Если начальное значение переменной л(: = 0) е (лтЬР, лтЬ), то переменная х устойчиво «втягивается» в циклическую стационарную траекторию криволинейного четырехугольника А ^В ^С ^О ^ А---. Аналогичный процесс имеет место, если л(: = 0) е (лтах, лтах^). В этом случае переменная х с интервала С¥ перемещается в замкнутый цикл С ^ О ^ А ^ В ^ С -- -.
Период колебаний рассчитывается как сумма Т = :АВ + :ВС + :СО + :ОА.
Времена переходов с зависимости Р(л) на Ы(л) и Ы(л) на Р(л) в идеальном случае равны нулю: = :вс = 0. Поскольку функции Р( л) и N (л) представляют собой производные переменной х, то значения временных отрезков находят следующим образом.
Для временного интервала :АВ
% = Р( л)
Ш
Разделив переменные и проинтегрировав по участку АВ, получим
/ _ -у
Шл
tAB ~
f dt = f —. (1) f J P(x) ( )
Аналогично для временного интервала tCD имеем
tD ^-min ^^
tCD = Jdt =J (2)
Итак, для периода колебаний
* x N(x)
lC xmax
xmav j xmin i
dx m dx
T = f ^ + f
f P(v\ f
P(x) / N(x)
■wmm ^max
Для получения зависимости x(t) в выражениях (1) и (2) верхние пределы необходимо заменить на текущую переменную x, а затем выразить x через t. Так, применительно к (1) получим
t x i
ац
¡4= J
tx
Р(ц)'
где Е, и ^ - переменные интегрирования.
л И
Введя обозначение Г(л) = [ -, получим л = Г_1(: - Ха).
/ Р(л)
лтт
Рассмотренный подход может быть эффективно применен к анализу и синтезу импульсных генераторов с одним реактивным элементом, конденсатором С или катушкой индуктивности Ь. Обобщенные схемы таких генераторов представлены на рис.2.
а б
Рис.2. Обобщенные схемы импульсных генераторов с одним реактивным элементом: а - в виде конденсатора; б - в виде катушки индуктивности
Схемы содержат один реактивный элемент и активный двухполюсник (в общем случае нелинейный). Для схемы на рис.2,а в соответствии с методом переменных состояния в качестве переменной х рационально выбрать ис . Тогда
Лх Лиг
1 .
= — 1г
Производная
Лис Лг
Л Лг С
пропорциональна току гс , поэтому для анализа колебательных
процессов ось ординат
Лис Лг
на рис.1 можно заменить на Iс . При аналитических расчетах необходимо учесть масштабный множитель 1. Из рис.2,а следует, что ток ¡с является выходным током двухполюсника, а напряжение ис - его выходным напряжением. В данном случае график /с (ис ) является выходной характеристикой активного двухполюсника или его ВАХ, если вытекающий ток считать положительным, а втекающий -отрицательным.
Применим данную методику анализа к генераторам с одним реактивным элементом.
ЛС-генератор. Схема ^С-генератора на основе инвертирующего триггера Шмидта показана на рис.3,а.
Формирование выходной характеристики активного двухполюсника или ВАХ с отрицательным знаком относительно узлов, к которым подключен конденсатор (зависимости /с (ис ) ), при условии, что передаточная характеристика триггера Шмидта имеет вид, представленный на рис.3,б, входное сопротивление триггера бесконечно, а выходное сопротивление триггера равно нулю, приводит к результату, показанному на рис.3,в.
Получим аналитические выражения для ис (г). На участке заряда справедливо выражение
ис
г - г А =
Г Лл = Г
• Р(л) •
Па =П ( л) иА=П
ис
=-яс-нит-л) иС =-кс- 1пЦ^т
ит . 1 иА=и ит - и1
к с
(3)
где ит - напряжение высокого уровня триггера Шмидта.
