CC BY
43Panikarovskii E. V., Candidate of Technical Sciences, scientific worker, Laboratory of wells repair and operation, Limited Liability company TyumenNIIgiprogas", phone: (3452) 28-66-97
Panikarovskii V. V., Doctor of Technical Sciences, Leading scientific worker, Laboratory of producing formations drilling and wells productivity improvement, Limited Liability company «TyumenNIIgiprogas», phone: (3452) 28-67-35
УДК 539.32-047.44
АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ГИПЕРУПРУГОГО МАТЕРИАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДАННЫХ ОДНОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
И. В. Поздняков
(Тюменский государственный нефтегазовый университет)
Ключевые слова: модели поведения гиперупругого материала, метод конечных элементов, метод наименьших квадратов, потенциальная энергия деформации
Key words: nyperelastic material models, finite element method, least square method, strain energy
Материал резина широко используется в машинах и агрегатах нефтегазовых промыслов, из него выполняются манжеты пакеров, уплотнительные кольца, сильфоны торцевых уплотнений, диафрагмы гидрозатворных камер гидрозащит погружных электроцентробежных насосов, обоймы винтовых насосов и т.д. Наиболее наглядной, а так же важной характеристикой резины, определяющей ее применение и одновременно значительно усложняющей процесс расчета и конструирования, является способность сильно изменять свою форму под действием относительно небольших, по сравнению с остальными конструкционными материалами, напряжений. Максимальные деформации при растяжении резины могут достигать 500% и более, при этом они являются почти полностью обратимыми.
Из графика растяжения резины (рис. 1) можно увидеть ярко выраженную нелинейную зависимость напряжений от деформаций. Здесь значения модуля упругости могут изменяться в несколько раз, следовательно, для корректного описания поведения этого материала в зоне упругости закон Гука не подходит (за исключением малых деформаций).
Рис.1. Типичная диаграмма растяжения резины
Для описания механических свойств резины принято использовать потенциальную энергию деформации, рассматриваемую как скалярную функцию инвариант тензоров либо мер деформации [1].
Наиболее удобным при исследовании напряженно-деформированного состояния эластомеров является метод конечных элементов, реализованный в настоящее время в ряде коммерческих программных пакетов, например, ANSYS, ABAQUS, Marc, а так же в открытых программных пакетах, например, FEBio. Преимущества данного метода при работе с эластомерами достаточно полно описываются в работе [2]. Конечно--элементные программные пакеты содержат ряд моделей гиперупругих материалов, представляющих различные формы записи потенциальной энергии деформации. Данные модели имеют свои особенности и требуют более подробного рассмотрения. Ниже приведены наиболее часто используемые из них.
Общая форма записи потенциальной энергии деформации, которую предложил Ривлин, включает частные случаи, неогуковскую модель, модель Муни и записывается в виде
г = Е с,(/, - з) I - зу, (1)
где С, - константы материала, г и] - индексы, указывающие на степень (I , — 3) и (I, — 3)
соответственно, 1Р12,13 - инварианты мер деформации.
Ривлин подошел с чисто математической точки зрения к описанию функции потенциальной энергии гиперупругого материала, основываясь на допущении об изотропии и несжимаемости материала, а также на рассуждениях, имеющих логическую связность [3], он утверждал, что функция энергии деформации должна зависеть только от главных удлинений в четных степенях, тогда тремя функциями Хь удовлетворяющими вышеперечисленным требованиям будут следующие:
/1 =А2 + 4 +4 (2)
12=442(3) /3 =42424, = 1- (4)
Несжимаемости материала соответствует (4). Инварианты 11 и 12 могут быть представлены как две независимые переменные, определяемые тремя главными удлинениями. Величины (1; — 3) и (12 — 3) подобраны таким образом, что функция потенциальной энергии деформации должна обратиться в ноль при нулевых главных деформациях. С этой же целью принято Ст = 0 .
