Аналитический расчёт собственных и вынужденных колебаний пластинчатосетчатой панели Текст научной статьи по специальности «Физика»

ления; ТКНД — параметры газа за турбиной низкого давления; ТКВД — параметры газа за турбиной высокого давления; Г — параметры газа на входе в турбину; С — сопло.

Библиографический список

1. Теория, расчет и проектирование авиационных двигателей и энергетических установок. В 3 кн. Кн. 3 Основные проблемы: Начальный уровень проектирования, газодинамическая доводка, специальные характеристики и конверсия авиационных ГТД / В. В. Кулагин [и др.] ; под общ. ред. В. В. Кулагина. — М. : Машиностроение, 2005. — 464 с.

2. Кузнецов В. И. Замкнутая математическая модель рабочего процесса газотурбинных двигателей : монография. — Омск : Научное изд-во ОмГТУ, 2007. — 138 с.

КУЗНЕЦОВ Виктор Иванович, доктор технических наук, профессор, преподаватель кафедры «Авиа- и ракетостроение».

ВОЛОВОДОВА Анастасия Александровна, студентка магистратуры, группа AKмД-619.

КОЧЕГАРОВ Андрей Владимирович, студент магистратуры, группа AKмД-619.

ФАТКИНА Ольга Александровна, студентка магистратуры, группа AKмД-619.

Aдрec для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 22.04.2011 г.

© В. И. Кузнецов, А. А. Воловодова, А. В. Кочегаров

О. А. Фаткина

УДК 621 : 534.014.1 /.2 Д. КОРНЕЕВ

М. Д. ФЁДОРОВД

Омский государственный технический университет

ДНДЛИТИЧЕСКИЙ РДСЧЁТ СОБСТВЕННЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБДНИЙ ПЛДСТИНЧДТО-СЕТЧДТОЙ ПДНЕЛИ____________________________________________

Предложена математическая модель малых колебаний пластинчато-сетчатой панели (ПСП), используемой для звукоизоляции разнообразных объектов. Дна-литическое решение для частного случая расположения ПСП в поле сил тяжести получено новым нестандартным методом, пригодным для определения амплитуд и собственных частот малых колебаний консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Результаты проведённого исследования предназначены для последующих расчётов ПСП на вибропрочность.

Ключевые слова: пластинчато-сетчатая панель, собственные колебания, вынужденные колебания.

Пластинчато-сетчатая панель (ПСП) состоит из квадратных металлических пластин, закреплённых с двух сторон на несущей металлической сетке (рис. 1). В каждом из двух направлений число сдвоенных пластин может быть разным.

В качестве простейшей расчётной схемы рассмотрим конструкцию ПСП, состоящую из одного ряда 15-ти сдвоенных пластин, связанных между собой стальными проволочками, работающими на упругое растяжение и сжатие (рис. 2). Данная панель расположена горизонтально и находится под действием сил тяжести. Внешнее воздействие носит кинематический характер: крайние пластины жёстко закреплены на раме, которая совершает гармонические колебания в вертикальном направлении по закону

8 = 80 8Ш(рг), (1)

где еа — амплитуда колебаний, р = 2р/ — циклическая частота.

При переходе к неинерциальной системе отсчёта, связанной с рамой, на каждую из пластинок будет действовать сила тяжести С=тд и сила инерции

фе = -ш| = трХа віп(рі), (2)

где т — масса пластинки.

Массой проволочек и силами сопротивления пренебрегаем.

В аналитической механике движение системы с конечным числом степеней свободы N описывается посредством уравнений Лагранжа 2-го рода [1—3]

d эт эт _ ап * л -^7_-^7 + 0і, (1 £і£м), (3)

где Т, Р — кинетическая и потенциальная энергия системы, положение которой в каждый момент времени определяется обобщёнными координатами (і= 1..№); Оі — обобщённая (непотенциальная) сила, отнесённая к і-й обобщённой координате.

Кинетическая энергия ПСП 15x1 определяется выражением (рис. 2)

Т _ 1 £ [шй2 (п) + шй2 (п) + Луф2 (п)], (4)

2 п _ 2

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

130

“эа

ТУ-------------о

ІХПЇ

с

д

д

а

Рис. 1. Конструктивная схема ПСП

где т, JY — масса и главный центральный момент пластинок; и1(п), и3(п), р(п) — компоненты вектора перемещения центра масс и угол поворота пластинки под номером п соответственно.

Для ПСП 15x1 потенциальная энергия П складывается из потенциальной энергии сил упругости П а и потенциальной энергии сил тяжести П :

П= П + П .

