CC BY
12
Лиература
1. Система проектно! документацй для буд1вництва. Основш вимоги до проектно! та робочо! документации Загальш положення: ДСТУ Б А.2.4-4:2009. - [Чинний вщ 2010-01-01]. - К.: Мшрепонбуд Укра!ни, 2009. - IV, 57 с. - (Нацюнальний стандарт Укра-!ни).
2. Васильков, В.Г. Оргашзащя виробництва / В.Г.Васильков [навч. поабник]. - К.: КНЕУ, 2005. - 524 с.
3. Красс, М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом анализе: Учебник. - 3-е изд., исп. - М.: Дело, 2002. - 688 с.
4. Производственный менеджмент: [учеб. для вузов] / [Ильенкова С.Д. , Бандурин А.В., Горбовцов Г.Я. и др.]; под ред. С.Д. Ильенковой. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 580 с.
5. Чейз, Р.Б. Производственный и операционный менеджмент / Р.Б.Чейз, Н.Дж.Эквилайн, Р.Ф.Якобс, 8-е изд. - М.: Изд. дом "Вильямс", 2004. - 704 с.
Abstract
Obviously, the quality standard of designed product depends on quality and optimality standard of designing decisions, made by the participant of designing process concerning the specific object, specificity and adjustment of mathematical apparatus, which helps to evaluate such optimality. The article suggests an approach to the estimation of quality optimum level of designed product by means of integrated quality indices of the taken designing decisions, taking into account designing specialization. The application of the suggested mathematical apparatus helps to form the development plan of design documentation (design decisions plan). Its application allows achieving the optimum quality level of designed product. Such approach to the estimation of the quality of designed product, with a glance of integrated quality indices of designed decisions making, provides the realization of the main requirement of the State Standard ISO 9001:2009 concerning the permanent improvement of the quality of designed product. It also helps to take into consideration the specificity and differences of each designing decision according to the sections of design documentation
Keywords: quality, designed product, traffic problem
В обробц металiв тиском мае м^це дина-мiчнi задачi теори пружностi та пластичностi. Знайдено аналтичне ршення хвилевого рiвняння теори пружностi. Показано, що помiж аргументами тригонометричних функцш е стввидношення в диференцшнш формi. Це розширюе можливостi ршення, не обмежуючи аргумент функци лтшною залежтстю
Ключовi слова: обробка металiв тиском, теорiя
пружностi, динамiчна задача, гармоншна функщя □-□
В обработке металлов давлением имеют место динамические задачи теории упругости и пластичности. Получено аналитическое решение волнового уравнения теории упругости. Показано, что между аргументами тригонометрических функций существует соответствие в дифференциальной форме. Это расширяет возможности решения, не ограничивая аргумент функции линейной зависимостью
Ключевые слова: обработка металлов давлением, теория упругости, динамическая задача, гармоническая функция -□ □-
УДК 539.37
АНАЛ1ТИЧНЕ Р1ШЕННЯ ХВИЛЕВОГО Р1ВНЯННЯ ТЕОРИ ПРУЖНОСТ1 В ОБРОБЦ1 МЕТАЛ1В ТИСКОМ
С. П . Ш е й к о
Докторант, кандидат техычних наук, доцент Кафедра обробки металiв тиском Запорiзький нацюнальний техшчний уыверситет вул. Жуковського, 64, м. Запорiжжя, УкраТна,
69063
Контактний тел.: 093-029-22-23 E-mail: sheyko.s@mail.ru
1. Вступ
В процесах обробки металiв тиском досить часто доводиться стикатися з динамiчними задачами, яю
впливають на параметри процесу та яюсть готово! продукцп. До них можна вщнести висадку болпв на горизонтально-кувальних машинах, коли пластична деформащя поширюеться уздовж стержня не миттево,
©
утворюючи потовщення у видаленiй його частиш. Та-кож штампування складних тонкостшних виробiв на устаткуваннi iз зб^ьшеною швидкiстю перемiщення верхнього пуансона, Hasendever (ФРН). За даними роботи [1] знижуеться пружна деформацiя мехашч-но1 системи, i на 1.25 мм вдаеться отримати товщину тонкостiнноi частини менше. Пояснюеться це тим, що пружна деформацiя системи вiдбуваеться в чась Якщо пластичне формозмiнення у осередку деформацп реа-лiзуеться швидше, нiж пружна деформацiя системи, то слщ чекати, зменшення промiжку мiж бойками, отже, зменшення товщини виробу.
