CC BY
31
УДК 004.891.3
0 КОРРЕКТНОСТИ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
АДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ МЕТАЛЛОРЕЖУЩИМ ОБОРУДОВАНИЕМ
© 2017 В. М. Довгаль1, В. В. Воронин2
1 профессор, докт. техн. наук, кафедры программного обеспечения и
администрирования информационных систем e-mail: vmdovgal@yandex. ru 2канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и теории обучения математике e-mail: crvs@yandex.ru
Курский государственный университет
Основной материал данной статьи представляет собой критический анализ одного из подходов к использованию прикладной теории нечетких множеств при создании адаптивной модели управления системой механической обработки изделий. Доказываются необходимые утверждения и следствие того, что в используемом математическом аппарате (fuzzy set) осуществлены подмены промежуточных данных и данных о результатах нечеткого логического вывода, обнаружены противоречия с основными определениями используемой теории и невыполнение некоторой части критериев научности знаний.
Ключевые слова: адаптивная система управления, нечеткая модель, функция принадлежности, нечеткое множество, логическая операция, логический вывод, формула, язык, критерий, научность знания.
В своей речи на Общем собрании РАН в 2012 г. В.В. Путин сказал: «Нужно убрать всё то, что дискредитирует научное сообщество, снижает его авторитет. Тем более следует быть нетерпимым к тем, кто паразитирует на науке. И здесь хочу отметить принципиальную позицию членов Комиссии РАН по борьбе с лженаукой и фальсификацией научных исследований». Проблемы поиска новых технических решений при создании адаптивных систем управления механической обработкой изделий имеет важное народнохозяйственное значение. Однако некоторые разработчики названных систем управления некорректно используют математические модели на основе теории нечетких множеств А. Л. Заде (далее по тексту - ТНМЗ) [Заде 1976], что аннулирует преимущества используемого математического аппарата и приводит к неадекватности системы управления в заданной сфере приложений. Следует заметить, что в среде специалистов составные понятия «теория нечетких множеств А.Л. Заде» и «нечеткая логика А.Л. Заде» принимаются в качестве равнозначных понятий. Цитата из лекции [ИНТУИТ]: «... нечеткая логика равнозначна теории нечетких множеств».
Определение 1. Функция принадлежности в ТНМЗ для всех элементов универсального не нечеткого множества U к его любому нечеткому подмножеству есть отображение /л: U ^ [0, 1], где U - универсальное множество, [0, 1] - множество принадлежностей [Леоненков 2005; Заде 1976].
Такое же множество принадлежностей в виде интервала [0, 1] используется в работе [Бобырь 2012].
В соответствии с определением 1 в теории нечетких множеств (нечеткая логика) нет нечетких множеств, в том числе одноэлементных и пустых множеств, с функциями принадлежности с областью значений, которые не являются элементами множества принадлежностей [0, 1]. График функции принадлежностей Г(и) нечеткого множества А является подмножеством прямого произведения £/х[0, 1], и каждой своей точкой задает упорядоченные пары вида <u, ¡А(и)>. Тогда объединение всех полученных упорядоченных пар {<u, цА(и)>) для всех и G U совпадает с нечетким множеством А. Таким образом, функция принадлежности представляет собой один из способов строгого задания нечетких подмножеств первого типа в названной теории [Заде 1976]. Результатом любой логической операции над нечеткими подмножествами первого типа является нечеткое множество первого типа со своей функцией принадлежности, принимающей значение на закрытом интервале [0, 1] [Леоненков 2005].
М.В. Бобырь в процессе нечеткого логического вывода использует для реализации логической операции «И», заданной в левых частях правил вывода, следующее выражение для вычисления степеней принадлежности элементов к нечеткому множеству (так называемый в работе «мягкий минимум»):
ö-min(ß1, ¡2) = 0,5*^1+ ¡2 + ö2 - sqrt((ß1-¡¡2)2 + ö2), (1)
где ö = 0,05, sqrt - обозначение арифметического квадратного корня, ¡1, ¡2 -значения степеней принадлежности, все из которых являются элементами интервала [0, 1].
