CC BY
10
УДК 004.942:57.042.2 Перепёлкина Е.С., Скичко А.С.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОДАВЛЕНИЯ РОСТА ГРАМПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ БАКТЕРИЙ НАНОЧАСТИЦАМИ ЗОЛОТА
Перепёлкина Екатерина Сергеевна, студент 2 курса магистратуры факультета информационных технологий и управления;
Скичко Алексей Сергеевич, к.т.н., доцент, доцент кафедры кибернетики химико-технологических процессов, e-mail: olf_l@list.ru;
Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева, Москва, Россия 125047, Москва, Миусская пл., д. 9
Работа посвящена описанию математической модели подавления роста грамположительных бактерий наночастицами золота, построенной на основе уравнения Ферхюльста с изменяющимися во времени параметрами роста и гибели клеток. Определены константы модели. Получены зависимости удельных скоростей изменения параметров роста и гибели клеток от концентрации наночастиц золота в среде.
Ключевые слова: наночастицы золота, грамположительные бактерии, математическая модель, уравнение Ферхюльста.
MATHEMATICAL MODELING OF GRAM POSITIVE BACTERIA GROWTH INHIBITION BY GOLD NANOPARTICLES
Perepelkina E.S., Skichko A.S.
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia
This work deals with mathematical modeling of Gram positive bacteria growth inhibition by gold nanoparticles. The model is based on the Verhulst equation with the time-varying parameters of the growth rate and the dying rate of cells. The model constants were determined. The regression equations describing the dependences of the specific rates of change of cell growth and cell dying parameters on the concentration of gold nanoparticles in the medium were obtained.
Keywords: gold nanoparticles, Gram positive bacteria, mathematical model, Verhulst equation.
В настоящее время большое внимание уделяется проблеме поиска препаратов, обладающих антибактериальными свойствами, то есть способностью подавлять рост и вызывать гибель различных микроорганизмов, в первую очередь тех, размножение которых опасно для человека. С течением времени бактерии приспосабливаются к любым лекарствам в силу различных мутаций. Поэтому разработка новых антибактериальных средств против грамположительных и грамотрицательных микроорганизмов - всегда актуальная проблема. Относительно новым направлением в этой области является использование антибактериальных свойств наночастиц, которые могут быть достаточно сильными ингибирующими агентами, поскольку их размеры сопоставимы с размерами большинства микроорганизмов и они имеют высокое отношение поверхности к объёму.
Грамотрицательные бактерии обладают тонкой клеточной оболочкой, которая более восприимчива к антибактериальному действию. Напротив, грамположительные бактерии обладают густой сеткой, подобной пептидогликановому слою клеточной стенки, которая проявляет большую сопротивляемость по отношению к лекарствам. По этой причине подавлять рост грамположительных бактерий сложнее. Поэтому использование наночастиц в качестве ингибирующих агентов, в
первую очередь, направлено на подавление роста именно грамположительных бактерий, причём именно таких, которые способны вызывать различные заболевания.
Настоящее исследование посвящено изучению антибактериальных свойств наночастиц золота (AuNPs). Наночастицы золота, прикрепляясь к стенке клетки, изменяют проницаемость бактериальной клеточной мембраны и вызывают разрушение связей; впоследствии они попадают внутрь клетки, подавляют активность ферментов дыхательной цепи, препятствуют репликации ДНК и в конечном итоге приводят к гибели клеток. Особую значимость имеют функционализированные наночастицы золота, на поверхности которых адсорбирован белок S. platensis. Такие наночастицы обладают более ярко выраженной
антибактериальной активностью и могут быть использованы в качестве антибактериальных агентов против грамположительных бактерий при лечении заболеваний, вызванных ими [1,2].
