CC BY-NC
10
DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-S-I-108-114 УДК 539.5:678.7
А.Г. Таубин, К.А. Румянцев, А.В. Комендантов
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
ОСОБЕННОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ИЗДЕЛИЙ ИЗ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ ВНУТРЕННИЕ ПОЛОСТИ
Объект и цель научной работы. Объектом исследования являются резинотехнические изделия, содержащие внутренние полости. Цель исследования - изучение особенностей глубокого деформирования под внешней нагрузкой.
Материалы и методы. В перечень исследуемых материалов входят резины, полиуретаны, каучуки. Использованы методы решения задач гиперупругости на основе концепции функции плотности энергии деформации. Основные результаты. Нелинейный процесс деформирования рассмотрен до ситуации полного схлопывания внутренней полости. При этом установлены эффекты локальной потери устойчивости зоны, примыкающей к рассмотренной полости.
Заключение. Разработана эффективная схема определения и проверки значений упругих постоянных Муни для использованных материалов. Выполнены нелинейные расчеты трехмерных изделий с полостями при их значительном формоизменении. Изучены сопутствующие эффекты, связанные с локальной потерей устойчивости материала в районах, примыкающих к полостям.
Ключевые слова: резина, теория Муни - Ривлина, постоянные, полости, потеря устойчивости. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-S-I-108-114 UDC 539.5:678.7
A. Taubin, K. Rumiantsev, A. Komendantov
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
SPECIFICS OF DEFORMATION OF ARTICLES FROM HIGHLY ELASTIC MATERIALS WITH INNER CAVITIES
Object and purpose of research. The paper studies mechanical rubber articles having inner cavities. The study purpose consists in studying specifics of deep deformation under external loading.
Materials and methods. Rubbers, polyurethanes, rubber resins are studied. Hyperelasticity problem-solving procedures based on a concept of deformation energy density function are used.
Main results. The nonlinear deformation process was studied up to the complete inner cavity collapsing. At that effects of local buckling of the zone adjoining to the considered cavity were revealed.
Conclusion. An effective scheme for evaluation and verification of values of Mooney elastic constants for the used materials was developed. Nonlinear calculations of three-dimensional articles with cavities were performed at considerable cavity shapes variation. Accompanying effects related to material local buckling in the areas adjoining to the cavities were studied.
Keywords: rubber, Mooney - Rivlin theory, constants, cavities, buckling. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.
Для цитирования: Таубин А.Г., Румянцев К.А., Комендантов А.В. Особенности деформирования изделий из высокоэластичных материалов, содержащих внутренние полости. Труды Крыловского государственного научного центра. 2020; Специальный выпуск 1: 108-114.
For citations: Taubin A., Rumiantsev K., Komendantov A. Specifics of deformation of articles from highly elastic materials with inner cavities. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; Special Edition 1: 108-114 (in Russian).
Введение
Introduction
В настоящее время в судостроении увеличивается спектр резинотехнических изделий различного назначения. К ним можно отнести амортизаторы (рис. 1), покрытия (рис. 2), уплотняющие элементы. Резина практически несжимаема в замкнутом объеме, поэтому для обеспечения регулируемой податливости в ряде случаях внутри таких изделий вводят полости. Даже круговые полости не всегда находятся в условиях конструктивной осевой симметрии, поэтому задача почти всегда должна рассматриваться в трехмерной постановке.
Целью статьи является отработка наиболее эффективных путей решения задач деформирования сложных резинотехнических изделий и определение особенностей поведения внутренних полостей при сжатии.
Предлагаемый подход к рассмотрению многоячеистых изделий
Proposed approach to consideration of multi-celled articles
Расчет сложных конструкций с многочисленными полостями без упрощений и идеализаций технически не осуществим и не является необходимым. На рис. 3 показан лишь небольшой участок условной многоячеистой модели с регулярно расположенными полостями. Рациональный подход заключается в рассмотрении деформации единичной ячейки. В ряде случаев может быть рассмотрена половина или даже четверть ячейки. Влияние соседних участков учитывается назначением соответствующих граничных условий. Подчеркнем, что указанная модель не является отражением какой-либо реальной конструкции.