Значения степеней принадлежности получают или после этапа фаззификации в нечетком логическом выводе, или после вычисления степеней принадлежности элементов к нечетким множествам, которые являющихся результатом их пересечения или прямого произведения. Легко проверить, что при подстановке в выражение (1) ¡1 = 0 и ¡2 = 0 всегда получим отрицательную степень принадлежности 0,5*(ö2 - ö) = 0,5*(0,0025 - 0,05) = -0,02375. Вместе с тем для всех значений ¡1 и ¡2, когда верным является неравенство
¡1 + ¡2 + 52 < sqrt((ß 1 - ¡¡2)2 + ö2), (2)
при их подстановке в выражение (1) всегда будем получать отрицательные значения результата вычисления степеней принадлежности элементов к нечеткому множеству, например, одноэлементное нечеткое подмножество V = В И С. Соответственно, В = b есть и С = с есть ¡2 также являются одноэлементными подмножествами. При двух нечетких переменных ц1 и ц2 представляют собой предусловия в левых частях правил нечеткого логического вывода, то есть (b есть ¡1) И (с есть ц2). Однако при применении выражения (1) в ТНМЗ вычисленные отрицательные степени принадлежности противоречат определению 1 функции принадлежности для известного подмножества упорядоченных наборов нечетких переменных ¡i (i = 1, 2,...,n, где n - число нечетких переменных). Таким образом, научное исследование [Бобырь 2012] основано на противоречии с используемым математическим аппаратом. Составное понятие «отрицательная степень принадлежности» - классический оксюморон (сочетание несочетаемого) в ТНМЗ, также представляющий собой формально-логическое противоречие. Заявленное в работе знание, основанное на формально логическом противоречии, не является научным текстом по критерию непротиворечивости на основании материалов работы М. Саврушевой [http://www.gumer.info/bogoslov_Buks/Philos/savrush2/16.php].
Выполнение любой логической операции над нечеткими подмножествами (пересечение, объединение, импликация, дополнение, прямое произведение множеств), а также всех логических операций над нечеткими множествами, которые приводятся к ним путем эквивалентных преобразований, дает в результате нечеткое подмножество первого типа, которое задается функцией принадлежности с областью значений только
из [0, 1]. Например, для вычисления дополнения в теории нечетких множеств традиционно используется формула
Мне-А(и) = 1 - Ми) (3)
для всех и £ и, а все значения цне-А(и) принадлежат [0, 1].
При подстановке отрицательной степени принадлежности (пусть, например, цА(и) = -0, 02) получим:
^не-А(и) = 1 - (-0,02) = 1,02,
что противоречит определению 1, так как 1,02 £ [0, 1].
Существует способ определения формул языка ТНМЗ на множестве его любых слов по их характеристическим свойствам [Леоненков 2005]. Характеристическая функция для не нечетких (классических) множеств равна или только 0, или только 1. Если определяется, что некоторые слова рассматриваемого языка имеют характеристическое свойство формул данного языка, то характеристическая функция равна 1. В противном случае, характеристическая функция равна 0. В этом случае слово в заданном алфавите не имеет характеристического свойства формул языка ТНМЗ, как бы вычисляющих степени принадлежности, и является исходно бессмысленной цепочкой символов. Это имеет непосредственное отношение к выражению (1) анализируемой работы.
В соответствии с определением 1 любое выражение в ТНМЗ для вычисления степеней принадлежности элементов и к нечеткому множеству А, которое дает результат на некоторых упорядоченных наборах аргументов отрицательные степени принадлежности, не принадлежит подмножеству формул языка ТНМЗ на основании того, что в ТНМЗ не существует таких нечетких подмножеств и, обладающих характеристическим свойством «иметь отрицательную степень принадлежности» хотя бы на одном упорядоченном наборе аргументов <ц1, ц2,..., ци>. Выполним доказательства следующих утверждений в контексте прикладной теории нечетких множеств (нечеткая логика).
