CC BY
349
В настоящее время в лестничном проеме одного из вестибюлей Института геологии Коми научного центра УрО РАН монтируется маятник Фуко. Длина подвеса (стальной нержавеющей проволоки) составляет 17 м, масса стального шара — 56 кг, амплитуда качаний до 1.5 м, период — 8.27 с. Верхний конец проволоки закреплен с помощью универсального карданного шарнира с параметрическим стимулированием колебаний.
Историческая справка
Великий французский физик Жан Бернар Леон Фуко (1819—1868) сконструировал особый маятник, с помощью которого 8 января 1851 года доказал, что Земля вращается. Маятник Фуко представлял собой пятикилограммовый шар, сделанный из латуни, подвешенный на стальной проволоке длиной 2 м к потолку таким образом, чтобы колебания были свободными в любой вертикальной плоскости. Фуко обнаружил, что плоскость колебаний шара постепенно поворачивается по часовой стрелке с постоянной скоростью, хотя ранее он был убежден, что плоскость колебаний маятника не должна менять своей ориентации в пространстве, — значит, Земля вращается вокруг плоскости колебаний маятника! 3 февраля того же года уже в Парижской обсерватории Фуко продемонстрировал движение маятника акаде-
МАЯТНИК ФУКО: СОВРЕМЕННЫЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ИСТОРИЧЕСКОГО НАУЧНОГО ИНСТРУМЕНТА
Д. г.-м. н. В. И. Ракин
микам Французской академии наук. На президента Франции Л. Бонапарта, будущего императора Наполеона III, такое поведение маятника произвело настолько сильное впечатление, что было принято решение публично продемонстрировать народу эффект вращения Земли, разместив теперь уже третий маятник в парижс-
Жан Бернар Леон Фуко (1819-1868)
ком Пантеоне — усыпальнице выдающихся людей Франции. Чугунный шар массой 28 кг был подвешен на проволоке длиной 67 м, закрепленной под куполом Пантеона. Полное колебание маятника размахом 6 м со-
вершалось за 16.4 с и при каждом очередном цикле положение маятника смещалось на 3 мм. За час плоскость колебаний поворачивалась на 11°. Под маятником на круглом помосте по окружности был насыпан валик песка, на котором игла маятника оставляла черту. Чтобы избежать бокового толчка при запуске маятника, его отводили в сторону с помощью веревки и затем ее пережигали.
Этот опыт вошел в историю науки как один из ярких экспериментов классической физики, доказывающий непосредственно в лаборатории вращение Земли, а не небесной сферы.
Самый большой в истории маятник Фуко (длина проволоки 98 м) был размещен в Исаакиевском соборе Санкт-Петербурга и запущен в ночь с 11 на 12 апреля 1931 г. в присутствии 7 тыс. зрителей. История свидетельствует о том, что публика была в восторге. Тогда это назвали триумфом науки над религией. Однако в 1992 г. маятник был снят как не соответствующий религиозному назначению здания. Теперь в Санкт-Петербургском планетарии есть лишь один маятник Фуко с длиной проволоки около 8 м. Другой маятник с подвесом в 12 м установлен в Смоленском городском планетарии.
В вестибюле здания Генеральной Ассамблеи ООН висит позолоченный медный шар массой 90 кг на
нержавеющей проволоке длинои 22.8 м. Маятник Фуко, подаренный Правительством Нидерландов, совершает незатухающие колебания. Верхний конец проволоки закреплен с помощью универсального шарнира, что позволяет маятнику свободно качаться в любой вертикальной плоскости. При каждом цикле колебаний шар проходит над металлическим кольцом с электромагнитом, и в результате электромагнитного взаимодействия маятнику сообщается необходимая энергия для преодоления трения и сопротивления воздуха, что обеспечивает равномерность его качания.
Демонстрационные маятники Фуко установлены в ряде высших учебных заведений, в том числе в университете Британской Колумбии (Ванкувер, Канада), университете Луисвил-ля (Кентукки, США), и в планетариях, например в г. Варна (Болгария).
Теория маятника Фуко
Маятник Фуко представляет собой так называемый математический маятник. Плоскость качания маятника вращается в северном полушарии по часовой стрелке согласно формуле w = w0 sin ф , где w0 - угловая скорость вращения Земли (15° в час), j - широта местности, где установлен маятник.