Синтез AuNPs и их антибактериальные свойства по отношению к грамположительным бактериям подробно описаны в работе [1]. В качестве объекта исследования авторами работы [1] были выбраны два вида грамположительных бактерий: Staphylococcus aureus (золотистый стафилококк), являющийся причиной огромного количества различных заболеваний, и Bacillus subtilis (сенная
палочка), являющийся безопасным
микроорганизмом, использующимся в
промышленности и фармацевтике, однако способным в ряде случаев вызывать аллергические реакции. Также бактерии Bacillus subtilis интересны тем, что часто выступают в качестве полезной сопутствующей микрофлоры в организме человека, исследование подавления роста которой имеет значение в контексте изучения побочных действий использования наночастиц; также сенная палочка -достаточно яркий пример для анализа антибактериальных свойств AuNPs.
Авторами работы [1] было экспериментально установлено, что при увеличении концентрации наночастиц в среде скорость роста культуры в первые 2-3 часа существенно снижается, а в последующие часы увеличивается гибель клеток. Целью же настоящего исследования является поиск математических зависимостей, описывающих влияние концентрации AuNPs на кривую роста бактерий и позволяющих спрогнозировать процесс подавления роста в зависимости от заданных условий.
Поскольку в экспериментальных работах был сделан акцент на зависимость роста бактерий именно от концентрации AuNPs в качестве ингибитора, а другие факторы, влияющие на рост клеток, не рассматривались, имеет смысл предположить, что среда содержала в достаточном количестве все субстраты, необходимые для роста рассматриваемых культур в естественных условиях. Таким образом, инструментом для управления ростом клеток в разрабатываемой математической модели будет являться только концентрация ингибитора, которую в ходе процесса условно можно считать постоянной, поскольку наночастицы, прикрепившиеся к клеткам, после их разрушения возвращаются обратно в среду с сохранением своих антибактериальных свойств. Это означает, что для моделирования кривой роста можно использовать только уравнение, в котором изменение биомассы определяется её текущим количеством, а также некоторыми параметрами, значения которых будут зависеть от концентрации AuNPs. Простейшим примером такого уравнения является уравнение Ферхюльста:
f - x (- - ГI, о
где х - биомасса, клеток/мл; t - время, ч;
г - удельная скорость роста бактерий, 1/ч; к - коэффициент гибели клеток, клеток/мл.
Уравнение Ферхюльста (1) при постоянных значениях г и к может описать либо рост клеток (при х < к), либо их гибель (при х > к). Однако в данном случае требуется совместить рост и гибель клеток в рамках одной расчётной кривой. Поэтому величины г и к не могут быть постоянными; они должны меняться с течением времени, отражая постепенное воздействие AuNPs на ростовые свойства культуры.
Наиболее простым вариантом описать изменения г и к является использование уравнений типа:
d- = -rm- -Ar(cgn), (2)
dk = ~km" -Ak(Cgn), (3)
где Дг (сЁП), Дк (сЁП) соответствуют удельным скоростям изменения г и к и, следовательно, зависят от концентрации еёп наночастиц золота в среде, т.е. являются константами только для конкретной кривой роста; тг , тк - константы, отражающие механизм процесса, и поэтому от концентрации AuNPs они зависеть не должны.
Знак «минус» в правых частях уравнений (2) и (3) говорит о том, что с течением времени значения г и к должны уменьшаться. Уменьшение г соответствует тому, что бактерии под воздействием AuNPs начинают медленнее расти, а уменьшение к, способствующее увеличению модуля второго слагаемого в правой части уравнения (1), соответствует более быстрой гибели клеток.
Уравнения (2) и (3) требуют для решения задания начальных условий, соответствующих моменту инокулирования бактерий в среду с наночастицами:
Н? = 0) = го, кЦ = 0) = ко, (4)
где г0 и к0 - константы роста и отмирания «чистой» культуры на данной среде, но в отсутствии наночастиц золота. Эти величины характеризуют собственные свойства клеток и не должны зависеть от концентрации AuNPs. Однако поскольку в экспериментах не было проведено
соответствующего исследования, в рамках данной модели величины г0 и к0 являются неизвестными константами.
