Влияние центробежной силы инерции в геострофической модели атмосферы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

УДК 551.513

ВЛИЯНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНОЙ силы инерции В ГЕОСТРОФИЧЕСКОЙ модели атмосферы

© 2010 г. М.Н. Грицаева, М.А. Волочай

Ставропольский государственный университет, ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, info@stavsu.ru

Stavropol State University, Pushkin St., 1, Stavropol, 355000, info@stavsu.ru

Проведен анализ влияния центробежной силы инерции, обусловленной вращением Земли, на движение атмосферы в геострофической модели. Показана несостоятельность пренебрежения проекциями этой силы на горизонтальную плоскость по сравнению с силой Корио-лиса. Учет центробежной силы инерции приводит к результатам, которые значительно отличаются от ранее известных.

Ключевые слова: инерция, центробежная сила, вращение, геострофическая модель, атмосфера, сила Кориолиса, уравнение движения, ветер, градиент давления.

In work the analysis of influence of centrifugal force of inertia caused by rotation of the Earth on atmosphere movement in geostrophe model is carried out. The solvency of neglect by projections of this force to a horizontal plane in comparison with force of Coriolis is shown not. The account of centrifugal force of inertia results in, which considerably differ from earlier known.

Keywords: inertia, centrifugal force, rotation, geostrophe model, atmosphere, force mriolis, the movement equation, wind, pressure gradient.

При рассмотрении моделей атмосферы, как правило, не учитывают влияние центробежной силы инерции, считают ее малой величиной, не оказывающей влияние на движение атмосферы [1, 2]. Проведенный нами анализ показал, что можно пренебречь лишь проекцией центробежной силы инерции на вертикальную ось по сравнению с силой тяжести. Однако проекции центробежной силы инерции в плоскости, касательной к поверхности Земли, имеют порядок, сравнимый с силой Кориолиса. Поэтому целью работы является уточнение геострофической модели атмосферы с учетом центробежной силы инерции.

Влияние центробежной силы инерции на градиентный ветер в геострофической модели атмосферы

Рассмотрим единичный объем в поле давления. Изобары направлены под углом а к горизонтальной поверхности. Рассмотрение будем вести в рамках плоской модели, поэтому исключим вертикальное движение. На выделенный объем воздуха будет действовать горизонтальная сила градиента давления, и он начнет двигаться в сторону низкого давления. После начала движения на объем воздуха будет действовать сила Кориолиса, направленная по правилу левой руки (в северном полушарии) вправо, и вектор скорости будет поворачиваться вправо до тех пор, пока сила Кориолиса не уравновесит силу градиента давления. В этом случае скорость будет направлена вдоль изобары, в правую сторону от градиента давления. Такой ветер, направленный вдоль изобар, называется геострофическим (рис. 1).

Рис. 1. Геострофический ветер

Геострофическая модель атмосферы рассматривает ветер на некотором удалении от поверхности Земли, где действием силы трения можно пренебречь.

Применительно для этой модели запишем уравнение динамики атмосферы с учетом сил инерции:

+ (cV> = g 0 - 1 Vp+ fKo + f^o + f

или

- + (cV)c = g0 - — Vp + 2[сш0]+ю02R + f

8с

а р

индексом 0 будем обозначать величины в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли.

Движение будем считать установившемся, т.е.

& = 0 , и не будем учитывать трение Г = 0 . Исходя из вышеизложенного, уравнение движения запишется в виде

§ 0 - - ^Р +Г К + Гцб„ = § 0 - - ^Р + 2[ш0]+®02 к = 0 • р р

Проекции центробежного ускорения на на оси y и z

a

Цб о у

= -ацб sin ф = -&>^ sin^

ацб0г = ацб0 С0ф = 0>1Я СОБ^.

Система уравнений движения атмосферы для каждой проекции скорости:

du

d7

1 dP

р дх

+ 2Цоz - w®0y )+ /т

тр ■

dv 1 dp , ч 2 .

-77 =---Г- + 2(wcox -ucoz) + Лр -,

dt p d, в

dw 1 dp ¡ \ . „ 2

— = — — - go + 2(uco, - vcox) + Лр + Rcocos^ • dt p dz

Расстояние R от оси вращения Земли до точки, находящейся на высоте h = z над поверхностью Земли: R = (R3 + h) cos^ = (R + z) cos^. Проекции угловой скорости вращения Земли:

Сх = o ,

со0 = с0 sin в = с0 cos ф , С = с cose = с sin ф .

