CC BY
13
УДК 621.391, 519.651 Б01: 10.20998/2411-0558.2016.21.10
Н.В. ПРЕВИСОКОВА, канд. техн. наук, доц., Прикарпатський
нацюнальний ушверситет iменi Василя Стефаника, 1вано-
Франювськ
АНАЛ1З ЕФЕКТИВНОСТ1 МЕТОДУ КОДУВАННЯ ШФОРМАЦП НА ОСНОВ1 ОРТОГОНАЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ГАЛУА
Пропонуеться метод кодування шформацп на основ1 ортогонального перетворення в системах функцш Галуа. Визначено ефективнють кодування на основ1 перетворення Галуа та здшснено пор1вняльний анал1з з шшими методами кодування на основ1 перетворень та методом 1мпульсно-кодово! модуляцп в задачах зменшення надлишковосп шформацп. 1л.: 1. Табл.: 1. Б1блюгр.: 9 назв.
Ключовi слова: кодування на основ1 перетворення, ефектившсть кодування, функцп Галуа, ортогональне перетворення, 1мпульсно-кодова модулящя.
Постановка проблеми. Швидкий розвиток комп'ютерних i телекомунiкацiйних систем призводить до виникнення необхщносп постшного розвитку, вдосконалення та модифшаци методiв i алгоршмв зменшення надлишковостi шформацп [1, 2].
Особливють сучасних методiв обробки шформацшних потокiв полягае в пошуку i застосуваннi найбiльш ефективних перетворень, а також методiв кодування шформацп, i розглядати цi завдання необхiдно комплексно.
Анал1з л1тератури. Вiдома група методiв зменшення надлишковостi шформацп заснована на застосуванш до iнформацiйного потоку деякого ортогонального перетворення, а також подальшого квантування i кодування [1 - 3]. Ступшь зменшення надлишковостi шформацп та якiсть обробки залежать вщ обох цих етапiв i вщ 1'х узгодженостi з типом шформацшного потоку, який характеризуеться статистичними властивостями останнього.
Найпоширешшим методом кодування е iмпульсно-кодова модуляцiя, яка використовуеться як основа для порiвняння iнших методiв i схем [2 - 6].
Метод кодування шформацп на основi перетворення суттево вiдрiзняеться вiд iмпульсно-кодовоi модуляцп, яка застосовуеться безпосередньо до шформацшного потоку. Кодування на основi перетворення е непрямим методом, при якому до шформацшного потоку застосовуеться уштарне математичне перетворення, а отримаш в результат коефщенти перетворення квантуються i кодуються [1, 3], що дозволяе ефективно розв'язати задачi зменшення надлишковосп при зберiганнi та передаванш iнфопотокiв. Переваги методу кодування з
© Н.В. Превисокова, 2016
перетворенням над iмпульсно-кодовою модулящею залежно вщ властивостей заданого вхщного вектора дослщжеш в лiтературi [2 - 6].
Оптимальне для кодування шформацшних потоюв перетворення Карунена-Лоева [1 - 3] е единим уштарним перетворенням, в якому досягаеться повна декорелящя коефщент1в, потребуе знаходження власних значень та власних векторiв для кожного вхщного iнфопотоку, тому складно реалiзуеться на практицi [1 - 3]. Це зумовлюе необхiднiсть пошуку, побудови та дослiдження нових базиав, якi дозволяють наблизити показники ефективносп до оптимальних.
Ефективнiсть застосування вщомих у класi теоретико-числових ортогональних перетворень Уолша та Хаара дослiджено в роботах [1, 3]. Водночас показано, що даш перетворення не забезпечують оптимального розв'язання задач обробки i залежать вiд особливостей та характеристик аналiзованих iнформацiйних потокiв. У робот [7] розроблено одновимiрне ортогональне перетворення на основi системи функцiй Галуа [8], властивiсть рекурсивного формування яких дозволяе використовувати апарат циркулянтних перетворень i зменшити обчислювальну складнiсть алгорш^в. Водночас дослiдження методу кодування на основi даного перетворення не проводилось, що обмежуе обласп ефективного застосування даного методу обробки шформацп. Це зумовило необхщшсть вирiшення задачi побудови ортогональних систем Галуа, виконання дискретних перетворень та кодування шформацп на !х основ^ а також визначення ефективносп кодування з перетворенням порiвняно з iмпульсно-кодовою модуляцiею.
