CC BY
7
УДК 004.942:57.037
Рахимова Э.В., Канин Н.И., Скичко А.С.
АНАЛИЗ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РОСТА ГРИБОВ РОДА ASPERGILLUS
Рахимова Эльвира Винеровна, студентка 2 курса магистратуры факультета информационных технологий и управления;
Канин Никита Игоревич, студент 4 курса бакалавриата факультета информационных технологий и управления; Скичко Алексей Сергеевич, к.т.н., доцент, доцент кафедры кибернетики химико-технологических процессов, e-mail: olf_l@list.ru;
Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева, Москва, Россия 125047, Москва, Миусская пл., д. 9
Проведён анализ кривых роста грибов рода Aspergillus. Разработана математическая модель, позволяющая описать все особенности исследуемого процесса. Определены константы модели. Проведено сравнение констант модели, полученных для разных видов грибов, и сопоставление их значений с особенностями кривых роста.
Ключевые слова: Aspergillus, грибы, кривая роста, математическое моделирование.
ANALYSIS AND MATHEMATICAL MODELING OF THE GENUS ASPERGILLUS FUNGUS GROWTH PROCESS
Rakhimova E.V., Kanin N.I., Skichko A.S.
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia
The analysis of the growth curves of fungus of the genus Aspergillus was carried out. The mathematical model describing all specific features of the studied process was developed. The model constants were determined. The constant values determined for different fungal species was compared and juxtaposed with the specific features of the growth curves.
Keywords: Aspergillus, fungus, growth curve, mathematical modeling.
Грибковые культуры рода Aspergillus способны очищать воду от ряда загрязнений, в том числе от ионов некоторых тяжёлых металлов и органических красителей [1]. В связи с этим изучение процесса их роста является актуальной задачей, как в отношении экспериментальных исследований, так и в плане математического моделирования.
Процесс роста грибов отличается от процесса роста бактерий. Литературные данные по исследованию кинетики роста грибковых культур говорят о том, что в начальный период происходит активный рост клеток, в последующем сменяющийся спорообразованием [2]; при этом рост биомассы замедляется без заметного изменения в скорости потребления лимитирующего субстрата. Поэтому кривая роста грибковой культуры может иметь переходную фазу между классической экспоненциальной фазой активного роста и фазой замедления роста, начинающейся при исчерпании субстрата.
Данную особенность можно наблюдать на кривых роста двух грибов рода Aspergillus, представленных в работе [1] (рис. 1). Грибы выращивали в периодических условиях при постоянной температуре; среда содержала глюкозу в качестве лимитирующего субстрата и микроэлементы, подобранные в необходимом для сбалансированного роста количестве. При этом для обеих культур наблюдался излом кривой роста в близкие моменты времени (19 ч и 25 ч) и при схожих значениях биомассы (~2,1 г/л). Экспериментальные точки, соответствующие моментам излома кривых роста, показаны на рисунке 1
кружками увеличенного размера. Видно, что до момента излома кривая роста каждой культуры соответствует классической экспоненциальной фазе, а после момента излома (в переходную фазу) закономерности роста культур несколько отличаются друг от друга. Соединение экспериментальных точек линиями не является результатом расчёта и приведено для демонстрации различия тенденций роста грибов в экспоненциальную и переходную фазы; отметим, что особенно указанное отличие заметно для A. terreus. Характерно, что кривые поглощения глюкозы для обеих культур очень схожи, и указанные изломы кривых роста и наличие переходной фазы на них не отражается.
Наличие доверительного интервала на экспериментальных кривых в работе [1] говорит о проведении повторных опытов, а величина доверительного интервала - о том, что точки излома на кривых роста являются скорее характерными особенностями изучаемого процесса, чем результатом неточности экспериментальных исследований. Приведём ещё одно доказательство в пользу последнего утверждения. На рисунке 2 показано изменение отношения прироста биомассы к количеству поглощённой глюкозы по ходу процесса, рассчитанное по экспериментальным данным из [1]. Видно, что увеличение отношения скорости роста биомассы к скорости поглощения глюкозы в экспоненциальной фазе происходит значительно быстрее, чем в переходной фазе, а моментам излома кривых роста соответствует изменение указанной закономерности.
