CC BY
83
УДК 519.7: 681.5 DOI: 10.20998/2411-0558.2017.50.08
Е.С. РОЕНКО, асс., ДГТУ, Каменское,
А.В. САДОВОЙ, д-р техн. наук., проф., ДГТУ, Каменское
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
МАЯТНИКА ФУРУТЫ
Управление структурно неустойчивыми объектами с помощью классических методов не позволяет достичь необходимой стабилизации в большом. Использование модели маятника Фуруты, описанного с помощью уравнения Эйлера - Лагранжа второго порядка, позволяет определить нелинейные законы управления, которые обеспечат необходимое качество стабилизации. Полученная модель линеаризованной системы записана в форме, удобной для аналитического конструирования регуляторов. Ил.: 2. Библиогр.: 10 назв.
Ключевые слова: структурно неустойчивые объекты; маятник Фуруты; линеаризация; нелинейные законы управления.
Постановка проблемы и анализ литературы. Современный уровень развития вычислительной техники позволяет синтезировать системы управления высокоточными сложными системами в реальном времени, учитывая множество параметров. Пренебрегая некоторыми из них, невозможно в полной мере оценить адекватность объекта, что может служить источником ошибок при моделировании и создании системы управления. Поэтому работа, устраняющая указанные недостатки, является актуальной.
Синтез систем управления классическими методами не гарантирует устойчивости в большом и может привести к негативным последствиям, в то время как нелинейные законы управления позволяют с достаточной степенью точности управлять маятникоподобными системами [1 - 9].
Реальные маятникоподобные системы удобно исследовать на прототипах, к которым относятся обратный маятник [1 - 3] и маятник Фуруты [4 - 9]. Эти маятники характеризуются наличием точек неустойчивого и устойчивого равновесия. Причем любое сколь угодно малое внешнее воздействие выводит маятник из положения неустойчивого равновесия и переводит его в положение устойчивого равновесия, в окрестностях которого возникают слабодемпфированные колебания.
Математическое описание известных моделей маятника Фуруты [4, 6 - 9] не содержит информации о силах трения в суставах маятника, что не позволяет в полной мере оценить характер движения и может вносить погрешности при моделировании и синтезе системы
© Е.С. Роенко, А.В. Садовой, 2017
управления. Кроме того, в указанных моделях не учитывается динамика электропривода управляющего маятником.
Цель статьи. Приведение математической модели маятника Фуруты к виду, удобному для синтеза оптимальных управлений путем решения задачи аналитического конструирования регуляторов (АКР).
Математическая модель маятника Фуруты. Маятник Фуруты состоит из руки, которая приводится во вращение в горизонтальной плоскости электродвигателем, и рычага, который вращается в вертикальной плоскости.
Рис. 1. Маятник Фуруты
Как видно из рис. 1, маятник Фуруты обладает двумя степенями свободы и для описания его динамики удобно использовать уравнение Эйлера-Лагранжа, которое имеет следующий вид
= ж, (1)
& д&! дфг
где Ь - функция Лагранжа; (г = 1, 2) - скорость движения плеча и рычага; Ж = М - Мтр - вектор обобщенных внешних воздействий; фг-(г = 1, 2) - соответствующие углы поворота плеча и рычага.
Для объекта с двумя степенями свободы уравнение (1) принимает
вид:
d dL dL Л/Г
----= М дв - М Т;
dt dwi dji
1 (2) d dL dL
----= -М Т,
dt dw2 dj 2
где Wi - скорость движения плеча; ji - угол поворота плеча; Мдв -момент развиваемый двигателем; Мт - момент трения в суставах; Ш2 -скорость движения рычага; j2 - угол поворота рычага.
При составлении функции Лагранжа будем считать что плечо, не обладающее потенциальной энергией, и двигатель связаны между собой абсолютно жестко. Тогда математическое описание маятника Фуруты на основе уравнений (2) может быть найдено в виде [10]:
1 2 2 2 2 2 2 (УДВ + з mi¡i + m2¡i + m31 + m-^ - sin j2)P®i +
22 +m3lil2(w 2sin j2 -pw2 cos j2 + 2m3l2wiw2 sin2 j2 + MT = M^;
i 2 2 (3) P®2(^ m2l2 + m3l2) + pwim3lil2 cos j2 -
- 2 (m2 + 2m3) l2g sin j2 - 2 m-lf o]2 sin 2 j2 + MT = 0,
где Удв - момент инерции двигателя; mi - масса плеча; m2 - масса рычага; m- - масса груза, подвешенного на вершине рычага; li и l2 -
длина плеча и рычага соответственно; MT =-W-— + С0ш,-;
((Rwi /a) +i)0 5
R - тангенс угла наклона аппроксимированной прямой; C0 и a -весовые коэфициенты.
