Точки симметрии и отражения на упругой линии стержня Текст научной статьи по специальности «Математика»

то и в числителе производной — равны нулю р первых коэффициентов его разложения в ряд по степеням а.

Результат исследования поведения производной ^^ для всех трех возможных случаев обращения в нуль полярного радиуса р можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Теорема. Если при некоторых значениях ^естественного параметра t (конечного или бесконечного) обращается в нуль в уравнениях (2) полярный радиус р, то всегда существует и коне" Ла 4-4- П

чен предел производной — при С ^ — 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горр, Г. В., Илюхин, А. А., Ковалев, А. М. Савченко, А. Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. — Киев.: Наукова думка, 1984. - 288 с.

2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев.: Наукова думка, 1979. - 216 с.

3. Илюхин, А. А. К определению углового положения твердого тела. Известия АН СССР. Механика твердого тела, М.: 1984. - № 1. - С. 49 - 54.

4. Харламов, П. В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку. - Прикл. Математика и механика, 1965. Вып. 2. - С. 373 - 375.

А. А. Илюхин

ТОЧКИ СИММЕТРИИ И ОТРАЖЕНИЯ НА УПРУГОЙ ЛИНИИ СТЕРЖНЯ

Аннотация. Доказаны две теоремы, позволяющие строить ось стержня по известному ее участку на основании изучения поведения кривой в окрестности точек ветвления в ее уравнениях. Эти теоремы дают возможность алгоритмизировать процесс построения оси стержня.

Ключевые слова. Упругая линия, точка ветвления, симметрия, отражение.

A. Ilyukhin

POINT SYMMETRY AND REFLECTION ON THE WEB ELASTIC LINE

Annotation. Two theorems are proved, allowing to build a rod axis from a known site on the grounds of its study of the behavior of the curve in the vicinity of the branching points in its equation. These theorems enable algorithmization the process of building the core axis.

Keywords. Elastic line branching point, symmetry, reflection.

Деформация упругого стержня концевыми нагрузками описывается системой дифференциальных уравнений Кирхгофа [2].

(х + А)* + шх(х + А) = Р(тху), у* = ухш, (1)

где звездочка обозначает дифференцирование по дуговой координате S в главных осях изгиба и кручения стержня. Цилиндрические координаты <;, р, а точек оси стержня по известным функциям, входящим в уравнения (1), определяются из уравнений[1,2]:

=£[(* + А)х у]*,§ = (2)

d^ = T-Y

Исследование пространственных форм равновесия упругих длинных стержней в работе [2] было предложено свести к анализу двух плоских кривых: проекции пространственной оси на плоскость, перпендикулярную концевой силе, и меридиана поверхности вращения вокруг центральной оси концевых сил. Первая кривая определяется первым и вторым уравнением в (2), а вторая кривая описывается первым и третьим уравнениями в (2). Не останавливаясь на подробностях исследования на таком представлении пространственной кривой (оно в деталях описывается в [1,2]), укажем на некоторые возможности в описании свойств этих двух плоских кривых. Если,

261

например, плоская кривая описывается в декартовой системе координат периодическими функциями, ее свойства достаточно изучить на периоде изменения вспомогательной переменной.

Координаты точек упругой линии (2), как правило, на известных решениях уравнений Кирхгофа (1) задаются в виде функций вспомогательной переменной с, которая связана с дуговой координатой S уравнением вида:

% = ^Той (3)

где /(а) - многочлен относительно а. Радикал в формуле (3) может принимать значения обоих, но первоначальный знак определяется начальным значением с и зависит от направления, в котором изменяется переменная с. Эти детали определяются применением конкретной задачи. Далее закон изменения с в изучаемых ситуациях будет определен и изучен. Заметим сразу, что вместо соотношения (3) в правой части может быть любая четнозначная функция, в которой в точках ветвления значения функции переходят с одной ветви на другую. Область изменения переменной с определяется из условия неотрицательности с и ею служит промежуток между корнями /(а). Причем корни черной кратности не проходимы транзитом, т.к. им соответствует бесконечное значение дуговой координаты s. Нижеследующие исследования проведем в одном из промежутков

а1 < а < а2, (4)

где а1 и а2 - соседние корни функции /(а), причем в промежутке (4) функция /(а) - неотрицательная. Случаи, когда а1 = —да или а2 = +да, не рассматриваются, т.к. изучаемые ситуации не могут иметь места. Предположим, что функция а = а(з) - однолистная, а обратная ей функция 5 = 5 (а) - многолистная. Обозначим зк значения дуговой координаты, которым соответствует одно и то же значение т в промежутке (4). Допустим, что в точке а = а1 уравнение для угла а в (2) не имеет неинтегрируемой особенности. Выберем значение а = а1 в качестве начального значения для г при интегрировании уравнения (3) и для определенности положим 5(0^) = 0. Так как при таком выборе начального значения а = а1 величины а при возрастании дуговой координаты s будет также возрастать в интервале (4), то в уравнении (3) нужно выбрать арифметическое значение корня.

