Анализ динамики ротационных приводов производственных машин Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62-82:655

А. Е. ВОРОНОВ

Омский государственный технический университет

АНАЛИЗ ДИНАМИКИ РОТАЦИОННЫХ ПРИВОДОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН

Статья посвящена рассмотрению динамических явлений в приводах машин, в которых технологически связанные рабочие органы приводятся в движение от индивидуальных электродвигателей.

Ключевые слова: динамика, привод индивидуальные электродвигатели, печатный аппарат.

В статье поставлена задача определить, как в технологических машинах обеспечить заданную технологическим процессом синхронизацию рабочих органов. получающих движение от индивидуальных электродвигателей. Решение такой задачи актуально для машин разного назначения. Схемы некоторых из них приводятся на рис. 1 -3.

Так, на рис. 1 изображена схема привода двухбарабанного ленточного транспортера посредством индивидуальных двигателей 1.

Здесь в роли элемента, синхронизирующего частоты вращения барабанов, выступает лента 3, которая может удлиниться или укоротиться в пределах свойства упругости материала или проскользнуть по поверхностям приводящих шкивов. В качестве основного критерия работоспособности этого привода выступает срок службы ленты до достижения ею предельной вытяжки или до разрушения.

На рис. 2 представлена схема привода грузовых барабанов 4 от двух независимых двигателей. Здесь рассогласование вращения барабанов компенсируется за счет зубчатых венцов 3. Они первыми воспринимают на себя динамические нагрузки, возникающие в ветвях привода вследствие естественных различий в законах изменения движущих моментов двигателей 1. В этом случае критериями для расчета предельного рассогласования являются условия прочности или жесткости элементов привода, определяющие срок службы привода.

На рис. 3 рассматривается схема индивидуального привода двух последовательных ротационных печатных анпаратов(рабочих органов), с помощью которых наносятся изображения на проводимую цилиндрами без проскальзывания бумажную ленту. Рассогласованность рабочих органов в этом приводе становится причиной изменения натяжения ленты, а поэтому - изменение качества наносимых на неё изображений. Накладывала, друг на друга при последовательном впечатывании красок, они полностью не совпадают и образуют дефект печати, называемый непрнводкой. Допустимая величина дефекта [8}£0,05 мм. Её обеспечение требует высокой степени согласованности вращения цилиндров. В данной схеме привода она достигается за счет использования системы автоматического регулирования (САР) движением цилиндров. В качестве дополнительного синхронизатора здесь выступает и бумажная лента.

Анализируя три вышеприведенные схемы, приходим к выводу, что наиболее жесткие условия накладываются на систему привода печатных аппаратов. Поэтому далее необходимо изучить динамические явления в этом случае. Решение задачи актуально при

выборе, обслуживании и эксплуатации в типографиях рулонных печатных машин.

Для рассмотрения возникающих динамических явлений используем следующую математическую модель, |3|, записанную в неявном виде (такая ({юрма записи даёт возможность более наглядно представить сущность происходящих в приводе взаимодействий):

-М, -А/Л = Щ +Св(<о,(3,-яИ1|), (|'= 1,2): (1)

Ф,=^01[\-у,(М^ + Т,М„)]. (/= 1,2); (2)

Рис. (.Схема приводного механизма двухбарабанного привода ленточного конвейера |І|: I - электродвигатели; 2 - редукторы; 3 - лента; ПБ - приводной ба рабан

Рис. 2. Механизм главного подъема литейного крана (2):

1 - электродвигатели: 2 - редукторы; 3 - зубчатые венцы; 4 - грузовые барабаны

Рнс. 3. Схем» индивидуального привода двух последовательных аппаратов |3]:

ТГ - тахогенератор; ЭД - электродвигатель; ПЛ - печатный аппарат; БД - бумажная лента; СЛР - система автоматического регулирования

-I

1

25

20

15

10

У ч 2.

/

О, А С

7

6

5

4

•1

Ь2. с 23

22

О

оА

8

6

4

2

О 02 06 10 Сд10'\Нм 0 06 10 /4

о)

-/

Ь2.с

-/

6)

--

.і

б)

V

\

'Чг

\

а2.о,.с_

4 3 2 1

г)

у. л

V

...