Приводной двигатель воздействует на маятник посредством изменения момента на валу, который определяется параметрами двигателя, его скоростью и приложенным напряжением
d w i w (кФ)2 кФ ТТ
d-Mдв =-—МДВ - R-f- wi +—U>' (4)
dt ТЯ ^ТЯ ^ТЯ
где Тя - постоянная времени якоря; Rя - сопротивление якоря; кФ -конструктивная постоянная двигателя; Uу - управляющее воздействие,
подаваемое на двигатель.
В операторном виде система уравнений маятникоподобного электромеханического объекта будет следующей:
48
pj2 = w2;
Pw2 = 2 2m3l1l2 cos Ф2Pw1 - 212g sin Ф2 •
• (m2 + 2шъ) +1 m^l"2 sin 2Ф2©? - 2MTjy/(lf Ш + 3шъ));
РФ1 =®i; (5)
2 2 2 pw1 = 3(m3l1l2(sin j2w2 - cos Ф2 pw2) - m3l2 sin2j2w1 -
2 2 2 2 2 2 -Mt + Мдв)/(3/дв + m^! + 3m2l1 + Зшз^ + Зшз12 -Шз12 cos ф2);
1 ^ (кФ )2 кФ IT
PM ДВ = - ДВ - W + у^ДВ •
ТЯ %ТЯ КЯТЯ
Для упрощения записи уравнений (5) приняты следующие обозначения:
= 3JдВ + ш^2 + ЗШ2/2 + ЗШ3/2 + ЗШ3/2 ;
2 V 2
A2 = m3l2; A3 = m3l1l2; A4 = —; A5 = ш2 + Зшз; (6)
a ^ '
Аб = gm2; A7 = ш A8 = l22 A5; A9 =
A8
с учетом, которых уравнения динамики (5) принимают следующий вид:
РФ2 =w2;
pw = - 3A3 cos Ф2р&1 З/2 sin Ф2 (A + 2A7 ) +
рОт —----г
2 A8 4A8
A SÍn 2Ф2 , 2
+ 2 A8 2 A8( A4qÍ +1)05 2 A9W1;
РФ1 =w1;
pw = 3A3(sin Ф2ш2 - cos Ф2Pw2) A2 sin 2Ф2Ш1Ш2 + PW1 = 2 2
A1 + A2 cos Ф2 A1 + A2 cos Ф2
+ МДВ Rw1 C0w1
(7)
A1 + A2 cos2 ф2 (A1 + A2 cos2 ф2 ) (A4®2 +1)05 A1 + A2 cosz ф2
1 _ кФ2 кФ
PM ДВ =-YM дв - YT~ w1 + WUДВ • Я Я Я я я
Таким образом разработанная математическая модель учитывает динамику электромеханической системы, состоящей из маятника и приводного двигателя. Эта модель является существенно нелинейной в то время как известные методы решения задачи АКР разработаны для линейных динамических объектов. Поэтому разработанная модель подлежит линеаризации. В настоящей статье рассмотрим простейший случай линеаризации путем разложения правых частей уравнений (7) в ряд Тейлора.
Линеаризация маятника Фуруты. При линеаризации считается, что рычаг находится в вертикальном положении, т.е. ряд Тейлора строится в окрестностях рабочей точки п рад.
Авторами работы [10] доказано, что характер движения маятника Фуруты зависит от угла поворота плеча ф1. Поэтому линеаризацию будем выполнять по трем координатам: скорость движения плеча, угол и скорость движения рычага.
Математическая модель (7) в рабочей точке с учетом разложения в ряд Тейлора принимает вид:
РФ2 =®2;
- А3 рщ + 212 g (т2 + 2т3 )Ф2 + (К + С0 )®2
Рщ2 =-2-А-;
А8
РФ1 =®ь (8)
-А3р&2 - мдв +(К + со)®1.
Pwi =
A
1 _ кФ2 кФ
pmдв = - —mдв -yy-wi +
Линеаризованная модель не имеет нелинейностей типа sin, cos и ее переходные процессы показаны на рис. 2. На первых трех графиках показаны изменения ускорения, скорости и угла поворота плеча. Другие три графика демонстрируют колебательное движение рычага.
