системой дифференциальных уравнений Кирхгофа [2].
(х + А)* + шх(х + А) = Р(тху), y' = yxw, (1)
где звездочка обозначает дифференцирование по дуговой координате S в главных осях изгиба и кручения стержня. Цилиндрические координаты <;, р, а точек оси стержня по известным функциям, входящим в уравнения (1), определяются из уравнений[1,2]:
=£[(* + A)x ур,§ = (2)
d^ = T-Y
Исследование пространственных форм равновесия упругих длинных стержней в работе [2] было предложено свести к анализу двух плоских кривых: проекции пространственной оси на плоскость, перпендикулярную концевой силе, и меридиана поверхности вращения вокруг центральной оси концевых сил. Первая кривая определяется первым и вторым уравнением в (2), а вторая кривая описывается первым и третьим уравнениями в (2). Не останавливаясь на подробностях исследования на таком представлении пространственной кривой (оно в деталях описывается в [1,2]), укажем на некоторые возможности в описании свойств этих двух плоских кривых. Если,
261