Утверждение 1. Выражение (1) не принадлежит множеству формул Г-нормы, реализующих операцию «И», при определении степени принадлежности в левых частях правил нечеткого логического вывода с использованием ТНМЗ. Действительно, все многоместные Т-нормы отображают
[0, 1] х [0, 1]х...х [0, 1] ^ [0, 1]. (4)
Выражение (1), которое обозначим как одноэлементное множество {Б}, заявленное в работе [Бобырь 2012] в качестве «формулы» языка ТНМЗ для вычисления степеней принадлежности элементов и к пересечению или прямому произведению любых его нечетких подмножеств первого типа, для упорядоченных наборов, соответствующих верному неравенству (2), вычисляет отрицательные степени принадлежности.
На основании (4) результат вычисления с использованием формул Т-нормы языка ТНМЗ с необходимостью является элементом закрытого интервала [0, 1] для каждого и Е и. Приведем опровергающий пример. Пусть ц1 = 0,01 и ц2 = 0,02. Подставив эти значения в (1), получим:
ё-шт(0.01, 0,02) = -0,009245, то есть -0,009245 £ [0, 1]. Следовательно, установлено явное противоречие, которое заключается в том, что «мягкий» минимум (1) из двух неотрицательных чисел равен отрицательному числу, чего не может быть по определению 1, а также не соответствует отображению (4). Это наглядная иллюстрация стандартной математической нелепости, недопустимой в любой нечетко-логической модели и любом научном тексте, поскольку минимум («жесткий» или «мягкий») из двух и более неотрицательных чисел не является отрицательным числом.
Пусть имеются не нечеткое множество формул Q, элементами которого являются все формулы Г-норм языка ТНМЗ, и не нечеткое множество W с элементами, представляющими собой все формулы этого же языка, для вычисления степеней принадлежности при реализации логических операций над нечеткими множествами, включая одноэлементные множества, например, пересечения, объединения, прямого умножения множеств, импликации, дополнения множеств или других логических операций, сводящихся к ним путем эквивалентных преобразований. Все формулы, принадлежащие не нечетким множествам Q или W, вычисляют только такие степени принадлежности, значения которых принадлежат закрытому интервалу [0, 1]. Введем множество всех формул R языка ТНМЗ, которые реализуют функцию принадлежности: ¡: U - [0, 1],
то есть любые функции принадлежности в соответствии с определением 1 к любым исходным или результирующим нечетким подмножествам не нечеткого множества U.
Следует отметить, для отношения включения не нечетких множеств справедливы законы транзитивности и контрапозиции. Это очевидно при использовании диаграмм Эйлера-Венна.
Итак, имеем исходные отношения включения Q с R и W с R; это следует из того, что в результате применения формул из множеств Q и W вычисляются степени принадлежности к нечетким подмножествам из интервала [0, 1], что является характеристическим свойством всех формул языка ТНМЗ. Кроме того, имеем отношение включения {Б} с не-R, поскольку отрицательных степеней принадлежности не существует в ТНМЗ в строгом соответствии с определением 1. Для любого упорядоченного набора аргументов
<¡1, ¡2,., ¡n > формулы языка ТНМЗ вычисляют только такие значения, которые принадлежат [0, 1].
По закону контрапозиции выводится: из {Б} с не-R следует R с не-{Б}. По закону транзитивности получим: (Q с R) И (R с не-{Б}) значит Q с не-{Б}. Тогда по закону контрапозиции выводится, что из Q с не-{Б} следует {Б} с не-Q)
Следовательно, формула (1) не является формулой Г-нормы, а тогда она не реализует логическую операцию «И» при вычислении степени принадлежности левых частей правил для нечетких логических выводов. Результатом логической операции «И» является нечеткое подмножество, заданное на U, в том числе пустое, а каждое нечеткое подмножество, даже одноэлементное и пустое, имеют свою функцию принадлежности, принимающую значение из закрытого интервала [0, 1] на основании определения 1.
