CC BY
33УДК 519.711
Каландаров И. И.
АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ В ОПЕРАТИВНОМ УПРАВЛЕНИИ
Каландаров И. И. - Ph.D., доцент (Нукусский филиал Навоийского государственного горного института)
Ишлаб чицариш булинмасини тезкор бошцаришда энг му%им ва энг цийин вазифалардан бири календарь режалаштириш вазифаси булиб %исобланади. Бу вазифанинг асосий а%амияти шундаки, режалаштиришдаги барча вазифалар куп %олларда, вазиятларнинг (хом ашё етказиб бериш жадвалининг узгариши ва ма%сулот истемоли, асбоб-ускуналар цуввати ва б.) узгаришига цараб цисца вацт, маълум бир давр учун ишлаб чицилади.
Калит сузлар: календарь режалаштириш, тезкор бошкарув, бирлик ишлаб чикариш, оптимал режа, бирмаршрутли вазифа, Монте-Карло усули, Беллман-Жонсон масалалари, эвристик усул.
The most important and complex task in the operational management of a production unit is the task of calendar planning. The importance of this task is due to the fact that all planning tasks are set for a certain period of time, in which, in the vast majority of cases, there is a change in situations (changes in the schedules of supply of raw materials and consumption of products, equipment capacity, etc.).
Key words: calendar planning, operational management, unit production, optimal plan, single route problem, monte Carlo method, Bellman-Johnson problem, heuristic method.
Задачам календарного планирования (составления расписаний) посвящены работы зарубежных ученых Джонсона (1934 г.) [1] и Г.Беллмана (1956 г.) [2], которые сформулировали общую задачу календарного планирования. Дальнейшие разработки велись по двум направлениям: поиски теоретической возможности решить задачу календарного планирования с помощью аппарата математического программирования для упрощенных абстрактных моделей и попытка решения конкретных задач методами эвристического поиска. Работы, направленные на решение задачи составления расписания как оптимизационной многовариантной задачи, не дали значительных результатов для практики. Анализ таких моделей и методов решения подробно приведён в книге. Решение с помощью метода эвриодического поиска задачи составления квазиоптимальных или «хороших», «приемлемых» расписаний имели теоретическое значение и позволили получить ряд реально работающих расписаний, используемых на производстве. Недостаток их заключается в следующем: они рассчитаны на заданный критерий качества расписания и пригодны лишь для определенных производственных ситуаций, что характерно для крупносерийного производства [3].
В мелкосерийном и единичном производстве при частых сменах номенклатуры, при участии в выпуске деталей на сборку большого числа разных участков и цехов, где в свою очередь возникают экстремальные ситуации, задать единый критерий оценки плана не столько невозможно, сколько нецелесообразно. Системы планирования и управления должны быть адаптивными, с изменяющейся производственной ситуацией, иметь возможность подстраиваться под ситуации на участке и на производстве в целом. В этих условиях требуется разрабатывать новые подходы и методы решения задач планирования и управления.
Задача календарного планирования (составления расписания) производственного участка существенно отличается от задачи планирования более крупных производственных единиц. При планировании работ отрасли, предприятия, цеха решаются задачи: сколько, какими ресурсами и за какой срок (сколько, чем, когда). Эти задачи хорошо формулируются на языке исследования операций. Задача календарного планирования работы участков требует ответов на вопросы: что обработали (какую партию, деталь), на какой единице ресурса, в какой момент времени (что, где, когда), т.е. относится к классу комбинированных задач полного упорядочения во времени различных дискретных процессов, предварительно
частично упорядоченных согласно технологическим маршрутам. Для решения этих задач используют методы и эффективные подходы, разработанные в теории расписания. Задачи теории расписаний близки к задачам теории массового обслуживания, в которой тоже изучается поведение дискретных процессов. Различие между ними состоит в том, что в теории расписаний исследуются в основном детерминированные системы обслуживания, а в теории массового обслуживания - вероятностные. Задача может быть сведена к задачам целочисленного программирования путем задания двоичных переменных для выражения ограничений задачи, но это не приводит к успеху из-за отсутствия эффективных алгоритмов решения задач целочисленного программирования.