В южном полушарии вращение происходит против часовой стрелки. На широте Института геологии 61° 40' 16" скорость вращения плоскости качания маятника составит около 13.2° в час. Наибольшая скорость вращения плоскости колебаний (15° в час) должна наблюдаться на полюсах Земли, где полный поворот плоскости колебаний будет происходить за 24 часа, а на экваторе вращения не будет.
Более точная формула, учитывающая криволинейное движение шара по отрезку дуги, выглядит следующим образом:
w = w,
3 2
1 --(A / L)2 8
sin ф , (1)
где А - амплитуда колебаний маятника, Ь - длина проволоки.
Рассмотрим колебания математического маятника в условиях трения о воздух. Уравнение динамики с вязким трением шара можно представить как
т1?а = -mgLa - впцЯЬ2а , (2) где т - масса тела, g - ускорение свободного падения, а - угол отклонения маятника от вертикали, й - коэффициент вязкости воздуха, Я - радиус шара, точка над символом означает производную по времени, а две точки - вторую производную.
Преобразуя уравнение динамики, полагая Ш = g / Lи ,
получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
а + 2(3а + (о20а = 0, (3)
решение которого можно представить в виде
а = А0е^' соз(го/ + ф),
где® =
л/®о -Р2
Таблица 1
Параметры маятника
Величина Значение Размерность Примечание
л 1.84-10 5 кг/(м-с) Вязкость воздуха
R 0.15 м Радиус шара
m 56 кг Масса шара
L 16 м Длина подвеса
Р 7.42Т0~7 с~' Коэффициент затухания
g 9.81 м/с2 Ускор ение свободного падения
со 0.7830 с~’ Циклическая частота колебаний
Т 8.0243 с Период колебаний
Ао 1.2 м Начальная амплитуда колебаний
согласно расчетам составят в среднем 0.40 мДж. На первом этапе создания маятника планируется уточнить силу трения в реальном механизме маятника. На втором этапе, для того чтобы скомпенсировать потери, предложено использовать явление параметрического резонанса с вертикальным движением точки подвеса. Индукционный метод компенсации затухания, используемый в маятниках Фуко за рубежом, на наш взгляд, вносит существенную периодическую систематическую ошибку в динамику вращения плоскости колебания. Вертикальный способ стимулирования исключает ее.
Вертикальные колебания точки закрепления подвеса с амплитудой, связанной с конкретной частотой резонанса:
2ю
со„ =■
п
Для расчетов использованы параметры маятника, приведенные в табл. 1.
Тепловое расширение проволоки длиной 16 м при сезонном колебании температуры в 15° составит 2.74 мм, что незначительно. Для учета потери механической энергии в карданном подвесе и при трении проволоки о воздух коэффициент Ь увеличен в десять раз. Более точное значение этого параметра устанавливается экспериментально.
Таким образом, одно колебание математического маятника (Т = 2р/ш) происходит за 8.02 секунды. Взяв начальную амплитуду колебаний А0 за 1.2 м, рассчитаем зависимость амплитуды и угла поворота плоскости колебаний от времени за сутки при условии вязкого трения (табл. 2).
Потери энергии на вязкое трение при одном периоде колебаний
где n=1, 2, 3, 4..., позволят осуществлять незатухающие колебания маятника. Уравнение динамики (3) в этом случае принимает вид:
а + 2 (За + а>о (1 + b„ cos соя/)а = 0, где параметр bn определяется амплитудой вертикальных качаний точки закрепления подвеса при соответствующей частоте wn.
Таблица 2
Время, час Амплитуда колебаний, м Угол поворота плоскости колебаний, град
0 1.200 0.0
1 1.161 13.17
2 1.122 26.33
3 1.086 39.50
4 1.050 52.67
5 1.015 65.83
6 0.982 79.00
7 0.950 92.17
8 0.919 105.34
9 0.889 118.51
10 0.859 131.68
11 0.831 144.85
12 0.804 158.02
13 0.777 171.19
14 0.752 184.36
15 0.727 197.53
16 0.703 210.71
17 0.680 223.88
18 0.658 237.05
19 0.636 250.22
20 0.615 263.40
21 0.595 276.57
22 0.576 289.75
23 0.557 302.92
24 0.538 316.10
Техническое исполнение и регулировка параметрического компенсатора требует дополнительных измере -ний, которые планируется выполнить в ближайшее время.
