CC BY
121
УДК 616.2
АНАЛИЗ ОДНОЙ разновидности систем ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В МЕДИЦИНЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
© 2015 В. М. Довгаль1, В. В. Воронин2
]докт. техн. наук, профессор каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: vmdovgal@yandex. ru
2
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и теории обучения математике e-mail: crvs a yandex. ru
Курский государственный университет
В статье рассматривается компьютерные методики задания исходных данных и их обработки в одной из разновидностей нечетких систем поддержки принятия решений для медицинской диагностики и прогнозирования. Анализируются математические особенности применения теории нечетких множеств (нечеткой логики) и приводятся доказательства некорректности задания исходных данных в виде совокупности одноместных функций принадлежности, заданных на множестве значений каждого одного признака, к классу диагнозов. Кроме того, в процессе принятия решений применяются формулы расчета таких коэффициентов уверенности в полученных результатах, значения которых всегда равны, что не позволяет разграничить классы (множества) диагнозов или состояний организма человека.
Ключевые слова: диагностика, принятие решений, коэффициент уверенности, признак, упорядоченный набор, класс, нечеткая логика.
В последние годы участились случаи абсурдного (в контексте reductio ad absurdum) применения нечеткой логики в медицинских системах поддержки принятий решений, в частности в интересах диагностики и прогнозирования заболеваний или функциональных состояний испытуемых. При этом диагноз для одного пациента или функциональное состояние для одного испытуемого задается в виде упорядоченного набора значений признаков (синонимы: кортеж, слово в заданном алфавите) <p1, p2,...pn>, гдер1 G P1,р2G P2, ... рп G Pn, где n - число признаков. Со всей очевидностью упорядоченный набор является элементом прямого произведения Р1хР2х...xPn таких множеств значений признаков, в каждое из которых включены их нечеткие подмножества, а функции принадлежности к классу (множеству) диагнозов определяются путем использования одной из известных Т-нормой [Рутковская 2004].
Классы (множества) образов (диагнозов) задаются множествами упорядоченных наборов вида
ml ={<p1, p2,...pn >}i, (1)
где l = 1, 2,..., K - число классов, ml ={<p1, p2,...pn >}l e Р1*Р2х...хРп,.
Цель данной работы заключается в анализе таких систем принятия решений в медицинской диагностике и прогнозировании или в процессах оценки состояний испытуемых, которые созданы на основе теории нечетких множеств (нечеткой логики).
Без потери общности с намерением упростить изложение рассмотрим случай распознавания принадлежности к классам диагнозов (состояний организма человека) при двух заданных диагностических признаках Р1 и Р2. Ниже по тексту в основном будем рассматривать процесс диагностики, аналогичный процессам оценки состояний испытуемых на примере одной из множества работ [Филатова 2011].
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Приведем доказательство того, что упорядоченная пара <p1, p2> не есть {p1, p2}, где pi Е Р1, а р2 G Р2, где Р1 и Р2 - множество числовых значений двух шкал для первого и второго признаков распознавания (диагностических признаков) соответственно.
Обозначим G = {{p1},{p1, p2}} - форма представления упорядоченной пары <pi, p2> в виде множества G по К. Куратовскому [Куратовский 1970], то есть
G = <pb p2> = {{pi},{pu P2}}, (2)
а также обозначим H = {p1, p2}.
Для доказательства того, что упорядоченная пара <p1, p2> ф {p1, p2} вначале докажем, что {{pi},{pi,p2}} ф {pi,p2}.
Определение 1. Два любых ненечетких множества R и Q равны тогда и только тогда, когда является истинным следующее высказывание:
для всех х | (х Е R) ^ (х Е Q) = i. (3)
Аксиома объёмности: «Если множества А и В составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают» ([Куратовский 1970, с. 59].
Согласно аксиоме регулярности: «Если A — непустое семейство множеств, то существует такое множество X, что X е A и X n A = 0», отсюда ни для какого X не верно, что X е X и вообще ни для каких Xi, X2, ..., Xn не имеет места Xi е Х2 е ... е Xn е Xi [Куратовский 1970, с. 64].
Множеству G принадлежит элемент в виде одноэлементного множества {pi}, но из того, что р1 Е{р]_} следует {pi} ф р\. Также множеству G принадлежит элемент H = {pi, p2}, но из того, что
Pi Е p2} Е G (4)
следует, что все p1 £ G, то есть всер1 Е не-G (все p1 £ G).
