CC BY
16
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ -ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С М. КИРОВА
Том 290 1974
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕТРИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
ю. я.ТАРНОПОЛЬСКИЙ
(Представлена научно-техническим семинаром кафедры АСУ и лаборатории управления)
Нахождение наилучшего расписания работы оборудования является центральной задачей теории управления дискретным производством. Для этого в традиционной постановке рассматривается задача календарного планирования, в которой находится оптимальное, в смысле выбранного критерия, расписание обработки п деталей на ■т станках. Комбинаторные возможности такой задачи экспоненциально растут с ростом ее размеров (п^Хт). Так, например, для нахождения оптимального расписания методом полного перебора понадобилось бы рассмотреть (n!) т вариантов планов.
Если предположить, что детали имеют одинаковые технологические маршруты без повторения операций, то любой действительный план определяется порядком обработки деталей на каждом из т станков. Любой порядок деталей на /-м станке (/— 1 ,т) определяется некоторой перестановкой Pj из п элементов (номеров деталей), •а каждый календарный план—набором из т таких перестановок.
Обозначим через S множество всех перестановок из п элементов, а через V — множество наборов перестановок (Р\> Р2, Рт ), где Pj G S (/=l,m). Тогда существует взаимно однозначное соответствие между множеством V и множеством всех действительных планов, а задача календарного планирования сводится к оптимизации некоторого функционала F(v) (v £ V) на множестве наборов перестановок V-
Поиск оптимального набора v в комбинаторном пространстве такого типа требует определенной упорядочности этого пространства для ■выделения его малых окрестностей и выбора направления движения. Для этой цели на V вводится некоторым образом метрика. Тогда для оптимизации функционала F (v) в методическом пространстве может быть применен метод статистической оптимизации [ 1 ]. Пусть для определенности отыскивается min F(v), Рассмотрим метод поиска локального минимума функционала в нашей задаче.
Для заданной начальной точки v0 из ее е-окрестности выбираются случайным образом К точек, в которых вычисляются значения F(v). Пусть минимальное из /(-значений функционала достигнуто в точке иь тогда при F(v0) можно считать v0 точкой локаль-
ного минимума, либо провести дополнительное исследование. Если F(vо) >F(vi), то принимаем v\ за новую начальную точку, и рассмотренный процесс повторяется снова для и\.
Применение метода статистической оптимизации при достаточно •большом количестве шагов может гарантировать достижение локального оптимума с вероятностью, близкой к единице. Однако эффективность оптимизации таким методом существенно зависит от того, каким образом вводится метрика в пространстве V-
Как известно, эффективность статистического поиска увеличивается при увеличении объема дополнительной информации о поведении исследуемой функции. При разработке методов поиска экстремума для аналитических функций понятие о непрерывности имеет наиболее существенное значение. По аналогии — для дискретных функций, если близким точкам из комбинаторного пространства V соответствуют близкие значения функционала, то скорость достижения оптимума должна быть, по всей вероятности, выше, чем при «слепом» поиске (метод Монте-Карло). В связи с этим возникает задача выбора метрики в пространстве У, обеспечивающей достаточную эффективность поиска. Такая метрика, по нашему мнению, должна обеспечивать хорошую упорядоченность комбинаторного пространства поиска, отвечающую тому определению непрерывности, которое употребляется для обычных аналитически заданных функций-
Действительно, если взять гладкую функцию непрерывного аргумента, разделить область определения на N интервалов, произвольно пронумеровать эти интервалы и согласно нумерации построить новую функцию с ЛМ разрывами, то при N—> со мы получим некоторый эквивалент рассматриваемой нами разрывной функции дискретного аргумента. Для такого примера наша задача заключается в том, чтобы найти метрику (способ нумерации интервалов), восстанавливающую в среднем первоначальный вид функции. В связи с этим определим некоторый статистический эквивалент свойства непрерывности для функции дискретного аргумента. Назовем это свойство, дающее важную информацию о поведении функции дискретного аргумента, свойством статистической непрерывности.