01 02 03 01 ТгТ2.с 0 02 04

д) е)

06

т. с

Рис. 4. Графики зависимостей корней характеристического уравнения от параметров системы; I - с учетом времени Т,2 - без учета времени Т,,

гдек( - коэффициенты снижения натяжения ленты на последующих участках её проводки по отношению к предыдущим как указано на эпюре натяжения ленты (рис. 3); ф, - углы поворота цилиндров; Св-крутильная жесткость, создаваемая бумажной лентой; й>л, V, - скорости идеального холостого хода и коэффициенты крутизны статической характеристики двигателей; ул = ^-Еа'Ьд - коэффициент, характеризующий свойства бумаги и её геометрические характеристики: модуль упругости, ширина и

толщина бумажной ленты; г = ~ 1 Остальные

обозначения указаны на рис. 3.

В системе уравнений (I) - (3) уравнения (1) описывают динамику движения цилиндров в ПА 1,2; уравнения (2) - динамические характеристики ЭД1.2; уравнения (3) - изменения натяжения ленты. В нерегулируемой системе привода все элементы создают возможность изменения частот вращения ведущей и ведомой печатных пар.

Условие синхронизации вращения цилиндров обеспечивается САР, в составе которой принято апериодическое звено 1-го порядка. Математическое выражение условия в операторном виде будет таким [4|:

г„+1

L-^.И-12), 14!

‘m2

С,Ф,

где /с,' - коэффициенты усиления сигналов в тахогенераторах;кр, Т - коэффициент усиления и постоянная времени САР, С,. Ф, — конструктивные постоянные и магнитные потоки в роторах двигателей.

Условие (4) есть выражение передаточной функции, определяемой как отношение выходных сигналов звеньев САР 1^ к входным сигналам звеньев 1^. Техническая реализация этого условия направлена на обеспечение синхронизации вращения печатных пар в заданных пределах.

Решаемые совместно, уравнения (1) - (4) позволяют сформулировать условия работоспособности исследуемой схемы привода по критериям синхронизации движения.

Приведем алгоритм получения конечного результата. Вначале получено характеристическое уравнение матмодели вида:

фики изменения численных значений корней характеристического уравнения при изменении численных значений параметров исследуемой системы.

По полученным данным сделаны следующие выводы:

- основная частота Ьг крутильных колебаний зависит от жесткости Сп и моментов инерции цилиндров 1,2, влияние остальных параметров пренебрежимо мало;

- первая частота Ь, крутильных колебаний появляется вследствие взаимодействия электродинамических явлений в двигателях и зависит в первую очередь от коэффициента V, а также от времени Т,, и моментов инерции I, г;

- действительные корни а, и а7 являются функциями времени: а, - времени Т, 3, а, - времени т. Меньшие значения времени повышают численные значения корней.

С целыоустановления аналитических выражений корней характеристического уравнения било сделано допущение. чтоТ, = Т;->0, т.е. по условию физики характеристики двигателей приняты статическими. В этом случае уравнение (5) преобразуется в уравнение пятой степени, в котором так же ро = 0. Оставшиеся

Р(р) "P-lP^ + ej^+a^ + a^' + a^ + ajP + a^ (5) корни оказались смешанными, т.е. р,=а,‘; рг = а

где а((| = 0,...,5) - коэффициенты, зависящие от параметров системы.

Уравнение (5) имеет семь корней, а именно: р0“0; р, = а,; р,=а,; р^-с.йЬ,; рад-с*ЙЬ*

Это установлено поданным численных расчетов на ЭВМ корней данного уравнения по принятым ис-ходным данным (табл. 1).