Одним из математических методов планирования является метод сетевого планирования [4].
Сетевое планирование - это представление плана работ, который отражает их логическую последовательность, взаимосвязь и величину с целью последующей оптимизации разработанного графика с помощью математических методов и вычислительных машин. В течение последних лет системы сетевого планирования и управления бурно развиваются, а сфера их применения непрерывно расширяется. Особенно широкое распространение эти системы получили за рубежом, в частности в США (системы PERT, CPM) [5]. В нашей стране также усиленно разрабатываются методы сетевого управления применительно к конкретным условиям отдельных отраслей или предприятии.
Решению задачи календарного планирования посвящены многочисленные исследования и из существующих методов её решения можно выделить следующие: аналитические; эвристические; статистические.
Первая группа методов в свою очередь подразделяется на:
точные методы, позволяющие за конечное число шагов найти оптимальный план;
приближённые методы, позволяющие найти решение, довольно близкое к оптимальному.
К точным методам решения относятся полные: перебор вариантов, метод ветвей и границ, метод последовательного анализа вариантов и др.
Метод полного перебора вариантов для большинства задач оказывается неприемлемым, так как число возможных вариантов обычно растёт с ростом размерности задачи экспоненциально.
Метод последовательного конструирования, анализа и отсеивания вариантов позволяет сократить перебор вариантов, исключая из рассмотрения некоторые подмножества планов как бесперспективные. В отдельных задачах этот метод дает удовлетворительные результаты, однако в общем случае количество необходимых операций зависит от числовых данных задачи, и при некоторых данных метод не намного эффективнее полного перебора.
Метод ветвей и границ также позволяет сократить перебор при нахождении оптимального плана и при решении отдельных задач часто даёт хорошие результаты, однако он сохраняет основные недостатки метода последовательного анализа вариантов: число ветвей зависит от исходных данных задачи, и в некоторых случаях объём вычислений по методу ветвей и границ не уступает объему вычислений, необходимому для полного перебора вариантов. Это относится и к большинству других имеющихся точных методов решения общей задачи.
Применение метода ветвей и границ и динамического программирования к задачам календарного планирования рассмотрены в работах.
Для некоторых частных случаев задач календарного планирования удалось получить точные методы, позволяющие решать задачи большой размерности. Впервые такой метод разработан Джонсоном для решения одномаршрутной задачи с двумя станками. Простые алгоритмы, позволяющие найти точное решение за малое количество операций, были получены для задачи одного станка с разными критериями оптимальности [6].
Однако точные методы не в состоянии решить большинства задач календарного планирования, возникающие в реальных производственных системах, так как обычно эти
задачи имеют очень большую размерность и весьма громоздки в реализации. Поэтому в последние годы значительно большее внимание уделяется развитию приближенных методов решения.
К приближенным методам обычно относят статистические и эвристические методы и их различные комбинации. Статистические методы осуществляют выбор возможных планов в зависимости от значений некоторой случайной величины, и решением задачи считается наилучший из выбранных планов. Простейшим статистическим методом поиска оптимального решения является ненаправленный случайный поиск или метод Монте-Карло [7]. Сущность метода заключается в том, что для последовательности п1,п2 ...,пп независимых случайных порядков обработки определяются значения целевой функции К(п{) строится последовательность
Кп(п) = тт{К(п{)}
Чтобы получить перестановку л:г = [¿х,¿2,..., 1п] [из чисел 1,2,...,п] равномерно распределенную на множестве всех перестановок, генерируют п раз случайную величину равномерно распределенную в интервале (0,1) и к-й реализации среди всех п реализаций в порядке убывания присваивает номер . Однако, метод Монте-Карло, не учитывающий специфики задачи, даёт недостаточно быструю сходимость к оптимальному решению. Ускорение сходимости случайной последовательности планов к оптимальному можно достигнуть за счёт более разумной организации случайного поиска [8].