На том же основании для всех р2 из
P2 Е {pi, p2} Е G (5)
следует, что все p2 £ G, то есть всер2 Е не-G (все p2 £ G).
Поскольку p1 £ G и р1 Е Н, а также p2 £ G и р2 Е Н, то для всех p1, p2 получим ложное высказывание G = H. Действительно, для всех pi, при подстановке в (3) pi, G и H, вместо х, R и Q соответственно, получим
(Pi £ G) ^ (pi Е H) = 0, (6)
а также для всех р2,, подставляя в (3) р2, G и H, получим (P2 £ G) ^ (p2 Е Н) = 0. (7)
Следовательно, на основании (6) и (7) G ф H.
Тогда из посылки G = <p1, p2> при G ф Н следует <p1, p2> ф {p1, p2}, что и требовалось доказать.
Другими словами, никакая упорядоченная пара не есть множество ее собственных компонент. В таком случае, компоненты pi и р2 входят в упорядоченную пару <pi, р2> и в формулу G = {{pi},{pi, рг}}, но не принадлежат каждой из них. Отношение вхождения компонент в упорядоченную пару не есть отношение принадлежности элементов к множеству, они являются принципиально разными отношениями. Например, в канонический упорядоченный набор в виде числа <150151> цифра «1» входит три раза, цифра «5» - два раза, и «0» - один раз, однако степени принадлежности элементов к множеству всегда принадлежат закрытому интервалу [0,1], в том числе для ненечетких множеств, степени принадлежности элементов к которым равны или только 0, или только 1 .
Таким образом, одноместная функция принадлежности к одному любому из классов диагнозов ml, определенная на множестве всех элементов р1 Е Р1, всегда будет иметь только нулевые значения степеней принадлежности к ml. Это также справедливо и для одноместных функций принадлежности к любому классу диагнозов из их множества ml, каждая из которых также не имеет значений больше нуля для всех р2 Е
Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2015. № 3 (07)
Довгаль В. М., Воронин В. В. Анализ одной разновидности систем поддержки принятия решений в медицине с применением нечеткой логики
Р2, всех р; £ Pi или всех pn £ Рп. Каждая компонента упорядоченного набора р; £ Pi не принадлежит каждому из ml = [<p\, p2,...pn >} е Р1ХР2Х ... хРп на основании того, что все элементы каждого класса являются упорядоченными наборами <pi,p2,.. ,pn >, но не являются множествами своих компонент {p1, p2,...pn}. Между тем в работе [Филатова 2011] и других работах задаются ненулевые значения функции принадлежности для подмножеств элементов р; £ Pi к каждому ml ={<p1, p2,...pn>}, что является стандартной нелепостью (абсурдом) в теории нечетких множеств, поскольку все компоненты упорядоченного набора не принадлежат, а только входят в него.
Итак, элементами каждого класса диагнозов являются упорядоченные наборы компонентов <p1,p2,...pn>, а элементами каждого отдельного взятого множества Pi есть однокомпонентные наборы < p1>, <p2>,...<pn>. Любые упорядоченные наборы, имеющие фиксированное число компонент Мо, не равны упорядоченным наборам, которые содержат другое число компонент М*, при Мо Ф М*. Тогда при ml = {<p1, p2,.pn>}i будем иметь:
1. {<p1, p2,.pn>}i П {< p1>} = 0 для всех l.
2. {<p1,p2,.pn>}i П {<p2>} = 0 для всех l. (8)
n. {<p1, p2,.pn>}l П {<pn>} = 0 для всех l.
Таким образом, у каждых из двух множеств наборов в каждой строке из списка формул (8) нет общих элементов, их пересечение является пустым множеством, а степень принадлежности любого элемента к пустому множеству равна нулю. Тогда для всех l будем иметь p{<ph^„..^КрО = 0 для всехph p{<ph^...pn^lto) = 0 для всехp2,...., P{<p1, p2,...pn>]l (рп) = 0 для всех pn или на основании (1) для всех p1 ры (р1) = 0, для всех p2 Ры (р2) = 0,., для всех pn ры (рп) = 0.
Утверждение 1. Если два любых ненечетких множества не пересекаются, то функции принадлежности элементов одного множества к другому имеют только нулевые степени принадлежности.