На основании расчетов на рис. 4 изображены гра-

р,, = с ±1Ь Для них. используя теорему Виета. (5|. получены следующие аналитические выражения:

/с,-г, h /,

= А, - о,;

Ijl. 1 1 ^ 1

■ —, — = — н—, г /|2 /, 1,

(6)

(7)

Результаты расчета корней характеристического уравнения (5)

Таблица I

№ п/п Переменная величина ". °2 С\ С2 Ь>

С -1

1 2 3 4 5 6 7 8

1. Сб «0,2 Нм -7.84 1.72 -5 5 -1.22 12.11

2 Сб «0,6 Н м •8.88 -1.9 -5 5 -0.61 18.83

3. Сб п |,4 Нм •9.42 -1.96 -5 5 -0.31 27,56

4. у-0,6 10”3 1 /Нм -9.12 -1.82 -5.02 6.73 -0.51 23.87

5. V = 10"3 1 /Нм -9.24 -1.94 -5 5 -0.41 23.62

6. у = 1,4 10”3 1 /Нм -9.33 -2.06 -4.33 4.01 -0.37 23.51

7. 2 /! » 3.8 кг ■ м -9.23 -1.94 -5.01 5.16 -0.41 23.87

8 2 /| ■ 4.4 кг ■ м -9.24 -1.95 -4.98 4.7 -0.42 23.18

9. 2 /| ■ 4.8 кг ■ м -9.24 -1.96 -4.37 4.41 -0,43 22.82

10. г ■ 0.2 с -9.3 -4.64 -5 5 -0.53 24.07

11. г - 0.4 с -9.24 -2.41 -5 5 -0.42 23.69

12. г • 0.6 с -9.23 -1.63 •5 5 -0.4 23.56

13. 7*1 2 ■ 0.1 с -9.24 -1.94 -5 5 -0.41 23.62

14. 7"| 2 3 0.3 с -3.24 -1.94 -1.67 3.73 •0.08 23.05

15. Т 1.2 ■ 0.5 с -2 -1.91 -1 3 -0.05 22.91

Исходные данные:

I,-I,- 4кгм’Св- Ю’Н-м, v — 10 1 I/Hm.v.,-6 JO’Hc.k.-O.IS.kj-0.2.Г - 0.1 м.ю - 50с', Т,-Т,-0.1 с

с.

06

08

Ю

1?

к Ю'\ 1/Нм

Фц{!\с'

Рис. 5. Графики зависимости с ■ Г,(у)исв (,(о>)

<МОЮ-\с‘|

а)

б)

Рис. 0. Сравнительные графики (I)

где

* * * л 1

А,^В)а,Л.В:

(8)

19)

1 +-1

У*1*____ъЬ-- 1 - 1

± + _1 У, К*>А

Аз Г|Г2сл

(10)

На приводимых графиках, рис. 4, показаны в виде кривых 2 изменения корней уравнения для этого случая. Из них следует, что расхождения в величинах незначительны, но первый комплексный корень преобразуется в дна действительных. Значит, при Т, = Тг = 0 связь между электродинамическими явлениями в двигателях нарушается.

Особое значение имеют формулы (6) - (9). Они позволяют без решения характеристического уравнения производить расчет и анализ корней и устанавливать, от каких именно параметров в наибольшей степени они зависят:

- собственная частота основных колебаний Ь‘ зависит только от жесткости Сл и инерционного по*

I

казателя —; м»

- оставшиеся корни имеют существен ную зависимость от параметров двигателей V .со ,1 и времени т. В самом деле, можно убедиться, что в формуле

для «В» слагаемое —в знаменателе пренебре-

ЛГгСв

1

жимо мало в сравнении с —, поэтому при у, = уг = у

я 1 - 1 11

у~ I .х,. (и • В подтверждение этого вывода приводим графики (рис.5) в дополнение к графикам на рис. 4 б,е.

Кроме того, по данным табл. 1 дополнительно можно убедиться, что значения корней агг и с’ от жесткости С„ не зависят.

Наряду с анализом характеристического уравнения на основании разработанной модели, состоящей из уравнений (1) - (3) и условия (4), получено выражение, позволяющее выявить способность исследуемой схемы привода к реализации технологических требований. Выражение имеет следующий вид

(#» -ФГ )-М) -ГрЬ'11/, /,

ег,51пЬ1+е т' -I +«а(0

где

(м? М1

I ' ~ I,.

е0*'-!

——БШЬ I +

Ь а

(12)

Оценка этой способности, приводимая ниже, сводится к тому, чтобы рассчитать на выходе системы регулирования наибольшую разность частот вращения печатных пар ф'ш и , ведущих ленту, при которой будет обеспечено допустимое значение дефекта печати [в].

