CC BY
29
Сарбасов Е.К.1, Шагатаева З.Е.2
'Кандидат технических наук, 2 Магистр образования, Жетысуский государственный университет им. И.Жаснсугурова,
Республика Казахстан
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Аннотация
В работе получено аналитическое решение задачи о нелинейном колебании эллиптического маятника методом частичной дискретизации нелинейных уравнений. Полученное решение сравнивается с решением задачи, соответствующего малым колебаниям, описывающейся системой линейных уравнений.
Ключевые слова: маятник, нелинейные уравнения, колебания
Sarbasov Y.K.1, Shagatayeva Z.E.2
'Candidate of Technical Sciences, 2 Master of education, Zhetysu State University named after I. Zhansugurov, Republic of Kazakhstan ANALYTICAL SOLUTION OF THE NONLINEAR EQUATION OF THE ELLIPTIC PENDULUM
Abstract
In work the analytical solution of a task on nonlinear fluctuation of an elliptic pendulum is received by method ofpartial sampling of the nonlinear equations. The received decision is compared to the solution of a task, corresponding to small fluctuations, the described system of the linear equations.
Keywords: pendulum, nonlinear equations, fluctuations
Система имеет две степени свободы. В качестве независимых координат возьмем абцисы х центра тяжести тела М1 и угол отклонения стержня от вертикали. Изучим закономерность нелинейного отклонения тела М2, принимаемого за материальную точку.
Нелинейное уравнение движения эллиптического маятника имеет вид
d_
dt
p1 + p2 X(t) + p(t)cosp(t)
g g
0
p l 2 p l
—— p(t) + ^-L-X(t)cosp(t) = -p2l • sin p(t)
g g 2
Ниже решим следующую задачу
(pi + p2 )X(t) + p2lp(t) • cos(p(t)) = D l p(t) + x(t )cos(p(t)) = у sin(p(t))
Для малых углов отклонения p справедливы следующие уравнения
1 ч ........... 1 , ч p
-X(t) =-а • p(t), p(t) + — p(t) = 0, а =
l а pi + p 2
Начальные условия
x(0) = 0, X(0) = 0, p(0) = Po, Ф(0) = 0
Из уравнений (2) имеем
X(t) =-----—— (p(t )cos (p (t))+ p 2(t) • sin (p (t)))
pi + p 2
P(t)
p2sin( p(t))cos(P(t)) - 2(t) = JLsin( p(f ))
pi + p 2
pi + p2 ^ sin ( p(t))
l2
pi + p2 • sin2( p(t))
Частичная дискретизация [i-4] в классе обобщенных функций дает
P(t) = \T(tk + tk +,) f7Tsin( p(tk)) •
pi + p 2
l2
p2 sin(p(tk ))cos(p(tk)) pi + p2 • sin2 ( p(tk)) pi + p2 • sin2 (p(tk))
(i)
(2)
(3)
(4)
+
<P2(tk) 5(t - tk)-
(
El+b__________+ p2sin<p(t,,,»COS<p<t,.,» p 2 (tM ) U - t++ , )
g sin(p(t, ,))------
l 2 + p, + p2 • sin2 ( p(tk+ i )) p, + p2 • sin 2 (p(tk+ i ))
i
0(0 = 7272 Z(t, + tk+i)
2l
(5)