Для иллюстрации различных подходов выбрана характерная конструкция ячейки резинового изделия в виде отдельной ячейки, содержащей внутреннюю полость эллипсоидальной формы. Внешняя нагрузка действует на верхнюю грань, и ее величина изменяется в пределах, достаточных для изучения эффектов глубокого деформирования. Перемещения в боковом направлении ограничиваются. В таких условиях материал деформируется только внутрь полости. Половина модели показана на рис. 4. Расчет деформаций в нелинейной постановке проводился на основе теории Муни - Ривлина с помощью модели пятого порядка. Эта схема считается адекватно отражающей особенности деформирования эластичных резин в диапазоне 30-200 % [1, 2].
Рис. 4. Половина ячейки изделия
Fig. 4. Half of article cell
Теоретические основы численного моделирования высокоэластичных материалов
Theoretical fundamentals of numeric simulation of highly elastic materials
На рис. 5 показаны зависимости между напряжениями и деформациями, определенные с помощью различных математических моделей, а также экспериментальные результаты [3]. Из рисунка видно, что наиболее точно поведение высо-коэластичного несжимаемого материала под нагрузкой описывается моделью Муни - Ривлина [4, 5]. Данная модель
0,0
б) /2 ^^
- 1 / •/ / •// 1 1 1 1
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Рис. 5. Представление тензора напряжений в материале (а) и зависимость его компонента оц от относительного удлинения Я (б), построенная с помощью закона Гука (1), полиномиальной модели первого порядка (2), модели Муни - Ривлина (3), а также экспериментальных значений (черные точки) Fig. 5. Presentation of stress tensor in material (a) and dependence of its component о11 on relative elongation Я (б) generated using Hook's law (1), first-order polynomial model (2), Mooney - Rivlin model (3), as well as experimental values (black dots)
является частным случаем более общей полиномиальной гиперупругой модели, в основе которой лежит функция плотности энергии деформации Ж, определяемая уравнением
Ж = XС (( -3) •(( -3), (1)
где Су - постоянные материала; /1, 12 - первый и второй инварианты тензора деформации Коши -Грина.
При использовании одной постоянной материала в данном уравнении оно сводится к полиномиальной модели первого порядка (кривая 2 на рис. 5). Постоянные Су определяются эмпирически для каждого материала на основе экспериментальных данных (например, испытания образца материала при одноосном растяжении). Рассмотрим подробнее процесс определения постоянных по результатам испытаний на растяжение. В этом случае [6] инварианты тензора деформаций Коши - Грина могут быть записаны в следующем виде:
I = Х2 + 2Х-1,
I2 = 2Х + Х-2.
(2)
Из работы [5] известно, что в случае одноосного растяжения материала связь между компонентом о11 тензора напряжений и деформацией материала определяется по формуле
: 2 (Х-Х-2)
dW
э1Т
1 d W
"ХэТТ
(3)
X
где X - растяжение в материале вдоль оси х1; дЖ/д11, дЖ/д12 - частные производные от плотности энергии деформации по первому и второму инвариантам соответственно.
Уравнение (1), для полиномиальной модели второго, третьего и пятого порядка соответственно для несжимаемого материала принимает вид
Ж2 = С10 (11 - 3) + С01 (12 - 3); (4)
Ж3 = Сю (11 -3) + Сш (12 -3) + С„ (11 -3)(12 -3); (5) Ж5 = Сш (1] - 3) + Сш (12 - 3) + +С„ (11 - 3) (12 - 3) + С20 (11 - 3)2 + (6)
+С02 (12 - 3)2.
