CC BY
3
УДК 621.03
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-5-426-431
АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ПО ШЕРОХОВАТОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ АППАРАТА, НЕ ИМЕЮЩЕГО ВНЕШНЕГО ДВИЖИТЕЛЯ
И.А. Емельянов
Рассматривается закрытый ящик с полозьями, внутри которого синхронно вращаются в противоположных направлениях два диска. На дисках закреплены точечные массы т на одном и том же расстоянии от центров. При вращении дисков центробежные силы инерции масс т периодически увеличивают и уменьшают давление на опорную поверхность и одновременно создают усилия для движения вдоль полозьев. Получается, что при равных движущих силах сопротивление движению вдоль полозьев существенно разное в противоположных направлениях, так что аппарат получает одностороннее перемещение, величина которого с течением времени монотонно возрастает.
Ключевые слова: центр масс, ускорение, сила трения, угловая скорость, безотрывное движение.
На рис. 1 и 2 схематически изображён вид аппарата сбоку и сзади. Внешне он выглядит как ящик, снабжённый полозьями 2. Внутри помещаются два диска 1, расположенных в одной плоскости, наклоненной под углом а к горизонтальной плоскости. На дисках закреплено по одной массе т, а сами диски вращаются в противоположные стороны с одной и той же угловой скоростью ю и вращаются так, что массы т сохраняют строгую симметричность относительно вертикальной плоскости, проведённой между дисками и делящей аппарат на две зеркально идентичные половины.
Рис. 1. Вид сбоку на аппарат и его диски 1
Рг
Рис. 2. Вид сзади на аппарат, его диски 1 и полозья 2
На рис.3 видно, что угол ф, определяющий положение масс т относительно горизонтального радиуса и отсчитываемый в сторону вращения каждого диска, меняется синхронно - это обязательное условие и оно должно соблюдаться неукоснительно.
426
Рис. 3. Вид на диск 1 со стороны оси ортогональный плоскости дисков
Пусть М- масса аппарата без учёта масс т. Тогда силы, действующие на аппарат, направлены так, как это показано на рис.1. Здесь N - сила нормального давления опорной поверхности, а F - сила трения, определяемая законом Амонтона (1663-1705)
F _ kN, (1)
где k - коэффициент трения скольжения.
Однако выражение (1) и направление силы F, изображенное на рис.1, соответствуют реальности только в предположение, что аппарат движется вправо, включая мгновения начала движения и конца, когда скорость равна нулю, но равновесие критическое.
Запишем уравнение движения центра масс системы в направлении ортогональных осей х и y (рис.1)
(И + 2т )с _ -kN, (И + 2т )ус _ N -(И + 2т )g. (2)
Поскольку координаты центра масс аппарата определяются выражениями _ (И + 2тХхо + х) + 2mR sin р cos а _ (И + 2т)H + 2mR sin (р sin а Х _ И + 2т , Ус _ И + 2т ,
где R - расстояние масс т от центров О1 и О2 дисков, а H - высота центра масс аппарата вместе с дисками без учёта масс т, хо - начальное положение аппарата. Полагая ср = wt, где w = const, найдём
п 9 хс _ х--Rw cos а sin cot,
с 1+ — (3)
п 2 ус _ —Rw sin а sin wt.
1 + —
В этих соотношениях ¡л - безразмерный параметр, введённый по правилу
2т (4)
И
а х - перемещение аппарата от начального положения.