С учетом вышеизложенных условий уравнения динамики атмосферы преобразуются к виду

1 dp

o =----+ 2vc0 sin ф ,

p dx

o = -1 dp-2ua0 sinф-R + zС cosфsinф,

p dy

o = -1 - go + (r + z)ю2 cos ф cos ф •

p dz

Ускорение свободного падения и выражение для центробежной силы в последнем уравнении составляют такую величину: g = g0 -(r + z)^ф®02^ф.

Тогда из системы (1) получаем горизонтальные проекции скорости геострофического ветра и уравнение статики атмосферы:

1 dp R + z )с()cosф

u g =-

2^0psin ф dy

2

1

dp

2®0psin ф дх

(2)

Pg =

dp

~dz

(R3 + z) ю0 cosф

2

С учетом этой добавки, даже при

отсутствии градиента давления вдоль меридиана, геострофический ветер существует. Величина добавочной

7,29 -10"5 64 • 105 ) скорости (на 45° с.ш.) _V / = 165 м/с.

2

Большое значение скорости связано с пренебрежением силой трения. Действительно, полученное значение скорости в два раза меньше скорости вращения точек поверхности Земли в системе отсчета, связанной с центром Земли. Поэтому в отсутствии сил трения воздух не увлекается Землей, и в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, скорость движения воздуха будет равна по величине и противоположна по направлению скорости вращения точек поверхности Земли (рис. 2). Отсюда следует, что вклад центробежной силы инерции будет вносить существенные изменения в динамику атмосферы.

В отличие от известных формул [1, 2] в полученном нами выражении для проекции скорости геострофического ветра на ось х присутствует составляющая центробежной силы, которую другие исследователи отбрасывают, но при оценке центробежная сила (на 45° с.ш.) с2 (R + h) cos ф sin ф и 3,2 • 1o-4 м/с2 не

мала по сравнению с силой Кориолиса (и u •1o-4 м/с2, где u в м/с), поэтому ею нельзя пренебрегать, причем она достигает максимального значения на 45° с.ш.

Центробежную составляющую можно не учитывать лишь в последнем уравнении, так как она мала по сравнению с ускорением свободного падения.

Таким образом, полученная нами добавка к проекции геострофического ветра на ось х имеет вид

Рис. 2. Центробежная сила инерции в системе координат, связанной с поверхностью Земли

Рассматривая частный случай, при дрду > 0

вдоль оси у давление будет падать в направлении от

экватора к полюсу (в глобальном масштабе это наблюдается в атмосфере) геострофический ветер будет направлен с запада на восток, т.е. будет преобладать западный поток. Следовательно, направление геострофического ветра обосновывает преобладание западного переноса в атмосфере.

Рассмотрим некоторую изобарическую поверхность, параллельную поверхности Земли, следовательно, отсутствуют градиенты давления в этой плоскости

др/дх = 0 и др/ду = 0, и по выводам, полученным другими исследователями [1, 2], градиентный ветер должен отсутствовать. В этом случае за счет центробежной добавки будет существовать проекция гради-

ентного ветра на ось х : u =

= (R + zH cos ф . На

это

движение также будет накладываться сила Кориолиса и закручивать воздух по часовой стрелки (рис. 3):

/к0у ="2®0ив ф .

v

g

Знак «-» показывает, что эта сила направлена против оси y и будет выполнять роль центростремительной силы. Тогда 2ю0Ug sin p = u2jR.

u g =

g 0

2a0 sin p dy

дФ (R3 + z )a

zp0 cosp

2

vg =-

g 0

дФ

2a0 sin p dx

Таким образом, показано, что учет центробежной силы инерции оказывает существенное влияние на поведение геострофического ветра.

Влияние центробежной силы инерции на изменение геострофического ветра с высотой

Вернемся к рассмотрению уравнений (2), включающих проекции скорости геострофического ветра. Заменим плотность по уравнению состояния:

Р

Р =

RcT

где Rc - удельная газовая постоянная сухого

воздуха; и введем под знак дифференциала давление:

RcT dln p f(R3 + z)a0 cosp^

u g =-

v g =

--

2a0 sin p dy д ln p

2

RcT

2a sin p dx

Разделим полученные уравнения на T и продифференцируем их по z :

d u

(и \

dln p d f (R3 + z)a0 cosp

Рис. 3. Влияние центробежной добавки на скорость геострофического ветра при отсутствии градиента давления

Исходя из последнего уравнения, получим радиус окружности, по которой будет двигаться частица:

u g

R =-g-.

