CC BY
32
УДК 517.925
А.С. Розов, В.Б. Байбурин, В.В. Муллин
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДОВ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ В РЕЖИМЕ БОЛЬШИХ АМПЛИТУД
Получены приближенные аналитические решения для циклоидальных траекторий зарядов в скрещенных полях в режиме больших амплитуд и проведено сравнение их с данными численных решений.
Скрещенные поля, уравнения движения
A.S. Rozov, V.B. Baiburin, V.V. Mullin
ANALYTICAL SOLUTION FOR EQUATIONS OF CHARGE MOTION IN CROSS FIELDS
UNDER LARGE AMPLITUDE MODES
Approximate analytical solutions have been obtained for the cycloidal trajectories of charges in cross fields under large amplitude modes, and have been compared with the data of numerical solutions.
Cross fields, motion equations
Особенности траекторий зарядов, как правило, определяют характеристики приборов и устройств со скрещенными электрическими и магнитными полями. Проблема расчёта и анализа этих траекторий всегда остаётся актуальной для теории и практики отмеченных систем. При этом строгие аналитические решения для циклоидальных траекторий были получены лишь в случае постоянных во времени и однородных в пространстве электрических и магнитных полей (статический режим) [1, 2].
Трудности получения аналитических решений при рассмотрении переменных полей привели к отказу от учёта циклоидальности и использованию адиабатических решений и приближений [3, 4]. Вместе с тем развитие вычислительной техники дало возможность рассчитывать циклоидальные траектории в самых различных режимах, включая режимы больших амплитуд [5]. Эти результаты не снижают роли аналитических решений, необходимых как для более глубокого понимания протекающих процессов, так и для проверки вычислительных схем.
В данной работе получены приближенные аналитические решения для циклоидальных траекторий зарядов в скрещенных полях в режиме больших амплитуд и проведено сравнение их с данными численных решений.
В основе анализа лежит система уравнений движений зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях:
у = ПЕу х
(1)
х = цЕх + ^ у
где Ех, Е - составляющие электрического поля (в общем случае переменные в пространстве и времени), ^ = Т]Б0 - циклотронная частота, Ц = - отношение заряда частицы к его массе, Б0 — ин-
то
дукция магнитного поля.
Анализ проводился применительно к схеме плоского магнетрона изображённой на рис. 1. Где й - расстояние катод-анод, Ь - период резонаторной системы, к - ширина щели резонатора, Е0 — постоянное поле.
Рис. 1. Схематичное изображение плоского магнетрона
Для Еу, Ех в общем случае можно записать [4]:
Ш - вх)еву
(2)
Ey _ E0 + E1 cos(&t - fix)ee
Ех = Е^іиХ* -вх)еву
где Е1 - амплитуда высокочастотного поля на поверхности электронной втулки, х = 2п[ - круговая
Й п
частота переменного поля, р = — - постоянная распространения.
Перейдём к движущейся вместе с волной системе отсчёта, обозначив
У = ву
0 = х (3)
X =®-Рх
Тогда систему уравнений (1) можно представить в виде
1 й2 X йУ Ех
b d©2 d© E 00
1 _ E0 - E00 +
b d©2 d© E00 E00
B0^ Y Y . Q
где E00 _ в ~ синхронное поле, EX _ E1 e cos X EY _ E1e sin X b _ —
(4)
Проинтегрировав первое уравнение системы (4), получим
— = ЬУ + Ь . (5)
й® •* Е00
Используя выражение (5), второе уравнение системы (4) можно представить в виде
1 d Y + bY+bf Ele cos(X)d©_ fq-fqq + Ele sin(X). (б)
J 77 77 77
b d®2 J F F F
b F00 F00 F00
Отбросив в системе (4) ускорительные члены и приняв Е0 = Е00, получим e-y =| sin X I. Подставив эту зависимость в (6), получим
1 d2Yi tFie41 - e-2^ £0 - F00 , Fi
ГЕ1й VI — в 1 Е0 — Е00 Е, ч
М— -----------й® = -(-0-------^ + —). (7)
Ь2 й®2 •• Е Ь Е Е
Ь й© Е°° Ь Е°° Е°°
Продифференцировав (7) по безразмерному времени 0, получим дифференциальное уравнение третьего порядка относительно У (©)
1 й У + йУ + = °. (8)
b d© d© E00
Будем считать, у1в27 — 1 ~ в7, что справедливо для большей части пространства взаимодействия, тогда уравнение (8) сведётся к виду
J^dY + dY + E^ _ 0. (9)
b2 d©3 d© E00
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (9) имеет следующий вид
-1 а3 + а + — (а +1 + —) = 0- (1°)
^ ^0° ^
Корни характеристического уравнения (10) равны
аг = —Ь,а2 = 0.98 + Ь1,а3 = 0.98 — Ь1.