Рассматривая соотношения (2) и (3) совместно, находим
N _(и + 2 g )| g--— Rw2 sin а sin wt
I 1 + —
— ™ 2 kN
х _—-— Rw cosаs1nwt -
(5)
1 + u M + 2m'
Из первого равенства видно, что минимальная сила нормального давления N достигается, когда, sinmt = 1, т.е. когда угол ф на рис. 2 и 3 равен 90°. Нетрудно догадаться, что именно при таком расположение масс m достигает максимума и сила, стремящаяся перемещать аппарат вправо. Поскольку нас интересует безотрывное от опорной поверхности движение аппарата, то из первого равенства (5) находим требование к угловой скорости ш
„ < /Ж+Ж. (6)
У uR sin а
Второе уравнение (5) с учётом первого и параметра /л(4) приводится
к виду
x = Ц Ra2(cosa + ksina)sinct -kg. (7)
1 + ц
Чтобы это ускорение аппарата, направленное вправо, было максимальным по величине и положительным, угол а должен доставлять максимум выражению, заключённому в скобки. Нетрудно проверить, что это достигается, когда
tga = k, cosa + k sin а = 41 + k2. (8)
Если k = 0,5, то а = 26,5°. Положив, кроме этого, ц = 0,05; R = 0,1м, g = 9,8 м/с2, на основании (6) находим критическое значение угловой скорости 68с-1. Следовательно, о должно удовлетворять требованию
a < 68с-1, n < 650 об/мин. (9)
Поскольку желательно иметь аппарат с наилучшими характеристиками, будем считать, что требование (8) соблюдено, а выражение (7) принимает вид
x = Rc2V1+k2sin ct - kg. (10)
1 + ц
Пусть ф1 - то значение аргумента sinot, когда аппарат ещё не движется, но уже готов начать движение вправо. Это происходит при x = 0, так что на основе выражения (9) обнаруживаем, что это происходит, когда
• kg (1 + —) (11) sin< =- v . ' г. v )
—Ra2V1 + k 2
При параметрах k = 0,5; g = 9,8 м/с2; ц= 0,05; R = 0,1 м; с = 40 с-1
sin = 0,575; p = 35° (0,61 радиан). (12)
Проинтегрировав уравнение (7) при начальном условии
x = 0 при p = p, (13)
получим
x = —— rC 1 + k2 cosct-kgt + q. (14)
1 + ц
Поскольку at = p, t = p/c, то с учётом (13) найдём
q = Ц rC 1 + k2 cosp + kg—, 1 + ц a
следовательно
x =
1 + k2 (cos( - cos(p) — — ((-(). (15)
1 + / a
Понятно, что при некотором значение ф > ф1 аппарат прекращает движение
вправо. Обозначив это значение символом ф2, запишем уравнение для его нахождения,
приравняв нулю x (15)
^V1 + k2(cosp -cos(2) = — (((2 -(). (16)
1 + / a
Этому уравнению удовлетворяет ф2 = 195°. Таким образом, движение аппарата
вправо (рис.1) происходит, когда массы m описывают верхние дуги на рис.3 в границах
35° <p< 195°. (17)
Проинтегрировав уравнение (15) при начальном условии
x = 0 при p= (1, (18)
найдём перемещение аппарата
.2
U6jR 1 + k2 í t coS( - —sin | — —' °
x = . , 1
1 + U V O ) O
2
V
(P1t
Поскольку в этой задаче удобнее пользоваться в качестве аргумента углом ф, а не временем t, то вспомнив, что Ш = ф, а I = ф/ш, получаем
x = Vi + k2 ((cosp - sinp )—kg2 (p " 2p — (19)
1 + U 2a>2
В этом выражении углы ф1 и ф2, фигурирующие не в качестве аргумента тригонометрических функций, должны быть в радианной мере. Поскольку ф1 = 35° это 0,61 радиана, а ф2 = 195° это 3,4 радиана, cos 35° = 0,819, sin 195° = - 0,259, то полное перемещение аппарата право (рис.1) при используемых параметрах определится значением
x = 0,05-ОД ^125(3,4. 0,819 + 0,259— - MlM (3,4 - 2. 0,61— 3,4 = 0,00485м.
1,05 2 • 402
Время одного оборота массы m равно
2n¡a = 2 • 3,14/40 = 0,157с, следовательно, средняя скорость движения аппарата вправо определится выражением
v = 0,00485: 0,157 = 0,0309м/с = 3,09см/с. (20)
Но теперь мы должны проверить, не смещается ли аппарат влево, когда его массы m описывают нижние дуги в пределах
195° <р< 395°. (21)
Предполагая попятное движение аппарата, мы должны силу трения F на рис.1 направить в противоположную сторону, вследствие чего в уравнении (10) минус перед kg заменится плюсом, и мы получаем другое уравнение
u 2 I 2 X = Ra V1 + k sinp + kg.