Подставляя формулы (2) и (4)-(6) в (3), получаем зависимость растягивающих напряжений в материале от удлинения в виде
ап = 2 (-А-2)
- 2 (-А-2)
Qo +
(7)
(8)
а11 = 2 (А-А-2)
(9)
С10 + C11 (2А + А-2 -3) +
C01 + C11 (А2 + 2А-1 - 3) +----
. А .
C10 + 2C20 (А2 + 2А-1 -3) + +С11 (А-2 + 2А- 3) + С01 + С11 (А2 + 2А-1 - 3)
2С02 (А-2 + 2А-3)
Большинство материалов, демонстрирующих высокоэластичное поведение под нагрузкой, характеризуется малой сжимаемостью или практически несжимаемы. Для учета сжимаемости материала используется параметр несжимаемости, в случае модели второго порядка он имеет вид
1 - 2 ц
d = -
C10 + C01
Рис. 6. Испытательная машина и схема выполнения эксперимента по растяжению стандартного резинового образца
Fig. 6. Test machine and experiment pattern for standard rubber specimen tension
(10)
где ц - коэффициент Пуассона; С10, С01 - упругие постоянные для модели второго порядка.
Данный параметр имеет большое значение при выполнении расчетов. Без него не обеспечивается соблюдение постоянства объема деформируемого изделия.
При выполнении практических расчетов значение коэффициента Пуассона варьировалось в пределах 0,48-0,499. Для резинотехнических материалов определить этот параметр с большей точностью не представляется возможным.
Схема практического определения упругих постоянных была основана на замерах деформаций при растяжении стандартных образцов. Общий вид типовой испытательной машины с образцом материала показан на рис. 6. Упругие постоянные определялись по экспериментальной зависимости между удлинением образца и растягивающими напряжениями. На рис. 7 показаны
Рис. 7. Результаты аппроксимации экспериментальных данных аналитическими зависимостями на основе полиномиальной модели
Fig. 7. Results of experimental data approximation by analytical functions based on polynomial model
экспериментально определенные растягивающие напряжения, а также результаты их аппроксимации с помощью полиномиальной модели второго-пятого порядка. Из рис. 7 видно, что наиболее точно поведение материала под нагрузкой описывается моделью пятого порядка.
Для верификации полученной модели была решена обратная задача - определены напряжения в образце при заданной деформации. Численная модель образца представлена на рис. 8. Напряжения
4 Max 3,6 3,2 2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,76
0,36 Min
0,00
25,00 50,00 (мм)
IL
12,50 37,50
Рис. 8. Численная модель испытаний на растяжение Fig. 8. Numerical model of tension tests
S X
(D *
Л §
К
120 100 80 60 40 20 0
У ►
♦ <
„ ▲ < >
<>-Ь > 1 ► ♦ -о-И Удлинение, мм/мм
12 3 4
- Эксперимент
Перемещение
>
У
/
схема " Муни -Ривлина
схема Гука
0 Нагрузка
Рис. 11. Зависимости нагрузка/прогиб наружной поверхности для различных расчетных моделей
Fig. 11. Load-deflection functions for outer surface for various simulation models
а)
б)
в)
Рис. 9. Результаты верификации численной модели с помощью экспериментальных данных
Fig. 9. Results of numerical model verification using experimental data
в образце, определенные по экспериментальным данным (серая кривая) и с помощью численной модели (черные точки), показаны на рис. 9. Из рисунка видно, что результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментальными значениями. Таким образом, упругие постоянные для полиномиальной модели определены верно.
Результаты расчетов
Results of calculations
С помощью вышеописанной полиномиальной модели и определенных экспериментальным путем упругих постоянных был смоделирован процесс деформации изделия, показанного на рис. 3, 4. При выполнении расчетов были отмечены некоторые эффекты, связанные с процессом схлопывания полостей. Результаты расчета перемещений при виде на полость снизу показаны на рис. 10, а в виде
Рис. 10. Стадии деформирования внутренней полости: а) начальная; б) промежуточная; в) конечная
Fig. 10. Inner cavity deformation stages: a) initial; b) intermediate; c) final
гистограммы перемещений верхней грани изделия вниз - на рис. 11.