Весьма плодотворными оказались методы, связанные с введением метрики в пространство расписаний. Большую часть этих методов представляют собой разработанные для непрерывных функций и модернизированные для дискретного аргумента модели локальной оптимизации. Сущность методов локальной оптимизации заключается в том, что вводится понятие окрестности и (п) плана п. Для задания и (п) чаще всего вводят понятие расстояния р(п 1,л:2) между планами п1 и л^, при этом R - окрестность ия(п) для любого пе(3 ^ - множество, состоящее из п всех возможных планов) состоит и з множества планов лieQ, удовлетворяющих условию:
р(п,п{) < Д
При таком определении окрестности алгоритм локального поиска можно сформулировать следующим образом: пусть на п-ом шаге получен план пп. Выделяем -окрестность плана пп и моделируем Ып раз случайный план
пп'еиЯп(пп), где 5 = 1,2,...,Ып
находим план л:^ такой, что К(л:^)=тт К(л:^), если К(л:^) < К(пп), то в качестве исходного плана принимается л:^ и процесс продолжается в том же порядке, если К(л:^) > К(пп), то пп принимается за локальный минимум.
Эффективность описанной процедуры определяется характером введенной метрики. При построении той или иной метрики исходят из чисто интуитивных соображений, поэтому направленный случайный поиск сводится по сути дела к комбинации эвристических методов с методом Конте-Карло.
Так например, в работе [9] расстояние между перестановками л и п2 вводится как число нарушений попарного расположения элементов в одной из перестановок относительно другой. Если П1=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), а П2=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) то р(пь П2)=1.
В работе [10] рассматривается лексикографическая метрика, основанная на определении для каждой перестановки л некоторой нормы Ы(п), при этом р(п1, п^^Ы^п^ Ы(п2)]. В работе [11] направленный поиск организуется с помощью инверсной метрики, в которой расстояние между п1 и п2 определено как количество инверсий в одной из них относительно другой.
Что касается эвристических методов, то последние также могут быть подразделены па подкласс детерминированных эвристических методов и подкласс эвристических методов, использующих статистические подходы. В качестве примера первого из подклассов
рассмотрим более подробно алгоритм решения одномаршрутной задачи Беллмана-Джонсона, в которой маршруты обработки всех деталей совпадают и совпадают очередности их выполнения на каждом станке. Эта задача является наиболее изученной, но несмотря на это, в настоящее время отсутствуют эффективные методы решения, особенно для задач большой размерности.
Одномаршрутную задачу называют часто задачей поточного типа, что говорит о целесообразности исследования случаев, когда число деталей велико, а сами детали сравнительно однородны. Решение задачи Беллмана-Джонсона в подобной ситуации позволяет более равномерно загрузить оборудование и сократить время изготовления всех деталей. Учитывая, что при большом числе деталей суммарное время их обработки сравнительно велико, то сокращение его даже на 2^3% имеет большое значение.
Описанный в работе алгоритм наиболее целесообразно применять именно в такой ситуации, когда число деталей велико, а сами детали (т.е. их трудоёмкость) сравнительно однородны. Вся необходимая информация в одно маршрутной задаче ззадааётся матрицей Т=[' размерности п*т , где п - число деталей; т - число станков (деталей); Ц -время обработки 1-й детали нау'-м станке (время выполнения'-й операции 1-й детали).
Поскольку очередность обработки деталей на станках совпадают, то любое возможное решение задачи однозначно определяется перестановкой п=(11,12,...,1„), состоящей из первых чисел натурального ряда. Решить задачу означает найти такую перестановку
п* е S(n) (1)
здесь S(n) - множество всех перестановок чисел 1,2,...,п для которой Кпп- длительность цикла изготовления деталей, принимает минимальное значение.
Достоинством алгоритма является то, что поскольку предполагается решать задачу приближенно, целесообразно иметь возможность определить, на сколько найденное решение отличается от оптимального. Для этого используется понятие нижней границы решений. Определение точной нижней границы также является весьма сложной задачей, однако для целей достаточно определить нижнюю границу, как:
К-тт = тах/ = 1^4/ (2)
здесь Ау = £Г=1 Ьц - сумма элементову'-го столбца матрицы Т.
