Модель эффектов третьего порядка в статических задачах расчетов резинотехнических издели Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.31:517.928.7

МОДЕЛЬ ЭФФЕКТОВ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ РАСЧЕТОВ РЕЗИНОТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ

© 2010 г. Б.А. Жуков, Н.А. Щукина

Волгоградский государственный технический университет, Volgograd State Technical University,

пр. Ленина, 28, г. Волгоград, 400131, Lenin Луе, 28, Volgograd, 400131,

dvr@vstu.ru dvr@vstu.ru

В рамках эффектов 3-го порядка построена приближенная модель нелинейной теории гиперупругости, одинаково удовлетворительно описывающая различные напряженные состояния для средних уровней деформации. На основе имеющихся экспериментальных данных показано, что при умеренных значениях деформации предлагаемая кубическая модель потенциала описывает поведение резин при различных видах напряженно-деформированного состояния не хуже, чем точные решения, полученные на основе потенциалов Муни и Трелоара. Но в рамках данной теории получены 3 краевые задачи линейной теории упругости для эффектов 1-го, 2-го и 3-го порядков, что позволяет использовать для их решения хорошо разработанные методы линейной теории упругости.

Ключевые слова: эффекты третьего порядка, нелинейная гиперупругость, приближенная модель, метод возмущений, напряженно-деформированное состояние, краевая задача.

Within the third order effects there has been found the approximate model of the non-linear elasticity theory, which describes different state of stress equally well. Within this theory there has been found three boundary value problems, which makes it possible to use well-elaborated methods of the linear elasticity theory to solve them.

Keywords: third order effects, non-linear elasticity theory, the approximate model, perturbation method, mode of deformation, boundary problem.

Способность резин к высокоэластичному состоянию при больших деформациях приводит к тому, что расчет напряженно-деформированного состояния резинотехнических изделий проводится в рамках нелинейной теории гиперупругости. Существенный разброс в уравнениях состояния этой теории в отличие от линейной, где всегда выполняется закон Гука, снижает ценность точных постановок задач нелинейной теории упругости. Точные решения, найденные для конкретных потенциалов энергии деформации гиперупругих материалов, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными данными для одного вида деформированного состояния, могут не совпадать с этими данными для других деформированных состояний.

Задачей данной работы является обоснование приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости для средних уровней деформации, одинаково удовлетворительно описывающей различные напряженные состояния и позволяющей использовать методы линейной теории для решения конкретных задач. Идея обоснования заключается в том, что по экспериментальным данным при одноосном растяжении находятся константы материала для предлагаемой модели, а потом на экспериментальном материале для двухосного растяжения проверяется приемлемость теоретического описания в рамках этой модели и сравнение с точными решениями для потенциалов Муни и Трелоара. В качестве метода построения такой модели применяется метод возмущений,

использующий разложение в степенные ряды по малому параметру объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние. Существует большая библиография по вопросу применения этого метода, введенного в нелинейную теорию упругости Синьо-рини [1, 2]. Однако разложения порядка выше 2-го почти не использовались ввиду громоздкости выражений [3]. При одноосном растяжении образцов из резиноподобных материалов при некотором значении е = е§ наблюдается точка перегиба (иногда 2) на графике зависимости истинных напряжений а (т.е. плотности усилия растяжения, приходящегося на текущую площадь поперечного сечения образца) от относительного удлинения е = Л-1, где Л = I//0 -

кратность удлинения; I - текущая; 1о - исходная длина образца. Считая е малым параметром, в рамках эффектов 2-го порядка теоретическая кривая имеет уравнение а = 3/е + /е2 . Здесь / , / - константы, причем / - модуль сдвига линейной теории. Никаких точек перегиба эта кривая не имеет, следовательно, квадратичная модель может использоваться только при е <ео. Попытка расширить область применимости теории приводит к рассмотрению разложения 3-го порядка, дающего теоретическую кривую

2 3

вида (/2 - константа) а= 3/е + /е +/е , допускающую наличие одной точки перегиба. Появление

современных пакетов символьной математики позволяет написать программы, облегчающие манипулирование с громоздкими выражениями, описывающими эффекты 3-го порядка при произвольном напряженно-деформированном состоянии.

