Анализ инвестиционного проекта, выполняемого группой предприятий, с использованием оптимизационной математической модели перепрофилирования производственных мощностей Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА, ВЫПОЛНЯЕМОГО ГРУППОЙ ПРЕДПРИЯТИЙ, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕПРОФИЛИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ

Б.А. Романов

В статье дается пример анализа инвестиционного производственного проекта, выполняемого группой предприятий с использованием оптимизационной математической модели производства и распределения продукции, включающей перепрофилирование производственных мощностей предприятий. Целевой функцией оптимизационной модели служит вектор, компонентами которого являются выпуск конечной продукции и стоимость перепрофилирования, первая из компонент максимизируется, а вторая минимизируется. Ядром оптимизационной модели служит система балансовых уравнений производства и распределения продукции между предприятиями. Перепрофилирование производственных мощностей описывается матрицей, элементы которой по строкам представляют собой доли мощностей предприятий доноров, которые перепрофилируются в мощности предприятий реципиентов. Соответственно столбцы этой матрицы представляют мощности предприятий реципиентов, которые получают мощности от предприятий доноров. Удельная стоимость перепрофилирования определяется матрицей коэффициентов перепрофилирования, элементы которой соответствуют матрице перепрофилирования. Общая стоимость перепрофилирования определяется поэлементным произведением матрицы перепрофилирования и матрицы коэффициентов перепрофилирования. Содержанием инвестиционного проекта является вложение средств с целью увеличения выпуска конечной продукции на основе перепрофилирования не используемых производственных мощностей группы предприятий, совместно выполняющих инвестиционный производственный проект, предприятий в требуемые мощности, а также за счет нового строительства. Приведен пример анализа возможностей увеличения производства в 2, 4 и 10 раз автосборочным предприятием, выпускающим 50 000 автомобилей в год

Ключевые слова: инвестиционный производственный проект, производственная мощность предприятия, многокритериальная оптимизация, перепрофилирование производственных мощностей

Предприятие, выпускающее 50 тыс. легковых автомобилей в год рассматривает проект увеличения производства, включающий три варианта:

• увеличение производства в 2 раза;

• увеличение производства в 4 раза;

• увеличение производства в 10 раз.

Для обеспечения расчетов этого проекта

предприятие использует данные о собственном предприятии и смежных предприятиях, выполняющих поставки материалов, запасных частей и комплектующих узлов и деталей. В число этих данных входят:

• перечень смежных предприятий, поставляющих автосборочному предприятию свою продукцию;

• производственные мощности автосборочного предприятия и смежных предприятий;

• объемы поставок продукции смежных предприятий на автосборочное предприятие;

• затраты продукции смежных предприя-

тий, приходящиеся на один рубль валовой продукции, выпускаемой автосборочным предприятием (коэффициенты прямых затрат).

Под производственной мощностью предприятия здесь понимается мощность производственной линии предприятия, на которой производится промежуточная или конечная продукция. Для обеспечения увеличения выпуска автомобилей предприятие по их сборке автосборочное предприятие договаривается со смежными предприятиями об увеличении поставок продукции.

Увеличение производства автомобилей и продукции смежных предприятий предполагается осуществлять в первую очередь за счет перепрофилирование не загруженных производственных линий предприятий, а в случае исчерпания этих возможностей использовать новое строительство. Предполагается выполнять перепрофилирование производственных линий при минимизации стоимости.

Перечень смежных предприятий, участ-

вующих в производстве автомобилей.

1. Предприятие машиностроения.

2. Предприятие автосборки.

3. Предприятие по производству двигателей.

4. Предприятие по производству проката.

5. Предприятие по производству резинотехнических изделий.

6. Предприятие по электроснабжению, водоснабжению и газоснабжению.