Рис.3. ЛС-генератор на основе триггера Шмидта: а - схема [3]; б - передаточная характеристика; в - выходная характеристика /С(иС); г - временные диаграммы
Откуда, выражая ис (г), имеем
ис (г) = Пт + (П - Пт ) - е
г-г а
яс
Подставляя в (3) П2 вместо ис (г), получаем формулу длительности прохождения участка АВ:
ит - и
гав = яс - 1п
Пт - П2
Аналогично для интервала разряда справедливо
' - 'с = = 1 "ГТ = -яс - 1п(л) Г =-яс - 1п ^. (4)
„с =и2 (л) иА =и2 — ис =Щ и 2
я с
Откуда, выражая ис (г), получаем аналитическое выражение для участка разряда:
г-г с
ис (г) = и2 - е яс .
Подставляя в (4) вместо ис (г), получаем формулу длительности интервала СО:
гсП = яс - 1п и2.
Пт
.^-генератор. Для схемы на рис.2,б в соответствии с методом переменных состояния в качестве переменной х следует выбрать ¡ь . Тогда
Лх _Л1Ь _ 1 Лг Лг Ь Ь
т-т dir _
Производная —— пропорциональна напряжению uL, поэтому для анализа колеба-dt
тельных процессов ось ординат g на рис.1 можно заменить на uL . При аналитических
расчетах следует учесть масштабный множитель —. Из рис.2,б следует, что ток iL яв-
L
ляется выходным током двухполюсника, а напряжение uL - его выходным напряжением. Поэтому график uL (iL) в данном случае совпадает с выходной характеристикой двухполюсника или ВАХ с учетом правила знаков для тока.
Схема Ж-генератора, построенного на основе инвертирующего триггера Шмидта, показана на рис.4,а.
Рис.4. Ж-генератор на основе триггера Шмидта: а - схема; б - выходная характеристика иь(1ь); в - временные диаграммы
В соответствии с полученными формулами построены осциллограммы ^ ) и ивых (рис.4,в).
Внешнее сходство осциллограмм на рис.4,в с осциллограммами на рис.3,г объясняется идентичностью видов графика зависимостей иь (1Ь ) и 1С (ис ) .
Получим аналитические выражения для ^ (I) . Для интервала АВ справедливо
lL
t " ^ A = J
U
d^
d^
Ia =-
1 Дл) ^(ит _л.R)
— iL
T = _ — • ln(Um _лЯ) | 1 R
L Ij=
= _ — • ln. (5)
Ц R Um _ U ()
R
Откуда, выражая iL (t), получаем
iL (t) = ^ + U _ U
R
R
t_tA
m e bRT
R
R
Подставляя в (5) Ut вместо iL ('), получаем выражение для длительности прохож-R
дения участка AB:
,1В = £. In U^Ul AB R Um - U2
Аналогично для интервала CD справедливо
' - 'с = i L^tA-T. (6)
u,N(4) R U2 ■ R
1с
Откуда
ic=— c R
rr -_t_tc_
h (') = Ut ■e LR- •
Из (6) в результате замены iL (') на Ul получаем выражение для прохождения уча-
R
стка CD:
L , U2
tCD = —■ In—2 • CD R U
Предложенная методика и рассмотренные примеры генераторов позволяют сделать следующие выводы. Возможность возбуждения автоколебаний анализируется по виду ВАХ активного двухполюсника, к которому подключен реактивный элемент [4]. При этом для емкостных генераторов ВАХ сооответствует зависимости ic (uc), а для индуктивных - зависимости uL (iL). ВАХ должна иметь разнознаковые участки двух-значности. Аналитические зависимости участков ВАХ позволяют легко и наглядно получить формульные соотношения для временных диаграмм и параметров генерируемых импульсов.
Литература
1. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. - 3-е изд. / Под ред. С.М. Рытова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 656 с.
2. Платунов Е.С., Самолётов В.А., Буравой С.Е. Физика. Словарь-справочник. - СПб.: Питер, 2005. - 496 с.
3. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: в 2 т.: пер. с нем. - М.: Додэка - XXI, 2008. -Т. 1. - 832 с.