Основные соотношения. Для изотропного несжимаемого материала функция удельной потенциальной энергии деформации (потенциал энергии деформации) может быть представлена в виде w = Ц/^О), /2 (с)], где (о) - главные инварианты

меры деформации Коши С. Пусть Х1, Х, ^э -главные кратности удлинения; а-, ст2 , <3 - главные истинные напряжения. Для несжимаемого материала (с) = Х1Х2Хэ = 1. При одноосном растяжении имеем следующие соотношения: а- =а, <2 = <э = 0, Х- = Х, Х = Х3 = . Поэтому

12,12, ч2 12 , 2

i^g )=х2 + X + х2 =х2 +

X

/2 (с)=х2Х+х22х2+хХ2 = 2Х+-1. (1)

Х2

Из общих соотношений нелинейной гиперупругости для несжимаемого изотропного материала [3] получается известное соотношение, связывающее истинное напряжение с кратностью удлинения

с = 2

dw

х2 - !|+-

dw

_________X-±

d/1(G)^ Xj dl 2 (G )V X2

(2)

Для потенциала Трелоара (w = — (/1 (с) - э)) из (2)

получаем

с = и|х2 -1|;

константа) - с = И

х2 -1 > + ß)+fx-^1(1 -ß)

X

X2

w[

[Ii (G),12 (G)] = сю / (G) - 3] + S cQn [i2 (G) - 3]n . (3)

6

можно ограничиться выражением для потенциала энергии деформации в виде

w =1 {(3и + И1 )li(G)-3]-^i[/ 2 (G)-3] 6

+

И2 + И1 -И 8

[12(G)-3]П .

(4)

При двухосном растяжении а- ф 0, <2 ф 0,

аэ = о, х ф 1, х ф 1, хэ = - х1х2 , /-(с)=х2 + Х2 + /2(с)=Х2Х2 +.1 + ^. (5)

x2x2

X1 X2

Известные соотношения [5, 6], связывающие истинные напряжения и кратности удлинений, имеют вид

о"1 = 2

с 2 = 2

dw

(

d/1(G )

x2 - 1

Л

А2 о2

1X2

+

dw

(

dl 2 (G)

2 2 1 X1X2 —2 X2

dw

d/1(G )

X - 1

22 X1X2

dw

(

dl 2 (G)

2 2 1 X1X2 - ~2

. (6)

В частности, для потенциалов Трелоара и Муни

получаем соответственно

( 1 А (

о2 1

с1 = И

~ И с = — 1 2

X-i - • ^ 122

X x

с2 = И

1 х2

' 1 ^ х2 - 1

X2 -

Л

2

потенциала Муни

А2 о2

1 X2 у х1 х2

(1 + ß) +

2 i212 V X1X2 у

( 1 ^ 2 2 1 X1X2 —2 X2

(7)

(1 + ß) +

(1 -ß)

у

2 2 1

X1X2--1

X2

Л

(1 -ß)

(8)

(w = И[(1 + ß)(/1(G)-3) + (1 -ßt/2(G)-3)], где ß -

Подставляя (5) в (4), а полученное выражение в (6), разложим результат в ряд по параметру е1 = Х1 -1, считая, что е2 = Х -1 = того же порядка малости, что и £1. Удержим члены до 3-го порядка по £1. Тогда

с

Для положительности данных потенциалов энергии деформации необходимо и достаточно [3], чтобы

— > 0 , -1 <р< 1.

Для изотропного несжимаемого материала в работе Ривлина и Сондерса [4] показано, что потенциал V линейно зависит от инварианта /1(0) и нелинейно -от /2 (с): w = с1[/1(с)- 3] + /[/2 (С)]. Поэтому предполагается, что он допускает полиномиальную аппроксимацию вида

1 = 4 (2И + И1 +И2 Xx1 -1)3 + 2

2 (2И + 5И1 + 3И2 )(x2 -1) - 2И

(X -1)2

2

(2И + 5И1 + 3И2 )(X2 -1)2 - 4 (3и + 2И1 )(X2 -1) + 4И

x(x1 -1) + J(5И + 3И1 +И2)(X2 -1)3 --1 (9и + 4И1 )(X -1)2 + 2и(х2 -1),

(9)

Подставляя (1) в (3), а полученное выражение в (2), разложим результат в ряд по параметру е = Х-1 и удержим члены до 3-го порядка:

а = 3—(Х-1)+—1(Х-1)2 +—2 (Х- 1)э, где с01 =—1,

6

с10 =1 (э— + —1)' с02 = -1 —2 + —1 - —). Остальные

48

(X2 -1)2

константы в (3) не влияют на эффекты 3-го порядка при любом виде напряженно-деформированного состояния, поэтому в рамках рассматриваемой модели

с2 = 4 (2И + И1 + И2 )(X2 -1)3 +

I

- (2и + 5И1 + 3И2 )(X1 -1) - 2 и

9 Л

^ (2— + 5—1 + 3—2 )Х -1)2 - 4 (3— + 2—1 )Х -1) + 4— х (Х -1)+ 2(5— + 3—1 + —2 !л -1)3 -

-1 (9— + 4—1 )(Х1 -1)2 + 2—(Х1 -1).