Назначение маятника
Маятник Фуко является прекрасной иллюстрацией вращения Земли и таит в себе возможности изучения глобальных физических явлений в рамках планеты Земля надежными и проверенными методами классической физики.
Согласно формуле (1) угловая скорость вращения плоскости колебания маятника Фуко связана с широтой местности. Измеренная с необходимой точностью величина w позволить установить точное значение широты. Местоположение нашего маятника, по данным Google Earth, соответствует широте 61° 40' 15.96", или 1.07636375 радиан. Можно предположить, что, измерив в Сыктывкаре широту с точностью до 10-8 рад или до 0.01 угловой секунды, можно говорить о погрешности измерения положения оси Земли около 5 см по направлению 51 меридиана восточной долготы.
По современным геофизическим данным, средняя скорость движения оси вращения Земли — около 10 см в год. На станциях Международной службы движения полюсов Земли, которая была создана в 1899 г. и до 1961 г. называлась Международной службой широты, проводится мониторинг движения оси вращения Земли относительно ее географической оси. В среднем ось вращения движется со скоростью около 10 см в год — около 1° в 1 млн лет. Основным методом, позволяющим измерять географическую широту местности, является астрометрический метод, используемый для изучения положения звезд относительно данной обсерватории.
Необходимую точность измерений теоретически можно достичь, устранив систематические и случайные погрешности измерения и проведя длительные прецизионные наблюдения незатухающих колебаний маятника Фуко. Оценим длительность эксперимента и точность измерения угла поворота для плоскости колебаний маятника. Предположим, что время опыта составит 1 месяц — 720 часов. За один час плоскость колебаний маятника поворачивается на угол 13.1655°, а за месяц — 165.442552 рад. Чтобы
измерить такой угол с относительной погрешностью 10-8, точность измерения угла для эксперимента в 1 месяц должна составлять не менее 10-6 рад, что соответствует 0.2 угловой секунды. Для этого при амплитуде колебаний маятника в 1 м положение крайней точки покоя шара необходимо измерять по дуге окружности с точностью до 1 мкм, что, к сожалению, не представляется возможным. Очевидно, систематические ошибки можно
частично устранить или учесть, но необходимо признать, что трансформация плоских колебаний во вращательные может сорвать эксперимент. Пока задача повышения точности измерений на маятнике Фуко не решалась.
Дмитрий Медведев провел 17 марта заседание Совета безопасности «О мерах по предотвращению угроз национальной безопасности Российской Федерации в связи с глобальным изменением климата». Проблема глобального потепления, столь широко обсуждаемая в мире, становится жизненно важной для любого государства, ее экономики и граждан. Споры ученых и не только ученых ведутся на всех уровнях. Однако прекратить спекуляции на эту тему можно только научными методами, доказав или опровергнув гипотезу глобального потепления в течение достаточно длительного периода наблюдений.
Сейчас таяние многолетних льдов и подъем уровня океана в результате перераспределения масс считается главным фактором, влияющим на смещение оси вращения Земли. Например, таяние Гренландского ледникового щита площадью
1.71 млн км2, со средней толщиной льда 2000 м (максимальная толщина - 3416 м) привело бы к подъему уровня Мирового океана на 7 м и к существенному отклонению оси вращения. Считается, что при повышении среднегодовой температуры в регионе всего на 3 °С ледниковый щит может растаять полностью. Если бы все ледники мира растаяли, уровень моря поднялся бы на 64—70 м. В последнее время, по мнению иностранных ис-
следователей, процесс таяния льдов всё больше затрагивает ледники Гренландии и Западной Антарктики, и по недавним оценкам подъем уровня моря к 2100 г. может составить 200 см.
Однако высказываются предположения и о том, что смещение коры и мантии Земли в результате сейсмических процессов может иметь более существенное влияние на смещение оси вращения Земли, чем таяние ледников. Если глубинные процессы Земли развиваются в постоянном темпе, то глобальное потепление, согласно представлениям его сторонников, ускоряется. Таким образом, контроль широты, которую теоретически позволяет измерять маятник Фуко, становится весьма актуальной геофизической задачей.
Маятник Фуко строится в Институте геологии по инициативе академика Н. П. Юшкина. Финансирование работ взял на себя И. Н. Бурцев, расчеты и проектирование - В. И. Ра-кин, техническое исполнение - В. В. Попов, помощь в монтаже - технические службы института под руководством Н. А. Никитина.