1 + u
Обратив коэффициенты в числа при введённых параметрах, получим
X = (2,13sinp + 4,9—м/ с2. (22)
Минимальное значение sinф в означенных границах изменения аргумента ф(21) равно -1. Но даже в этом случае ускорение аппарата (22) направлено вправо. Это значит, что сила трения F не достигает своего предельного значения (1), потому что в интервале значений ф(21) аппарат не перемещается.
Итак, обнаружено, что аппарат, не имеющий внешнего движителя, перемещается по шероховатой горизонтальной поверхности, преодолевая сухое трение. Это перемещение является односторонним и расстояние такого перемещения ничем, кроме времени, не ограничено. Нет никаких препятствий для любых разумных объяснений и толкований динамических процессов, сопутствующих работе этого простого аппарата. Они могут быть разными. Только при этом желательно не уходить от силового воздействия в область общих принципов, ибо эти принципы, хоть и приводит к численно верным результатам и даже иногда обеспечивают краткость решения, но физическая ясность сложных процессов и явлений при этом не достигается.
Полезен небольшой экскурс в историю науки. Второй закон динамики в формулировке Ньютона заложил надёжную основу развития всей механике как точной науки. Но закон этот постулирован [1, с.37] без объяснения его опытной природы. Это дало повод для суждений о том, что божественный разум Ньютона мгновенно распознавал элементарные истины Мироздания, минуя опыт. На самом деле ему были известны два частных, принципиально разных и важнейших движений, подтверждённых опытом. Первое - это прямолинейное равноускоренное движение под действием постоянной силы - в то время этот случай был известен уже многим. Второе - это равномерное движение по окружности под действием центростремительной силы постоянной величины. Этот случай был подробно исследован Гюйгенсом [2, с.247-277]. Ньютон узнал об этом исследовании от самого Гюйгенса. Вот эти два опытных факта и позволили Ньютону чисто формально обобщить их в виде основного закона динамики. Никаких других оснований для провозглашения этого закона у него не было. Но это основание очень надёжное. Впоследствии он утверждал, что физические идеи ничего не стоят и основой развития физики является математика. Соотечественник Ньютона Гексли (1825-1895) более верно обозначил
истинную роль математики: «Математика, подобно жёрнову, перемалывает то, что под него засыпают, и как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предпосылок». В представленной работе самое главное содержится в том понимании динамических процессов, которое было достигнуто ещё до начала математического моделирования поведения аппарата.
Силы инерции, которые играют решающую роль в динамике рассмотренного аппарата, за 335 лет после появления «Principia» [1] неоднократно вызывали бурные и очень эмоциональные споры во всём мире. И главным камнем преткновения в этих спорах был вопрос о том, реальны или фиктивны эти силы инерции. Известно даже суждение о том, что шнурок, удерживающий на круговой траектории быстро движущуюся гирьку, обрывается не центробежной силой, которой на самом деле нет, а просто потому, что этому шнурку не хватило прочности, чтобы обеспечить центростремительную силу необходимой величины. Но разве трудно понять, что обрыв шнурка, в какой бы ситуации это ни произошло, мог стать случившимся фактом не иначе как под действием двух противонаправленных сил, стремящихся растянуть шнурок.
Повод для этих споров дал сам Ньютон. Он наделил все материальные объекты, в том числе и камни, способностью контролировать скорость движения относительно «абсолютного неподвижного пространства» и сопротивляться любым изменениям этой скорости. Тела мёртвой материи такими свойствами обладать не могут. Кроме этого, силы по Ньютону - это причины изменения абсолютной скорости материальных тел. А силы инерции не вызывают ускорение, а накладывают ограничения на его величину. Вот и получается, что сила инерции не является силой в ньютоновом понимании. Наконец, он отводит ведущую роль в динамике абсолютному пространству и силе инерции, в то время как в его законах динамики эти понятия даже не упоминаются.