Л. ГУЛ
S. ГУ Л
г*
/
/
/ »'■
• •
♦ •
/ I / '
/ / АЛ
10 8 6 4 2 0
/
\
10
20
30
40
50 t, час
10
20
30
40
50 ljчас
Рис. 1. Кривые роста биомассы (а) и поглощения глюкозы (б) для грибов рода Aspergillus [1]:
1 -A. terreus, 2 -A. lent и Ins
X /(.So - S) 0.4
0.3
0.2
0.1
о
Л./(50-J)
0.8
0.7
0.6
0,?
0.4
0.3
0.2
0.1 0 -
10
20
30
40 Г. час
10
20
30
40 Г. час
Рис. 2. Изменение отношения прироста биомассы к количеству поглощённой глюкозы по ходу процесса
на основе данных из [1]: а -Таким образом, наличие переходной фазы роста грибковых культур следует обосновывать переориентацией метаболизма клеток в отношении путей биотрансформации углерода при сохранении скорости транспорта и учитывать при моделировании процесса.
Традиционно для моделирования роста
микроорганизмов используется система уравнений:
^ 2 ^ Ц
-= ЦХХ-вх2, — = , (1)
а? х а? у
где х - биомасса, г/л; 5 - концентрация глюкозы, г/л; ? - время, ч;
в - константа отмирания, л/г; У - выход биомассы по субстрату; ц - удельная скорость роста биомассы, 1/ч; ц5 - удельная скорость поглощения глюкозы, 1/ч.
Обычно для расчёта ц и ц5 используется одна и та же формула. Однако в нашем случае это возможно только для экспоненциальной фазы. Чтобы описать излом кривой роста, для ц необходимо использовать кусочно-заданную функцию. А формула для ц5 в переходной фазе останется такой же, как в экспоненциальной. Таким образом, связь между ц и ц5 можно отразить уравнением:
Цх = т Ц +(1 - т)цг , (2)
где ц- - удельная скорость роста культуры в переходную фазу, 1/ч;
т - переменная, задающая переход с одного типа метаболизма на другой в момент времени ? согласно выражению:
■ A. terreus, б - A. lentulus
11, t < t
m = ■
(3)
[0, ? > ?
Согласно (3) для экспоненциальной фазы (? < ?*) значение т равно 1 и поэтому ц = ц5; а для переходной фазы (? > ?) значение т равно 0 и ц = цг. Поскольку какого-либо ингибирования в изучаемом процессе не наблюдается, для ц5 и ц- можно использовать уравнение Моно, но с разными значениями констант:
Цо*5
Ц k =
s + K
(4)
Sk
где к - индекс фазы роста (к = s, i);
Цо - максимальная удельная скорость роста биомассы,
1/ч;
KS - константа насыщения, г/л.
Таким образом, в момент времени t, соответствующий излому кривой роста, значения констант уравнения (4) ц0 и KS изменятся, что и будет соответствовать изменению типа метаболизма культуры.
Отдельной проблемой в данной задаче оказалось моделирование длительной фазы отмирания (на рис. 1 не показана). Согласно экспериментальным данным из [1] скорость отмирания грибов рода Aspergillus, начинающегося при исчерпании глюкозы в среде, постепенно уменьшается. Такое явление объясняется тем, что при накоплении в среде продуктов клеточного распада в живых организмах активируются определённые процессы, замедляющие метаболизм, и клетки впадают в состояние анабиоза [3]. Это означает, что величина в в первом уравнении системы (1) должна зависеть от того, какая часть биомассы погибла,
т.е. уменьшаться при уменьшении отношения (х/хтах), замедляя процесс отмирания. Причём, чтобы сделать рассматриваемую зависимость более эффективной, она должна быть нелинейной. А чтобы она не оказывала воздействия на фазы роста культуры, величину в следует сделать отличной от нуля, только когда концентрация глюкозы в среде достигнет некоторого минимального значения 5тт: 10,
ß =
(
ßc
ЛФ
x
V max
S > s„
S < s„
(5)
Максимально возможное значение биомассы хтах можно выразить с помощью начальной концентрации глюкозы ¿о и параметра У:
x
Y _ max
^ Xmax _ S0Y• (6)
Sc
Для расчёта математической модели (1)-(6) был построен модуль в среде Microsoft Excel.
