Аналитическое описание движения маятника под действием сил сопротивления Текст научной статьи по специальности «Физика»

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ

К.В. Мануйлов, Д.В. Несмачный

В работе построены уравнения, описывающие движение маятника под действием сопротивления трения, и уравнения, описывающие движение маятника в сплошной среде. Посредством выбора начальных условий получены аналитические выражения движущих сил и сил сопротивления как функций размаха, определенного через синус половинного угла отклонения или, что то же самое, эксцентриситет кинематического эллипса, отображением на который спрямляется движение маятника.

Свободное движение математического (физического) маятника описывается уравнением [1]

sin © = 0, (1)

di2

решением которого является функция [1]

Ф = 2arcsin{ssn[u]}, (2)

где sn(u) - эллиптическая функция Якоби, а s - эксцентриситет кинематического эллипса, отображением на который движение маятника спрямляется последующим отображением на окружность. Точного же аналитического описания движения маятника, происходящего под действием внешней силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости (силы трения) mlk dф

F-----(3)

T di

или под действием силы общего вида (в сопротивляющейся среде)

F 4dfb, (4)

где а = а (i), в = в (i), которое было бы адекватно наблюдаемому движению, по

настоящее время не существует. Действительно, различные решения таких задач, помещенные в многочисленных монографиях, опубликованных за последние два столетия, включая и те, которые вошли в различные справочники по механике, являются неудовлетворительными, ибо не описывают наблюдаемого движения [2-5].

В связи с этим мы предприняли детальное иследование задачи, полагая, что для описания движения реального маятника под действием внешней силы сопротивления необходимо иметь два уравнения:

• уравнение движения, определяющее закон изменения 9(i) - угла отклонения маятника,

• уравнение движения, определяющее закон изменения L(t) - размаха.

При этом функции, описывающие законы изменения угла и размаха, представляют собой те же функции, которые описывают свободные колебания, но зависят от двух переменных - аргумента u(t) и эксцентриситета s(i), т.е. имеют вид Ф = 2 arcsin {s(i) sn [u(i), s(i)]}, (5)

L = 4l arcsin {s(i)}. (6)

Поскольку при свободном движении маятника эксцентриситет s есть величина постоянная, определенная равенством

• а (п,

s = sin—, (7)

2

где а — начальный угол отклонения маятника от положения равновесия, то при наличии сил сопротивления он становится величиной переменной:

ф(1)

вд!) =81п 2

эт [агсэт (в0 эп и) = в0 эпг

(8)

(см. [6]).

При определении функций угла отклонения и размаха в виде (5) и (6), соответственно, и учитывая равенство (8), мы можем построить их полные вторые производные по времени, имеющие вид

Г\ Г\

1 ф = д ф ( ди . + 2

12" = ~й2 И +

2 ( д2

д ф | ди ]( дв ] + дф

(Я2„ ]] Я2

дидг I дt Л дt ) дв

^в ^ 1 J /

д ф(дв |

1а ^

2

где величина в определена равенством (8) дф 1

дв в(1 -в2) д2ф = 2 дидв в(1 - в2)

[2в Висп и + 2в сп и Е(ф) ]

|-2в В^п и - 2в3 сп3 и - 2в Бисп и Е(ф)]

д 2ф 1 Г / 2 2 2 \ 2 2

—^ = ^--(в + в сп и )2в Б,, сп и + в (1 -в )и 2в сп и -

дв2 в2(1 -в2) I- V ' и

- (4в4 сп и - 2в В2сп и) Е(ф) - 2в Бисп и Е2 (ф)

д2ф ( ди

ди2 I дt

= 2в Д.сп и

^ д ди П2 д2 ди дt

ди ] ди = 1

ди2 ), "д7 " 1' а

и 1 / \ 2

Е(ф) = |в2 сп2 и1и = 4 ^дф"] И

(1) (2)

(3)

(4)

(9)

(10)