йа

Теорема 1. Пусть производная —определяется одним из равенств

^ = А(о)^о2 — стили ^ = А(о)/^о2 — о, (5)

где функцияЛ(ст)в точке а = а2 принимает конечное значение, причем эта точка для нее не является точкой ветвления. Тогда точки кривой П, которым на упругой линии соответствуют точки со значениями (г) и б2 (г) дуговой координаты S, расположены симметрично относительно луча а = а2, где а2 - значение угла а при 5 = 51(с2).

Доказательство. Рассмотрим в начале точки упругой линии, для которых дуговая координата S изменяется в пределах

0 < 5 < 51(о2) (6)

Угол а вычисляется по формуле

аф = /^Л^Ж (7)

Относительно функции Л5(5)предположим, что она на любом конечном интервале принимает конечные значения. Начальное значение угла а, не уменьшая общности, положено равным нулю. Сделаем в интервале (7) замену переменной интегрирования с помощью равенства (3) и учетом ограничения (6), определяющий выбор участка кривой:

а(о0 = / (8)

где Аа(а) = ^^(о')] и индекс указывает на изменение в структуре аналитической зависимости функции от аргумента, связанного с заменой (3). Отметим, что а = о 2 является простым нулем функции /(ст), т.е.

f(p)

Пт = с Ф 0

О2 — О

Кроме того, значение а = 0*2 не является точкой ветвления функции Аа(а). Далее рассматриваем значение дуговой координаты S в полуоткрытом интервале:

$1(0-2) < 5 < 5^) (9)

и преобразуем соответствующие значения для угла а

а = J As(s)ds = I As(s)ds + I As(s)ds = а2 + I s)ds.

0 0 0 51(^2)

Перейдем в последнем интеграле к интегрированию по переменной с, учитывая, что радикал (о) изменяет знак после достижения значения а = о 2, которое является точкой ветвления для функции ^/(о). Этот факт можно следующим образом пояснить. Когда дуговая координата, изменяясь, растет, соответствующие значения переменной с также растут и при 5 = 51(с2) достигается значение а = о 2. Далее дуговая координата 8 при дальнейшем движении точки по упругой линии продолжает возрастать, а переменная с начинает убывать, перейдя на другую ветвь многолистной функции+о = о'(б), определяемой уравнением (3). Поэтому знак перед радикалом ^/(о) изменяется на противоположный. С учетом этого замечания предыдущее равенство примет следующий вид:

а = а2 I . (10)

Преобразуем это равенство к виду, более удобному для его геометрической интерпретации:

а = "2 ^ "7Ж" +1 "ЭТТ = 2 (11)

В точках упругой линии с дуговыми координатами (г) и б2 (г) угол а принимает значения, определяемые собственно формулами (10) и (11). Повернем исходную систему вокруг оси д на угол и получим значения полярного угла а в новой системе координат для обоих интервалов изменения дуговой координаты 8:

«[*(,)] = (12)

Таким образом, рассматриваемым точкам упругой линии соответствуют равные по модулю значения полярного угла а и противоположные по знаку. Значения полярного радиуса р(Б°)и равны, т.к. им соответствуют равные значения переменной с, а функция р(а) - однозначна. Следовательно, эти точки расположены симметрично относительно луча а = а2 в исходной системе координат.

Следствие 1. Пусть точка а = уравнения упругой линии не имеет неинтегрируемых особенностей. Тогда часть проекции упругой линии на плоскость, перпендикулярную концевой силе, со значениями дуговой координаты s, заключенными в пределах 51(о) < 5 < 5(0), можно получить симметричным отображением относительно луча а = а2 участка проекции со значениями s, принадлежащими замкнутому промежутку [0; 51(с2)]. Если точка а = а1 также удовлетворяет условию теоремы 1, то с возрастанием дуговой координаты s части проекции упругой линии, заключенной между двумя точками упругой линии, соответствующие ближайшим значениям

Б1(а1)и Б1(а2), либо Б1(а2) и С°_1), получается отображение предыдущего участка относительно конечного для него положения полярного радиуса.

В связи с тем что в рамках геометрически нелинейной теории упругих стержней рассматриваются довольно длинные стержни, длина стержня может значительно превосходить длину отрезка ^¿Сег^^С^)]. Этот участок может составлять один из многих ему подобных. Приведем формулу для вычисления угла а для участков разной четности.

Следствие 2. Если выражение для подынтегральной функции в формуле (8) удовлетворяет условию (5) на обоих концах интервала [а1,а2], то для любого из участков этой кривой справедлива одна из следующих формул угла а:

о

(п — 1)а2 + (-1)"+1 I

а^) = -

Аа(о)йо

па2 + (-1)п+1 I

Аа(а)йа

п = 2 т + 1,

п = 2т.

