Анализ инвариантных преобразований в информационных оптико-электронных системах позиционирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

АНАЛИЗ ИНВАРИАНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ

ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ

И.А. Коняхин, А.Н. Тимофеев, Э.Д. Панков, Л.Ф. Порфирьев, К.Н. Чиков

На основе введенного понятия избирательного инварианта получены соотношения между параметрами оптико-электронных автоколлимационных систем измерения пространственного положения объектов, позволяющие уменьшить погрешность измерения вследствие взаимного влияния измерительных каналов.

Общие инварианты оптико-электронной системы позиционирования

Одним из направлений совершенствования оптико-электронных систем является разработка новых методик проектирования, позволяющих в значительной степени учесть особенности используемых оптоэлектронных элементов и оптимизировать результирующие параметры.

Выполнение как аналитических, так и синтезирующих проектных процедур в значительной степени упрощается при использовании так называемых инвариантов. В математике инварианты - группа величин (параметров) объекта, значения которых не зависят от выбора базиса как совокупности линейно-независимых элементов некоторого пространства Я [1]. При этом говорят, что такие параметры объекта обладают свойством инвариантности. Известны классические инварианты, используемые при анализе оптических систем, например, инвариант Лагранжа - Гельмгольца:

П1-а,1 • >4 = П2 • а,2 • >2=. • • = П • а; • у; , (1)

устанавливающий неизменность величины произведения показателя преломления п оптической среды, угла а; между лучом и оптической осью, размера изображения у^ при проходе лучом нескольких оптических сред (/ - номер среды). Выражение (1) определяет полный инвариант, справедливый для любого количества сред распространения луча.

Примером неполного (условного) инварианта является закон преломления (р1, р2 - углы между лучом и нормалью к границе между средами) [2]:

пгвтфО = П2 • зт(Р2), (2)

справедливый только для двух смежных сред.

Введем понятие избирательного инварианта как соотношения, описывающего свойства некоторого объекта, в котором собственно инвариантна только некоторая часть. Например, выражение для яркости Ь светового пучка в сечении с геометрическим фактором О и световым потоком Г может быть записано в виде:

Ь = О = О1=Ьо-т. (3)

О О0

где Ь0, О0 и Г0 - яркость, геометрический фактор и световой поток в некотором предыдущем сечении, т - коэффициент пропускания среды на участке между рассматриваемыми сечениями. В выражении (3) инвариантна только часть, относящаяся к геометрическому фактору:

О = ОЯ = Оо-Яо = Оо, (4)

где О - телесный угол, в котором распространяется пучок, Я - площадь сечения.

Рассмотрим частные инварианты, которые могут использоваться при проектировании определенного класса приборов, например, оптико-электронных систем позиционирования.

Структура оптико-электронной системы (ОЭС) позиционирования включает оптико-электронный автоколлиматор 1, установленный на некотором базовом объекте, а также отражающую оптическую систему - контрольный элемент 2, связанный с объектом, пространственное положение которого контролируется (рис. 1) [3].

Контрольный элемент 2 ^

Yl ^ ©з

02 V1

Отраженный пучок

Автоколлиматор 1

Z

Базовый объект

Xl

Контролируемый объект

Линия, соединяющая объекты

Рис. 1. Структура автоколлимационной ОЭС позиционирования

Автоколлиматор 1 функционально разделяется на излучающий канал, который служит для формирования пучка, падающего на контрольный элемент 2, и приемный канал, регистрирующий отраженный пучок.

Контрольный элемент (КЭ) 2 представляет собой отражающую оптическую систему, которая формирует отраженный пучок с требуемыми информативными параметрами (количество отраженных пучков, их интенсивность, углы расходимости, чувствительность к измеряемым параметрам позиционирования).

Если с базовым объектом связать неподвижную систему координат ХУ2, а с контролируемым объектом - систему Х1У121, пространственное положение контролируемого объекта определяется шестью координатами: тремя линейными координатами -смещениями х, у, г начала О] подвижной системы координат относительно центра О

неподвижной - и тремя угловыми координатами - углами 01? 02, 03 поворота системы координат Х1У121 относительно осей системы координат ХУ2.