Мета статть Дослiдження та аналiз методу кодування шформацп на основi ортогонального перетворення Галуа, визначення його ефективносп та порiвняння з iншими методами кодування на основi перетворень та iмпульсно-кодовою модуляцiею в задачах зменшення надлишковосп шформацп для пiдвищення точностi подання одновимiрних iнформацiйних потокiв.
Кодування на основ1 перетворення. Дискретне ортогональне перетворення виконуеться в системi N лшшно-незалежних (ортогональних) векторiв {ф£ (у)} на iнтервалi 0 < у < N -1, яка називаеться базисом перетворення [1 - 3] i задовольняе властивють
де у = 0,1, ..., N-1 - змшна часу, к = 0,1, ..., N-1. Базисш вектори {ф к (у)} е рядками матрицi перетворення Ф = [фк (у)] розмiру N х N.
У матричнш формi дискретне перетворення вхiдного вектора
вщлшв шформацшного потоку X po3Mipy N у базиа, заданому матрицею Ф, подаеться зпдно
Y = ФХ, (1)
де Y - вектор коефщенпв перетворення.
Ид кодуванням на основi перетворення розум^ть квантування коефiцiентiв перетворення i3 наступним кодуванням, визначене у [2, 3]
~ = Q{X}.
Вщновлення сигналу за квантованими коефiцiентами вектора Y визначаеться як
X = Ф_1~.
Квантування i кодування коефiцiентiв перетворення iнформацiйного потоку використовуеться для зменшення надлишковостi з втратами.
Для оцшювання ефективностi кодування на основi перетворення в заданому базисi використовуеться статистична модель вхщного сигналу [2, 3, 5, 6]. У данш моделi вхiдний N-координатний вектор X розглядаеться як вибiрка випадкового процесу. Елементи вектора X е реалiзацiею одновимiрного маркiвського процесу першого порядку з нульовим математичним сподiванням, одиничною дисперсiею, заданого
коварiацiйною матрицею Cx , (i, j)-й елемент яко'1 дорiвнюе рj, 0 < р < 1 - коефiцiент кореляцп мiж сyсiднiми елементами.
Для ортогонального перетворення (1) коварiацiйна матриця Cy вектора коефщешив перетворення визначаеться як математичне
сподiвання CY - E[YYT] - ФСХФТ - {cy(i, j)} [2, 3, 5, 6]. Елементи
головно'1' дiагоналi матриц Cy е дисперсiями спектральних компонент 2
a (i) - cy (i, i).
Ефективнiсть кодування шформацшного потоку X визначаеться квантуванням, характеристики якого залежать вщ функцп щшьносп iмовiрностi.
Одним iз вiдомих методiв оптимального квантування коефiцiентiв перетворення е процедура Ллойда-Макса [2, 5], що забезпечуе мшмальне спотворення елементiв вектора перетворення.
Показником ефективносп кодування на основi перетворення (англ. transform coding) порiвняно з iмпyльсно-кодовою модyляцiею е вщношення середнього арифметичного дисперсiй коефщешив перетворення до ix середнього геометричного, яке вщображае у скiльки
paзiв мeншa похибка вiднoвлeння ^и кoдyвaннi на ocнoвi пepeтвopeння пopiвнянo з бeзпocepeдньoю iмпyльcнo-кoдoвoю мoдyляцieю [4, 6]
N
GTC=~N ~N=-. (2)
N (П <Л))" N
i=1
Побудова базисiв ортогональних перетворень Галуа. Сepeд ocнoвних тeopeтикo-чиcлoвих бaзиciв [8] диcкpeтних opтoгoнaльних пepeтвopeнь opтoнopмoвaними та повними e cиcтeми фyнкцiй Уолша та Хaapa [1, 3].