В качестве внешних возмущений в формулах (11) и (12) приняты внезапно приложенные к обеим печатным парам технологические моменты амплитудой М“ и М“, возникающие вследствие прилипания бумаги или при перестановке приводочных валиков внезапной силы Р". Закон отработки этих возмущений зависит от значений коэффициента усиления к(1 и постоянной времени Тр регулятора САР.

В последующих расчетах принято, что внезапная сила Е,° прикладывается к ленте перед первой печатной парой, что создает на него возмущающий момент М,° ■ Е°г, при этом М“ = 0. Параметры С, Ф. V и а) двигателей здесь приняты одинаковыми, а динамические свойства системы привода характеризуются значениями аи, Ь’ и с‘, т.е. получены как решения характеристического уравнения (6) - (9).

На рис. 6а,б изображены сравнительные графики Фл(1) при указанных в табл. 1 исходных данных для двух вариантов коэффициентов V крутизны статической характеристики двигателей у’» 10* 1/Н м и у" =5- Ю М/Н м.

При принятых параметрах в обоих вариантах частота колебаний одинакова и равна Ь' = 23 с'1, а другие характеристики а\3 и с’ и размах колебаний очевидны из рис. 6. Значит, большее значение крутизны наклона характеристики двигателей 10 г 1/Н м приводит к увеличению размаха колебаний $,,(/)• Наибольшее значение размаха колебаний в первом варианте 1,7-102 с'\ а во втором 1,6 102 с 1.

Отсюда следует, что с помощью полученной зависимости (11) назначение параметров привода и САР можно обосновать путем расчета, так, чтобы рассогласование <£»Л(0 цилиндров печатных пар находилось в заранее заданных пределах.

Допустимость пределов связана с требованиями заказчика к качеству многоцветной печатной продукции. Например, если дефект печати |.ч| не должен превышать 0,05 мм, то и удлинение ленты Д1. в результате рассогласования ограничено этим значением, т.е.:

ЕтЬ8

ф] = 510л(м).

(13)

Отсюда двойная амплитуда изменения натяжения ленты

РТ'=^Е.Ъ 6- (14)

Ш

I

Принимая Ц» 1м. Ей»0.410,0Па. Ь = 1м,5= 10 \ч,

С.1Л-4

получим г;™* = £_1г_ .0.4-1010 -10'4 =20 И .

Максимальное рассогласование на основании формулы (3) будет равно:

• ПЬ»1

<Ъ\

Я™* У гЕаЪ-8

(15)

Пусть V = 5 м/с, г = 0.1 м. тогда:

20-5

0,1 0,4 10е

г5 \0^ с*'

Пугем подстановки выражения (14) в формулу (15) можно убедиться, что рассогласование ф,,(0 не зависит от свойств бумаги.

Сравнивая полученное численное значение *2,5-10'3 с*1 с графиками (рис. 6а,б), убеждаемся, что требуемое условие реально может быть отработано САР, в технической системе с параметрами, соответствующими рис. 66. Это подтверждает её способность к обеспечению пределов дефекта печати (8)50,05 мм.

Для машин другого назначения (рис. 1. 2) должно быть выполнено аналогичное исследование с учетом требований по синхронизации движения отдельных ветвей привода.

Библиографический список

1. Спиваковский. А.О. Транспортирующие машины / А.О. Спиваконский. В.А. Дьячков. - М. : Машиностроение, 1983. - 487 с.

2. Фотнев. М.М. Электропривод и электрооборудование металлургических и литейных цехов / М.М. Фо* тиев. - М. : Металлургия. 1983. - 288 с.

3. Воронов. А.Е. Механическая система приводов ротационных машин. Исследование, расчет, проектирование / А.Е. Воронов. Е.А. Воронов. Е.Н. Гусак. -Омск Изд-во ОмГТУ. 2008. - 116 с.

4 Клюев, А.С. Автоматическое регулирование / А С. Клюев. - М. : Высшая школа, 1986. - 351с.

5. Бронштейн. И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М. : Машгиз. 1986. -608 с.

ВОРОНОВ Артём Евгеньевич, аспирант кафелры «Теория механизмов и машин.

Дата поступления статьи в редакцию: 02.03.2009 г.

Ф Воронов А.Е.

оме* и А научный метни* т 1 оп. гео» илшмиосткхим и