Экспериментальная проверка. Для анализа предлагаемой модели использованы экспериментальные данные, приведенные в [5]. Они же применены в [6]

с = —

2

+

+

+

x

3

n

+

для обоснования потенциала, предложенного авторами этой работы. В [5], в частности, проведены эксперименты по одно- и двухосному растяжению для 5 видов ненаполненных резин на основе бутадиен-нитрильного СКН-40 (резина 1), СКН-18 (резина 2), бутадиен-метилстирольного СКВС-10 (резина 3 и 4) и натурального (резина 5) каучуков. Состав резин и режим вулканизации приведены в табл. 1. Исследования проводились в режиме постоянной деформации на образцах типа «крест» размером 50x50x1 мм. Время релаксации напряжений - 20 ч при 20 °С. В результате эксперимента вычислялись истинные напряжения и кратности удлинений. Среднеквадратичные ошибки при вычислении истинных напряжений и кратностей удлинений не превышали 0,106 и 0,0103 кг/см2 соответственно.

Таблица 2

Таблица 1

Состав резин

Наименование ингредиентов и режим вулканизации Номер резины

1 2 3 4 5

СКН-40 100 - - - -

СКН-18 - 100 - - -

СКВС-10 - - 100 - -

СКВС-10 - - - 100 -

НК - - - - 100

Сера 1,5 2,0 - 2,0 3,0

Перекись дикумила - - 0,8 - -

Альтакс - - - 0,15 -

Каптакс 0,8 1,5 - - 0,7

ДГФ - - 0,3 - -

Окись магния 5,0 - 10,0 - -

Окись цинка - 5,0 - - 10,0

Метакрилат натрия - - 10,0 - -

Стеарин 1,0 1,0 - 1,5 1,5

Температура вулканизации, °С 151 158 143 158 143

Значения констант материала, кг/см

Резина Потенциал Константы материала Квадратичная невязка

И И И2 ß £ (ггехр -afor J2 i=1

1 - - - 1114,854

1 2 6,3 - - -0,01 3,533

3 -3,29 1,40 - 0,665

1 - - - 23,792

2 2 4,5 - - 0,69 2,996

3 0,00 1,04 - 2,418

1 - - - 49,775

3 2 4,5 - - 0,70 23,025

3 -4,59 4,16 - 1,851

1 - - - 62,186

4 2 2,5 - - 0,43 3,121

3 0,00 0,26 - 1,142

1 - - - 13,636

5 2 3,1 - - 0,69 1,045

3 -0,25 0,89 - 0,892

Для двухосного растяжения рассматривались частные случаи: несимметричное и симметричное. Симметричное растяжение характеризуют кратности

удлинения \= Л = Л, Л3 = ]/ Л2 , при которых напряжения 01 = Ст2 = а ф 0, аз = 0. Следовательно,

11 (О) = 2Л2 +1/Л4 , !2 (О) = Л4 + VЛ2 и соотношения

(6), связывающие истинные напряжения с кратностя-

ми удлинений, имеют вид

дм ( .2 1 | дм Л2---

а = 2

dii (о)

Л4; д! 2 (О К Л2 В частности, соотношения (7)-(9) при данном виде деформации определяются следующими равенствами:

Л4-Л

Модуль сдвига / линейной теории, входящий во все выражения, взят из [5]. По данным для одноосного растяжения методом наименьших квадратов определялись константы р, /1, /2 в потенциале Муни и кубическом потенциале (4). Для реализации метода наименьших квадратов использовалась программа нелинейного программирования NLPSolve из пакета расширений Optimization системы символьной математики Maple. Результаты вычислений для различных моделей сведены в табл. 2 (цифра 1 соответствует потенциалу Тре-лоара, 2 - Муни, 3 - кубической модели). Максимальное значение кратности удлинения для резин на основе синтетического каучука - 3,04, для резины из натурального каучука - 3,585. Как следует из табл. 2, кубическая модель потенциала описывает поведение резин при одноосном растяжении лучше, чем точные решения, полученные на основе потенциалов Муни и Тре-лоара. Это объясняется тем, что варьируемых констант в кубическом потенциале больше.