Сиетема фyнкцiй Уолша [3] визнaчaeтьcя як до6уток фyнкцiй Рaдeмaхepa Rad (n, e) = sign(sin(2 n )) на iнтepвaлi 0 <e< 1
n-1
Wal (i, e) = Rad (1, e)b(0 Rad (2, e)b1 . Rad (n, e)^-1 = П (Rad (k +1, e))bk ,
k=0
дe i = 0,1, ...,2n — 1 - пopядкoвий нoмep функцп; i = bn-bn-2 ...b1b0 -подання в кoдi Гpeя.
Сиcтeма функцш Хaapa Har(n, e, J) oзнaчaeтьcя [3]
n—1
Mar(n,e,l) = sign(sin2nrô), l/2n—1 <e<(l + 1)/2n—1, 0 при тших e g [0,1),
дe n = 0,1,..., log2 N ; l = 0,1,...,2n—1 —1, (l = 0 ^и n = 0).
Базтоами диcкpeтнoгo opтoгoнaльнoгo пepeтвopeння в cиcтeмaх фyнкцiй Галуа e повш opтoгoнaльнi cиcтeми {G(n, e, i)} [7] piзних пopядкiв n, oдepжaнi iз peкypcивних cиcтeм функцш Галуа [8].
Pe^pcrnrn cиcтeми функцш Галуа {Gal(n, e,i)} [8] yтвopюютьcя
вiдпoвiднo до пopoджyючoгo вeктopa поля Галуа GF(2n ), eлeмeнтaми якого e кoeфiцieнти ^звщного пoлiнoмa p(x) хapaктepиcтики 2 з кoeфiцieнтaми iз поля GF(2) (табл.1).
3
На^иклад, у пoлi
GF (23) iз початкових вeктopiв (g0, gl, g2 ) = (1,11) i (g0, gl, g2 ) = (0, 0, 0) ^муютьм чoтиPи peкypcивнi
пocлiдoвнocтi g0,gl,g2,.• • g~n г, за пpaвилaми, якi вiдпoвiдaють
2 —2
породжуючим векторам: (1, 0,1,1) ^ gj+з = gj Ф gj+2; (1,1, 0,1) ^ ^ gj+з = gj Ф gj+1; (1,0,1,1)^gj+з = ; (1,1,0,1)^
^ gj+з = gj Ф gj+1.
Таблиця 1
Приклади полшом1в р(х) характеристики 2 з коефщ1ентами ¡з поля ОГ (2) та вщповщш iм породжуюч1 вектори
п Породжуючий полшом р( х) Породжуючi вектори
3 -5 х 3 + х +1 (1,0,1,1), (1,0,1,1)
3 х3 + х2 +1 (1,1,0,1), (1,1,0,1)
4 4 1 х 4 + х + 1 (1,0,0,1,1), (1,0,0,1,1)
4 х4 + х3 +1 (1,1,0,0,1), (1,1,0,0,1)
4 х4 + х2 +1 (1,0,1,0,1), (1,0,1,0,1)
5 х + х 2 +1 (1,0,0,1,0,1), (1,0,0,1,0,1)
5 х 5 + х3 + 1 (1,0,1,0,0,1), (1,0,1,0,0,1)
6 х6 + х + 1 (1,0,0,0,0,1,1), (1,0,0,0,0,1,1)
6 х6 + х5 +1 (1,1,0,0,0,0,1), (1,1,0,0,0,0,1)
Кожна одержана послщовшсть мiстить пiдпослiдовнiсть iз п -1 елементiв, якi дорiвнюють нулю ,gj+l,...,gj+п-2)=(0, 0,..., 0). Дана
тдпослщовшсть доповнюеться ще одним нульовим елементом (^,gj+l,...,gj+п-2,о) так, щоб довжина вае'1' утворено'1' послiдовностi,
яка позначаеться {у у } , становила N = 2п, у = 0,1, ..., N -1.