Для построения эффективной ОЭС позиционирования, КЭ должен обладать избирательной инвариантностью и формировать пучок, отдельные параметры которого инвариантны к одним пространственным координатам объекта и неинвариантны (чувствительны) к другим. Пусть N = |/1, /2, /3, /4, /5, 4} - совокупность параметров отраженного пучка. Тогда для ОЭС полного пространственного позиционирования необходим синтез отражающей системы со следующей избирательной инвариантностью:

к( х)

/1 =

/2 =

/з =

/4 =

ту( у, 2,01,02,03)'

2 (у)

|ту(х,г,01,02,03) , |ту( х, у, 01,0 2,0 з),

К^)

|ту(у, г, х, 0 2,03)

(5)

(6)

(7)

(8)

Г*5(©2)

15 = <! ^ 21 , (9)

[1пу(у, X, ©ь ©3)

4 =|16(03) . (10)

[ту( у, х, ©1, © 2)

В этом случае по величине каждого параметра 1\ пучка реализуется независимое измерение одной из пространственных координат объекта при нечувствительности к остальным. Теоретический анализ показывает, что в этом случае минимизируется погрешность измерения пространственного положения контролируемого объекта [4].

Определение параметров контрольного элемента ОЭС позиционирования с избирательной инвариантностью по коллимационным угловым координатам

Рассмотрим отдельно задачу независимого измерения двух углов - так называемых коллимационных угловых координат ©1 и ©2 . В соответствии с выражениями (8) и (9) КЭ должен формировать отраженный пучок, каждый из двух параметров 14, 15, которого был бы чувствителен к одной из коллимационных угловых координат ©1? ©2 и нечувствителен к остальным пяти пространственным координатам.

Инвариантность к линейным смещениям при чувствительности к угловым поворотам реализуется при работе КЭ в параллельном пучке лучей, который формируется автоколлиматором. [5].

Алгоритм автоколлимационного измерения угловых координат имеет вид [3]

В = М© -А = Мг-Ма-Мг-1-А, (11)

где В - орт отраженного пучка; А - орт падающего на КЭ пучка; М© - матрица действия общего вида зеркально-призменной системы, образующей КЭ. Матрица действия М© общего вида определяется произведением матрицы действия Мак зеркально-призменной системы, записанной для некоторого исходного положения КЭ, и матриц прямого Мг и обратного -Мг-1 преобразований координат, описывающих поворот КЭ из исходного в текущее положение.

Матрица Мг выражается через углы трех последовательных поворотов системы

Х1У111 относительно своих координатных осей и может быть задана в виде произведения трех матриц, каждая из которых описывает поворот на угол ©р ©2 или ©3 относительно одной оси. Следовательно, матрица Мг может быть задана шестью способами,

соответствующими различной последовательности поворотов относительно трех координатных осей. Ориентация орта В в пространстве инвариантна относительно последовательности поворотов, определяющих матрицу М .

Последовательность по- Задаваемые угловые Значения коэффициентов

воротов относит. осей Координаты Р V

ОХ1 - ОУ1 - 011 ©1 - ©2 - ©3 1 1 1

ОХ1 - 0У1 - 011 ©3 - ©1 - ©2 0 0 1

ОХ1 - 0У1 - 011 ©2 - ©3 - ©1 0 1 0

ОХ1 - 0У1 - 011 ©3 - ©2 - ©1 0 0 0

0X1 - ОУх - 011 ©2 - ©1 - ©3 1 1 0

ОХ1 - ОУ1 - 011 ©1 - ©3 - ©2 1 0 1

Таблица. Коэффициенты матрицы преобразования координат

При малых величинах угловых координат матрица Мг определяется общим выражением (12), где значения параметров р, V и w, соответствующие различной последовательности поворотов, определяются столбцами 3, 4, 5 - см. таблицу [3].

M г =

1 - 2 ( +02)

03 + w010

-03 + (1 - w)©1©2 02 +(1 - p )©10

1^2

+

i - 2 (©2+©2)

-0 2 + p©103 01 + v0203

-01 +(1 - v )020 i - 2 (02 +02)

(12)

Для обеспечения инвариантности к поворотам на угол ©относительно оси 021 необходимо начальное ориентирование КЭ относительно осей системы Х1У121, при котором вектор его основного неизменного направления был бы коллинеарен 02} [5].