Истинность утверждения 1 установлена, что и требовалось получить. Следствие 1. На основании верных отношений включения {Б} с не-R и W с R выражение (1) не является формулой языка ТНМЗ.
Для всех ¡1 и ¡2 таких, что ¡1 + ¡2 + Ö < sqrt((p1 - ¡2)2 + ö2), вычисленные степени принадлежности элементов не нечеткого универсального множества U всегда будут отрицательными, но на основании определения 1 отрицательные степени принадлежности не существуют в ТНМЗ. По закону контрапозиции получим: из W с R следует не-R с не-W. По закону транзитивности выводим:
({Б} с не-R) И (не-R с не-W) значит {Б} с не-W, следовательно, {Б} не является подмножеством множества W всех формул языка ТНМЗ, что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Подстановка отрицательной степени принадлежности в любую формулу ТНМЗ для вычисления степеней принадлежности элементов универсального множества и к любому его нечеткому подмножеству влечет за собой коллизию формально-логического противоречия.
Действительно, все формулы языка ТНМЗ содержат только такие из них, которые вычисляют значения из закрытого интервала [0, 1] для степеней принадлежности элементов универсального множества и к любому его нечеткому подмножеству первого типа, в соответствии с определением 1. Любой результат процедуры фаззификации с использованием функций принадлежности также принадлежит только закрытому интервалу [0, 1]. В ТНМЗ не существует других способов получения степеней принадлежности к нечетким подмножествам множества и. Поскольку отрицательные степени принадлежности не существуют в теории нечетких множеств Лотфи Заде, то не могут появиться в качестве нечетких переменных в любой формуле языка данной теории. Следовательно, выражения, содержащие или вычисляющие хотя бы одну из отрицательных степеней принадлежности хотя бы на одном упорядоченном наборе аргументов (в виде упорядоченного набора нечетких переменных //), не являются формулами теории нечетких множеств Лотфи Заде. Формально-логическое противоречие заключается в том, что отрицательные степени принадлежности не существуют в ТНМЗ и одновременно существуют в рамках этой же теории в выражениях для вычисления как бы степеней принадлежности с применением выражения (1) [Бобырь 2012]. Истинность утверждения 2 доказана.
В работе [Бобырь 2012] при выполнении нечеткого логического вывода используется выражение (1), которое в соответствии со следствием 1 не является формулой языка ТНМЗ и вычисляет отрицательные степени принадлежности при верном неравенстве (2). Это обстоятельство, по нашей оценке, приводит к нарушению формально-логического критерия полноты научного знания. Затем в этой работе полученное отрицательное значение принадлежности с применением выражения (1) как бы аннулируется путем применения параметрической формулы ¿'-нормы для вычисления степеней принадлежности к объединению нечетких множеств при у = 1: у(тах(р1, /2,., /п) + (у- 1) ((/1+ /2 +... + /п)/п), где п - число нечетких переменных (аргументов), то есть используется тах(/1, /2,., /п).
Важно отметить, что любая компонента упорядоченного набора (кортежа) аргументов не может принимать отрицательное значение степени принадлежности при использовании выражения (1), которое не является формулой языка ТНМЗ. Однако при существовании хотя бы одной отрицательной компоненты в упорядоченном наборе аргументов <ц1, ц2,..., цп> алгоритм нечеткого логического вывода, предложенный в работе [Бобырь 2012], выполняется, например, для четырех аргументов:
тах(0,6; -0,02; 0,7; 0,3) = 0. Однако максимум в данном случае равен 0,7, а выражение тах(0,6; -0,02; 0,7; 0,3), в соответствии с утверждением 2, не является формулой языка теории нечетких множеств Лотфи Заде, поскольку отрицательных степеней принадлежности не существует в ТНМЗ. Нулевое значение функция тах(/1, /2,., /п) принимает в ТНМЗ только при всех нулевых значениях аргументов, поскольку данная формула соответствует объединению нечетких множеств, включенных в и. Важно то, что операция тах(/1, /2,., /п) строго определена в теории нечетких множеств, например, в основополагающем исследовании А. Кофмана [1982], а ее аргументами являются такие степени принадлежности //, которые в ТНМЗ принимают значения только из закрытого интервала [0, 1].