Анализ возможностей по увеличению выпуска автомобилей и продукции смежных предприятий выполняется с использованием следующей оптимизационной двухкритери-альной математической модели, описывающей поставки промежуточной продукции между предприятиями, выпуск конечной продукции предприятиями и возможности увеличения производственных мощностей предприятий за счет перепрофилирования не загруженных производственных линий. Первый критерий - это выпуск автомобилей, а второй - стоимость перепрофилирования производственных линий. Модель записывается в векторно-матричной форме в следующем виде:

x = Ax + y + y ; (1)

x < p + Ap; (2)

У = qa; (3)

a = ey; (4)

a ^ max; (5)

APe < Ap +; (6)

(X о AP)e < Ap -; (7)

p = [(C о AP)e]eT; (8) \AP\ > 0; (9)

p ^ min, (10)

где x - вектор размерности N валового выпуска продукции предприятий;

A - матрица размерности N*Nкоэф-фициентов прямых материальных затрат на производство продукции на предприятиях;

y - вектор размерности N фиксированного выпуска конечной продукции;

y - вектор размерности N максимизиру-

емого выпуска конечной продукции;

р - вектор размерности N производственных мощностей предприятий.

N - число предприятий;

д - вектор размерности N пропорций выпуска конечной продукции от общего объема;

а - общий объем производства конечной продукции (скаляр);

е - вектор-строка размерности N, состоящий из единиц;

Лр - вектор размерности N прироста (положительные значения) мощностей предприятий-реципиентов или уменьшения (отрицательные значения) мощностей условных предприятий-доноров за счет проведения перепрофилирования;

Лр + - вектор размерности N, составленный из положительных значений или нулевых, если они отрицательные, вектора

Лр;

Лр - вектор размерности N, составленный из отрицательных значений, взятых по модулю или нулевых, если они положительные, вектора Лр ;

ЛР - матрица долей производственных мощностей предприятий доноров, перепрофилируемых под мощности предприятий реципиентов;

X - матрица размерности N*Nкоэф-фициентов перепрофилирования;

р - общая стоимость затрат на перепрофилирование (скаляр);

С - матрица размерности N*Nкоэф-фициентов удельных затрат на проведение перепрофилирования;

еТ - единичный вектор-столбец вектор размерности N (транспонированный вектор-строка);

о - знак поэлементного перемножения двух матриц одинаковой размерности (произведение в смысле Адамара).

Искомыми величинами в модели (1)-(10)

являются скаляр а , векторы Лр, Лр +, Лр и

матрица АР, остальные величины исходные. Уравнение (1) является аналогом уравнения межотраслевого баланса [Леонтьев В.В. и др., 1958], использованного для описания производства и распределения продукции между предприятиями. Коэффициент перепрофилирования - элемент матрицы X показывает

как изменится мощность предприятия донора с индексом I после проведения перепрофилирования под мощность предприятия реципиента с индексом ] . Элемент вектора Ар + с индексом I в случае положительного значения показывает наличие избыточной (не используемой) мощности предприятия донора с индексом I. Элемент вектора Ар с индексом I в случае положительного значения показывает требуемую (недостающую) мощность предприятия реципиента с индексом I.

Элементы матрицы АР по строкам представляют собой доли мощностей предприятий доноров, которые перепрофилируются в мощности предприятий реципиентов. Соответственно столбцы этой матрицы представляют мощности предприятий реципиентов, которые получают мощности от предприятий доноров. Вектор суммы долей перепрофилируемых мощностей предприятий доноров АРе, как произведение матрицы АР на единичный вектор-строку е, должен быть меньше или равен вектору мощностей предприятий доноров Ар + . Вектор (X о АР)е, как произведение матрицы X о АР на единичный вектор-строку е, представляет собой вектор перепрофилиро-

ванных мощностей, который ограничивается вектором требуемых (недостающих) мощностей предприятий реципиентов Ар .

Скалярная функция р выражает общую стоимость затрат на перепрофилирование и вычисляется как скалярное произведение

вектора (С о АР)е на вектор-столбец еТ. Вектор (С о АР)е образуется как произведение матрицы (С о АР), представляющей собой поэлементное произведение матриц С и АР , на единичный вектор-строку е .