Матрица Мак действия зеркально-призменной системы, определяющей такой КЭ, имеет вид:

г 0

M

dkz

cos(ш) -sin(ш) sin( ш) cos( ш)

0

0

0

(-1)

(13)

где k - количество отражений пучка, четное при положительном корне характеристического уравнения и нечетное при отрицательном; ш - угол поворота пучка относительно вектора основного неизменного направления ОНН при отражении.

Определим составляющие орта B отраженного пучка, подставив в выражение (11) матрицы (12),(13) и полагая падающий пучок осевым:: A = [0 0 -1]T, k - нечетное.

х = (cos ш +1) [02 -( - 1)0103 ] + sin ш [01 +(v -1)0203 ], (14)

y = (cosш +1) [- 01 -(v -1)0203 ]+sin ш [02 -(p -1)0103 ]. (15)

Как следует из выражений (14), (15), инвариантность параметров х, y отраженного пучка по отношению к неизмеряемому углу 03 реализуется при значениях p = 1 и v =1 матрицы преобразования координат Mr. Составляющая х орта В инвариантна к углу поворота 02 , а составляющая y инвариантна к углу 01 при величине параметра матрицы Mdkz действия ш = 0°. Значениям k=1 и ш = 0° соответствует типичный КЭ для автоколлимационных измерений - плоское зеркало [5]..

Выполним синтез КЭ для автоколлимационных измерений, соответствующий значению k=3 матрицы действия.

Пусть ш = 180° + А, где А - малый угол. Выражения (14), (15) принимают вид:

х = (-02 ■А)-А-01 -А, y = (-01 -А)-|-02-А.

А/2, cos^) :

(16)

(17) 1).

(18) (19)

Введем в рассмотрение некоторый малый угол ф = А/2 ( sin^) Тогда выражения (16), (17) принимают вид: х = Уф sin ф + Хф cos ф ,

y = хф sin ф + Уф cos ф ,

где хф и уф - составляющие орта B по осям системы координат ХфУф2ф , повернутой на малый угол ф = А/2 относительно оси 02 неподвижной системы координат XY2 (рис. 2).

Составляющие орта отраженного пучка в системе координат Хф7ф2ф определяются как

3

Хф = -©1 - А

.Уф =-©2 -А,

что соответствует требуемой инвариантности параметра пучка Хф по углу ©2 и параметра Уф - по углу ©1 .

Значениям к=3 и ш= 180° ± А, где А □ малый угол, соответствует КЭ в виде тройного зеркала с некомпланарными нормалями, двугранные углы между которыми на малый угол отличаются от прямого.

Из выражений (20) следует, что рассматриваемый КЭ имеет коэффициент преобразования по измеряемому углу, значительно меньший, чем плоское зеркало (А<< 2). Это позволяет значительно увеличить диапазон измеряемых углов по сравнению с традиционными автоколлимационными угломерами.

С использованием критерия избирательной инвариантности синтезирован контрольный элемент для автоколлимационной ОЭС позиционирования по коллимационным углам. При этом по отношению к углу скручивания ©3 обеспечивается полная инвариантность, а по взаимной инвариантности углов ©1;©2 - условная инвариантность, реализуемая при измерении параметров отраженного пучка в специально выбранной системе координат.

Литература

1. Коняхин И.А., Панков Э.Д., Тимофеев А.Н. Об инвариантности в оптико-электронных приборах и системах. // VI Международная конференция «Прикладная оптика», 18-21 октября 2004 г., Санкт-Петербург, Россия. Сборник трудов. Том. 1. Оптическое приборостроение. СПб, 2004. С. 46-48.

2. Теория оптических систем. Учебник для вузов / Б.Н. Бегунов, Н.П. Заказнов, С.Н. Кирюшин, В.И. Кузичев. М. Машиностоение, 1981. 432 с., ил.

3. Джабиев А.Н., Коняхин И.А., Панков Э.Д. Автоколлимационные углоизмеритель-ные средства мониторинга деформаций. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000. 197 с.

4. Высокоточные угловые измерения. / Д.А. Аникст, К.М. Константинович, И.В. Меськин, Э.Д. Панков. Под ред. Ю.Г. Якушенкова, М.: Машиностроение, 1987.

5. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1982. 128 с...

ф

Рис. 2. Выбор системы координат

Заключение

480 с.