Будем в дальнейшем для упрощения рассматривать множество перестановок поскольку метрика, заданная на этом множестве, естественным образом индуцирует метрику в V.
Пусть в 5 задана некоторым образом метрика. Обозначим через С?(р) окрестность точки р. Окрестность ()(р) будем называть неминимальной, если существует окрестность <31 (р) С1 С} (р). Здесь СГобоз-начает строгое включение.
Определение: Функцию /\ определенную в пространстве назовем статистически непрерывной в точке р 6 если для каждой не минимальной окрестности ¿21 (р) существует окрестность 2 (р) СИ С! (¿1 (р) такая, что
ор^ЛрП^ОР^^^Р)],
где через ¿^[(¿(р)] обозначена дисперсия Т7 на множестве <2(я).
Легко заметить, что все функции непрерывного аргумента обладают свойством статистической непрерывности. Для функций дискрет-'ного аргумента наличие статистической непрерывности может быть установлено экспериментально. Проведенные автором исследования показали, что для пространства V обнаружение свойства статистической непрерывности существенно связано с выбором метрики в этом пространстве. Статистическая непрерывность может быть установлена не для всех точек V. Метрики, обеспечивающие лучшую упорядоченность, то есть больший процент точек в пространстве со статистической непрерывностью, являются лучшими с точки зрения организации статистического поиска-
но
Свойство статистической непрерывности дает дополнительную информацию о пространстве У, что позволяет организовать эффективный поиск экстремума за счет адаптации к этому пространству.
При наличии достаточно больших выборок значений Р(и), полученных с помощью тестовых задач календарного планирования, можно, не прибегая к фактической проверке методов поиска с применением тех или иных метрик, проверить, используя свойство статистической непрерывности, относительную эффективность таких метрик.
Рассмотрим несколько метрик, удобных для организации поиска.
Метрика Пейджа (метрика П). В работе Е- С. Пейджа [2] введена метрика для пространства решений одномаршрутной одномерной задачи календарного планирования. За меру близости двух перестановок р 1 и р2 принимается число нарушений группового расположения элементов одной перестановки относительно другой. Эта величина является аналогом расстояния между перестановками и обозначается через л(ри Р2) •
Пусть, например, рх = (1, 2, 3, 4, 5, 6), а р2 = (4, 5, 6, 1, 2, 3), тогда л{р 1 р2) = 1.
Нетрудно установить, что расстояние п(р\ р2) удовлетворяет известным аксиомам метрики:
1) тг (ри р2) > 0 — (аксиома тождества),
2) тс (Ри Р2) — г. (ръ рг) — (аксиома симметрии),
3) р*) + к(р2~, Ръ)>тЛРи А») —(аксиома треугольника).
В работе [2] введено понятие /{"-окрестности некоторой перестановки /?0, как множества перестановок, для которых и (/?0, р1 )<;А\ (К = 1, п — 1). /(-окрестность обозначается через и (р, К).
Случайный поиск в окрестности и(р0, К) организуется следующим образом. Из множества перестановок 5 выбирается случайным образом исходная перестановка р0 и число К. Генерируется К— 1 случайных чисел в интервале [0,1], которые упорядочиваются по возрастанию. Далее образуются числа 1)1 = (/г+1)5/ (с интервалом изменения ¿=1, /С-1), с помощью которых определяет-
ся разбиение исходной перестановки на К групп. Натуральные числа, входящие в первый интервал [0, 1/\] указывают номера позиций элементов первой группы перестановки, входящие во второй интервал— второй группы и т. д. Если обозначать номера групп натуральными числами, то каждой перестановке этих чисел (сеь аг, аЛ) соответствует некоторая перестановка рь из множества 5, такая, что 6 и(р , К). Получая и переставляя случайным образом /(-группы исходной перестановки, мы образуем случайные выборки из окрестности £/(р/, /(), которые используются на каждом шагу поиска.
Такой метод назван «цепным» методом Монте-Карло. В работе [2] проведено исследование данного метода в сравнении с обычным методом Монте-Карло (методом слепого поиска). Эксперименты проводились для тестовых задач размером 20ХЮ и 30X5. Для достижения примерно одинаковых результатов ценной метод требует в 5-^-6 раз меньшего количества испытаний.