При проведении перепрофилирования производственных линий ставится условие минимизировать общие затраты. Тогда целевой функцией оптимизационной задачи по определению максимального объема выпуска конечной продукции при проведении перепрофилирования производственных линий будет вектор ф = (а, р) составленный из двух компонент а и р, первую из которых требуется максимизировать, а вторую минимизировать. Исходные данные для моделирования приводятся ниже.

Для краткости в приводимых ниже таблицах исходных данных предприятия, участвующие в реализации производственного проекта обозначаются порядковыми номерами из указанного выше перечня. Данные о производстве продукции приводятся в стоимостных единицах (рублях). Все приведенные ниже данные условные. Коэффициенты прямых материальных затрат продукции предприятий представлены в табл. 1.

Таблица 1

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРЯМЫХ ЗАТРАТ - МАТРИЦА А

1 2 3 4 5 6

0.209195 0.043131 0.016226 0.002378 0.007204 0.039843

0.021689 0.224980 0.020565 0.011217 0.023996 0.040242

0.025733 0.078656 0.162535 0.059694 0.115077 0.048657

0.024284 0.093403 0.087092 0.310624 0.280188 0.052209

0.003886 0.011053 0.006614 0.030768 0.360330 0.110894

0.008388 0.012877 0.012104 0.030621 0.118094 0.245430

Матрица В , обратная к матрице I - А (I - Вектор р - производственные мощности единичная матрица) приведена в табл. 2. предприятий приведены в табл. 3.

Таблица 2

МАТРИЦА В_

1 2 3 4 5 6

1.269094 0.077213 0.029411 0.013682 0.043305 0.080336

0.039344 1.302977 0.038107 0.032467 0.086835 0.089032

0.050617 0.148469 1.216515 0.128009 0.307477 0.143080

0.064328 0.218230 0.173377 1.513429 0.747465 0.240780

0.015585 0.042110 0.027267 0.088284 1.655575 0.254244

0.020641 0.040922 0.031794 0.077992 0.296334 1.379527

Таблица 3

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ МОЩНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ

тыс. руб.

1 2 3 4 5 6

1 130 000 200 000 65 000 120 000 600 000 600 000

Поскольку в проекте требуется найти максимум конечной продукции только сборочного предприятия, то вектор д состоит из нулей кроме элемента, соответствующего автосборочного предприятию, который равен единице. Компонента вектора у для автосборочного предприятия равна нулю, т.к. предполагается, что оно выпускает только максимизируемую конечную продукцию, а не фиксированную. Смежные предприятия,

наоборот, выпускают только фиксированную конечную продукцию и для них компоненты вектора у равны нулю. Требуемый выпуск конечной продукции предприятий представлен в табл. 4. Строка с обозначением Нач. означает выпуск конечной продукции в начальный момент, а строки с обозначениями 2, 4 и 10 означают увеличение выпуска автомобилей соответственно в 2, 4 и 10 раз.

Таблица 4

ТРЕБУЕМЫЙ ВЫПУСК КОНЕЧНОЙ ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЙ

тыс. руб.

Выпуск 1 2 3 4 5 6

Нач. 29 256 55 753 33 624 21 098 255 588 336 297

2 29 256 103 495 33 624 21 098 255 588 336 297

4 29 256 207 218 33 624 21 098 255 588 336 297

10 29 256 560 256 33 624 21 098 255 588 336 297

Для решения поставленной задачи сначала определим требуемые объемы валового выпуска предприятий при увеличении производства легковых автомобилей в 2, 4 и 10 раз. При этом положим, что вектор у равен нулю, а компоненты вектора у , соответствующая выпуску конечной продукции равны значениям из табл. 4. Тогда из урав-

нения (1) задачи (1)-(10) получаем требуемый валовой выпуск продукции предприятий, обозначаемый хТ, рассчитывается по формуле:

хТ = Ву.

В табл. 5 представлены результаты расчетов этой величины.

Таблица 5

ТРЕБУЕМЫЙ ВАЛОВОЙ ВЫПУСК хТ ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЙ

тыс. руб.