2ю0 sinp

С учетом модуля проекции скорости геострофического ветра получим

4 sin р

Радиус окружности этого движения на широте Ставрополя (45° с.ш.) будет равен: R = R + z)cosp/ 4 sinp = = 1600 км. Это довольно большой масштаб для такого процесса, что в очередной раз подтверждает ошибочность пренебрежения центробежной силой инерции.

Так же выражение для проекций скоростей геострофического ветра (2) можно выразить через геопотенциальную высоту с использованием уравнения статики атмосферы:

1 ёФ g

- — dp = gdz, — = — , g0ёФ = gdz .

P dz go

Правые части этих выражений равны, а значит,

равны и левые:--dp = g0 dФ . Подставим это вы-

P

ражение в уравнения (1):

& | T ,

df Vg^

T

V 1 У

2a sin p dzdy dz

2T

dz

R.

d ln p

2®0 sin p dzdx

Поменяв порядок дифференцирования в первых выражениях в правой части, мы сможем использовать

д ln p g o

уравнение статики атмосферы

dz

RT

d u

íi, Л

g 0 df 1 ^ d f (R3 + z )®0cospY

dz VT y 2aoz dy VT у

dz

2T

Af V

dz V T У

g o d f 1

2^ dx V T y

Продифференцировав последние выражения, получим

df u ^

dz

T

V T

g0 dT a0 cosp

2«o T1

+

2 dy

(R3 + z)a0 cosp dT

2T

+

2T2

dz

dz

V

V T У

g 0

dT

2^ T dx

(3)

Рассмотрим, при каких условиях отношение проекции скорости геострофического ветра на ось х к температуре будет постоянной величиной:

8Т

df u g^

dz

T

V T

g 0

2a> T2

+

2 dy

(R3 + z)a0cosp dT

a0 cosp 2T

- +

2T2

dz

= 0;

1

g0 dT (R3 + z)®0 cosp dT^ A -a0 cosp + ——3-'-d0-- — 1 = 0•

2TI 2®0z T dy 2T dz

Это выполняется при условии: 1 dT ®02sinpcosp (R + z)®02 sinp cosp dT

T dy ~

g 0

g 0T

dz

У

g

g

Проинтегрируем уравнение (3) по г, в пределах от 21 до г :

(z) "g (zi) g0

T(z) T(zi) сT2 ay

z

I

1 ST

dz -

С0 cos( z 1 + \ + z)^ocos^ ST 2 f T + f 2T2 dz

dz;

"g (z) "g (zi) goГСр zf ^cos( z

J dz-^ocos^f dz

f от f

T(z) T(zi) 2^0zTcp J 2Т | 1 z (R3 + z)^0cos^ ST ^

+

cP Zi

Т2

cP zi

2 dz

(z) Vg (zi ) g0 Гс

z

J dz •

T(z) T(zi) 2^0zTcP J

(z) = T(z)+ g0ГcpT(z) f dz V 7 T(zx) W ^ - f

" g(z

2^0zTc2p z

co0 cos( T(z) 2Т„„

z л z

J dz + "1г T (z )J

(R3 + z)®0cos( ST

Т 2 4 'J 2

cP zi

dz

dz ,

Vg U

(z ) = V^ T (z)-g: Г cpT (z) J dz •

T (zi)

2c T2

0 2 ср ^

С учетом, что Т(г) = Т , получим

u g(z I

(zi L/ \ g0Гcp / \

- (z - zi )-

(z ) = -^ T (z ) + T (zi )

С zTcp

c0 cos(

'0cos( / \ . ■(z - zi)+

2

C0cos^J (R + z)ST dz ;

2Т,

Vg(z

(z) = ^T(z(z - z).

cP zi cP

dz

T (zi)

С zTcp

Если учтем в первом уравнении системы, что

ST

— = -у = const (у> 0), получим

dz

u g (z

"g = Ж)

(zi L/ \ . g0 Гcp

T (z )

z ) + ■

2c0zTcp

(z - zi)-

С cos( 2

(z - zi)+

С cos( 2T„„

(-r)J (R3 + z) dz •

Найдем последний интеграл:

г г

|(К3 + г = {(Я3 + г )1(Кз + г)

R + z)

(z - zi )2R +

2(z + z 2

2

(z - zi R

у в (г) (г1 ) = е дт ^ Т(г) Т(г,) 2^0Л Т2 дх .