Рассмотрение показывает, что до определенного уровня нагружения обжатие полости в целом близко к равномерному и картина деформаций почти осе-симметрична. При дальнейшем росте нагрузки происходит резкий переход в иную, трехволновую форму деформирования (рис. 10).
Гистограмма перемещений верхней грани показана на рис. 11. На ней при уровне нагрузки порядка 0,86 от предельной видно изменение плавного характера деформирования, свидетельствующее об уменьшении жесткости модели. Это показывает, что в процессе деформирования возможны эффекты, характеризуемые как смена форм равновесия деформированной конструкции. Процесс локализуется в самой полости, однако результат проявляется и на верхней грани изделия.
Стрелка на рисунке показывает изменение характера деформирования. Обращает на себя внимание хорошее совпадение результатов расчета перемещений при неогуковской модели и при использовании полиномальной модели пятого порядка.
При обсуждении представленных результатов следует подчеркнуть их связь со схемами дискретизации резиновых областей, обладающих повышенной податливостью.
Выявлены следующие закономерности при выполнении расчетов по методу конечных элементов (МКЭ):
■ сочетание тетраэдрных и гексаэдрных элементов в ряде случаев может вызывать искусственный перепад в жесткости материала и приводить к неправильной оценке характера деформирования. Поскольку всю занятую резиной область ввиду ее
0
6
0
сложной формы, как правило, невозможно представить только гексаэдрами, при построении моделей следует использовать тетраэдры; ■ для податливых структур результаты расчетов зависят от особенностей построения первоначальных твердотельных моделей изделий. Обычно тела вращения разбиваются программами на сектора по 90° в окружном направлении. После дискретизации на плоскостях симметрии грани элементов располагаются в достаточно строгом порядке. Этот порядок отличен от порядка расположения граней элементов по иным угловым сечениям. Отсюда возникает искусственная разница в жесткости резинового массива по различным направлениям. Это хорошо видно по рис. 10а. На первоначальной стадии нагружения превалирует четырехволно-вая форма деформирования, которая как раз и вызвана делением твердотельной модели на секторы.
Подчеркнем, что указанные закономерности существуют и для жестких материалов, но для них эти особенности не настолько значимы, как для резин. Таким образом, МКЭ и присущая ему в той или иной форме дискретизация как всего объема, так и гладких внутренних поверхностей полостей оказывают влияние на получаемые с его помощью результаты. Несмотря на перечисленные недостатки, принципиально присущие МКЭ, альтернативы этому методу нет и во многих случаях удается достичь хорошего согласования между расчетом и экспериментом.
В некоторых практически важных случаях необходимо определять степень реального заполнения полостей материалом при различном внешнем давлении. Это является отдельной задачей, особенно в случаях сложных или многочисленных полостей и глубокого деформирования. Авторами разработан соответствующий алгоритм, основанный на послойном сканировании подвергаемых расчету полостей до и после их деформации.
На рис. 12 показан график изменения первоначального объема полости при приложении внешнего давления
Выводы
Conclusions
В результате рассмотрения установлены некоторые закономерности, связанные с особенностями выполнения расчетов по МКЭ резинотехнических изделий при значительном их формоизменении. Эф-
Приложенная нагрузка, д.е.
Рис. 12. График изменения первоначального объема полости при приложении внешнего давления
Fig. 12. Cavity initial volume curve under external pressure
фекты, связанные с особенностями использования МКЭ, требуют постановки и проведения определенных серий экспериментов. При выполнении экспериментов следует не только проводить фиксацию перемещений верхних граней изделий, но и фиксировать явления, происходящие в полостях при их схлопывании.
В ходе исследования установлено следующее.