Для приведения линеаризованной модели (8) к виду удобному для синтеза регулятора необходимо записать уравнения c явно выраженными коэффициентами при переменных:
pф2 = ¿12^2;
РШ2 = Ь21Ф2 + ¿22® 1 + ¿24®2 - ¿2ММДВ;
РФ1 = Ь32®1;
р®1 = ¿41ф2 + ¿42® 1 + ¿44Ш 2 - Ь4мМдв ;
(9)
1 ^ Ш Рм Д =- у-М Д -Т (
2
кФ
Я
-®1 +-и ДВ.
КЯТЯ 1 » Т ДВ
я я
где ¿12, ¿21, к, ¿44, ¿4м - постоянные коэффициенты.
Рис. 2. Переходные процессы линеаризованной системы
Решение задачи АКР осуществляется с помощью уравнений вида
рУ = БУ + Ми, (10)
где У - вектор фазовых координат маятника Фуруты; Б - матрица коэффициентов; М - вектор коэффициентов при управляющих ;воздействиях; и - вектор управлений. Для маятника Фуруты имеем:
Ф2 " 0 ¿12 0 0 " "0 " "0 "
У= ®2 ; Б = ¿21 ¿22 0 ¿24 ; и = - М ДВ ; М = ¿2М
Ф1 0 ¿32 0 0 0 0
®1 ¿41 ¿42 0 ¿44 _ - М дв _ р4М _
Выводы. В работе получена математическая модель маятника Фуруты, которая учитывает характер движения его трех элементов: плеча, рычага и приводного двигателя. Полученные уравнения линеаризованной системы (8) представлены в нормальной форме и могут быть использованы для синтеза оптимального регулятора путем решения задачи АКР. В отличии от исходной нелинейной системы линеаризованная система является двухканальной и управление можно осуществлять одновременно углом поворота плеча и рычага.
Список литературы: 1. Aracil J. Kinetic energy shaping in the inverted pendulum / J. Aracil, J.A. Acosta, F. Gordillo // IFAC Nonlinear Control Systems, Stuttgart. -Germany. - 2004. - P. 1063-1067. 2. Wachinger C. Simulation of the inverted pendulum / C. Wachinger, M. Pock. - Munchen, 2004. - 33 p. 3. Aracil J. A controller for swinging-up and stabilizing the inverted pendulum / J. Aracil, J.A. Acosta, F. Gordillo // Proceedings of the 17th World Congress The International Federation of Automatic Control Seoul, Korea, July 6-11, 2008. - P. 7695-7699. 4. Arnolds M.B. Identification and control of the Rotary Inverted Pendulum / M.B. Arnolds // TU e Traineeship Report. - 2003. - 55 р.
5. Cazzolato B.S. On the dynamics of the Furuta pendulum / B.S. Cazzolato; Z. Prime // Journal of Control Science and Engineering, 2011. - Article ID 528341. - 8 p.
6. Kats C.J.A. Nonlinear control of a Furuta rotary inverted pendulum / C.J.A. van Kats // TUIe Bachelor Final Project Repor. - 2004. - Vol. 2004.069. - Technische Universiteit Eindhoven. - 23 p. 7. Akesson J. Safe manual control of the Furuta pendulum / J. Akesson, K.J. Astrom // Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Control Applications. - 2001. - (CCA '01). - IEEE--Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., 2001. - P. 890-895. 8. Acosta J.A. Swing up the Furuta pendulum by the speed gradient method / J.A. Acosta, F. Cordillo, J. Aracil // European Control Conference (ECC). - 2001 -7 p. 9. Ling K.V. Robust predictive control of the Furuta Pendulum / K.V. Ling, P. Falugi, J.M. Maciejowski, L. Chisci // 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control. - Barcelona, 2002. - 13 p. 10. Роенко Ю. Уточнения рiвнянь динашки маятника Фурути / Ю. Роенко, Р. Волянський, О. Садовой // Engineering mechanics & transport, Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua, 2013. - Р. 98-101,
Refere^es:
1. Aracil, J., Acosta, J.A., and Gordillo, F. (2004), "Kinetic energy shaping in the inverted pendulum", IFAC Nonlinear Control Systems, Stuttgart. Germany, 2004, pp. 1063-1067.
2. Wachinger, C., and Pock, M. (2004), Simulation of the inverted pendulum, Munchen, 33 р.
3. Aracil, J., Acosta, J.A., and Gordillo, F. (2008), "A controller for swinging-up and stabilizing the inverted pendulum", Proceedings of the 17th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul, Korea, July 6-11, 2008, pp. 76957699.