Выпуск 1 2 3 4 5 6

Нач. 153 306 109 025 65 208 87 238 555 018 546 118

2 255 500 181 670 67 333 89 048 559 860 551 081

4 459 887 326 960 71 582 92 668 569 542 561 009

10 1 073 048 762 829 84 330 103 529 598 590 590 792

Выполним анализ возможностей увеличения производства автомобилей в 2 раза без учета прироста мощностей за счет перепрофилирования. Для этого положим Ар = 0 и разделим задачу (1)-(10) на две однокрите-риальные взаимосвязанные задачи: задачу (1)-(5) и задачу (6)-(10).

Если матрица А продуктивная, то задачу (1)-(5) благодаря условию (3) можно решить в аналитическом виде [Масаков В.М.,1973, Лавровский Б.Л., 1977]. Максимальное значение величины а, обозначаемое а равно:

аь = тт{а1},

(11)

где аI =

[р - В(у + у)]!

I =

[ВЦ]-,

В - матрица обратная к матрице I - А ;

I - единичная матрица.

Исходя из производственных мощностей предприятий (табл. 3) по формуле (11) был рассчитан максимальный объем производства легковых автомобилей. В табл. 6 представлены результаты расчетов значений величин

16.

а.,I

I

ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН а.,I

I

1,6

Таблица 6

тыс. руб.

1 2 3 4 5 6

3 304 189 153 495 1 705 723 369 6061 6 909 657 6 739 150

Из табл. 6 видно, что максимальный объем производства автомобилей на сборочном предприятии представляет собой минимальное число а., I = 1,6, равное 153 495 тыс.

руб. Это почти в три раза выше объема производства автомобилей в начале реализации проекта. Этот объем производства автомобилей достигнут при увеличении использования мощностей автосборочного предприятия и смежных предприятий за счет увеличении коэффициента сменности работников. Таким образом, увеличение производства автомобилей в 2 раза может быть достигнуто без увеличения производственных мощностей предприятий.

При реализации проекта увеличения производства автомобилей в 4 раза соб-

ственных производственных мощностей сборочного предприятия уже не достаточно (см. табл. 5). Нехватка производственных мощностей составляет в стоимостном выражении около 130 000 тыс. руб. По согласованию с предприятием машиностроения был рассмотрен вариант создания недостающих производственных мощностей сборочного предприятия путем перепрофилирования части избыточных мощностей предприятия машиностроения.

Кроме того, при 4-х кратном увеличении производства автомобилей возникает нехватка в поставке двигателей, которая также не может быть восполнена за счет максимального использования производственных мощностей этого предприятия, так как требуемая

мощность превышает имеющуюся. Для ликвидации дефицита производственных мощностей по производству двигателей был рассмотрен вариант перепрофилирования части избыточных производственных мощностей предприятия по производству проката под производство двигателей.

В случае 4-х кратного увеличения производства автомобилей требуется решать задачу (1)-(10). Эта задача очевидно имеет тривиальное решение в виде АР = 0, которое соответствует тому, что перепрофилирование мощностей предприятий не производится. В этом случае общий объем производства (скаляр а ) остается неизменным по сравнению с состоянием до перепрофилирования, поэтому такой случай не рассматривается. Для формального исключения этого случая вводится ограничение (9).

Решение оптимизационной задачи (1)-(10) сводится к определению множества эффективных решений (множеств Парето или Слейтера). Однако анализ показывает, что эти множества в данном случае вырождаются в точку, поскольку критерии а и р функционально связаны между собой. Их можно заменить одним критерием в виде функциональной зависимости а от р: ф = а( р) или обратной ей функцией / = р(а).