V а

(5)

Потенциальная энергия сил тяжести равна (рис. 2) 14

пд _-£шдиз(п). (6)

п _ 2

Потенциальная энергия сил упругости складывается из потенциальных энергий отдельных проволочек, которые находятся в условиях деформации растяжения-сжатия. На основании этого получаем [4, 5]

Па = NПр X ^4^ М0 (к)= £10 (к)е2 (к), (7)

к _1

2

2

к _1

о;(). £ ф8,і ,

п_2 оді

шХ аР £

аиз (п)

п_2 Зд;

а(Р1). (8)

3Яі

3Яі

3Яі

тогда

где

(1 < п < 15) (10)

О* (і) _ О^іп(рі), (1 < і < 19), (11)

_ шХаР2 £8зі (п) п _ 2

(12)

— амплитудные значения возмущающих обобщённых сил.

В соответствии с (3) обобщённые потенциальные силы

Оі, (1 < і < 19) 3Чі

(13)

где N — число проволочек в одном ряду; є(к) — деформация проволочек из к-го ряда, имеющих начальную длину 10(к) и площадь поперечного сечения A; E — модуль Юнга.

Обобщённая сила , обусловленная действием переносной силы инерции Фе _ -ш Хіз , в соответствии с известным соотношением [1—3] равна:

складываются из двух слагаемых:

О, Ы = Оа1 Ы + Од, ЫД1 £ 1 £ 19) . (14)

Qgi (д) — обобщённые гравитационные силы, Qsi (д) — обобщённые силы упругости.

Уравнения равновесия ПСП вытекают из уравнений движения (3):

Оі (д) _ °аі Ы + Оді (д) _ 0, (1 <і <19)

(15)

Из рис. 2 в качестве обобщённых координат на основании симметрии ПСП и одинаковых значений действующих на пластины силы тяжести и переносной силы инерции можно взять величины

{д} = { и 1(2), и3(2), ](2); и 1(3), ^(3), р(3);

... иД7), и3(7), ](7); и3(8)}. (9)

Благодаря условиям симметрии число степеней свободы ПСП 15x1 при рассматриваемом силовом воздействии равно 19.

Введём следующие обозначения:

8„ (п ).*# .83, (п),^£> ,8„

Решение системы нелинейных уравнений (15) даёт значения обобщённых координат д. = в положе-

нии статического равновесия, относительно которого совершаются вынужденные колебания ПСП под действием обобщённых возмущающих сил (11).

Кинетическая энергия ПСП (4) может быть представлена в виде квадратичной функции обобщённых скоростей д:

1 19 19 Т _- £ £ АЧВД;.

2 і _1 _1

Здесь

32Т

Аі _3д^—, (1 < У < 19)

(16)

(17)

— коэффициенты инерции. Согласно (9), (10) имеем 3и1 (п) Зи^п)

аді

3Яі

: 81і(п) ,

Рис. 2. Расчётная схема ПСП 15x1

- ^ - 8., (п) #-^.5,, (п)

»С£! Зя, 0С£, Зя,

Поэтому, подставляя выражение (4) в (17), после несложных вычислений получаем

14 Г

Ач = X |ш8и (п)5іі (п) + :

п=2

+ ш3І(п)83](п) + Лу8Ф1(п)8ФІ (п)]. (18)

Осуществим замену обобщённых координат д, обобщёнными координатами хі, отсчитываемых от равновесных значений д,0:

д = д,0 + х,, (1 < і, ] < 19). (19)

Понятно, что в положении равновесия ПСП х, = 0. На основании (19) можно записать следующие выражения для кинетической и потенциальной энергии:

1 19 19

т = - X X ачХіХj,

2 І = 1] = 1

1 19 19

П = п0 + - X X СчХіХ]

2 І = 1] = 1 '

(20)

сІі

з 2п

Зчі зд.

(1 < І,] < 19)

19 19 * , ч , ч

X АІ]3&] + X Сі]Х] = Оаі sin(pt), (1 < у < 19)

(21)

Ах + Сх = оа sin(pt), где соответственно

А = А ]І,]=19, с = [сіі ]і,]=1 1 Ч-*і,і = 1 1 Ч-Ч.і = 1

квадратные матрицы инерции и жёсткости,

|і=19

х=[хі ]і=19, °=к ]і=19

(22)

(23)

(24)

— векторы (матрицы-столбцы) обобщённых координат амплитуд и возмущающих сил.

Согласно (18), (20), матрица инерции является симметрической и положительно определённой (V — вектор):

Ат = А, ("V * 0), vTAv > 0.

(25)

Такими же свойствами обладает и матрица жёсткости:

Ст = с, ("V * 0), vTCv > 0

(26)

где Р0 = Р(д0) — равновесное значение потенциальной энергии ПСП,

поскольку по теореме Лагранжа-Дирихле в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет минимальное значение [1—3].