4. Arnolds, M.B. (2003), "Identification and control of the Rotary Inverted Pendulum". TU/ e
Traineeship Report, 2003, 55 p.
5. Cazzolato, B.S., and Prime, Z. (2011), "On the dynamics of the Furuta pendulum". Journal of Control Science and Engineering, Article ID 528341, 8 p.
6. Kats, C.J.A. (2004), "Nonlinear control of a Furuta rotary inverted pendulum". TUIe Bachelor Final Project Report, Vol, 2004.069, Technische Universiteit Eindhoven, 23 p.
7. Akesson, J., and Astrom, K.J., (2001), "Safe manual control of the Furuta pendulum", Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Control Applications. (CCA '01). IEEE--Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., 2001, pp. 890-895.
8. Acosta, J.A., Acosta, J.A., and Gordillo, F. (2001), "Swing up the Furuta pendulum by the speed gradient method", European Control Conference (ECC), 7 p.
9. Ling, K.V., Falugi, P., Maciejowski, J.M., and Chisci, L. (2002), "Robust predictive control of the Furuta Pendulum", 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control, Barcelona, 13 p.
10. Roenko, E. Volianskij, R., and Sadovoy, O. (2013), "Clarifying the dynamics equations of the Furuta pendulum", Engineering mechanics & transport, Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua, pp. 98-101.
Статью представил д-р техн. наук. заведующий кафедры электротехники и электромеханики Днепровского государственного технического университета Низимов В.Б.
Поступила (received) 11.08.2017
Roenko Efim, Assistant Dneprovskiy state technical university Dneprostroevska street, 2, city Kamenskoe, Ukraine, 51918 Tel.: +38 098 2223015 E-mail: efim.mail@gmail.com
Sadovoy Oleksandr, Dr. Sci. Tech., Professor Dneprovskiy state technical university Dneprostroevska street, 2, city Kamenskoe, Ukraine, 51918 Tel.: +38 067 7791248 E-mail: sadovoyav@ukr.net
УДК 519.7+681.5
Лшеаризащя математично'1 моделi маятника Фурути / Роенко Ю.С., Садовой О.В. // Вкник НТУ "ХП1". CepÍH: 1нформатика та моделювання. - Харшв: НТУ "ХП1". - 2017. - № 50 (1271). - С. 46 - 54.
Керування структурно нестшкими об'ектами за допомогою класичних методiв не дозволяе досягти необхвдно1 стiйкостi у великому. Використання моделi маятника Фурути, описаного за допомогою рiвняння Ейлера - Лагранжа другого порядку, дозволяе вивести нелшшш закони керування, як1 забезпечать необх1дну яшсть стабiлiзацiï. Отримана модель лiнеаризованоï системи записана у зручнш формi для аналогичного конструювання регуляторiв. 1л.: 2. Бiблiогр.: 10 назв.
Ключовi слова: структурно нестшш об'екти, маятник Фурути, лшеаризащя, нелшшш закони керування.
УДК 519.7+681.5
Линеаризация математической модели маятника Фуруты / Роенко Е.С., Садовой А.В. // Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. -Харьков: НТУ "ХПИ". - 2017. - № 50 (1271). - С. 46 - 54.
Управление структурно неустойчивыми объектами с помощью классических методов не позволяет достичь необходимой стабилизации в большом. Использование модели маятника Фуруты, описанного с помощью уравнения Эйлера - Лагранжа второго порядка, позволяет определить нелинейные законы управления, которые обеспечат необходимое качество стабилизации. Полученная модель линеаризованной системы записана в форме, удобной для аналитического конструирования регуляторов. Ил.: 2. Библиогр.: 10 назв.
Ключевые слова: структурно неустойчивые объекты, маятник Фуруты, линеаризация, нелинейные законы управления.
UDC 519.7 +681.5
Linearization of the mathematical model of the Furuta pendulum / Roenko E.S., Sadovoy O.V. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2017. - №. 50 (1271). -P. 46 - 54.
Managing structurally unstable objects using classical methods does not achieve the required stability. Using the Furuta pendulum model described by the second-order Euler-Lagrange equation allows us to derive non-linear control laws that will provide the required stabilization quality. The obtained model of the linearized system is written down in a convenient form for the analytical design of the controllers. Figs. : 2. Refs. : 10 titles.
Keywords: structurally unstable objects, Furuta pendulum, linearization, nonlinear control laws.