В работе [3] показано, что «ценной» метод поиска дает лучшие результаты по сравнению с рядом эвристических методов. По мнению авторов [3], это явление объясняется более высокой упорядоченностью поиска.
Лексикографическая метрика (метрика у). Авторами работы [4] предложена метрика, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между множеством перестановок 5 и отрезком натурального ряда = 2, п!}. В работе выведены формулы для определения номера А^(р) перестановки в ряду перестановок, упорядоченных лек-
сикографическим способом, и нахождения перестановки р по заданному номеру N(p).
Расстояние между двумя перестановками выводится формулой
7 (A, P2) = \N(Pi)-N(p,)\ и удовлетворяет аксиомам метрики.
Для нахождения N(p) все множество перестановок из п объектов, упорядоченных лексикографическим способом, подразделяется на классы от первого до (п—1)-го порядка. В каждом классе (п—1)-го порядка содержится по одной перестановке, в классе (п—2)-го порядка — по две перестановки, в классе (п—3)-го порядка — 3! перестановки и, наконец, в классе первого порядка— (п—1)! перестановок.
На основании такого разбиения выведена формула для определения номера перестановки
N(p) = (/, - 1)(п- 1)! + (/2 - 1)(д - 2)! +
_ + (/„-2 -1)2! + (/„_, - 1) + 1, (1)
где ll,(K= i, п) — обозначает номер класса Л"-го порядка в классе (Я*-1)-го порядка.
Для вычисления N(р) по расположению п объектов в перестановке р= (ai, сс2, ап) все объекты перенумеровываются, и одновременно записывается натуральный ряд чисел от единицы до п. В этом случае 1К есть номер числа ак в ряду 1, 2, п, если не считать ai, «2, а.к-1 •
Для нахождения перестановки по заданному номеру N(p)y к формуле для Л7(р) применяется метод последовательного деления.
N(р) — 1 =-(/i-l) (п-1)! +qu
<71= (¿2—1) (1—2)!+ <72, ...... ..... (2)
3 = (In-2 — 1)2! + qn-<:, Яп-2 — I п—\ — 1 -
В этих формулах ал — остаток от деления К (р) — 1 на (я — 1)! а <7¿ (i = 2, п — 2) — остаток отделения Яь-1 на — ¿*)!- Будем считать lx _ 1 = и — 1 = ... = /л_2 __ i = о, если N (р) — 1 < (п— 1)!, qx < <(я—2)!,..., Яп-л < 2! соответственно. Последнее вытекает из того, что при вычислениях мы не выходим за пределы множества целых чнеел.
На основании соотношений (2) определяются значения 1К (Х= 1, п— 1)
h
L
N(p)-l] , j L («- i)! J r
2)!
(3)
U
Яп-\
1.
In-1 -- Яп-2
В этих выражениях квадратные скобки обозначают целую часть числа.
Построив прямую N(p) и обратную N~l (р) зависимости между перестановкой и ее номером -в натуральном ряду чисел, можно легко организовать статистический поиск наилучшего решения следующим образом. Представим точкой М в прямоугольной системе координат 112
некоторый план, определенный набором перестановок v = [рь р% рт). Компонентами координат этой точки М будут соответственно величины jV (/?,), N (р2),..., N{pm). Пространство поиска в прямоугольной системе координат является /тг-мерным параллелепипедом с присоединенными границами \аъ Ьх\аъ ат, Ьт], где ак~\\ Ьк^-п\ (К ~ 1, т). Выбрав случайно в пространстве поиска некоторую начальную точку М0 и определив для нее значение F (М0), найдем в ее г-окрестности [у (Л10, Л7)<е] путем случайного отбора К точек. Каждую из этих точек Мя характеризует набор координат {Nj} (/ =
= 1, т\ ¿7=1, Л), который после преобразования N~] (р) превращается в набор перестановок vg. Далее вычисляется функционал F (т>9), и поиск продолжается по схеме, описанной выше.