g sin(p(tk)) •
p, + p2
+
p2 • l2 sin(p(tk))cos p(tk)),_
f
V
p, + p2
p, + p2 • sin (p(tk)) p, + p2 • sin (p(tk ))
p2(tk ) H(t - tk )-
g sin(pt,,))--------pap------------+p^sin(p(t‘•'))cosp(tk-i»
V12 + p, + p2 • sin2(p(tk+i)) p, + p2 • sin2(p(tk+i))
Общее решение (5) будет иметь вид
Ф2(tk+i) H(t - tk+i)
+C
(6)
3i
1
pt) = ^72 Yitk + P)
2l
g sin(ptk))------P' + p . 2, лл
Pi + P2 •sin pptk)) Pi + P2 •sin (ptk))
Л
+ P2 •1’ sinfätk»CQS^k))ф2(tkЛ _tk^ _tk)_
Pi + P2
P2 Slnpptk+1))coSpptk+1)) -
p2(tkJ (t _ tk+1 )^(t _ tk+1) )
g
sin(P(tk+1)) ~ . . 2, ,
Vl P1 + P2 •sin (P(tk+1)) P1 + P2 •sin (P(tk+1))
Таким образом решение задачи (1), (3) представляется в виде
P(t1 ) = Ро
p(t ) = p . 1 (t . t )(P1 + P2)gsin(P(t1)) + P2 •l2p2(t1)sin(P(t1))cOs(P(t1)) 21 V P1 + p2 •sin (P(t1))
+ C1t + C2
(7)
(9)
(t _ t1 )
P(t3) = Р0 + 272
(t1 +12
(P1 + P2 )gsin(P(t1)) + P2 •12pP2 (t1) sin(P(t1 ))cos(p(t1))
(10)
P1 + P2 • sin2(p(t1))
(t _ t1)
+
+ (t3 _ t1 j
(P1 + P2 )g Sln(P(t2)) + P2 • 12(P 2(t2)Sln(P(t2))CQS(P(t2)) P1 + P2 ^ Sin2(P(t2 )) ,
(t _ t2 )
Используя метод математической индукции получая
(11)
/ ч 1
p(tk) = Ро + 212
(t1 + t2 )
(P1 + P 2 )g Sin(P(t1)) + P2 ^ 12pP 2 (t1 ) Sin(P(t1 )) Cos(P(t1 ))
P1 + P2 ^ Sin (P(t1))
(P1 + P2 )g Sln(P(ti )) + P2 • 12(P 2(ti )Sln(P(ti ))c0S(P(ti )) ^ P1 + P2 ^ Sln2(P(ti ))
(t _ t1 ) +
(t _ t , )
k_1 , 4
+ X(ti+1 _ ti_1 )
i=2
где
ф (t1 )= 0
• ( ) = (t + /(P1 + P2)gSin( Р(tj)) + P2 •12Ф2(t1)Sin( Р(t1))coS( Р(O)
(2) ^'2 2\ P1 + P2 • Sin2(p (t1))
22
(12)
Ф (t 3)
2l
1
2l2
(t1 +12
(13)
N
)
(14)
(P1 + P2 )g Sln( Р(t1)) + P2 •12Ф 2(t1)Sln( Р(t1))coS( Р(t1))
P1 + P2 • Sln ( Р (t1))
+
+ (t 3 _ t1.
(P1 + P2 )g Sln( Р(t2 )) + P2 •12Ф 2(t2 ) Sln( Р(t2 )) c0S( Р(t2 ))
P1 + P2 • Sln ( Р(t2 ))
Методом математической индукции запишем выражение для
(15)
Ф (tk )
1
212
(t1 +12
(P1 + P2 )g Sin( Р(t1)) + P2 •12Ф 2(t1)Sin( Р(t1))coS( Р(t1))
P1 + P2 •Sin2( Р(t1))
2
+ у (t _ / (P1 + P2 )g Sln( Р (ti )) + P 2 • l 2 Ф 2(ti )Sln( Р (ti ))c0S( Р (ti ))
Z^\i+1 z_1 / • 2 / / v \\
+
P1 + P2 •Sin ( Р(ti))
(16)
Анализ полученного решения показывает, что система совершает установившееся колебание.
32
Литература
1. Тюреходжаев А.Н., Шагатаева З.Е. Квазистатический гистерезис одномерной разномодульной системы с контактным сухим трением. Международный конгресс «Механика и трибология транспортных систем 2003». Ростов-на-Дону.
2. Тюреходжаев А.Н., Шагатаева З.Е. О свободном колебании нелинейной разномодульной системы с контактным сухим трением. Вестник КазНТУ №1. Алматы. 2004.
