Причины возникновения вихревых и вращательных движений в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 551.513

ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ВИХРЕВЫХ И ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ В АТМОСФЕРЕ

© 2010 г. М.А. Волочай, М.Н. Грицаева

Ставропольский государственный университет, ул Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, info@stavsu.ru

Stavropol State University, Pushkin St., 1, Stavropol, 355009, info@stavsu.ru

Рассмотрена актуальная проблема выявления причин формирования вихревых и вращательных движений в атмосфере. Было показано, что движение воздуха может быть безвихревым, но в то же время цикличным (вращательным). При анализе уравнения абсолютного вихря выявлено, что оно не включает в себя центробежную силу инерции, которая может быть причиной возникновения вращательных движений в атмосфере, следовательно, это уравнение показывает наличие только вихревого движения.

Ключевые слова: инерция, центробежная сила, вращение, атмосфера, сила Кориолиса, уравнение движения, ветер, градиент давления, вращательный вихрь.

The actual problem of the discovery of the causes of formation of vortex and rotary movements in the atmosphere is considered in this article. It was pointed to the movement of the air could be as vortexless as cyclic. Analyzing the balance of the absolute vortex it was discovered that it doesn't include the centrifugal force in itself but can be the cause of the beginning of the rotary in the atmosphere and consequently the movement equation points to the existence of the vortex movement only.

Keywords: inertia, centrifugal force, rotation, atmosphere, force of Сoriolis, movement equation, wind, pressure gradient, rotary (rotatory) vortex.

Прогнозирование мощных крупномасштабных вихревых процессов представляет собой сложную и не до конца решенную задачу физики атмосферы. Сложность заключается как в разработке математических моделей, описывающих атмосферные процессы, так и в решении самих уравнений.

Исходным уравнением для анализа условий возникновения вихрей является уравнение абсолютного вихря. Однако это уравнение не включает в себя центробежную силу инерции. По нашему мнению, неточности в прогнозировании крупномасштабных атмосферных процессов могут быть связаны с тем, что не любое вращательное движение является вихревым, и наоборот. В то же время уравнение абсолютного вихря показывает наличие только вихревого движения, следовательно, не учитывает условия формирования вращательных движений.

Целью настоящей работы является выявление критериев возникновения вихревых и вращательных движений.

Различия вихревого и вращательного движений

Приведем пример вихревого движения, которое не является вращательным. Рассмотрим движение воздуха в пограничном слое атмосферы, который имеет вид, представленный на рис. 1.

Найдем циркуляцию скорости по контуру L=ABCD: С = J vdl = J vdl + J vdl + J vdl + J vdl. Так как на уча-

L AB BC CD DA

стке AB и CD (vdl) = 0, то С = vhlBC + 0 • lDA = vhlBC , где vh - скорость на участке ВС. Следовательно, С Ф 0 , т.е. циркуляция не равна нулю, следовательно, данное движение является вихревым (rotv Ф 0) , но при этом оно не является вращательным.

Рис. 1. Движение воздуха в пограничном слое атмосферы

Приведем следующий пример вращательного движения, которое не является вихревым. Плоское вращение воздуха в полярной системе координат

¡c1r, r < r0

(рис. 2) определим выражением ve = < c

9

—, r > r0

где

r

0

vв- азимутальная составляющая скорости; г0 - расстояние, на котором скорость движения частицы воздуха максимальна, что соответствует реальному распределению скорости в циклоне; г - расстояние от оси вращения; С1, С2 - константы.

В полярной системе координат выражение вихря в

нашем случае имеет вид rotv = -

1

r

drve dvr dr ~дв

dvr n c2

как-= 0 и для r > r0 скорость равна ve = — , то

дв r

1 дгув

и.в =--. Отсюда следует, что и.в = 0, т.е. враг дг

щательное движение не является вихревым. А для

^ 2 г < г0 имеет место выражение гув = с1г , тогда для

проекции вихря получим 0.в = 2с1 Ф 0 . Значит, внешнее движение в циклоне является вращательным, но не вихревым, а внутреннее движение - и вращательным, и вихревым.

Таким образом, мы показали, что не любое вращательное движение является вихревым, и не любое вихревое движение является вращательным.

а1 R = gradW

ц.б.

(1)

= а2 R

ду

j +

= w2Rp ^ + zX- sin j + cos P'k J =

= -w2 (R3 + z)2 cospsinp—j + w2((з + z)cos2 p-k.

dp 1

Так как изменение широты по оси y — =-,-т, то

дУ (( + z)

w2 R2

grad—2"P = w2 (-(R3 + z)cospsinp j + (R + z)cos2p k).