Инверсная метрика (метрика р). В работе [5] рассмотрена метрика, в которой расстояние между перестановками рг и р2 определяется как число всех инверсий перестановки р2 относительно рх. Расстояние от до р2 удовлетворяет аксиомам метрики и обозначается через Р(Z7!) Р-г)- Авторы [5] показали, что расстояние р(ри р2) пробегают
Л 1) все целочисленные значения от 0 до —--.
2
С помощью введенной метрики в пространстве V определяется система окрестностей. Пусть v0 = (/?01, ро2,..., р0т) — произвольный
набор перестановок, а К—целое число п ^п——.Назовем
2
Л"-окрестностью v0 множество всех тех наборов перестановок v — — (P'i Р->-> ••• 1 Рт), для которых выполняется условие для всех i=.\ym.
В работе [5] установлено взаимно-однозначное соответствие между всеми перестановками символов 1, 2,..., п и всеми целочисленными векторами вида (аи а2,,.., ап~0, где 0 <а/</г—i (/ = 1, /г—1). Вектор (а,, а2,..., ап-\), соответствующий перестановке р а2,... ал), называется индексом / этой перестановки. Координаты вектора (ах, а2,..., ап-\) определяются по компонентам перестановки р согласно следующему алгоритму:
1) ах = а, — 1,
2) а£ = — 1 (¿-Т^Г), (4)
где /¿ — номер числа at в ряду 1, 2,..., /г, если не считать а/, а2, ... , аг_ 1.
При этом предполагается, что нулем пространства является перестановка /?0 = (1, 2,..., п).
Нетрудно заметить, что в перестановке с индексом (аь a2,...,an-i) первый элемент перестановки образует а1 инверсий, второй—а2 инверсий и т. д. Отсюда можно сделать заключение, что число инверсий
л — 1
перестановки с индексом (аи i) равно 2 di . Далее вводится
/=i
понятие г-окружности с центром в некоторой перестановке р0, как множества всех перестановок p£S, обладающих свойством р (p0i р) — г. Каждая г-окружность содержит столько перестановок, сколько существует различных представлений числа г в виде суммы
л—1
г - ^ (li (0 < cii < i)
i = 1
с учетом порядка слагаемых.
8. Заказ 5501.
Обозначим через (г, д) количество разложений числа г в сумму
<7
г = 2 С1-1 с учетом порядка слагаемых. Тогда числа (г, д) могут быть ¿=1
определены из следующего рекуррентного соотношения:
(г, д) = (г - 1, +(г, (о)
Введенные понятия индекса г-окрестности, числа (г, д) исполь ~ зуются для организации равновероятной выборки некоторой перестановки р из /{"-окрестности любой перестановки р0. При этом можно ограничиться Я-окрестностью нуля, поскольку любую перестановку р = (сг1? а2,а„) с некоторой ее Я-окрестностью можно топологически отобразить в нуль с его /{"-окрестностью, установив соответствие «---> ь (I - 1, п).
Определим количество перестановок в некоторой /{"-окрестности. Поскольку /(-окрестность в метрике р состоит из К г-окружностей (0<г^#), а каждая г-окружность, в свою очередь, из (г, п~ 1) пе-
к
рестановок, то всего в /{"-окрестности находится 2 (г> 11 ~ 1) перес-
г-~ 1
к — а,
тановок. Среди этих перестановок имеется ^ (г, /г —- 2) таких, индекс
Г—-1
которых начинается с ах. В свою очередь, среди последних имеется (г, и — 3) перестановок, индекс которых имеет на втором мес-
Г= 1
те а2. Продолжая эти рассуждения, можно заключить, что множество перестановок, индексы которых начинаются с чисел аи а2, ... , <2/, состоит из следующего количества:
2 (г, П—1— 1).
г = 1
Для обеспечения равновероятной выборки перестановок из /{"-окрестности нулевой перестановки используется следующий алгоритм:
1. Отрезок [0, 1] делится на Кг частей в отношении
к ^ — 1 к,—2 1
г=1 г = 1 Г=1
где /{\ = /{*, -- /г — 1.