По аналогии с тензорным исчислением [6] введём понятие диадного произведения у 0 ^ двух произвольных векторов V и результатом которого является квадратная матрица

(27)

— коэффициенты жёсткости.

Если подставить выражения (11), (20) в уравнения Лагранжа (3) и проделать необходимые вычисления, придём к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Тогда матрицу инерции можно представить в виде

(28)

А= X0а5

s = 1

где а8 — собственные числа, а а8 — единичные собственные векторы (матрицы-столбцы) матрицы инер-

ции А ( а ,51| = 1, ||VI = \ Vх V , — норма вектора V). Благодаря свойствам (21) собственные числа а5 положительны, а собственные векторы а8 взаимно ортогональны:

описывающих вынужденные колебания ПСП 15x1 при гармоническом воздействии.

Найдём решение уравнения вынужденных колебаний ПСП. Представим уравнения движения (21) в матричной форме записи

2; > а аТа] = 0 (і * і).

(29)

Вследствие этого существует квадратный корень А1/2 матрицы инерции А:

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

132

А‘/2 _ £ аБ ® ав .

в_ 1

Введём в рассмотрение вектор у(ґ)=Л1/2х(ґ).

Подставляя в (22) обратное значение х(ґ) =Л 1/2у(ґ), получим

собственные (циклические) частоты ПСП. В свою

(30) очередь, величины (41) являются приведёнными амплитудами возмущающих сил по отношению к нормальным координатам.

Чтобы получить начальные условия для норма-

(31) льных координат лг, умножим (37) на Ъгт и подставим в полученный результат выражение (31). Будем иметь

А1/2у(і;) + СА 1/2у(і) _ Оа віп(р1) у() + Ву() _ А-1/2Оа віп(рі),

где

(1) = ЪТЛ1/2х(1). (42)

Следовательно,

Лг (0) = ЪТЛ1/2х(0), ^г (0) = ЪТЛ1/2х(0). (43)

(32) Общее решение неоднородного дифференциаль-

ного уравнения (40) с начальными условиями (43) при р^кг имеет вид [7 — 9]

В = А-1/2СА1/2

(33)

— приведённая матрица жёсткости, являющаяся в силу (25), (26) симметрической положительно определённой квадратной матрицей:

Вт _ В, ("V * 0) vTBv > 0.

(34)

Поэтому собственные числа матрицы В положительны, а её единичные собственные векторы Ъ8 взаимно ортогональны:

Ьі > 0, ЪТЪ і _ 0 (і * і).

(35)

Векторы Ъ8 образуют в 19-мерном векторном пространстве ортонормированный базис. В этом базисе матрица В имеет спектральное разложение 19

В _ £ Ъ5Ъ5 ® Ъ5. (36)

в _1

Разложим вектор (31) по базису {Ъз}:

у(і)_£ Л8 ()ъ5. (37)

в _1

Подставим результат в уравнение (32) и учтём,

Лг () _ Сг віп(кг1 + а г) +

Ьг

к2 - р2

зіп(рі)

где

Сг _

Л2 (0) +

!д(а г )_■

Лг(0) р Ь

кг кг к2 - р2

Лг (0)кг

Лг (0 )-

к2 - р2

(44)

(45)

(46)

Первое слагаемое в правой части (44) характеризует собственные колебания ПСП, а второе слагаемое — вынужденные колебания. Величина (45) определяет амплитуду С соответствующей нормальной координаты при собственных колебаниях ПСП, а величина (46) — сдвиг фазы аг по отношению к возмущающей силе. Так как при наличии даже малых сил сопротивления, не учтённых при получении решения (44), собственные колебания быстро затухают [7 — 9], при установившемся режиме движения ПСП имеют место только вынужденные колебания:

19 19 19

ВУ _ В £л8Ъ5 _ £Л8въ5 _ £Л5ъ5Ъ5.

в_1 в_1 в_1

Тогда, вводя обозначение

к5 _ 7^7 , (38)

придём к уравнению

19 19 *

£л5()ъ5 + £ к2л5 ()Ъ5 _ А-1/2Оа зЦр^. (39)

5_1 5_1

Умножив (39) на транспонированный вектор (матрицу-строку) Ъгт и приняв во внимание условия ортогональности (35), придём к следующему результату:

(і) + к^г (/) _ К ят(рі), (1 < г < 19),

где

Ьг _ ЪТ А-1/2О* .