■ при сравнительно простых конфигурациях полостей и при общей деформации всего изделия не более 30 % удается подбирать параметры физико-математических моделей на основе концепции Гука и на основе подхода Муни -Ривлина, которые дают практически одинаковые результаты по значениям глобальных перемещений;
■ вычислительная модель на основе концепции Гука прекращает счет, и вычислительный процесс расходится на уровне нагрузки, для которой модель Муни - Ривлина выявляет переход в несмежную форму равновесия;
■ схлопывание полостей по мере роста нагрузки может переходить в неравномерный процесс. На определенных уровнях нагрузки происходит резкий переход в иную, несмежную форму деформирования. Процессы в полости сказываются на конфигурации наружной поверхности изделия;
■ само по себе использование МКЭ неизбежно вызывает дискретизацию гладких поверхностей внутренних полостей и влияет на получаемые результаты. При этом сочетание тетраэдрных и гексаэдрных элементов в ряде случаев может
вызывать искусственный перепад в жесткости материала и приводить к неправильной оценке характера деформирования;
■ разработаны алгоритм и программа для подсчета степени заполнения полостей резиновым материалом, основанные на послойном сканировании подвергаемых расчету полостей до и после их деформации;
■ для верификации любых расчетных результатов, получаемых на основе МКЭ, при глубоком деформировании требуется выполнение соответствующих экспериментов. При этом наряду с фиксацией общей осадки модели необходимо исследовать эффекты, происходящие при схло-пывании полостей.
Библиографический список
1. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.
2. ANSYS Inc. АШУБ v.19.0. Theoretical Manual. 2018.
3. Rheology: Principles, Measurements, and Applications. NY: VCH, 1994. 568 p.
4. Mooney M. A theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics. 1940. Vol. 11. № 9. P. 582-592.
5. Rivlin R. Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1948. Vol. 241. № 835. P. 379-397.
6. Rackl M. Curve Fitting for Ogden, Yeoh and Polynomial Models [Electronic resource] // Scilab: [site]. Rungis, 2016. P. 1-16. URL: https://fileexchange.scilab.org/ toolboxes/350000/1.2 (accessed: 29.01.2020).
References
1. Grin A., Adkins J. Large Elastic Deformations and Nonlinear Mechanics of Continua. Moscow: Mir, 1965. 456 p. (in Russian).
2. ANSYS Inc. АNSYS v.19.0. Theoretical Manual. 2018.
3. Rheology: Principles, Measurements, and Applications. NY: VCH, 1994. 568 p.
4. Mooney M. A Theory of Large Elastic Deformation // Journal of Applied Physics. 1940. Vol. 11. № 9. P. 582592.
5. Rivlin R. Large Elastic Deformations of Isotropic Materials. IV. Further developments of the general theory // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1948. Vol. 241. № 835. P. 379-397.
6. Rackl M. Curve Fitting for Ogden, Yeoh and Polynomial Models [Electronic resource] // Scilab: [site]. Rungis, 2016. P. 1-16. URL: https://fileexchange.scilab.org/ toolboxes/350000/1.2 (accessed: 29.01.2020).
Сведения об авторах
Таубин Александр Георгиевич, к.т.н., ведущий научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 727-96-32. E-mail: alexgent@yandex.ru.
Румянцев Константин Андреевич, начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел/: +7 (812) 727-96-32. E-mail: rum256@yandex.ru. Комендантов Андрей Владимирович, ведущий инженер ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 727-96-32. E-mail: 9400878@gmail.com.
About the authors
Taubin Alexander G., Cand. Sci. (Eng.) Lead Researcher, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 727-96-32. E-mail: alexgent@yandex.ru. Rumiantsev Konstantin A., Head of Sector, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 727-96-32. E-mail: rum256@yandex.ru.
Komendantov Andrey V., Lead Engineer, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 727-96-32. E-mail: 9400878@gmail.com.
Поступила / Received: 17.01.20 Принята в печать / Accepted: 07.02.20 © Коллектив авторов, 2020