Використовуючи такий процес практично, можна добитися збшьшення точносп штампування, звужен-ня поля допусюв. Довести це цiкаве явище теоретично можна тод^ коли буде вщпрацьована математична модель запропонованоi динамiчноi задачи, коли можна зштавити процеси в чаи для пластичноi i пружноi деформацii.
2. Аналiз лкературних даних i постановка проблеми
Вщомий широкий круг завдань механiки, який зво-диться до рiшення хвилевого рiвняння [2-5]:
4. Основна частина дослщжень
Э2и 2 Э2и
at2
Эх2
u = C -Sine- SinAФ,
(ett - a2 exx)-Cose-SinAФ + 2 (etАФt - а2ехАФх) Cose - ^АФ + +(АФЙ - a2 АФxx) - Sine - ^АФ = 0 .
„ ae _ эаф .
де e=—, АФ =- i так дал1.
t at x Эх
3. Мета роботи
Розглянемо спрощуючи вар1анти р1шення р1внян-ня (3). 1х дек1лька:
1-ий вар1ант
et = -аАФх , АФt = -aex ;
2-ий вар1ант
et = aАФx , АФt = aex ;
3-ий вар1ант
et = -aАФx , АФt = aex ;
4-ий вар1ант
et = aАФx , АФt = -aex .
П1дставляючи перш1 два вар1анту в р1вняння (3) отримаемо
(ett - a2 -exx )-Cose-s^+ 2 (et АФt - a2ex АФx) Cose - ^АФ + +(АФа - a2 АФxx) - Sine - ^АФ = 0 .
(1)
Зокрема, рiвняння такого виду описують пружнi подовжнi, крутячi, поперечнi коливання стержшв i так далi.
Рiвняння (1) вiдноситься до рiвнянь гiперболiч-ного типу. Рiшення такого типу рiвнянь неоднорщ-них, складнiших, в аналиичному видi представленi в роботах [6-8]. Скористаемося тдходами, сформу-льованими в цих роботах, i запишемо досить просту залежнiсть:
(2)
де C 1 А - пост1йн1, характеризуючи процес; e,Ф - нев1дом1 функцп часу 1 координати.
Функцп e, Ф - безперервн1, мають друг1 пох1дн1 за часом 1 в1дпов1дн1й координат1.
Шдставимо вираження (2) в р1вняння (1), п1сля в1дпов1дних перетворень отримаемо р1вняння (1) у вид1
Рiвняння (3) перетвориться на тотожшсть, якщо оператори, що стоять в дужках перед тригонометрич-ними функщями перетворяться на нулi. Згiдно з ва-рiантами 1 i 2 з'явилися спрощення в (3) з першими похщними. Розглянемо другi похщш, використовуючи записи варiантiв 1 i 2:
1-ий варiант
ей = -аАфх1, Аф й = -аех1,
е^ = -аАФхх , АФь =-аехх,
2-ий варiант
= ^х^ АФ * = ае^
е^ = аАФхх, АФ(х = аехх.
З цього виходить
ett - a2 -exx = 0; ^t - a2ex АФx = 0;
АФ,, - a2АФxx = 0.
(4)
(3)
Метою роботи е отримання аналиичного рiшення хвилевого рiвняння теорii пружностi при розглядi ди-намiчноi задачi в обробцi металiв тиском.
У справедливост1 вираз1в (4) можна переконатися, п1дставляючи друг1 пох1дн1. У р1зних поеднаннях дужки, що стоять перед тригонометричними функц1ями в р1внянн1 (3) перетворюються на нул1.
Д1йсно,
((^Ф^) - (+зАФtx)) - Cose - SinАФ +
2 ((+зАФx АФ|;) - a (+АФt) АФx) Cose - CosАФ +
+((+aext )-(+ae^ ))-Sine-= 0.
Отже, р1шення р1вняння (1) мае вигляд
u = C - Sine -SinАФ ,
при
е, = +аАФх , АФ, = +аех,
(8)
е, = +аАФ АФ, = +аех.
(5)
Слiд пiдкреслити, що умова (5) визначае не сам вид функцп, що задовольняе рiвнянню (1), а обмеження, якi накладаються на функцii.
Варiанти 3 i 4 не забезпечуються необхiдними спрощеннями при пiдстановцi залежност (5) в (1), з чого виходить, що (5) при наступних допущеннях е, = -аАФх , АФ, = аех i е, = аАФх, АФ, = -аех не е рь шенням рiвняння (1). Слщ пiдкреслити, що функцii е i АФ одночасно кожна можуть залежати i вiд часу i вщ координати осередку деформацii.