Действительно, если заданы любые два ненечетких множества R и Q, каждое из которых задано функциями принадлежности, принимающими значения или только 0, или только 1 на универсуме U, при этом RnQ = 0, то тогда pR(q) = 0 для всех q £ Q и pg(r) = 0 для всех r £ R, поскольку ни один элемент, принадлежащий Q, не
принадлежит R, а также никакой элемент r £ R не принадлежит Q, что и требовалось получить в данном случае.
В том случае, если не нечеткие подмножества R е U1 и Q е U2, а U1nU2 = 0, где и1иЦ2 - два разных базовых множества, а R, Q есть носители (БирроЛ) нечетких подмножеств R~ и Q~, которые включены в U1 и U2 соответственно, то RnQ = 0 и R~nQ~ = 0 [Кофман 1982; Рутковская 2004].
Действительно, из U1HU2 = 0 следует U1 е not-U2, где not - обозначение операции дополнения множества. По закону контрапозиции и закону двойного отрицания получим U2 е not-U1, кроме того, задано R е U1 и Q е U2. По закону контрапозиции из Q е U2 получим not-U2e not-Q. Тогда по закону транспозиции
(R е U1) И (U1е not-U2) И (not-U2 е not-Q) => R е not-Q. (9)
По закону контрапозиции из R е not-Q получим not-not-Q е not-R или Q е not-R, отсюда рассматриваемые множества не имеют общих элементов, то есть RC\Q = 0. Действительно, из R е not-Q следует, что никакой элемент r £ R не принадлежит Q, а из Q е not-R следует, что никакой элемент q £ Q не принадлежит R, то есть RC\Q = 0. Тогда при RC)Q = 0 получим pR(q) = 0 для всех q £ Q и pg(r) = 0 для всех r £ R, что и требовалось доказать в данном случае.
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Поставляя в qQ(r) = 0 или в ^R(q) = 0 обозначения непересекающихся множеств m\ и Pi с его множествами значений р; в одну из двух приведенных функций принадлежности, например, juR(q) = 0, получим формулу qm\ (pi) = 0 для всех i и l.
Кроме того, R~ е R - на основании того, что R являются носителем (support) R~, всегда выполняется qR~(u\) < qR(ui) для всех ui G U1, а также Q~ е Q - на основании того, что Q является носителем Q~ , всегда выполняется ]uq~(u2) < hq (u2) для всех u2 G U2. Из R~ е R и Q~ е Q и того, что R c Q не имеют общих элементов, следует, что R~ c Q~ также не имеют общих элементов (очевидно из диаграммы Эйлера-Венна), то есть R~r\Q~ = 0, что и требовалось получить.
В некоторой части научных публикаций по проблемам медицинской диагностики без предварительного выполнения операции Р1*Р2 в качестве формулы для логического вывода, например для двух признаков и двух классов, используется выражение вида:
«Если (pi < 15%) И (р2 < 15%), то KYi = jUmi(pi) + qmi(pi) - Pm(pi)'Pm(?2), в
противном случае KYl = 0», (10)
где KYi - коэффициент уверенности в диагнозах m1 или m2 (l = 1, 2).
Решение принимается в пользу того диагноза m 1 или m2, для которого KYi будет иметь большее значение.
1. Выше было доказано, что р1 ир2 входят в ml или m2, но не принадлежат им, поэтому ненулевые функции принадлежности вида qml(pi) или qmi(p2) не существуют в теории нечетких множеств, даже если они неправомерно объявляются коэффициентами уверенности, известными из модели Шортлиффа-Бьюкенена (см. [Морсанова, Соловьев 2012].
2. На основании приведенных выше рассуждений доказано, что qmi(pi) = 0 и Hmi(p2) = 0, поскольку классы ml не имеют общих элементов ни с Р1, ни с Р2, а также m2 не имеет общих элементов ни с Р1, ни с Р2; авторами анализируемых работ перед расчетом коэффициентов уверенности не выполняется операция Р1*Р2, поэтому при любом результате выполнения или невыполнения условия (р1 < 15%) И (р2 < 15%) из (10) получим КУ1 = КУ2 = 0. При всегда равных значениях КУ1 и КУ2 разграничить классы диагнозов m1 и m2 невозможно. Это является достаточным основанием для вывода о том, что формула (10) является стандартной математической нелепостью в нечеткой логике. Ее применение в нечетком логическом выводе невозможно и не нужно, поскольку нулевой результат диагностики всегда и заранее известен.