Конструктивность изложенного в данной статье критического анализа заключается в том, что вместо явно ошибочного выражения (1), не являющегося формулой языка ТНМЗ, целесообразно использовать формулу, которая является одноэлементным подмножеством множества формул W для вычисления степеней принадлежности из [0, 1] к пересечению нечетких множеств или их цилиндрических расширений. Предлагаемая нами формула имеет вид
ö-min(ju1, ¡2) = 0,5-(¡1 + ¡2 - (¡1 - ¡u2)2/sqrt((ju1 - ¡2)2 + 52). (5)
Данная формула выводится из следующей формулы «жесткого» минимума [Пегат 2009], то есть из
min(ju1, ¡2) = 0,5-( ¡1 + ¡2 - (¡1 - ¡2ysgn(ß1 - ¡2)) (6)
путем подстановки в (6) выражения мягкой формы sgnö(ß1 - ¡2), имеющей вид
sgns(ß 1 - ¡2) = (¡1 - ¡u2)/sqrt((ju 1 - ¡2)2 + ö2) (7)
Следует отметить, что выражение (1), которое используется в работе [Бобырь 2012], не выводится из формулы (5).
Заключение и оценочные суждения
1. Выбор выражения (1) и несуществующих отрицательных аргументов в равенстве, например, max(0,6; -0,02; 0,7; 0,3) = 0 для вычислений степеней принадлежности является в анализируемой работе субъективным, что, по нашему убеждению, нарушает критерий независимости в подлинно научном знании. Таким образом, приведенное в утверждении 2 формально-логическое противоречие, которое появилось в результате подмены формулы «мягкого» минимума (5) ошибочным выражением (1), которое вычисляет отрицательные степени принадлежности, не существующие в ТНМЗ. На этом основании, работа оценивается нами как недобросовестная. Также в этой «научной» работе осуществлена подмена промежуточных данных после этапа фаззификации как бы «нечеткого логического вывода» и его результата, а также искажены структура и назначения нечеткого логического вывода, поскольку используемое для его реализации выражение (1) имеет несуществующее характеристическое свойство «вычислять отрицательные степени принадлежности» на вполне определенном подмножестве упорядоченных наборов нечетких переменных {<¡1, ¡2,..., ¡n>} в соответствии с (2).
2. Кроме того, использование несуществующих в ТНМЗ отрицательных значений нечетких переменных в упорядоченном наборе степеней принадлежности <¡1, ¡2,., ¡n> является в анализируемой работе типичным приемом wishful thinking в ТНМЗ при разработке на ее основе адаптивной системы управления механической обработкой изделий. Любой нечеткий логический вывод, основанный на формально логическом противоречии или при использовании желаемого вместо действительного, исключает уверенность в объективности полученных теоретических результатов, то есть в их достоверности.
3. Достоверность - одна из основных общетеоретических проблем науки -сводится к объективности научного знания. Научное знание, основанное на противоречиях и подменах данных, не является объективным, поскольку его основные положения опровергаются (фальсифицируются) установленным выше по тексту формально-логическими противоречиями, а также приведенными доказанными утверждениями 1 и 2, а также следствием 1.