Функцп рекурсивно'1' системи {Оа1(п, В, I)} в точках 0 = у / N штервалу В е [0; 1) визначаються iз послiдовностi {уу } та доозначаються до неперервних на штервалах В е [у / N; (у +1) / N):
Оа1(п, 0,0) = Оа1(п, j7N ,0) = 1 - 2уу, Оа1(п, В, I +1) = Оа1(п, В +1/ N, I),
де п = 1, 2,... - порядок функцп; N = 2п - кшьюсть функцш у система Оскшьки у= 1 або у у = 0, то функцп Оа1(п, В, I) = ±1.
Ортогональш функцп О(п, В, г')} [7] одержують застосуванням процедури ортогоналiзащi Грама-Шмiдта [9] до функцш системи Оа1(п, В, г')}:
О(п, В,0) = 1, (3)
*{ва!(п, В, к), О(п, В, /)>
'=0 О(п, В,/)| ^
2
О(п,В,к +1) = ва!(п,В,к) - ^-_ 7 * ^ 7 7 " О(п,В,г), (4)
¿2
де к = 0,1,...,N-1 - порядковий номер функцп; О(п,В,г')||^ - норма в
просторi iнтегровних з квадратом функцш Ь 2 [0,1); (рсЛт (п, В, к + 1), 0(п, В, /)) - скалярний добуток.
Таким чином, на основi породжуючих векторiв полiв GF(2п) порядкiв п > 2, основна частина яких наведена у табл. 1, за формулами (3), (4) побудовано амейство систем ортогональних функцiй Галуа
О(п, В,')} iз N = 2п функцiй, якi характеризуются порядком п .
Ефективн1сть кодування на основ1 перетворення Галуа.
Дискретне матричне ортогональне перетворення Галуа [7] одновимiрного шформацшного потоку {Х(0), Х(1),..., Х(Ы-1)} визначаеться як добуток
У = GX, (5)
де У = [У(0), 7(1),..., У^-1)]^ - транспонований вектор спектральних
коефiцiентiв перетворення Галуа; X = [Х(0), Х(1),...,Х(N-1)]Р -траспонований вхiдний вектор; О - матриця розмiру Nх N значень ортогональних функцiй Галуа в точках В = ] / N.
У побудованих ортогональних базисах Галуа (3), (4) виконано перетворення (5), дослщжено ефектившсть кодування на основi даного перетворення та здшснено порiвняльний аналiз з кодуванням на основi перетворень Уолша i Хаара у задачах зменшення надлишковосп iнформацiйних потокiв. Дослiдження перетворення здшснено на моделi вхiдного одновимiрного шформацшного потоку, яка застосовуеться для визначення ефективносп перетворень i подана в першш частинi статтi.
З метою визначення ефективносп кодування на основi розробленого перетворення обчислено коефiцiент ОТС зпдно (2), який вiдображае в скшьки разiв менша середньоквадратична похибка вщновлення iнформацiйного потоку при кодуванш на основi перетворення порiвняно з використанням iмпульсно-кодовоi модуляцп. Обчисленi для перетворень Уолша (ОТСМ!а1), Хаара (ОТСкаг) та Галуа з
породжуючими векторами (1,0,1,1) та (1,1,0,1) (ОТС^щ^ц^ та
бТС^дпо!)) значення показника ОТС в залежносп вiд коефiцieнта
кореляцп р мiж сусiднiми елементами вибiрки розмiру N = 8 та розмiру N = 64 наведено на рис.