Для расчёта дифференциальных уравнений (1)-(3) использовался явный метод Эйлера с шагом по времени Дt = 0.001, выбранным с помощью предварительного тестирования уравнений модели с целью минимизации расчётной ошибки. Начальное условие для уравнения (1) задавалось по экспериментальным данным из [1]. Поиск констант проводился путём минимизации критерия рассогласования:
R = £ R, (-о, ko, A-, Ak,) =
<Г - <Л ^ min
(5)
где индекс г соответствует номеру экспериментальной кривой роста при определённой концентрации AuNPs в среде, а индекс ] - номеру экспериментальной точки на г-й кривой роста.
Столь сложное выражение для критерия рассогласования (5) обусловлено тем, что оптимальные значения констант Дгг и Дкг должны минимизировать критерий рассогласования только
для i-й кривой роста Rв то время как оптимальные значения констант r0 и k0 должны быть общими для всех экспериментальных кривых. Для упрощения оптимизационной задачи на первом этапе исследования значения констант mr и mk были взяты равными 1 и в выражении (5) не учитывались.
Для поиска констант математической модели был разработан расчётный модуль в EXCEL и использовался метод поочерёдного изменения переменных. Однако в силу необходимости анализа большого количества расчётных данных получить удовлетворительные результаты оказалось проблематично. Поэтому был разработан дополнительный программный модуль в среде Microsoft Visual Studio на языке C#, целью которого был поиск экстремума критерия (5) в многомерном пространстве искомых констант при заданных интервалах изменения каждой из них. Оптимизационный алгоритм строился на основе метода сканирования. Блок визуализации результатов расчётов в программе не разрабатывался; для графического отображения результатов использовался разработанный ранее расчётный модуль в EXCEL, в который задавались найденные с помощью программы константы. Результаты моделирования воздействия AuNPs на рост сенной палочки представлены на рисунке 1.
X' Ю-", клеток/мл
0 : 4 6 3 10 t. чае
€т, мг/мп: -•-10 -»-50 -*-100 -о-150 -^200
Рис. 1. Влияние концентрации наночастиц золота cgn на рост и отмирание B. Subtilis: сравнение результатов расчётов (показаны сплошными линиями) с экспериментальными данными из [1] (показаны маркерами)
Оптимальные значения констант модели (1)-(4), соответствующие кривым на рисунке 1, следующие:
r0 = 5.4 1/ч; k0 = 0.33 клеток/мл; mr = 1; mk = 0.87; зависимости Ar и Ak от концентрации наночастиц золота cgn представлены в таблице 1.
Таблица 1. Зависимость значений параметров уравнений (2) и (3) от концентрации AuNPs__
cgn , мг/мл Ar Ak
10 1.00 0.37
50 1.07 0.41
100 1.11 0.47
150 1.10 0.50
200 1.30 0.56
Анализируя данные таблицы 1, можно видеть, что при увеличении концентрации наночастиц золота в среде значения Ar и Ak также возрастают. Это означает, что при более высоких концентрациях AuNPs значения r и k должны убывать быстрее, что соответствует более эффективному подавлению роста бактериальной культуры.
Для того чтобы разработанная математическая модель могла быть использована для прогнозирования протекания исследуемого процесса при любой концентрации AuNPs, требуется аппроксимировать данные из таблицы 1 уравнениями регрессии. Наличие 5
экспериментальных кривых говорит о том, что в данном случае для уравнений регрессии оптимально подойдут полиномы 4-й степени, которые были подобраны с помощью встроенных функций EXCEL:
Ar = 2.885 с4 - 4.441 с3 + 1.752 с2 + 0.112 с + 0.990, (6)
Ak = 1.168 с4 - 2.280 с3 + 1.355 с2 - 0.052 с + 0.369, (7)
где с = cgn / 200 - обезразмеренная концентрация наночастиц золота.
Список литературы
1. Blue green alga mediated synthesis of gold nanoparticles and its antibacterial efficacy against Gram positive organisms / Uma Suganya K.S. [et al.]. Materials Science and Engineering C. 2015. V. 47. P. 351-356.
2. «Зелёные» нанотехнологии: синтез металлических наночастиц с использованием растений / Макаров В.В. [и др.]. Acta Naturae. 2014. Т. 6, № 1 (20). С. 37-47.