3. Из доказанного обстоятельства, что нечеткие подмножества, включенные в разные множества значений разных признаков Р1 или Р2 при не выполнении операции Р1*Р2 (в общем случае - в разные признаки из набора Р1 ^ Рп ), не имеют общих элементов с mi, следует вывод о еще одной стандартной математической нелепости для случая корректно заданных функций принадлежности. Действительно, если в некоторые два не нечетких множества Р1 и Р2, не имеющих общих элементов, включены два нечетких множества R~ и Q~ соответственно, строго заданные корректными функциями принадлежности qR~(pi) и fJ.Q~(p2), и эти множества имеют пустое пересечение R~flQ~ = 0, то и их дополнения not-R~ и not-Q~, являясь нечеткими подмножествами, включенными в непересекающиеся не нечеткие множества Р1 и Р2, также не имеют общих элементов, то есть not-R~flnot-Q~ = 0. Тогда при выполнении операции Т-нормы получим (1 - qR~(p1)y(1 - jUQ~(p2)) = 0. Приведем выражение закона де Моргана:
qR~(pi) + HQ~(p2) - qR~(pi)'qQ~(pi) = 1- (1 - №~(р\)У(1 - VQ-p)) =1 - 0 = 1.
Таким образом, без выполнения операций прямого произведения Р1*Р2 или R~XQ~ для любого одного класса диагнозов при корректном задании функций принадлежности qR~(pi) и qQ~(p2) коэффициент уверенности в этом классе диагнозов задается выражением
Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2015. № 3 (07)
Довгаль В. М., Воронин В. В. Анализ одной разновидности систем поддержки принятия решений в медицине с применением нечеткой логики
КУа* = ^R~(pi) + - Pr4Pi)-Pq4P2), (11)
где а* ^ R~xQ~ является одним из нечетких множеств (классов) диагнозов. Вычисленный коэффициент уверенности по формуле (11) будет всегда равен 1 на основании закона де Моргана, как и для всех других классов диагнозов, будет выполняться - все КУ; = 1. При всегда равных всех коэффициентах уверенности классы диагнозов (состояний) невозможно разграничить, поскольку отсутствуют условия для выбора того диагноза, для которого КУ будет больше КУ всех других диагнозов, поэтому вычисления не нужны и непродуктивны в медицинской диагностике. В подавляющей части из проанализированных нами публикаций, в которых используется приведенная выше методика компьютерной диагностики, не выполняется перед выполнением S-нормы для вычисления коэффициентов уверенности операция прямого произведения Р1*Р2 или R;~*Q;~ для всех ; с использованием Т-нормы, например «алгебраическое произведение» ^R;~xQi~(p1,p2) = Цш-Урд'^Q;~(p2) в соответствии с каждым классом диагнозов а;.
Резюме
Основной результат анализа инструментальных средств поддержки принятия решений, используемых на основе теории нечетких множеств, в медицинской диагностике или для оценки состояний испытуемых, заключается в том, что приведенная в анализируемых работах схема принятия решений содержит как некорректные исходные данные, так и математически абсурдные (в контексте reduction ad absurdum) формулы для вычисления коэффициентов уверенности в принятых решениях. Кроме того, в рассматриваемых работах с применением нечеткой логики для принятия медицинских решений отсутствуют результаты сравнения с аналогами в виде алгоритмов медицинской диагностики и соответствующих программных средств. Никаких программных средств реализации заявленных в анализируемых работах методики медицинской диагностики не приводится.
Библиографический список
Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: пер. с франц. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.
Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
Морсанова Н.А., Соловьев С.Ю. Формальные свойства схемы Шортлиффа // Управление большими системами: сб. тр. 2012. № 36. С. 5-38. URL:
http://ubs.mtas.ru/upload/library/UBS3601.pdf (дата обращения: 02.09.15).
Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая линия -Телеком. 2004. 452с.
Филатова О.И. Метод, модели и алгоритм анализа и управления функциональным состоянием человека на основе нечетких гетерогенных правил принятия решений: дис. ... канд. техн. наук: 05.17.11. Курск, 2011. 179 с.