Из (1), приняв г=1 и /=0, можно получить так называемую неогуковскую модель, к которой Трелоар пришел, используя гауссовскую кинетическую теорию для резиноподобных материалов:
Ж = С (/1 — 3). (5)
За исключением некоторых вулканизированных резин с органическими наполнителями данная форма приводит к результатам, которые грубо согласуются с экспериментальными данными [4].
Форма записи потенциальной энергии деформации Муни может также быть представлена с помощью общего полинома Ривлина:
Ж = Сю (/1 — 3)+ С01 (/2 — 3) (6)
Несмотря на то, что эта модель дает хорошее согласование с экспериментальными данными до 100% относительной деформации растяжения, она все же не учитывает дальнейшего повышения жесткости материала.
Некоторые ученые пытались расширить полиномиальную запись потенциальной энергии деформации резины при использовании слагаемых высших порядков. Ниже приведены несколько примеров таких функций.
Пяти- и девятиконстантные модели Муни-Ривлина:
^ = С10 (I, — 3) + С01 (12 — 3) + С20 (I, — 3)2 + Сп (I, — 3)13 — 3) + С02 (12 — 3)2, (7) Ж = Сю / — 3) + Со! (/2 — 3)+ С20 / — 3)2 + Си / — 3)(/2 — 3)+ С02 (/2 — 3)2 +... ...+ С30 (/ — 3)3 + С21 / — 3)2 (/2 — 3)+ С12 (/1 — 3)(/ 2 — 3)2 + С03 (/2 — 3)3.
(8)
Модель Еоха (УеоИ), где функция потенциальной энергии деформации зависит только от первой инварианты [2]:
Ж = Сю (/1 — 3) + С20 (/1 — 3)2 + С30 (/1 — 3)3. (9)
Модель третьего порядка Джеймса-Грина-Симпсона:
W = Сю I -3)+ Сох(/2 -3)+ СпI -3)(/2 -3). (10)
Существует также модель Огдена, которая, в отличие от рассмотренных функций, не требует выражения энергии деформации через инварианты мер деформации [3]:
Ж = £ ^ (л"" + Л"" + Л"" - з) (11)
п=тп
где ап и цп - константы материала. Причем ап может иметь положительное и отрицательное значения и необязательно являться целым числом. Данная форма записи энергии деформации позволяет получить хорошее согласование с экспериментальными данными, полученными при различных напряженно-деформированных состояниях.
Часто перед исследователем возникает вопрос о корректности использования данных только одного деформированного состояния для получения модели материала, которая, предполагается, будет описывать его поведение и в сложном напряженно-деформированном состоянии. Такой вопрос может возникнуть, например, при задании параметров материала в конечно-элементной модели. Для того, чтобы получить ответ на данный вопрос, в нашей работе найдем константы материала для моделей по результатам только одноосного растяжения и построим расчетные кривые для остальных простых напряженно-деформированных состояний (равномерное двухосное растяжение, плоский сдвиг), а затем сравним их с данными эксперимента для этих же напряженно-деформированных состояний.
В качестве рассматриваемых моделей возьмем неогуковскую модель, модель Еоха третьего порядка, девятиконстантную модель Муни-Ривлина и модель Огдена.
При проведении сравнительного анализа моделей материала использовались экспериментальные данные простых напряженно-деформированных состояний (одноосного, равномерного двухосного растяжений, а также плоского сдвига) саженаполненного каучука. Показаны соотношения главных удлинений для соответствующих напряженно-деформированных состояний (рис.2). Так как предполагается, что материал является несжимаемым, то согласно (4), одно из трех главных удлинений можно выразить через два других:
Х3=Х; Х1=Х2=\/Х2 ^1=1; Х2=1/Х
Рис. 2. Типы напряженно-деформированного состояния материала:
а — одноосное растяжение; б—равномерное двухосное растяжение; в — плоский сдвиг
Необходимые константы для выбранных нами моделей материала получены с помощью применения метода наименьших квадратов, который в этом случае состоит в нахождении минимума выражения:
9
.э,.(С1,С3,С3....ЛО -Г*е,]2, (12)
1=1
где щ - количество точек экспериментальной кривой одноосного растяжения, fst¡ и fse¡ -расчетные и экспериментальные значения условного напряжения при одноосном растяжении, Сг,С2,С3... - константы материала, - главные удлинения при одноосном растяжении.