(40)

(41)

Лг ()_

Ьг

к2 - р2

зіп(рі)

(47)

Формула (47) применима вне резонансной зоны, ибо когда р®к, амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает и допущение о малости перемещений пластин около положения равновесия и об упругом характере деформирования проволочек несущей металлической сетки перестаёт быть справедливым. В случае резонанса необходимо учитывать пластические свойства материала, из-за чего задача становится существенно нелинейной. Поэтому доступным является только её численное решение.

Обратим выражение (31):

х(1)=А-1/2у(1)

(48)

Подставив (37) в (48) и приняв во внимание (47), будем иметь

где

Глядя на (40), становится понятным, что параметры лг являются нормальными (обобщёнными) координатами ПСП, а величины (38) представляют собой

х(і) =А хо(і)8іп(рі),

(49)

(50)

или

что

х

а

Таблица 1

Равновесные значения обобщённых координат (см. рис. 2)

qi=ui(2), м -2,702-10-6 q7= ui(4), м -1I53640-■5 qi3=ui(6), м -lIl75■10—5

q2= из(2), м 7,933-10-4 qs= из(4), м 3I39240-13 qi4=U3(6), м 4I952■10—3

q3= j (2), рад - 0,023 qg= j (4), рад -0,016 qi5= j(6), рад -7Iа2а■10—3

q4=ui(3), м —1,157 ■ 10-5 qio=Ui(5), м -1I50840-'5 qi6= ui(7), м -6Iзаз■lo—6

q5=U3(3), м 2I223■10■3 qii = U3(5), м 4I30240-13 qi7=U3(7), м 5,341 ■lo-3

qe= j(3), рад -0,02 qi2= j(5), рад -0,012 qi8= j (7), рад -З^І^Ю-33

qi9= из(8), м 5,471 ■lo-3

Таблица 2

Собственные частоты ПСП

№ п/п f Гц № п/п fI Гц № п/п f I Гц

1 12,742 7 436,984 13 851,077

2 23,20,4 8 512,463 14 1,37740з

3 39,566 9 574,978 15 2I684403

4 58,158 10 659,081 16 3i857403

5 78,677 11 7,41,281 17 4I837403

6 97,876 12 808,026 18 5I574■103

19 6,0ЗЬ103

— амплитудный вектор обобщённых координат х, отсчитываемых от равновесных значений qf в соответствии с формулами (19). Выражения (50) позволяют построить амплитудно-частотные и фазо-частот-ные характеристики для обобщенных координат xi

(1 £ i, j £ 19).

Согласно (50) при реализации предложенного метода используется единственная сложная операция

— определение собственных чисел и векторов квадратной матрицы, которые достаточно просто осуществляется в любом из известных математических программных комплексов, например, MathCAD или Maple.

В качестве примера рассмотрим ПСП со следующими параметрами: геометрические размеры (рис.1) — a = 65,4 мм, b = 4 мм, с= 1,5 мм, А= 1 мм, l0 = 5 мм; материал— сталь 12Х18Н9Е, плотность— р = 7,8.103 кг/см3, модуль Юнга — Е = 195. 109 Па; диаметр проволочек — d = 0,22 мм; количество проволочек в одном ряду — N = = 68; масса сдвоенной пластины — т=2,66940-1 кг; главный центральный момент инерции — JY = 9,75.10-5 кг.м2.

Полученные при этом значения обобщённых координат в положении статического равновесия и значения собственных частот приведены в табл. 1 и табл. 2 соответственно.

Библиографический список

1. Бухгольц, Н. Н. Основной курс теоретической механики. В 2 т. Т.2 / Н. Н. Бухгольц. - М. : Наука, 1967. - 332 с.

2. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики. В 2т. Т.2. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. — М. : Наука, 1970. — 299 с.

3. Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики / Н. Н. Никитин. — М. : Высш. шк, 1990. — 607 с.

4. Работнов, Ю. Н. Сопротивление материалов / Ю. Н. Ра-ботнов. — М. : ГИФМЛ, 1962. — 456 с.

5. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Фео-досьев. — М. : Наука, 1979. — 560 с.

6. Корнеев, С. А Тензорное исчисление / С. А Корнеев. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2007. — 176 с.

7. Иориш, Ю. И. Виброметрия / Ю. И. Иориш. — М. : ГНТИМЛ, 1963. - 772 с.

8. Основы теории колебаний / Под. ред. В. В. Мигулина. — М. : Наука, 1988. — 392 с.

9. Яблонский, А. А. Курс теории колебаний / А. А. Яблонский, С. С. Норейко. — М. : Высш. шк., 1975. — 248 с.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцент (Россия), заведующий кафедрой «Сопротивление материалов».

ФЁДОРОВА Мария Александровна, старший преподаватель кафедры «Сопротивление материалов». Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 07.07.2011 г.

© С. А. Корнеев, М. А. Фёдорова

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