Доказательство этих соотношений можно провести методом полной математической индукции с использованием формул для угла а(Б) и свойств подынтегральных функций в этих формулах.

Обратимся теперь к еще одному варианту в свойствах подынтегральной функции в формулах (7) и (8) с учетом свойств замены (3).

Теорема 2. Пусть в интеграле (8) функция Аа(а) имеет вид

Аа(а)=А(ауа2-а,

где А(а) в точке а = а2 принимает конечное значение, не равное нулю. Тогда точки упругой линии с дуговыми координатами 51(о') и 82(а) проектируются в одну точку плоскости, перпендикулярную концевой силе.

Доказательство. В интервале [0; Б1(а2)] изменения дуговой координаты s значения угла а определяется формулой ( ). Для того, чтобы получить зависимость угла а от б в интервале [51(ст); з2(аУ], выполним следующее преобразование:

а = /^Л^^ = /0'1("2) + /^ А5Шб = а2 + /^ Л^Ж

В последнем интеграле перейдем к переменной с, воспользуемся равенством Аа(<г) = А(а)^а2 — а и преобразуем равенство следующим образом:

а

Г А(а)^а2—а Г А(а)^а2—а а = а2 + I -, —аа = а2 + I -. —аа —

) У/С^) ) У/М

02 °2

о __а _

Г А(о)Уа2 — а Г А(о)Уа2 — а — I -т=Ч—йа = а2 — а2 + I -=—йа =

О" _

Г АС&)Уа2 — а = I -;-—аа.

В этом преобразовании учтено то обстоятельство, что после достижения переменной с значения с2, радикалы уа2 — а и У/С^) одновременно изменили знак, поэтому подынтегральная функция осталась неизменной. Тогда неизменными остаются значения углов при 5 = 51Со') и 5 = 52Са). Так как полярный радиус в этих точках, как и функция переменной с, однозначны, то эти радиусы равны.

Таким образом, части упругой линии, соответствующие одинаковым значениям переменной с, проектируются в один кусок проекции.

Следствие 3. Если уравнение для угла а не имеет неинтегрируемых особенностей, то длина проекции упругой линии не превышает некоторой фиксированной величины при любых значениях дуговой координаты.

Пример. Для иллюстрации теоремы 1 рассмотрим решение Лагранжа. При условии Ь + ¡38 = 0 в обозначениях работы [3] уравнение проекции имеет вид

р2 =4п2(к + Ь2-р2+а), ^ = (р8-Ь)/2п(8 + а) (14)

% = ^(8 + а)(1-а2)-(к-/38)2 (15)

При условии Ь + ¡38 = 0 подкоренная функция имеет корни

а0 = [-р2 - - + 4)/2, ^ = -5, = (-£2 + - 4£25 + 4)/2.

Переменная с в решении Лагранжа введена вместо угла нутации 9: а = со50. Областью определения для уравнений (14) и (15) служит отрезок а1 < а < с2, на концах которого эти уравнения удовлетворяют условию теоремы 1. В работах [1,2] присутствуют случаи, когда выполняются условия каждой из приведенных теорем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горр, Г. В., Илюхин, А. А., Ковалев, А. М. Савченко, А. Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. - Киев.: Наукова думка, 1984. - 288 с.

2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев.: Наукова думка, 1979. - 216 с.

3. Николаи, Е. Л. К задаче об упругой линии двоякой кривизны. - Петроград. - 1916. - 200 с.

В.Н. Сёмин, С.А. Донских, В.Н. Котов

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ К ОПИСАНИЮ ПРОЦЕССА СПЕКАНИЯ ПОРОШКОВЫХ СИСТЕМ

Аннотация. Рассмотрено применение модели вязкого течения пористого тела к описанию процесса спекания железного и никелевого порошков. Рассчитаны кинетические константы процесса изотермического спекания для этих систем. Дана интерпретация значений энергии активации температурной зависимости кинетики уплотнения.

Ключевые слова: кинетика усадки, вязкое течение, энергия активации спекания.

V.N. Semin, S.A. Donskikh, V.N. Kotov

APPLICATION OF THE MODEL OF VISCOUS FLOW OF A POROUS MEDIUM TO DESCRIBE THE PROCESS OF SINTERING OF POWDER SYSTEMS

Abstract. The application of models of viscous flow of a porous body to the description of the sintering process of iron and nickel powders. Calculated kinetic constants of the process of isothermal sintering for these systems. The interpretation of the values of the activation energy the temperature dependence of the kinetics of compaction.

Keywords: kinetics, shrinkage, viscous flow, the activation energy of sintering.

В наиболее общей форме движение порошковой прессовки к состоянию термодинамического равновесия определяется уравнением:

. . . ... +

J Psdv = -J jsadLa + J© sdv

дt „

V Ь V

Выражение производства удельной энтропии для п-компонентной системы, в которой возможны процессы диффузии и теплопроводности, вязкие потоки, химические реакции, имеет вид: