Стабилизация колебаний перевернутого маятника Текст научной статьи по специальности «Физика»

СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА

И.В. Мирошник, Н.М. Одинец

В работе рассматриваются проблемы управления колебаниями маятников при высокочастотном возбуждении подвеса. Использование усредненной модели колебаний и концепции виртуальной энергии предоставляет возможность синтезировать алгоритмы управления энергетического типа, обеспечивающие требуемые колебания маятника относительно верхнего положения за счет вертикального перемещения опоры.

Введение

Задачи анализа нелинейных колебаний и управления маятниковыми системами вызывают неослабевающий интерес исследователей и являются объектом многочисленных публикаций прошедшего столетия. Имея, как правило, незначительное самостоятельное применение, такие задачи часто представляют собой прекрасный аналог и тестовый пример для многих естественных, технологических и физических процессов

- от биологических явлений, вибрационных технологий до явлений антигравитации. Известные решения подобных задач были сосредоточены вокруг проблем стабилизации перевернутых маятников, а также раскачивания и управления колебаниями периодических движений [1,2, 5-8, 11-14] с использованием приемов энергетического управления [7, 12], метода скоростного градиента [1, 5, 6, 8, 13, 14] и дифференциально-геометрического подхода [2, 11].

Требуемая стабилизация положения либо желаемые колебательные движения маятниковых систем обычно обеспечиваются благодаря горизонтальному движению точки подвеса маятника. Тем не менее, задача управления периодическими движениями маятника в окрестности нижнего положения может быть также решена и за счет вертикальных перемещений подвеса [6, 12]. Более того, при соответствующем высокочастотном возбуждении подвеса наблюдаются сложные периодические движения маятника в окрестности верхнего положения равновесия. Такое явление, получившее название индуцированной или вибрационной стабилизации, рассматривалось в большом числе научных публикаций, начиная с известной работы Стефенсона (1908) и включая работы П.Л. Капицы, H.H. Боголюбова и др. (см. [3, 9, 15-17]).

В настоящей работе предпринята попытка решения задачи стабилизации заданных периодических движений свободного маятника вокруг верхнего положения с за счет вертикальных вибраций подвеса и дополнительного управляющего воздействия. Задача сводится к стабилизации так называемой виртуальной энергии системы - энергии перевернутого маятника с противоположным направление ускорения силы тяжести

- и решается на основе управлений энергетического типа, хорошо развитых для обычных маятников с вертикальным перемещение подвеса [6, 12].

Управление колебаниями с использованием энергетического управления

Модель маятника с подвижным подвесом описывается уравнением Лагранжа 6И

Jq + — = G(q,a)u, (1)

oq

где q - угол поворота, и - управляющее воздействие, J=ml2, П(q) - потенциальная энергия, G(q) - функция, определяемая текущей ориентацией опоры а. (см. рис. 1).

Общая энергия (функция Гамильтона) свободного маятника определяется как

Е(р, q) = Щ4) + Т(р) = + (2)

где Т(р) - кинетическая энергия, р = Jq - момент.

Уравнение (1) можно переписать в гамильтоновой форме

Jq = р, р = - ^^ + G(q, а )и. dq

Рис. 1. Маятники с подвижным основанием

Рассмотрим задачу управления колебаниями системы, связанную с поддержанием требуемого режима недемпфированных периодических движений маятника. Принимая во внимание, что модель колебаний связана с определенным уровнем внутренней энергии маятника [1,5, 6], можно заключить, что задача сводится к стабилизации энергии, т.е. к стандартной задачи частичной стабилизации динамической системы (или стабилизации по функции Е=Е^,р)) [6].

Зададим желаемый уровень энергии Е и введем в рассмотрение ошибку стабилизации энергии (отклонение)

£,=Е(р,д)-Е\ (4)

После элементарных преобразований получим модель ошибки

J

(5)

Устойчивое решение задачи обеспечивается различными алгоритмами управления

вида

(6)

и = -Ыи(р,С% , где к>0 - коэффициент обратной связи. Подставив (6) в (5), получим

% = -рСи(р,С)Щ. (7)

Можно заключить, что система обладает свойством асимптотической устойчивости по отношению к частичному положению равновесия Е=Е , когда функция I для всех I 0 удовлетворяет неравенству

¿

| pG(q, a )U(р, G) dx >Xt,

(8)

где Х>0.

Легко показать, что задача решается с помощью алгоритмов управления и = -J sgri(pG)kí„

и = -JpGkt,.

Теперь рассмотрим случай, когда опора маятниковой системы осуществляет вертикальные движения (см. рис.1). Здесь П(д) = mgl( 1 - cos q)

G = -ml sin q и уравнение (3) принимает вид

Jq = р, р- mgl sin q -ml sin qu . (9)

Важно отметить, что невозмущенная маятниковая система (9) имеет два положения равновесия. Первое из них (^,р)=(0,0) соответствует нижнему положению маятника и асимптотически устойчиво. Второе положение равновесия (^,р)=р,0) связано с верхним положением, неустойчиво и в рассматриваемом случае не может быть стабилизировано стандартными методами теории управления.

Все вышесказанное относится также к возможности организации периодических колебаний маятниковой системы. Алгоритм управление энергией (7), или частный алгоритм

u = - sgn(p sin q)kX Ю, обеспечивает устойчивые колебания относительно нижней точки с энергией Е '* < Ет = 2mgl

(см. рис. 2). Если Е >Ет, маятник демонстрирует равномерное вращение вокруг точки подвеса. Колебания же маятника относительно верхнего положения оказываются невозможными без специального возбуждения подвеса.

Стабилизация колебаний возбужденной маятниковой системы

Высокочастотные вертикальные вибрации основания маятника (см. рис.3) кардинально изменяют свойства маятниковой системы [3, 9, 15-17]. При соответствующих условиях разомкнутая маятниковая система становится устойчивой (либо асимптотически устойчивой) по отношению к верхнему положению равновесия (^,р)=(р,0). Это свойство является отправной точкой для управления колебаниями маятник в верхнем положении.

Сначала рассмотрим маятник, подверженный высокочастотным вибрациям подвеса в отсутствии дополнительных управляющих воздействий. Пусть вибрационное движение основания описывается уравнением

y + co2s = 0, (10)

где s - координата подвеса, со - частота вибраций. Если s(0)=0, з(0) = А®, то s(t) = A sin G)t .

Полагая в модели (9) и co'.v, находим

Jq = p, р = ~ml{g + со 2s)sin q . (11)

Если частота со достаточно велика, решение системы (11) может быть приближенно представлено двухчастотным сигналом вида [ 17] q = q(\ + q),

где

q(t) = A s(t), А = const, - быстрая составляющая колебаний, a q - медленная компонента, являющаяся решением уравнения

jq = p, р = -0.5m(2gl +9со 2^42)sin q . (12)

и 9 = 1 если^ <7Г /2, 9 = -1 еслил /2<q <3к /2 . При условии, что

со А >2gl,

уравнение медленного движения (12) может быть записано в виде = р, р = вт Ц,

где

со =

2g9/ + со 2 А1

2/2

(13)

(14)

(15)

или -

^ + 9со 2 вт <7 = 0, (16)

где 9=±1. Последнее выражение показывает, что система приобретает два устойчивых положения равновесия (д,р)=(0,0) и (д,р)=(л,0), а маятник может выполнять медленные колебания вокруг как нижнего, так и верхнего положения (см. рис. 4).

Рис. 4. Свободные колебания вокруг верхнего положения

Таким образом, при высокочастотном возбуждении подвеса оба положения равновесия маятниковой системы становятся устойчивыми, что предоставляет возможность с помощью соответствующих управляющих воздействий обеспечить требуемую устойчивость медленных движений маятника относительно верхнего положения.

Рассмотрим управляемые движения маятники по отношению к верхнему положению, полагая, что выполняется условие (13). Выберем управление

и =С0 2 5 + и, где й - стабилизирующее воздействие.

Модель медленного движения маятниковой системы в окрестности верхнего положения ж/2<д<3к /2 принимает вид

Л% = р, ~р = т\% эт д - т1$т дй, (17)

где положительная постоянная -

является виртуальным ускорением свободного падения, направленным в противоположном направлении по отношению к силе тяжести.

Введем в рассмотрение виртуальную энергию медленного движения

Ё(рд) = ЩЮ + ^р\ (18)

П(<7) = т^1(1 + сое ¿/). (19)

Отметим, что в окрестности верхнего положения справедливо П(7г) = 0иП(тг)>0.

Тогда модель маятниковой системы (17) можно записать в виде

-Щ = Р, Р = + (20)

од

где

где

G(g) = -mi sin д .

Так как необходимый режим колебаний маятника связан с определенным уровнем его виртуальной энергии, то проблема управления сводится к рассмотренной ранее (см. п. 2) задаче к стабилизации энергии.

Определим заданный уровень энергии Е *, введем ошибку (рассогласование виртуальной энергии)

í=E(p,g)-E* (21)

и получим модель ошибки энергии

C = jpG(q)ü. (21)

Устойчивое решение задачи дается алгоритмами управления вида ü = JU(p,G)k(21)

Система асимптотически устойчива по отношению к заданному значению Е *, когда функция U для всех t>0 удовлетворяет неравенству (8).

Справедливость результатов подтверждается результатами моделирования. Рассмотрен маятник с параметрами да=0.01, /=0.1 и вибрациями подвеса s=0.002sin2000í. Алгоритм управления

й = J sgn(/; sin cj)k<^

обеспечивает стабилизацию виртуальной энергии Е* на уровне от 0 до 0.056, что соответствует устойчивым колебаниям маятника в верхнем положении с амплитудами до 1.2 рад. Рис. 4 демонстрирует сходимость процессов для случая Е* =0.025, когда амплитуда колебаний равна 0.45 рад.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант 02-01-01164) и Комплексной программы 19 Президиума РАН (2003, раздел 1.4).

Литература

1. Андриевский Б.Р., Гузенко П.Ю., Фрадков А.Л. Управление колебаниями механиче-

ских систем методом скоростного градиента. // Автоматика и телемеханика. 1996. № 4.. С. 4-17

2. Aracil, J., F. Gordillo, J.A. Acosta (2002). Stabilization of oscillations in the inverted

pendulum. // 15IFAC World Congress. Barselona.

3. Belman R.E., J. Bentsman and S.M.Meerkov (1986). Vibrational Control of a class of

nonlinear systems: Vibrational Srabilization. // IEEE Trans. Aut.Control, 32(8), 710-716

4. Блехман И.И. Вибрационная механика. M.: Наука, 1994.

5. Fradkov, A.L. and A. Pogromsky (1998). Introduction to control of oscillations and chaos,

// World Scientific, Singapore.

6. Мирошник И.В., Фрадков А.Л., Никифоров B.O. Нелинейное и адаптивное управле-

ние сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

7. Chung, C.C, and J. Hauser (1995). Nonlinear control of a swinging pendulum. //

Automatica, 31, pp. 851-862.

8. Fradkov, A.L. (1996). Swinging control of nonlinear oscillations. // International Journal of

Control, 64(6), pp. 1189-1202.

9. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колебающейся точке подвеса

// ЖЭТФ. 1951. Т. 21. №5. С. 588-607

10. Khalil H.K. Nonlinear Systems. 2nd ed. Prentice Hall, New Jersey, 1996.

11. Miroshnik I., and A. Bobtzov (2000). Stabilization of motions of multipendulum systems. // 2nd Int. Conf. on Control of oscillation and chaos. St.Petersburg. Vol. 1. P. 22-25

12. Miroshnik, I.V, Olkhovskaya E (2003). Spatial problems of nonlinear dynamics. Motivation

and analysis. // Int. Conference Physics and Control (PhisCon 2003), St.Petersburg.

13. Shiriaev, A.S., O. Egeland, and H. Ludvigsen (1998). Global stabilization of unstable equilibrium point of pendulum. // Proc. 37th CDC, Tampa, pp. 4584-4585.

14. Shiriaev, A.S., H. Ludvigsen, O. Egeland,l A.L. Fradkov (1999). Swinging Up of Nonaffine in Control Pendulum.// Proc. American Control Conference, San Diego, California.

15. Stephenson, A (1908). On induced stabily. // Phil. Mag. 15, 233-236.

16. Yabuno, H., K. Goto, and N. Aoshima (2002). Swing-up and Stabilization of an Inverted Pendulum without Feedback Control - Application of a Bifurcation Control to a Pendulum with Two Degrees of Rotational Freedom, SICE Annual Conference, TEA 09-3

17. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 2-е изд. М.: Физматгиз. 1962. 410с.