Далее приведены сравнительные диаграммы (рис. 3, 4, 5 и 6) экспериментальных данных и различных моделей гиперупругого материала. Для наглядности в каждом случае показаны диаграммы с относительными отклонениями расчетных значений напряжений от значений, полученных в результате экспериментов.
ев
С
% [Г
Э
8 Л
5
о ?
О
1,3 1,6 1,9 2,2 Относительное удлинение
£ о
50 40 30 20 10 0
б)
I1 1
1 1
1
V
Г" Ч, /
Л / О А А» 1 { \ /
\ 1 г Л*
1,3
1,6
1,9
Относительное удлинение
Экспериментальные кривые: + одноосное растяжение; о равномерное двухосное растяжение; х чистый сдвиг.
Расчетные кривые: -одноосное растяжение; равномерное двухосное растяжение;
---чистый сдвиг.
Рис. 3. а - диаграммы деформирования резины, построенные по экспериментальным данным, и расчетные диаграммы для неогуковской модели, полученные при учете данных только одноосного растяжения; б - диаграммы относительного отклонения расчетных кривых от экспериментальных данных
т ИЗ
и
Я 3
§
и
8 л
Й
о $
О
50 40 30 20 10 0
1 б)
1 /
» (
к • /
/
Л / »
1
\ г' г
1 [-V У
1 1,3 1,6 1,9 2,2 Относительное удлинение
1 1,3 1,6 1,9 Относительное удлинение
Экспериментальные кривые: + одноосное растяжение; о равномерное двухосное растяжение; х чистый сдвиг.
Расчетные кривые: - одноосное растяжение; равномерное двухосное растяжение;
---чистый сдвиг.
Рис. 4. а - диаграммы деформирования резины, построенные по экспериментальным данным, и расчетные диаграммы для модели Еоха, полученные при учете
1
1
4
данных только одноосного растяжения; б - диаграммы относительного отклонения расчетных кривых от экспериментальных данных
х= 20 000 000 г
й с
4
к я
I §
Я
О
я н О
1,3 1,6 1,9 2,2 Относительное удлинение
16 000 000
12 000 000
8 000 000
4 000 000
/
/
б »
1 /
! Г
/
/ !
/
Г
1,3
1,6
1,9
Относительное удлинение
Экспериментальные кривые: + одноосное растяжение; о равномерное двухосное растяжение; х чистый сдвиг.
Расчетные кривые:-одноосное растяжение; равномерное двухосное растяжение;
---чистый сдвиг.
Рис. 5. а - диаграммы деформирования резины, построенные по экспериментальным данным, расчетные диаграммы для девятиконстантной модели Муни-Ривлина, полученные при учете данных только одноосного растяжения; б - диаграммы относительного отклонения расчетных кривых от экспериментальных данных
3
2
1
0
0
1
Экспериментальные кривые: + одноосное растяжение; о равномерное двухосное растяжение; х чистый сдвиг.
Расчетные кривые:-одноосное растяжение; Равномерное двухосное растяжение;
---чистый сдвиг.