В книге [Романов Б.А., 2011] доказано, что функция / = р(а) монотонная, выпуклая,

Ь е

равна нулю в точках и а и а имеет один максимум на этом отрезке изменения а . Способ вычисления величины ае также приводится в [Романов Б.А., 2011]. Максимум функции / = р(а) соответствует такому положению, когда имеются не загруженные мощности предприятий - доноров и одновременно дефицитные мощности предприятий -реципиентов, причем таких размеров, что удается все незагруженные мощности перепрофилировать в дефицитные и при этом не останется дефицитных мощностей. В данном примере было рассчитано, что такой точкой

является 4-х кратное увеличение объема производства автомобилей. В этом случае остается только выполнить перепрофилирование по критерию минимума стоимости.

Для этого рассмотрены две пары вариантов перепрофилирования (цифрами обозначаются номера предприятий): Первая пара 1^2 и 4^-3 и вторая пара 4^-2 и 1^3.

Множество предприятий реципиентов включает предприятия 2 и 3, а множество предприятий доноров - предприятия 1 и 4. В книге [Романов Б.А., 2011] приведен алгоритм расчета коэффициентов Хц и О/ц . Расчет по этому алгоритму дал для данного примера следующие результаты: Х21 = 1,2;

Х24 = 3,5 Х31 = 1,5 Х34 = 2,7 О21 = 0,2 О24 =0,5; О31 =0,7; О34 =0,3.

Недостающие производственные мощности автосборочного предприятия при 4-х кратном увеличении производства автомобилей составляют в стоимостном выражении 130 000 тыс. руб., а недостающие производственные мощности предприятия по производству двигателей - около 10 000 тыс. руб. Избыточные мощности предприятия машиностроения 70 000 тыс. руб., а предприятия по производству проката - 30 000 тыс. руб.

Решение оптимизационной задачи ввиду малого числа переменных может быть получено простым перебором. Результаты показывают, что наиболее оптимальным, т.е. с меньшей стоимостью, является перепрофилирование избыточных производственных мощностей предприятий под выпуск продукции дефицитных производственных мощностей по схеме 1^2 и 4^3.

Теперь остается рассчитать максимальный объем производства автомобилей с учетом увеличения дефицитных производственных мощностей за счет перепрофилирования избыточных производственных мощностей предприятий. Для этого решается оптимизационная задача (1)-(5) с новыми ограничениями по производственным мощностям, т.е. рассчитываются значения величины а., / = 1,6. Ре-

I'

зультаты расчетов приведены в табл. 7.

ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН а.,/ = 1,6

Таблица 7

тыс.

руб

1 2 3 4 5 6

1 525 010 207 218 1 968 142 3 388 056 6 909 657 6 739 150

Из табл. 7 видно, что максимальный выпуск автомобилей равен 207218 тыс. руб., что почти в 4 раза больше чем до реализации инвестиционного проекта. Таким образом, с помощью перепрофилирования избыточных мощностей предприятий в дефицитные удается достичь увеличения производства автомобилей в 4 раза.

В проекте 10-ти кратного увеличения производства автомобилей самым узким местом являются производственные мощности сборочного предприятия. Это следует из анализа табл. 3 и 4. В предыдущем варианте проекта при 4-х кратном увеличении производства автомобилей производственные мощности сборочного предприятия были увеличены за счет перепрофилирования части избыточных мощностей предприятия машиностроения.

Однако возможности создания недостающих производственных мощностей за счет перепрофилирования избыточных в этом варианте исчерпаны. Поэтому увеличить производственные мощности сборочного предприятия можно только посредством строительства нового завода для этого предприятия, рассчитанного на выпуск валовой продукции примерно 400 000 тыс. руб. С учетом перепрофилирования в предыдущем варианте общая производственная мощность сборочного предприятия по валовому выпуску составит 730 000 тыс. руб.

Для расчета максимального выпуска автомобилей опять решаем задачу (1)-(5) с новым значением производственных мощностей предприятия. Результат расчетов равен 560 256 тыс. руб., что по сравнению с начальным объемом производства равным 55 753 тыс. руб. (табл. 4) составляет увеличение в 10 раз.

Литература

1. Лавровский, Б.Л. Исследование свойств вероятностной модели межотраслевого баланса производственных мощностей / Б.Л. Лавровский. - В кн. Оптимизационные и балансовые модели народного хозяйства. -Новосибирск, Наука, 1977.- 251 с.