Найденные значения констант использовались для описания поведения резины при двухосном растяжении и чистом сдвиге, после чего полученные значения сравнивались с экспериментальными данными.

а = И Л

для

потенциала Трелоара,

а =

И

л2 -} 1(1+ß)+U4 -

Муни

Л)"ß)

для потен-

циала Муни, а= — (13/ +15/ + 9/2 )(Л-1)3 +

+ (- 9 / - 4 /1 )(Л -1)2 + 6 / (л -1) для кубической модели.

При чистом сдвиге из соотношений для кратно-стей удлинений Л1 = Л, Л2 = 1, Л3 = 1/Л и истинных напряжений а1 = а ф 0 , 02 ф 0, 03 = 0 находим

(о) = (о) = Л2 +1/ Л2 +1 и, используя данные выражения, определяем соотношения, связывающие истинные напряжения с кратностями удлинений при данном виде деформации: для потенциалов Трелоара

и Муни а = Л Л2 - -11; для кубической модели

а =

1 (l7/ + 7И1 + 7и2)(Л-1)3 -1 (7и + и1 +И2)

;(Л-1)2 +1 (7и + И1 +И2 )(Л-1).

2

х

Теоретические значения истинных напряжений, вычисленных при всех видах деформаций, использованы для сравнения с соответствующими значениями, полученными экспериментальным путем. На основании этих результатов при рассматриваемых видах деформаций для всех видов резин составлена табл. 3, в которой показаны интервалы применимости рассмат-

Таблица3

Максимальные значения кратностей удлинений

Ре- Потен- Одноос- Двухосное Двухосное Чистый

зина циал ное рас- несиммет- симмет- сдвиг

тяжение ричное рас- ричное X

X тяжение растяже-

X ние x

1 1 1,41 1,44 1,88 1,81 1,60

2 3,03 1,24 1,60 1,14 1,60

3 3,03 1,44 1,88 1,14 2,02

2 1 1,88 1,105 1,325 1,14 1,155

2 2,68 1,105 1,325 1,505 1,155

3 2,68 1,105 1,325 1,505 1,155

3 1 1,485 1,39 1,75 1,605 1,34

2 1,615 1,21 1,505 1,215 1,34

3 2,78 1,21 1,505 1,215 1,45

4 1 2,01 1,015 1,245 1,46 -

2 2,955 1,32 1,755 1,46 -

3 2,955 1,32 1,755 1,46 -

5 1 1,835 2,035 2,795 2,25 2,23

2 3,585 1,535 2,035 1,655 2,23

3 3,275 1,535 2,035 1,655 1,655

риваемых потенциалов (1 - потенциал Трелоара, 2 -потенциал Муни, 3 - кубическая модель). Критерием для ограничения применимости потенциалов выбрано 10%-е отклонение теоретического значения напряжения от экспериментального.

При умеренных значениях деформации предлагаемая кубическая модель потенциала описывает напряженно-деформированное состояние рассматриваемых видов резин не хуже остальных моделей. Но в рамках этой теории получаем 3 краевые задачи линейной теории упругости для эффектов 1 -го, 2-го и 3-го порядков, что позволяет использовать для их решения хорошо разработанные методы линейной теории упругости.

Литература

1. Signorini A. Transfoimazioni termoelastiche finite // Mem. 1a Ann. di Mat. 1943. Vol. 22. P. 33-143.

2. Signorini A. Transfoimazioni termoelastiche finite // Mem. 2a. Ann. di Mat. 1949. Vol. 30. P. 1-72.

3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1980. 512 с.

4. Rivlin R.S., Saunders D.W. Large elastic deformations of isotropic materials. V11. Experiments on the deformation of rubber // Trans. Roy. Soc. London, 1951. Ser. A. № 865. P. 243, 251-288.

5. Никифоров В.П. Деформационные свойства сшитых кау-чуков и технических резин в различных видах напряженного состояния: дис. ... канд. техн. наук. Л., 1973. 181 с.

6. Черных К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов, феноменологический подход // Механика эластомеров. Краснодар, 1977. Т. 1, № 242. С. 54-64.

Поступила в редакцию

8 мая 2009 г.