Аппарат без внешнего движителя полезен в том отношении, что он дает хорошую пищу для физического мышления. А это главный фактор развития физико-технических наук.
Список литературы
1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Петроград // Известия Николаевской Морской академии, 1915-1916. 620 с.
2. Гюйгенс Х. Три мемуара по механике. М.: АН СССР, 1951. 382 с.
Емельянов Илья Александрович, канд. техн. наук, доцент, pcwork1@mail.ru, Россия, Калуга, Калужский филиалМГТУ им. Н.Э. Баумана
ANALYSIS OF MOTION ON A ROUGH HORIZONTAL SURFACE OF A VEHICLE WITHOUT AN EXTERNAL PROPULSION DEVICE
I.A. Emelyanov
A closed box with skids is considered, inside which two disks rotate synchronously in opposite directions. Point masses m are fixed on the disks at the same distance from the centers. When the discs rotate, the centrifugal forces of inertia of the masses m periodically increase and decrease the pressure on the supporting surface and at the same time create forces to move forward. It turns out that with equal driving forces, the resistance to movement in the direction of the skids is significantly different in opposite directions, so that the apparatus receives a oneway movement, the value of which monotonically increases over time.
Key words: center of mass, acceleration, friction force, angular velocity, continuous
motion.
Emelyanov Ilya Alexandrovich, candidate of technical sciences, docent, pcwork1@mail.ru, Russia, Kaluga, Kaluga branch of BMSTU
УДК 621.334.4
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-5-431-437
КОЭФФИЦИЕНТ ОБЪЁМНОЙ ЖЁСТКОСТИ РУКАВОВ ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПРИВОДА
С.А. Вялов, И.М. Чукарина
В данной статье рассмотрено применение теории объемной жесткости к вычислению приведенного коэффициента объемной жесткости рукавов высокого давления. Приведен обзор РВД и стандартов их производства, экспериментальное определение приведенного коэффициента объемной жесткости рукавов высокого давления.
Ключевые слова: гидросистема, объёмная жёсткость, эксперимент, рукава высокого давления, приведенная объемная жесткость.
Введение. Одним из основных требований к работе машин и механизмов является качество их работы на неустановившихся режима, а потому изучению динамических свойств гидравлических приводов и их элементов уделяется особое внимание [1...3].
При современном уровне развития техники и технологий, сложности и дороговизне разрабатываемых технических систем всё более широкое применение, при предварительном изучении свойств гидравлических приводов, находит математическое моделирование и теоретический анализ работы системы [4, 5].
В гидравлических приводах носителем энергии является рабочая жидкость, которая под высоким давлением транспортируется по магистралям гидравлической системы. При этом, в связи с сжатием жидкости и деформации трубопроводов, на неустановившихся режимах работы системы, нарушается действие уравнения неразрывности потока. Это осложняет моделирование работы таких систем на неустановившихся режимах.
Классическим подходом к моделированию работы гидравлического привода на не установившихся режимах является введение некоторого фиктивного расхода рабочей жидкости, который компенсирует нарушение действия уравнения неразрывности. Однако более перспективным методом расчёта силового гидравлического привода является применение теории объёмной жёсткости [6, 7]. В этом случае в математической модели взамен приведенного модуля упругости системы используют приведенный коэффициент объёмной жёсткости, определённый для большинства гидроаппаратов, в том числе и гидравлических линий. Следует отметить, что для рукавов высокого давления (РВД), такие зависимости не получены. В связи с этим, приведенный коэффициент объёмной жёсткости РВД необходимо определять экспериментально.
В настоящей работе поставлена следующая задача: разработать методику экспериментального определения приведенного коэффициента объёмной жёсткости и произвести исследования различных типов РВД.
Физический смысл понятия «объёмная жёсткость» раскрыт в работах [6, 7]. Согласно обобщённому закону Гука, изменение давления жидкости в различных точках гидравлической системы пропорционально изменению её первоначального объёма [8]