3. Тюреходжаев А.Н., Султаналиева Р.М., Шагатаева З.Е. Резонансное колебание разномодульной системы с контактным сухим трением. Международный научно-технический юбилейный симпозиум «Образование через науку», посвященный 50-летию ФПИ-КТУ им. И.Раззакова. Бишкек, 2004.
4. А.Н.Тюреходжаев, А.Г.Ибраев, М.Ж.Сергазиев, Шагатаева З.Е. Распространение волн в механических системах с нелинейным механизмом диссипации энергии. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функции и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н.Векуа Новосибирск, 2007г.
References
1. Tyurekhodzhayev A.N., Shagatayeva Z.Y. Kvazistatic hysteresis of one-dimensional differently the modular system with contact dry friction. International congress "Mechanics and tribology of transport systems 2003". Rostov-on-Don.
2. Tyurekhodzhayev A.N., Shagatayeva Z.Y. About free fluctuation of nonlinear differently the modular system with contact dry friction. Messenger of KAZNTU No. 1. Almaty. 2004.
3. Tyurekhodzhayev A.N., Sultanaliyeva R. M., Shagatayev Z.Y. Resonant fluctuation of differently the modular system with contact dry friction. The international scientific and technical anniversary symposium "Education through science", FPI-KTU devoted to the 50 anniversary of I. Razzakov. Bishkek, 2004.
4. A. N. Tyurekhodzhayev, A. G. Ibrayev, M. Zh. Sergaziyev, Shagatayeva Z.Y. Distribution of waves in mechanical systems with the nonlinear mechanism of dissipation of energy. The international conference "Differential Equations, Theory of Function and Appendix" devoted to the 100 anniversary since the birth of the academician I. N. Vekua Novosibirsk, 2007.
Черных А.А.
Студент, НИ Томский политехнический университет ПОДКЛЮЧЕНИЕ GPS К МК, РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ДВИЖЕНИЯ РОБОТА ПО GPS
Аннотация
В данной работе описано подключение GPS модуля к микроконтроллеру. Составление алгоритма движения робота по GPS координатам траекторией ‘‘Гауссом".
Ключевые слова: микроконтроллер, GPS модуль, алгоритм.
Chernykh A.A.
Student, Tomsk Polytechnic University
PS RECEIVER TO MICROCONTROLLER CONNECTION, DEVELOPMENT MOVEMENT ALGORITHMS OF THE
ROBOT USING GPS
Abstract
This article describes a connection of GPS module to a microcontroller. Designing a "Gauss-trajectory" robot movement algorithm using GPS coordinates.
Keywords: microcontroller, GPS module, algorithm
Введение
Робототехника c каждым днём приобретает всё большую роль в производственной деятельности и жизни человеческого общества.
Одной из основных задач в робототехнике является позиционирование и навигация робота в пространстве.
Существуют различные вездеходы, аппараты на воздушных подушках. Управляются они человеком. Для автономного управления таких платформ необходима система навигации.
Система навигации и позиционирования робота является первостепенной задачей. На сегодняшний день существует множество роботов (военных, уборочных, промышленных), которые имеют такую систему.
Для выполнения роботом действий и решения большинства задач (уборка, перемещение грузов, движение по маршруту и пр.) ему необходимо ориентироваться в пространстве, поэтому задача навигации и позиционирования является актуальной, так как он должен определять свое положение для дальнейших действий.
Подключение GPS к МК
Первоначальным этапом необходимо настроить GPS модуль для передачи координат на микроконтроллер и отделением нужной информации для ее дальнейшего применения в программировании по алгоритму движения робота, так как сам модуль передает на МК различные данные. Был выбран GPS модуль u-blox 6m.
Для передачи GPS координат на микроконтроллер используют NMEA 0183 протокол.
Была собрана схема подключения (рис.1) GPS к микроконтроллеру и написана программа на языке C++. Использовался МК ATmega 328, GPS u-blox 6.
Рис. 1 - Электрическая принципиальная схема подключения GPS к AVR МК
33