Рис. Вщношення похибок вщновлення при кодуванш на основ1 перетворення розм1р1в N = 8 та N = 64 та ¡мпульсно-кодовш модуляцп
На основi виконаних обчислень показника ОТС та аналiзу рис. можна зробити висновки, що для вах дослiджених довжин перетворень ОТСт1 > 1, що визначае бшьшу ефективнiсть кодування на основi
перетворення Галуа порiвняно з iмпульсно-кодовою модулящею. Використання ортогонального перетворення Галуа розмiру N = 8 для вах дослiджених значень р i для векторiв розмiрiв вiд N = 16 до N = 256 iз коефщентом 0,1 — р — 0,3 забезпечуе вищий показник ОТС. З
обчислених вщношень ^ОТСОЖ = ОТС^ / ОТС^,а1,
кОТСОИ = ОТ^а1 /ОТСИаг та одержаних оЦiнок 1,1 < кОТСОЖ < 1,14, 1,1 < коТСОИ —1,14 слiдуе, що застосування методу кодування на основi ортогонального перетворення Галуа порiвняно з перетвореннями Уолша та Хаара дозволяе зменшити середньоквадратичну похибку вiдновлення iнформацiйних потоюв у 1,1 - 1,14 разiв.
Висновки. Запропоновано i здiйснено дослщження ефективностi методу кодування одновимiрних шформацшних потокiв на основi перетворення в ортогональних системах Галуа, породжених рiзними
векторами полiв GF(2n ). Пропонований метод полягае в квантуванш i кодуваннi коефщенпв ортогонального перетворення Галуа.
Результати проведених дослщжень дають можливiсть зробити висновок, що запропонований метод кодування шформацп на основi ортогонального перетворення Галуа порiвняно i3 вiдомими перетвореннями та методом iмпульсно-кодовоï модуляцп дозволяе збшьшити точнiсть вiдновлення даних i може використовуватись для кодування та зменшення надлишковосп iнформацiйних потокiв.
Список лггератури: 1. Сэломон Д. Сжатие данных, изображений и звука / Д. Сэломон. -М.: Техносфера, 2004. - 368 с. 2. Akansu N. Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets (Second Edition) / N. Akansu, R.A. Haddad. - San Diego, USA: Academic Press, 2001. - 499 p. 3. Ахмед Н. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов / Н. Ахмед, К.Р. Рао. - М.: Связь, 1980. - 248 с. 4. O. Yilmaz. Quantization of Eigen Subspace for Sparse Representation / O. Yilmaz, A.N. Akansu // IEEE Transactions on Signal Processing. - 2015. - Vol. 63. - №. 14. -P. 3616-3625. 5. Torun M. U. An Efficient Method to Derive Explicit KLT Kernel for FirstOrder Autoregressive Discrete Process / M.U. Torun, A.N. Akansu // IEEE Trans. on Signal Processing. - Aug. 2013. - Vol. 61. - №. 15. - P. 3944-3953. 6. Гнатив Л.А. Методы синтеза эффективных ортогональных преобразований высокой и низкой корреляции и их быстрых алгоритмов для кодирования и сжатия цифровых изображений / Л.А. Гнатив, Е.С. Шевчук // Кибернетика и системный анализ. - 2002. - № 6. - С. 104117. 7. Превисокова Н.В. Метод обробки шформацп на основi дискретного ортогонального перетворення Галуа / Н.В. Превисокова // Вюник Хмельницького нац. ун-ту. Техшчш науки. - 2010. - № 2 (146). - С. 149-156. 8. Петришин Л.Б. Теоретичш основи перетворення форми та цифрово1 обробки шформацп в базиа Галуа: Навчальний поабник / Петришин Л.Б. - К.: ЫМН МОУ, 1997. - 237 с. 9. Солодовников А.И. Основы теории и методы спектральной обработки информации /А.И. Солодовников, А.М. Спиваковский. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. - 272 с.
References:
1. Salomon, D. (2004), "A Guide to Data Compression", Tehnosfera, Moscow, 368 p.
2. Akansu, N. Haddad, R.A. (2001), Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets. 2nd ed., Academic Press, San Diego, 499 p.
3. Ahmed, N. and Rao, K. (1980), Orthogonal Transforms for Digital Signal Processin, Svjaz, Moscow, 248 p.
4. Yilma, O. and Akansu, A.N. (2015), "Quantization of Eigen Subspace for Sparse Representation", IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 63, No. 14, pp. 3616-3625.