Полученное выражение является формулой (1). Таким образом, и в случае зависимости центробежной силы инерции от высоты ее можно представить в виде градиента от потенциала.

two

Рис. 2. Плоское вращение воздуха в полярной системе координат

Вывод уравнения переноса вихря с учетом зависимости центробежной силы инерции от высоты расположения частицы воздуха над поверхностью Земли

Центробежную силу инерции, «действующую» на частицу воздуха у поверхности Земли, можно представить в виде градиента потенциальной функции [1]:

где Шцб =w2R^/2 - потенциал центробежной силы

инерции. Однако при этом не учитывается зависимость центробежной силы инерции от высоты z над поверхностью Земли. Покажем, что и в этом случае центробежную силу инерции можно представить в виде градиента от потенциала.

Из рис. 3 видно, что Rp = (R3 + z)cos p.

Отсюда для проекций радиус-вектора на оси координат получим: Rpx = 0, Rpy =-Rp sin p =

= -(з + z)cospsinp, Rpz = Rpcosp = (R3 + z)cos2 p.

Выражение для радиус-вектора принимает вид

Rp = -((з + z)cospsinp-j + ((з + z)cos2 p-k .

Тогда градиент потенциала равен

w2Rl w2 2

grad--^- = -2Rp- gradRp =w Rp- gradRp =

Рис. 3. Центробежная сила инерции в системе координат, связанной с поверхностью Земли

Динамика атмосферы, в том числе и крупномасштабные вихревые процессы, описывается уравнением Навье - Стокса [2]. В системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, с учетом силы инерции Корио-лиса и центробежной силы инерции оно имеет вид

д. + (cv)c = gо--рVp + fк0 + f^0 + frp , или

^ + (c V)c = gо - - Vp + 2[сю о ] + ®о2 Rp + f тр . (2)

dt р

Покажем, что g = grad(- gz) = g ■ grad(- z)

grad(-z) = дЦ-z>i + z)■ j z)■ k = -k .

dx dy dz

Введем общий потенциал силы тяжести и центро-

ю2 Rp

бежной силы инерции: W = gz--—, где gz - потенциальная энергия единицы массы воздуха; ю2 Rp/2 - потенциал центробежной силы инерции; Rp = R3 cos p - радиус вращения частицы воздуха на широте p . Тогда уравнение (2) запишем в виде

dC + (cV)c = gо -—Vp - gradW + 2[сю о ] + С.

dt

Р

dz

Дадим краткий вывод уравнения переноса вихря, согласно [1], чтобы обратить внимание на допущения, принятые при данных выводах. С учетом выражения

из векторного анализа [c[Vc] = V--(cV)c запишем

2

(cv) = V — - [c[Vc ] ] .

Подставляя это выражение в формулу (2), получа-

dc c2 1

ем —+ gra^— [c rotc] = — gradp - gradW+2[ею0 ]+f.

dt 2 p

Введем обозначение: rotc = Q - вихрь.

+ gradc— [cQ] - 2[cra 0 ] = -—gradp - gradW + f . dt 2 p

С учётом выражения для абсолютного вихря

П' = П + 2ю 0, получим

dc c 2 1

— + grad--[cQ'] =--gradp - gradW + f . (3)

dt 2 p

Взяв ротор с обеих частей выражения (3), найдем

дП' г п ( 1 I

--rot[c n'] = -rot — gradp - rot gradW + rotf™,.

dt \P )

5й' г i

Так как rot grad W = 0 , то--rot [cfl'] =

dt

= - rot (—grad p ) + rot f тр .

Полученное уравнение является уравнением абсолютного вихря. Преобразуем первое слагаемое правой части последнего выражения:

rotl —gradp I = — rotgradp —[gradp,gradp] =

-1- [gradp, gradp].

P

P

Тогда уравнение абсолютного вихря получаем в виде - rotjcfi'] = -1-[gradp, gradp] + rotf .

dt

P

P

P

Из полученного уравнения абсолютного вихря мы можем сделать вывод, что причинами возникновения мощных вихревых процессов являются следующие факторы:

- адвекция вихря;

- бароклинность, которой соответствует член выражения —1— [gradp, gradp]: возникает как в нижних,

Р

так и в верхних слоях атмосферы;

- ротор силы трения, которая влияет на возникновение вихря только в приземных слоях атмосферы -гой^,.

Таким образом, движение воздуха может быть безвихревым, но в то же время цикличным (вращательным). В частности, силы инерции не вошли в уравнение вихря, но они могут быть причиной возникновения вращательных движений в атмосфере.

В заключение выражаем благодарность д.ф.-м.н. Р.Г. Закиняну, под научным руководством которого выполнена данная работа.

Литература

1. Матвеев Л.Т. Физика атмосферы. СПб., 2000. 779 с.

2. Матвеев Л.Т. Теория общей циркуляции атмосферы и климата Земли. Л., 1991. 295 с.

Поступила в редакцию

19 августа 2009 г.