4. Знание, представленное в работе [Бобырь 2012], по совокупности признаков не может быть признано подлинно научным текстом. Алгоритм работы системы управления, реализующий нечеткий логический вывод с использованием выражений, которые не являются формулами языка ТНМЗ, следует оценочно отнести к классу недопустимых средств получения результатов нечетко-логического моделирования
с его помощью. В частности, алгоритм, содержащий выражение (1) приводит к появлению несуществующих в ТНМЗ промежуточных данных и неверным результатам нечеткого логического вывода. Кроме того, в анализируемой работе, по нашему мнению, фиктивный нечеткий логический вывод используется в нечеткой нейронной сети и основном алгоритме системы управления (как бы для повышения эффективности механической обработки изделий), что ставит под сомнение работоспособность и адекватность всей системы управления.
5. Теоретические основы адаптивной система управления не могут быть отнесены к экспериментально подтвержденным положениям при использовании некорректной нечетко-логической модели в анализируемой работе. Экспериментальная проверка теоретических положений (эмпирический критерий истины), с необходимостью ориентирована на выявление установленных формально логических противоречий и ложную декларацию в качестве формулы языка ТНМЗ выражения (1), порождающего при выполнении логических операций над нечеткими множествами несуществующие отрицательными значения нечетких переменных. Нельзя экспериментально проверить объекты с несуществующими характеристическими свойствами. Например, нельзя экспериментировать с людьми с характеристическим свойством: «иметь рост выше 10 метров». На этом основании к результатам экспериментального исследования, представленного в анализируемой работе, по нашему мнению, нельзя относиться с доверием.
6. Вместе с тем выполнение только одного «достоинства» выражения (1), обеспечивающего «чувствительность к изменению входных параметров и, как следствие, аддитивность нечетко-логической системы», не является достаточным основанием для использования несуществующих отрицательных степеней принадлежности в ТНМЗ, заявленной в качестве основного математического аппарата анализируемого исследования. Кроме того, реализация альтернативного логического вывода Такаги-Сугэно осуществлена с помощью несуществующей манипуляции с данными в нечеткой логике Лотфи Заде после процедуры фаззификации, что оценочно свидетельствует о подмене промежуточных данных для этого нечеткого вывода.
7. Вместе с тем в анализируемой работе нарушен критерий когерентности, который в подлинно научном знании требует согласованности, взаимосвязанности полученных результатов исследования с теми знаниями, которые уже были оценены как фундаментальные в теории нечетких множеств (нечеткая логика) Лотфи Заде. Нигде и никогда в рамках теории нечетких множеств Лотфи Заде не использовались отрицательные степени принадлежности элементов универсального множества и к любым его нечетким подмножествам ни в качестве результатов вычисления степеней принадлежности, ни в качестве аргументов формул для реализации таких вычислений в соответствии с определением 1 и доказанным утверждением 2.
8. Такого класса работы целесообразно по совокупности признаков относить (оценочно) к имитации научного исследования, которое лежит за пределами границ научного знания. Об этом феномене сообщено в журнале «Наука», КоммерсантЪ, № 7, 2015 - в рубрике «Паразиты науки» в разделе «Лженаука» на странице 43, на которой упоминается и работа М.В. Бобыря.
Библиографический список
Бобырь М.В. Методы, модели и алгоритмы создания автоматизированных систем контроля и управления для повышения эффективности механической обработки изделий: дис. ... докт. техн. наук. 05.13.06 - Автоматизация и управление
технологическими процессами и производствами (промышленность), ЮЗГУ. Курск, 2012. 344 с.
Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М/: Мир, 1976, 165 с.
ИНТУИТ: лекции. URL: http://www.intuit.ru/studies/courses/87/87/lecture/20513 (дата обращения: 10.02.17).
Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.
431 с.
Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTEX. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 736 с.
Моисеев В.И. Философия и методология науки. Воронеж: Изд-во ВГМА, 2003. 239 с. URL: http://society.polbu.ru/moiseev_sciencephilo/ch29_i.html. (дата обращения: 10.02.17).
Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. 798 с.
Саврушева М. Философия науки и техники [Электронный ресурс]. URL: http://www.gumer.info/bogoslov_Buks/Philos/savrush2/16.php. (дата обращения: 10.02.17).