На базi отриманого результату рiшення можна представити в б^ьш складнiшому видi
и = С0 ■(С^ш0 + С2^е)(С^тАФ + С4^АФ)., (6)
Пiдставляючи (6) в (1) i групуючи, з'являються оператори, яю були отриманi ранiше (4):
(са (е,, - а2ехх) - С2С4 (АФ,, - а2АФхх) -
-2С1С4 (е,АФ, - а2ВхАФх) - С2С3 [(е, + а ■ АФх) ■ (е, - а ■ АФх)+
+(АФ, + аех)(АФ, - аех)]} Cosе ■ SinАФ +
+ (се [(е, + а ■АФх) ■ (е, - а ■АФх) + (АФ, + абх) (АФ, - абх)] -
-2С2С4 (е,АФ, - а2ехАФх) + С1С4 (АФ,, - а2 АФхх) + (7)
+С2С3 (е,, - а2ехх)} Sinе ■ 81пАФ + (2С1С3 (е,АФ, - а\АФх) -
-С2С4 [(е, + а ■АФх) ■ (е, - а ■АФх) + (АФ, + абх)(АФ, - абх)] +
+С1С4 (е,, - а2ехх) + С2С3 (АФ,, - а2 АФхх)} ■ Сове ■ CosАФ +
+(сс (е,, - а2ехх)- С2С4 (е,, - а2еП )--С1С4 [(е, + а ■ АФ х) ■ (е, - а ■АФх) + (АФ, + абх)(АФ, - абх)] --2С2С3 (е,АФ, - а2ехАФх)} Sinе ■ ^АФ = 0 .
В процеа перетворень в рiвняннi (7) з'являються и ж спiввiдношення (4), що i в рiвняннi (3). Це, незважа-ючи на рiзнi поеднання, знову введених коефвденпв, i тригонометричних функцш.
Таким чином, рiшення (6) задовольнятиме рiв-няння (1) за умови, коли мають мiсце ввдношення мiж функцiями виду:
е, = +аАФ х, АФ, = +аех.
1з спiввiдношень (4) маемо диференщальш рiвнян-ня в приватних похщних, де дозволяючими функщя-ми будуть функцп, що вводяться в розгляд е i АФ . Щ рiвняння по конструкцii i типу вщповщають рiвнянню (1). З урахуванням останшх зауважень для (1) маемо
и = С0 ■ (С^те + C2Cosе) ■ (С^тАФ + С4^АФ),
е,, - а2 ■ехх = 0; АФ,, - а2 АФхх = 0.
З облжом (8) невизначешсть для функцш е i АФ лжвщована, оскiльки iснують диференцiальнi рiвнян-ня, що дозволяють цi функцп знайти. Один з варiантiв може бути отриманий у разi простого ршення гшербо-лiчного рiвняння для АФ, АФ,, -а2АФхх = 0, тобто
АФ = А ■ х ■, .
При цьому
е, = а■ А■,, а ех = А-х.
1нтегруючи, отримаемо а ■ ^ х2
е = А—+^х), е = А—+f(t),
2 2а
або
е = ■ А
2
а ■ Г + — а
Слiд переконатися, задовольняе функцiя е гшер-
болiчному рiвнянню е,, - а2 е = 0. Шсля пiдстановки
,, 2хх 1
мае мiсце тотожнiсть Аа - а А- = 0. При цьому не
а
виключаеться, що приведеним вище стввщношенням задовольняються рiшення отриманi методом розподь ли змiнних.
З представленого приватного ршення видно, що аргументи тригонометричних функцш не е функщею пльки одного змiнного. Кожна залежить одночасно ввд часу i координати, але щ функцii рiзнi i визначаються спiввiдношеннями (5) або (8) i не е лiнiйними.
Враховуючи, що хвилеве рiвняння лiнiйне, оста-точний результат можна представити у виглядi супер-позицii рiшень
и = Ё С10 ■ (С^те, + С^^е,) ■ (С^тА.Ф, + С^^Аф),
1=1
01,,, = +аА,Ф1х, А1Ф1,, = +ае1х, (9)
е,д - а2 Ахх = 0; АФ, ,, - а2АФ,,хх = 0.
Рiшення (8), (9) можна привести до вже вщомих рiшень, якi викладенi в робоп [3]. Використовуючи метод розпод^у змiнних, отримано вираження ип :
ип =1 АпСо^—р ■ а, + В^т—р- ■ а, р ■ х. (10)
Встановимо вiдповiднiсть коефвденив в рiшеннях (8) i (10) i визначимо спiввiдношення мiж функцiями. Очевидно
п ■ п
С2 =Вп, С1 = Ап, е = —■ а,, п ■ п
АФ = —х, С0 = 1, С4 = 0.