Пусть строки исходной матрицы Т переставлены в произвольном порядке п. Полученную матрицу обозначим [ту]. Можно показать, что если п принять в качестве решения задачи, то для абсолютной погрешности решения имеет место оценка где
Dл = тах тах11Т;й Е1* (тц - тЦо) (3)
1 = 1,т 1 * ч >
Поэтому приближённое решение одно маршрутной задачи может быть найдено при решении следующей задачи: найти такую перестановку п , для которой величина Бп, вычисляемая по формуле (3), принимает минимальное значение:
= ттте5(„) Оп (4)
Для существующих производственных систем (конвейерной, циклической и произвольной) в литературе описано множество точных и приближенных алгоритмов для решения задач календарного планирования, которые характеризуются большой размерностью и значительным временем решения задачи.
В последнее время для решения задач управления производством широкое использование получили эвристические методы. Эвристический метод представляет собой упорядоченную совокупность правил, которые в ряде случаев вводятся чисто интуитивным образом или на основе здравого смысла и позволяют получить приемлемый результат, считающийся заведомо приемлемым, например, найти «вполне удовлетворительное» решение (или несколько «вполне удовлетворительных» решений) той или иной оптимизационной задачи. Важным достоинством эвристических процедур является удобство их реализации на ЭВМ даже при решении сравнительно громоздких задач, а также хорошая возможность имитации производственной системы, поскольку процесс имитации
предполагает последовательное создание конфликтных ситуаций, реализуемых посредством правил предпочтения.
Из всего вышесказанного следует, что для эффективного решения задачи календарного планирования в условиях оперативности управления производственным процессом необходимо разработать эвристический метод решения данной задачи.
И в заключении важно отметить следующее. Основными вопросами управления производственными системами являются вопросы, связанные с достижением главной цели функционирования производственного подразделения, т.е. выпуска максимального количества продукции заданного качества. Поэтому главной задачей данной проблемы управления является задача календарного планирования. Решение задачи календарного планирования связано с состоянием ряда внутренних факторов (организационные структуры расстановки рабочих, оборудования, специализация оборудования) организационной среды цеха. Следовательно, для успешного решения задач управления производственными подразделениями требуется комплексное решение задач управления организацией производства и оперативного управления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Левин В. И. Задача Беллмана-Джонсона для конвейерных систем с переменным порядком работ //Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2003. - Т. 9.
- №. 3.
2. Голубов Б. И. Об одной теореме Беллмана о коэффициентах Фурье //Математический сборник. - 1994. - Т. 185. - №. 11. - С. 31-40.
3. Lermen F. H. et al. Optimization of times and costs of project of horizontal laminator production using PERT/CPM technical //Independent journal of management & production. - 2016. - Т. 7.
- №. 3. - С. 833-853.
4. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. - наука, 1985. - Т. 46.
5. Kabulov A.V. Normatov I. Kh., Kalandarov I. I. Algorithmic approach to managing complex systems on the example of production systems / / DATA of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan, Tashkent, No. 1, 2017 P. 33-35
6. Rubinstein R. Y., Kroese D. P. Simulation and the Monte Carlo method. - John Wiley & Sons, 2016. - Т. 10.
7. Kalandarov I.I., Sotiboldiyev S.U., Narzullayev Y.E. Algorithm of the choice of the optimum technological route and the group equipment // ISSN 2350-0328 International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology (India) Vol.6, Issue 5, May 2019 P.9066-9070
8. Фисун Н.Т. Имитационное моделирование производства в корпусообрабатывающем цехе судостроительного предприятия. // В кн.: Автоматизированные систем управления предприятиями. - Киев: ИК АН УССР, 1980, с. 28-29.
9. Normatov I H 2018 Principle of independence of continuation of functions multivalued logic from coding Journal of Physics 1210
10. Katoh, M., Kubota, T., Yamada, A., Nomura, Y., Kojima, Y., Yamagishi, Y.: Network Architecture for Agent Communication in Cyber Physical System. In: Barolli L., Woungang I., Enokido T. (eds) Advanced Information Networking and Applications. AINA 2021. Lecture Notes in Networks and Systems, vol 226. Springer, Cham (2021).
11. Dempster, M.A.H, et al.: Deterministic and Stochastic Scheduling. In.:Proc. NATO Adv. Study and Res. Inst. Theor. Approaches Scheduling Probl., Durham, 1981/ Dordrecht (1982).