Рис. 6. а - диаграммы деформирования резины, построенные по экспериментальным данным, расчетные диаграммы для двенадцатиконстантной модели Огдена, полученные при учете данных только одноосного растяжения; б - диаграммы относительного отклонения расчетных кривых от экспериментальных данных
Как видно из приведенных рисунков, неогуковская модель ведет себя стабильно во всем диапазоне деформирования в трех рассматриваемых деформированных состояниях, однако, она грубо согласуется с экспериментальными данными, поэтому использование этой модели может ограничиваться только первоначальными ориентировочными расчетами. Девяти-константная модель Муни-Ривлина, а также модель Огдена позволяют добиться максимального соответствия с экспериментальной кривой одноосного растяжения. Однако в других деформированных состояниях первая модель не соответствует реальному поведению материала, и относительные отклонения от экспериментальных кривых принимают неправдоподобно большие значения, тогда как в случае второй модели материал становится значительно более жестким, что также не соответствует его реальному поведению. Лучшее соответствие экспериментальным данным получено при использовании модели Еоха, которая достаточно точно описывает кривую одноосного растяжения, при этом расчетные кри-
вые для других деформированных состояний также хорошо соответствуют экспериментальным данным при относительном удлинении не более 1,6.
Не все модели гиперупругого материала, построенные на основе только одноосного растяжения, позволяют корректно описывать его поведение в сложном напряженно-деформированном состоянии. При этом существует большой риск получить модель, не отвечающую реальным свойствам материала, в особенности для моделей, представленных в виде полиномиальных записей высших порядков. Для наглядности можно построить диаграмму зависимости потенциальной энергии деформации от первого и второго главных инвариантов деформации (в несжимаемой модели третий зависит от первых двух), тогда она будет иметь вид криволинейной поверхности (рис. 7). Любое из простых НДС (одноосное растяжение, равномерное двухосное растяжение, плоский сдвиг) представляют только отдельную линию на этой поверхности, которая, конечно же, не дает необходимой информации для построения всей поверхности [3,5].
Рис. 7.
Диаграмма зависимости потенциальной энергии деформации от первого и второго главных инвариант
Следовательно, для построения функции поведения гиперупругого материала лучше основываться на результатах общего двухосного растяжения [6]. Либо в отсутствие возможности проведения подобных экспериментов, рекомендуется также использовать результаты нескольких простых типов деформированного состояния. Тогда при нахождении констант материала минимизируемое выражение будет иметь следующий вид [7,8]:
nS - nB
2■Jfsti(C1,C2,C3 ...As,) - fse] + Z[fbt/C1,C2,C3...AbJ) - fbej]2 + ...
i=1 J=1 (13)
Пр
...+ 2L[fptk(C1,C2,C3,...Apk) - fpej2,
k=1
где nB , ир - количество точек экспериментальной кривой равномерного двухосного растяжения и плоского сдвига, fbtj и fbej , fptk и fpek - расчетные и экспериментальные значения условного напряжения при равномерном двухосном растяжении и плоском сдвиге соответственно, Abj , Apk - главные удлинения при равномерном двухосном растяжении и плоском сдвиге.
Список литературы
1. Адамов А. А. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986.
2. Nonlinear Finite Element Analysis of Elastomers.White paper. The MSC Software Corporation, 2010.
3. Treloar L.R.G. The Physics of Rubber Elasticity. Clarendon Press, Oxford, UK, 1975. - 310 c.
4. Дж. Оден Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. - 465 с.
5. Kenneth N. Morman, Why it is necessary to use data from more than one strain field in determining the Helmholtz free-energy (strain energy) density function. The ANSOL Corporation, 2005.
6. R. S. Rivlin, D. W. Saunders, Large Elastic Deformations of Isotropic Materials: VII. Experiments on the Deformation of Rubber // Philosophical Transactions of The Royal Society of London, A240, 1950, pp. -251-288.
7. Felipe T. Stumpf, Rogerio J. Marczak, Optimization of the constitutive parameters for hyperelastic models satisfying the Baker-Ericksen inequalities // Mecanica Computacional vol. XXIX, 2010, pp.
8. R. W. Ogden, G. Saccomandi, I. Sgura, Fitting hyperelastic models to experimental data// Computational Mechanics vol.34, 2004, pp. - 484-502.
Сведения об авторе
Поздняков Иван Валерьевич, аспирант, Тюменский государственный университет, e-mail: Pozdnyakov_@mail. ru
Pozdnyakov I. V.,graduate student of Tyumen State Oil and Gas University,e-mail:Pozdnyakov_@mail. ru