Тодi з урахуванням спрощень маемо ип = (Ап^е + BnSinе) ■ SinАФ .
Покажемо, що мiж функцiями, приведеними в робой [3], шнують спiввiдношення виду (5), (6) i (8).
2
Дшсно
п ■ n п ■ n
et = — ■ a, АФх = — , АФ, = 0, 0x = 0.
Пiдставляючи в спiввiдношення et = +яАФ x, АФ, = +aex,
переконуемося, що вони задоволеш, мають вигляд
™ ■ a = a-ПЕ , 0 = a ■ 0. 1 1
_ ... „ п^ n . А п^ n
Функцil e^—j—■ at i АФ = —— ■ x задовольняють
гармонiйним диференцiальним рiвнянням (8)
ett - a2 ■exx = 0; АФ,, - a2АФxx = 0.
Таким чином, функцп у вираженш (10) задоволь-няе вказаним стввщношенням функцiй представле-них в ршеннях (8) i е часткою рiшення.
Слiд пiдкреслити, що в ршеннях (8), (9) визна-чаеться не вид самих функцш, яю задовольняють хвилеве рiвняння, а умови шнування цих функцiй,
що формулюе загальнi пiдходи отримання шуканого ршення.
При пропонованiй постановцi i ршенш з'являеться можливiсть розширення круга виршуваних завдань за рахунок бiльшо'l рiзноманiтностi граничних i по-чаткових умов.
5. Висновки
1. У обробщ металiв тиском мають мшце рiз-номанiтнi динамiчнi завдання, що вимагають свого ршення.
2. Отримано аналiтичне приватне ршення хвиле-вого рiвняння.
3. Визначеш умови iснування функцiй, що вхо-дять в рiшення задачi.
3. Залежносш аргументiв тригонометричних функцiй рiзнi i визначаються одночасно двома змш-ними, часом i координатою, задовольняючи при цьо-му приведеним умовам iснування даних функцш.
4. Умови шнування функцш що входять в запро-поноване ршення задачi, задоволенi вже вщомими виразами, отриманих методом розподiлу змшних.
Лiтература
1. Норицин, И.А. Проектирование кузнечных и холодноштамповочных цехов и заводов [Текст] / И.А. Норицин. - М.: Высшая школа, 1977. - 422 с.
2. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний и удара [Текст] / Я.Г. Пановко. - Л.: Машиностроение, 1976. - 320 с.
3. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука. 1966. - 724 с.
4. Бабанов И.М. Теория колебаний [Текст] / И.М. Бабанов. - М.: Наука. 1968. - 560 с.
5. Бронштейн, И.М. Справочник по математике [Текст] / И.М. Бронштейн, К.Л. Семендяев. - М.: Наука. 1964. - 608 с.
6. Чигиринский, В.В. Метод решения задач теории пластичности с использованием гармонических функций [Текст] / В.В. Чигиринский // Изв вузов. Черная металлургия. - 2009. - №5. - С. 11-16.
7. Чигиринский, В.В. Новый метод решения задач теории пластичности [Текст] / В.В. Чигиринский // Новые материалы и технологии в металлургии и машиностроении. -Запорожье, 2008. - №1. - С. 57-62.
8. Chygyrynskiy V.V. The Influence of the Temperature Factor on Deformability of the Plastic Medium [Text] / V.V. Chygyrynskiy, I. Mamuzic, F.Vodopivec, I.V. Gordienko // Metalurgija. - Zagreb, 2006. - Vol.45, br.2. - P.115-118.
Abstract
The dynamical problems of the elasticity and plasticity theories occur in the process of metal forming. In the article, an analytical solution of the wave equation of the elasticity was obtained. The differential relations, converting the wave equation into an identity, were obtained, using the product of trigonometric functions with arguments, defined by time and space variables. The conditions of solutions, which are different from the solution, obtained by the method of separation of variables, are described. The arguments of function can be nonlinear dependences from the variables. The restrictions were imposed on the function arguments, suggesting that the latter may have different order, just to satisfy the conditions of solutions. Another peculiarity of the solution is the presence of two simultaneous variables in expressions of arguments. It was shown that between the arguments of trigonometric functions there is a correspondence in differential form. This expands possibilities of the solution, not limiting the argument of function by linear dependence. The suggested solution accommodates well-known solutions, and is considered more general in comparison with the expressions obtained by the method of separation of variables. This allows expanding of the range of dynamic problems for the account of greater variety of boundary and initial conditions.
Keywords: metal forming, elasticity theory, dynamic problem, harmonic function