Вместо температуры и ее горизонтального градиента возьмем среднюю температуру слоя и средний градиент температуры Гср:

при этом учтено, что г << К3.

Окончательно с учетом центробежной силы инерции выражение для проекции скорости геострофического ветра на ось о принимает вид

^ (г1 8 0 Гс

"g =

T (zi)

T (z ) +

2C0zTcp

(z - zi )-

С cos( /

--2- - z

- zi)-

Со cos( 2T

R33 (z - zi) •

(4)

Учет центробежной силы инерции привел к существенному отличию от известных формул. Эта добавка всегда отрицательная, следовательно, уменьшает значение проекции скорости геострофического ветра на ось х.

Исходя из формулы (4) получаем, что в случае, если последние два выражения по величине превышают величину термической добавки, будет наблюдаться другой поворот ветра при адвекции тепла или холода в отличие от поворота, который получался исходя из ранее известных формул [1, 2]. Такой результат получится и в случае, если термическая добавка (термический ветер) отсутствует, т.е. Лит = 0 .

Получим условия, при которых последние два выражения по величине превышают термический ветер, т.е. критическое значение горизонтального градиента температуры Гср кр . Если Г < Гср то центробежная добавка будет превышать термическую.

Сравним численно последние два выражения в уравнении (4):

c0cos^ 2

(z - zi)+ (p(z - zi)

УС cos( 2T„_

R3 (z - zi ) =

С cosdz - z

2

i +

R t

cp J

yR3 7,3 • i0-5 • 6,4 -i06

T

300

= i28 •

Полученное значение значительно больше 1, а следовательно, третье выражение в уравнении (4) значительно меньше четвертого и его можно исключить из рассмотрения.

Приравнивая последнее и второе слагаемое уравнения (4), получаем критическое значение горизонтального градиента температуры Гср кр :

уа0 cos( 2Т

R3 (z - zi ) =

g 0 Г c

cp Kp

2®0zTcp

(z - zi ) >

= уа02^\п2ф

ср кр ~ з .

26 0

Оценим эту величину численно: Г -1,044•Ю-5 град/м = 1,044град/100 км.

V

g

z

z

2

2

z

z

z

В итоге получаем, что если температура в горизонтальной плоскости, находящейся над поверхностью Земли, будет изменяться более чем на один градус на 100 км, что реально наблюдается в атмосфере, то центробежная добавка Ли ^ уменьшит значение иg (за исключением случая приподнятой инверсии) и будет

наблюдаться левый поворот геострофического ветра при адвекции тепла (рис. 4а). При адвекции холода (рис. 4б) будет наблюдаться правый поворот геострофического ветра. Эти результаты совершенно противоположны действию термической добавки.

Рис. 4. Адвекция холода (а) и тепла (б) в атмосфере

В работе была доказана несостоятельность пренебрежения проекциями центробежной силы инерции на горизонтальную плоскость по сравнению с силой Кориолиса в геострофической модели атмосферы. Показано, что в плоскости, где давление не изменяется ни вдоль меридиана, ни вдоль параллели, за счет центробежной силы инерции геострофический ветер, направленный с запада на восток, существует, и его скорость будет довольно значительной. Причем под действием силы Кориолиса этот ветер закрутится по часовой стрелке. Также в статье определено, что при адвекции холода в атмосфере будет наблюдаться

правый поворот геострофического ветра, а при адвекции тепла - левый.

В заключение выражаем благодарность д. ф.-м.н. Р.Г. Закиняну, под научным руководством которого выполнена данная работа.

Литература

1. МатвеевЛ.Т. Физика атмосферы. СПб., 2000. 779 с.

2. Матвеев Л.Т. Теория общей циркуляции атмосферы и

климата Земли. Л., 1991. 295 с.

Поступила в редакцию

18 мая 2009 г.

б

а