2. Леонтьев, В.В. Исследования структуры американской экономики / В.В. Леонтьев и др.; перев. с англ. - Госстатиздат, 1958.

3. Масаков, В.М. Некоторые свойства моделей межотраслевого баланса производственных мощностей простейшего типа. / В.М. Масаков. В сб.: Проблемы моделирования народного хозяйства. Ч. 3. - Новосибирск, ИЭ и ОПП, 1973.- 264 с.

4. Романов, Б.А. Алгоритм исследования реализации предприятиями инвестиционного производственного проекта: монография / Б.А. Романов. - М.: РИОР; ИНФРА-М, 2011.392 с.

Романов Борис Александрович, кандидат технических наук, Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского - МАТИ (г. Москва, Российская Федерация), boris094@mail.ru

THE ANALYSIS OF THE INVESTMENT INDUSTRIAL PROJECT WHICH IS CARRIED OUT BY GROUP OF THE ENTERPRISES WITH USE OF OPTIMISING MATHEMATICAL MODELOF A RESHAPING OF CAPACITIES

B.A. Romanov, Russian State Technological University named after K.E. Tsiolkovsky -MATI, Moscow, Russian Federation, boris094@mail.ru

The article presents the example of industrial investment project analysis, carried out by the group of companies using the optimization mathematical model of manufacturing and distribution of products, which involves the conversion of the company's production capacities. The target function of the optimization model is a vector, the components of which are the production of finished goods and the cost of conversion. One of these components is maximized, while another is minimized. The core of the optimization model is the system of balance equations of manufacturing and distribution of products between enterprises. The conversion of production capacities is described by the matrix, whose row elements represent the capacity shares of donor companies, to be converted into ones of recipient companies. Accordingly, the columns of the matrix represent the capacity shares of recipient companies acquiring the production capacities from donors. The specific cost of conversion is determined by the conversion coefficient matrix, whose elements comply with the conversion matrix. The total cost of conversion is determined as an element-by-element product of the conversion matrix and the conversion coefficient matrix. The essence of the investment project is the investment of funds with the purpose of increasing the output of finished goods on the basis of converting the non-applicable production capacities by a group of companies involved in the same industrial investment project; the transformation of companies into the required production capacities, or the construction of new enterprises. The example of the capablity analysis has been presented showing the possibility of 2-, 4- or 10-fold increase of production by an automobile assembly plant, producing 50000 automobiles a year

Key words: the investment industrial project, capacity of the enterprise, multicriterion optimisation, reshaping of capacities.

References

1. Lavrovskij B.L. Issledovanie svojstv verojatnostnoj modeli mezhotraslevogo balansa pro-izvodstvennyh moshhnostej [The investigation of the probability model properties of the intersectoral balance of productive capacities]. V kn. Optimizacionnye i balansovye modeli narodnogo hozjajstva [Optimization and balance models of the national economy]. Novosibirsk: Nauka, 1977. 251 p.

2. Leont'ev V.V. Issledovanija struktury amerikanskoj jekonomiki; perev. s angl. [The study of the American economic structure]; transl. from English. Gosstatizdat Publ. 1958.

3. Masakov V.M. Nekotorye svojstva model ej mezhotraslevogo balansa proizvodstvennyh moshhnostej prostejshego tipa [Certain properties of the intersectoral balance models of the simplest production capacities]. V sb.: Problemy modelirovanija narodnogo hozjajstva [The problems of the national economy modeling (the collection of articles)]. Ch. 3. p. 3. - Novosibirsk, The Institute of Economics and Industrial Production Management, 1973. 264 p.

4. Romanov, B.A. Algoritm issledovanija realizacii predprijatijami investicionnogo proizvod-stvennogo proekta: monografija [The algorithm of investigating the company's implementation of an investment or production scheme: a monograph]. Moscow: RIOR; INFRA-M , 2011. 392 p.