2. Генерируется некоторе значение £0 равномерно-распределенной в (0,1) случайной величины. Если принадлежит /*-му интервалу отрезка (0,1), то полагаем =1—1.
3. Осуществляется переход к этапу 1, полагая, что = —& гц+\ —п}— 1 (/=1, п—1). Повторением этапов 1 и 2 получаем О/Ч 1 и т. д.
4. После того как индекс (аи о,] » йп-\ ) построен, находим соответствующую ему перестановку с помощью приведенного выше алгоритма (4).
На основании рассмотренного алгоритма может быть легко осуществлена любая схема статистического поиска наилучшего плана.
При построении метрик у и р была предпринята попытка устранить некоторые недостатки метрики я, предложенной Пейджем. Метрики у и р по сравнению с метрикой п имеют ряд преимуществ, которые сводятся к следующему:
1. Максимальные удаления между точками пространства S для
п(п— \)
метрик л, р и у составляют п—I, - и п\ соответственно. 1аким
2
образом, в метриках р и у каждая точка пространства имеет больший набор /(-окрестностей, что обеспечивает большую детализацию комбинаторного пространства и, следовательно, дает возможность лучше организовать статистический поиск.
2. В метрике р близость перестановок зависит не только от количества разрывов, как это имеет место в метрике я, но и от того, насколько далеко разносятся разорванные части друг от друга и от того, как много элементов перестановки изменили свое взаимное расположение. Эти свойства метрики р позволяют лучше учесть особенности задачи календарного планирования с точки зрения организации целенаправленного поиска оптимального плана.
3. Известное преимущество перед остальными метриками имеет метрика у, которая дает наибольшую детализацию пространства 5. Вместе с тем ее недостатком в сравнении с метрикой р является зависимость расстояния у(рь /?2) от порядка нумерации деталей.
Для сравнения метрик на рис. 1 приведены полученные расчетным путем для п — 6 кривые, характеризующие количество М перестановок, находящихся в г-окрестности некоторой перестановки /?0, в зависимости от применяемых метрик. Из рис. 1 видно, что наиболее грубую детализацию пространства перестановок дает метрика я, наиболее тонкую — метрика у. При шаге поиска г — 1 все метрики практически эквивалентны, но уже при г — 3.4 использование метрики я нереально. Применение метрик р и у позволяет значительно быстрей, чем при метрике я, проходить эквивалентные области, что существенно повышает эффективность поиска.
Проведенные на ЭВМ исследования подтвердили эффективность метрики 7 по сравнению с метрикой я. Отыскивался оптимальный план для тестовой задачи календарного планирования размером тХ^Х' — = 6X6X6 (/— количество операций каждой детали) при самых общих предположениях. Обнаружилось, что количество недействительных планов на один действительный для метрики я в 5 6 раз было больше, чем для метрики у при одних и тех же /(-окрестностях (К = 2). Это указывает на то, что эффективность поиска с применением метрики у в 5 -г- 6 раз больше, чем с применением метрики я.
В настоящее время разрабатываются программы для ЭВМ, которые позволят провести экспериментальную проверку метрики р.
В заключение необходимо отметить, что исследования в области метризации комбинаторных пространств, по нашему мнению, весьма перспективны для построения оптимальных календарных планов задачи календарного планирования самого общего вида.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. А. Р а с т р и г и и. Статистические методы поиска. М., «Наука», 1968.
2. Е. S. Р a g е. On Monte-Karlo Methods in Congestion Problems. J. Oper. Res., 13, 2, 1965.
3. С. E. О с к о л к о в а, И. О. Осколков. Применение некоторых эвристических методов к решению задач календарного планирования. «Автоматика и телемеханика», 2, 1968.
4. Д. И. Г о л е и к о, Ю. Я. Т а р н о п о л ь с к и и. Оптимизация календарных планов методами направленного поиска. «Кибернетика», 6, 1970.
5. Д. И. Г о л е н к о, Ю. Я. Тарнопол ьский, Я. Н. Я р о к е р. Алгоритм статистической оптимизации для задачи календарного планирования. Сб. научных трудов семинара МДНТП. М., 1969.