4. Рыгбин Ю.К. Условия возбуждения и установления синусоидальных автоколебаний в RC-генераторах // Изв. ТПУ. - 2003. - №3. - URL: http://cyberleninka.ru/article/n/usloviya-vozbuzhdeniya-i-ustanovleniya-sinusoidalnyh-avtokolebaniy-v-rc-generatorah (дата обращения: 29 января 2013 г.).
Статья поступила 14 февраля 2013 г.
Балабанов Анатолий Андреевич - кандидат технических наук, доцент кафедры радиоэлектроники МИЭТ. Область научных интересов: теория электрических цепей, дискретная математика, алгоритмы оптимизации. E-mail: baa@miee.ru
Кузнецов Сергей Николаевич - кандидат технических наук, доцент кафедры радиоэлектроники МИЭТ. Область научных интересов: проектирование специализированных цифроаналоговых систем и силовой электроники.
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 548.3:621.382
Определение межатомных расстояний в кристаллах кубического углерода
С.А. Неустроев
Национальный исследовательский университет «МИЭТ.»
Большое разнообразие природных форм и искусственных образцов алмаза является следствием присутствия в кристаллах примесей и разных условий синтеза. Эти факторы искажают упорядоченную структуру кристалла и влияют на свойства алмаза, в том числе на электро- и теплофизические характеристики, прочность, взаимодействие с химическими реагентами и др.
Алмаз совершенной структуры наиболее близок к идеальному расположению атомов углерода - в углах и середине граней куба, межатомное расстояние равно 0,154 нм [1]. Известно, что не все направления внешних воздействий на кристалл приводят к одинаковым показателям. Если исходить из равенства зарядов всех атомов углерода в кристалле с-С, то его прочность зависит от расстояния между атомами и (или) группами атомов. Межатомные расстояния в кристалле с-С в настоящей работе определены исходя из постоянной пространственной ячейки а = 2,826196716-10_10 м [2]. В гексагональной анаморфозе пространственная ячейка с-С представляет гексагональную призму с параметрами ак = а/ у[2 и ек = а л/3 (длина стороны шестиугольника и высота призмы), ее шифр ....АВСА.....[3]. В вершинах углов и центрах гексагонов базовых плоскостей А1 и А2 располагаются атомы углерода. Атомы плоскостей В1 и С1 размещаются между базовыми плоскостями, занимая лунки, образованные атомами этих плоскостей.
Ранее установлено, что элементом структуры кристалла с-С является правильный тетраэдр, его вершины занимают атомы углерода. Длина ребра тетраэдра равна 1,998422156-10_10 м и оно есть ось эллиптической орбитали электронов связи [4].
На рис.1,а приведено расположение тетраэдров относительно базовой плоскости А призмы. В вершинах углов гексагона В, ^ и Н размещаются вершины трех тетраэдров, основания которых лежат на плоскости В. Основания тетраэдров расположены на плоскости С с другой стороны базовой плоскости. Вершины этих тетраэдров выходят на эту же базовую плоскость, занимая углы Е, G и J гексагона. Совокупность двух таких сборок выявляет ячейку кристалла - гексагональную призму с базовыми плоскостями А] и А2 и плоскостями В] и С], расположенными на расстоянии трети высоты призмы.
Атомы, расположенные ниже плоскости Аь на плоскости С/_\ входят в тетраэдры призмы (/-1), а атомы, расположенные выше плоскости А2, входят в тетраэдры призмы (/+1).
В последующих наслоениях кристалла с-С в границах первоначального гексагона структура сохраняется. Это отражает неизменность положения атомов всех призм, находящихся выше и ниже плоскости А1 на осях О, В, Е, G, Н, J, проходящих параллельно <111>. На рис.1,б изображено еще шесть призм, примыкающих к центральной. Тетраэдры расположены на осях, параллельных (0001) гексагона _ В, Е, G, Н, ^ Здесь же приведены обозначения атомов и углов тетраэдров. Отметим, что все примыкающие призмы соединены с центральной и участвуют в образовании общих связей тетраэдров. Это значит, что картина нахождения гексагональных призм не изменится при любом перемещении, перпендикулярном осям <111>. Всем примы-
© С.А. Неустроев, 2013