5. Torun, M.U. and Akansu, A.N. (2013), "An Efficient Method to Derive Explicit KLT Kernel for First-Order Autoregressive Discrete Process", IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 61, No. 15, pp. 3944-3953.
6. Gnativ, L.A. and Shevchuk, E.S. (2002), "Methods used for synthesis of efficient orthogonal transforms of high and low correlation and their fast algorithms for digital image coding and compression", Cybernetics and Systems Analysis, No. 6, pp. 104-117.
7. Prevysokova, N.V., (2010), "The method of information processing based on discrete orthogonal transformation Galois", Herald of Khmelnytskyi national university, No. 2 (146), pp.149-156.
8. Petryshyn, L.B. (1997), Theoretical Foundations conversion and digital forms of information processing in the base of Galois, IziMN MOU, Kiev, 237 p.
9. Solodovnikov, A.I. and Spivakovski, A.M. (1986), Fundamentals of the theory and methods of information spektralnoy obrabotku, Leningrad University Publishing, Leningrad, 272 p.
Надшшла (received) 30.03.2016
Статью представил д.т.н., проф. зав1дувач кафедри комп'ютерног тженери та електронти ДВНЗ "Прикарпатський нащональний утверситет 1м. Василя Стефаника" Когут 1.Т.
Prevysokova Natalija, Cand. Tech. Sci., Docent Vasyl Stefanyk Precarpathian National University Str. Shevchenko, 57, Ivano-Frankivsk, Ukraine, 76000 Tel.: (034) 259-60-86, e-mail: nataliia.prevysokova@pu.if.ua
УДК 621.391, 519.651
Аналiз ефективност методу кодування шформацп на 0CH0Bi ортогонального перетворення Галуа / Н.В. Превисокова // Вюник НТУ "ХПТ. CepiH: 1нформатика та моделювання. - Харюв: НТУ "ХП1". - 2016. -№ 21 (1193). - С. 92 - 101.
Пропонуеться метод кодування шформацп на 0CH0Bi ортогонального перетворення в системах функцш Галуа. Визначено ефектившсть кодування на основi перетворення Галуа та здшснено порiвняльний аналiз з шшими методами кодування на основi перетворень та методом iмпульсно-кодовоi модуляцii в задачах зменшення надлишковостi iнформацii. 1л.: 1. Табл.: 1. Бiблiогр.: 9 назв.
Ключовi слова: кодування на основi перетворення, ефективнiсть кодування, функцп Галуа, ортогональне перетворення, iмпульсно-кодова модулящя.
УДК 621.391, 519.651
Анализ эффективности метода кодирования информации на основе ортогонального преобразования Галуа / Н.В. Превисокова // Весник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2016. - № 21 (1193). - С. 92 - 101.
Предлагается метод кодирования информации на основе ортогонального преобразования в системах функций Галуа. Определена эффективность кодирования на основе преобразования Галуа и осуществлен сравнительный анализ с другими методами кодирования на основе преобразований и методом импульсно-кодовой модуляции в задачах уменьшения избыточности информации. Ил.: 1. Табл.: 1. Библиогр.: 9 назв.
Ключевые слова: кодирование на основе преобразования, эффективность кодирования, функции Галуа, ортогональное преобразование, импульсно-кодовая модуляция.
UDC 621.391, 519.651
Efficiency analysis of the method transform coding information on the Galois functions base / N.V. Prevysokova // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2016. - № 21 (1193). - P. 92 - 101.
There have proposed method transform coding information on the Galois orthogonal functions base. A family of Galois orthogonal functions is formed and it is calculated orthogonal transform on this family base. The efficiency of Galois transform coding is calculated and comparative analysis with other transform coding methods and pulse code modulation is performed to solve the data compression problems. Figs.: 1. Tabl.: 1. Refs.: 9 titles.
Keywords: transform coding, efficiency of Galois transform, Galois functions, orthogonal transform, pulse code modulation.