(10')

- эллиптический интеграл II рода, представляющий собой квазипериодическую функцию, предопределяющую необратимые изменения движения и имеющую размерность

Аналогично

12Ь д 2 Ь (диЛ 2

Л'

ди 2

— I + 2

(д2ь (диТдв] дЬ

дидв\дл д!1 дв

( 2 ]] дв

дГ

+ -

/у

д2Ь Гдв4 дв2

(11)

В результате подстановки выражений (9) и (11) в уравнение (1) мы получим, положив, что маятник остановлен внешним воздействием в момент времени, отличный от ^ уравнения вида (ввиду пропорциональности угла отклонения и размаха рассмотрим уравнения только для ф(1))

т1

т1

1 ф ЮТ 12ф Иё

= -mg эт ф + ^ + С = 0

= -т эш ф + ^ + С = 0

(12)

где Етр - сила трения в шарнире, ¥сопр - общая сила сопротивления среды, в которой происходят колебания маятника. Эти уравнения имеют подобное строение, но только их совместное решение дает полное описание наблюдаемого движения. Оба они описывают баланс сил, однако движущая сила может иметь два различных представления:

2

• Как алгебраическая сумма движущей силы, порождающей свободные колебания (mg sin ф), и силы сопротивления, тогда в предположении, что первая сила не изменяется, разность сил будет равна производной от колличества движения, затрачиваемого маятником на преодоление сил сопротивления. В этом случае оба слагаемых должны уменьшаться и обратиться в нуль одновременно с их разнотью в момент остановки маятника.

• Как алгебаическая сумма движущей силы, порождающей свободные колебания (mg sin ф ), и производной от колличества движения, затрачиваемого маятником на преодоление сил сопротивления. В этом случае первое слагаемое не будет изменяться, а второе будет возрастать, в следствие чего их разность обратится в нуль в момент остановки маятника.

Из формул (10) следует, что силы сопротивления (производные от колличества движения, затрачиваемого маятником на преодоление сил сопротивления) представляются функциями четвертой и шестой степени относительно в.

Ftp = kf4 [в(t)] (

" ' (13)

Fconp = kf4 [B(t)]-

k f6 [B(t)]

k2 f4 [B(t)]

где k, k1, k2 - коэффициенты, зависящие от природы трения, B(t) = ВоF [и (t)] .

(14)

Рис.1. Сопоставление кривых затухания колебаний маятника при различных значениях коэффициентов, характеризующих природу трения

Следовательно, закон погасания колебаний маятника определен в случае сопротивления трения уравнением степени не ниже четыре, а при колебаниях в сплошной среде - уравнением степени не ниже шести. Однако в результате сопоставления кривых, определяющих колебания маятника под действием силы трения в шарнирах, можно видеть, что коэффициенты, входящие в уравнение, описывающее закон погасания колебаний маятника под действием силы стрения, равно как и их поведение, зависят от материалов, из которых изготовлены трущиеся поверхности шарниров (металл-металл, металл-пластик и т.д.). Закон погасания также зависит от вида трения (вязкое, сухое) (см. рис.1).

В связи с этим планируется постановка двух серий экспериментов для точной идентификации кривых, полученных в результате измерений и расчетов, а именно, для изучения погасания маятника при сопротивлении трения и для изучения погасания маятника при сопротивлении сплошной среды.

Литература

1. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ, 1937. С.87-89

2. Вебстер А.Г. Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких тел. Л.-М.: ГТТИ, 1933.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М, ГИФМЛ, 1958.

4. Яворсий Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. М.: Наука. Физматлит, 1996. С. 312-316

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е М. Механика. М.: Физматлит, 2004. С. 104-107

6. Несмачный Д.В., Иванов В.А. Построение аналитического описания поведения силы, действующей на маятник, при движении его в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости. / Материалы II межвузовской конференции молодых ученых. СПб: С-ПбГУИТМО, 2005.