В итоге общее решение уравнения (9) имеет вид
У(©) = С1в~Ь® + С2 ехр(а2©)ео8(Ь©) + С3 ехр(а3©Нт(Ь©). (11)
Положим следующие начальные условия
у (0) = 0,йМ = 0,^=Е.. (12)
й® й®2 Е00
С учётом (12) для констант С1, С2 С3 будем иметь
E
C1 _ 1,C2 _ 0,C3 _—^. (13)
En
"00
При заданных начальных условиях решение уравнения (11) примет вид
Е Е
Y(©) _ Yq + exp(—Xqb) + -^sin(b©)----------^. (14)
Eoo Eqq
где X q - заданная координата точки вылета электрона. Установив зависимость Y (©) (12), найдём
d 2Y (©) d©2
ние системы (4) и получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно X (©)
(Y0 +exp(—X Qb)+-—^sin(b©)——)
dX , v E1 Eq — Eqq E1e Eqq Eqq sinX
X (©) . Для этого подставим выражение —-—2—, найденное по соотношению (14), в первое уравне-
— + b exp(—Xq b) — b sin(b©) _ 0 qq + -^------------------- ------------------. (15)
d© Eqq Eqq Eqq
Решение уравнения (15) имеет вид
X(©) _ X0-0-00+ —^© + —^cos(b©). (16)
E00 E00 E00
Рис. 2. Циклоидальные траектории электронов, полученные на основе приближенных аналитических решений уравнений системы (4) и численного метода решения уравнений системы (4)
По соотношениям (14), (16) можно определить координаты электрона, то есть его траекторию в любой момент времени. На рис. 2 сплошными линиями показаны циклоидальные траектории, соответствующие соотношениям (14), (16) при различных начальных фазах Х0.'Траектории построены для установившегося рабочего режима, при анодном напряжении, на 10% превышающем синхронное и высокочастотное напряжение на ламелях, соответствующем 80% от постоянного напряжения. На этом же рисунке представлены траектории, полученные численным решением системы (4). Система решалась методом Рунге-Кутты IV порядка точности. Как видно из рисунка, численные и аналитические решения хорошо согласуются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гвоздовер С.Д. Теория электронных приборов сверхвысоких частот / С.Д. Гвоздовер. М.: Гостехиздат, 1956.
2. Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике / Л.А. Вайнштейн,
В. А. Солнцев. М.: Сов. радио, 1973.
3. Байбурин В.Б. К анализу нелинейного режима плоского магнетрона / В.Б. Байбурин, Г.Л. Соловьев // Радиотехника и электроника. 1962. № 3.
4. Фейнштейн Дж. Теория плоского магнетрона и её применение. Электронные сверхвысокочастотные приборы со скрещенными полями / Дж. Фейнштейн. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
5. Кураев А.А. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов / А.А. Кураев, В.Б. Байбурин, Е.М. Ильин. Минск: Наука 1 тэхника, 1990.
Розов Александр Станиславович -
студент кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Aleksandr S. Rozov -
Postgraduate
Department of Software
and Computer Engineering Systems,
Gagarin Saratov State Technical University
Байбурин Вил Бариевич -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Муллин Виктор Викторович -
кандидат технических наук,
генеральный директор НПО «Контакт», г. Саратов
Vil B. Baiburin -
Dr. Sc., Professor,
Department of Software
and Computer Engineering Systems,
Gagarin Saratov State Technical University
Viktor V. Mullin -
Ph. D.,
Director General: Research and Production Association «Contact», Saratov
Статья поступила в редакцию 16.02.12, принята к опубликованию 02.03.12