Дифференциальные уравнения (1) рассчитывались с помощью явного метода Эйлера. Поиск констант проводился путём минимизации критерия р ассогласования:
к = хэКСП - хГ\ + ^сп - , (7)
к к а также с использованием принципа декомпозиции: на первом этапе вёлся поиск констант, необходимых для описания экспоненциальной фазы роста (У, Цой К&); на втором этапе - констант, необходимых для описания переходной фазы роста (?, Цш, К5г), а константы, найденные на первом этапе, были незначительно откорректированы; на третьем этапе вёлся поиск констант, необходимых для описания фазы отмирания (в0, 5тт, ф). Результаты поиска констант представлены в таблице 1. Сравнение расчётных кривых с экспериментальными данными из [1] приведено на рисунке 3.
Таблица 1. Значения констант математической модели
x
Грибковая культура Константы экспоненциальной фазы роста Константы переходной фазы роста Константы фазы отмирания
Y Цо» 1/ч Ks, г/л * t, ч Цо;, 1/ч Ksi, г/л ß0 ^in г/л Ф
A. terreus 0,45 0,4 8,5 24 0,05 0,10 0,003 0,1 5,0
A. lentulus 0,67 0,5 9,1 19 0,05 0,02 0,011 0,1 1,5
Л\ ГУЛ
S, ГУЛ
20
40
60
80
100
120 t. час
10
20
30
40
50 г, час
Рис. 3. Сравнение результатов расчётов по модели (показаны линиями) с экспериментальными данными из [1] (показаны маркерами): а - биомасса, б - глюкоза; культуры: 1 - A. terreus, 2 - A. lentulus
Как видно из рисунка 3, разработанная модель описывает все особенности роста грибковых культур. Анализируя значения найденных констант (таблица 1), следует отметить, что для обоих грибов ц и К в экспоненциальной фазе роста существенно больше, чем в переходной. Величина ц отвечает за угол наклона кривой роста. Поэтому скачкообразное уменьшение ц в момент времени t позволяет описать переход от быстрого роста в экспоненциальной фазе к замедленному росту в переходной фазе. Величина К отвечает за кривизну кривой роста. При значениях К, сопоставимых с концентрацией субстрата дробь я/(К$ + меняется достаточно существенно по ходу потребления субстрата. Этим объясняется заметный изгиб кривой роста на протяжении экспоненциальной фазы. Если Кб << как в начале переходной фазы, то ¿/(К + б) « 1 и ц « Цо, что позволяет описать близкий к линейному рост в переходной фазе. Характерно, что
для обеих культур данные закономерности одинаковы. Существенное отличие между значениями соответствующих констант для обоих видов грибов наблюдается только для р0 и ф, что позволяет описать более быструю адаптацию A. terreus к условиям голодания по сравнению с A. lentulus (рис. 3).
Список литературы
1. Mishra A., Malik A. Novel fungal consortium for bioremediation of metals and dyes from mixed waste stream // Bioresource Technology. 2014. V. 171. P. 217226.
2. Марфенина О.Е. Антропогенная экология почвенных грибов. М.: Медицина для всех, 2005. 196 c.
3. Функции аутоиндукторов анабиоза микроорганизмов при создании метаболического блока в клетке / Беспалов М.М. [и др.]. Микробиология. 2000. Т. 69, № 2. С. 217-223.
