Аналитические выражения для пространственного распределения концентрации выбросов энергетических предприятий в пограничном слое атмосферы Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ВЫБРОСОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРЕДПРИЯТИЙ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

А.А. ФЕДОСОВ

Казанский государственный энергетический университет

Предлагаются

аналитические

выражения для аппроксимации

пространственного распределения концентрации выбросов в пограничном слое атмосферы.

На сегодняшний день математические модели разной степени сложности широко применяются для предсказания и анализа распространения выбросов загрязняющих веществ в атмосфере [1-6]. В предыдущих работах автора [7-8] предлагаются математическая модель распространения выбросов теплоэнергетических предприятий в пограничном слое атмосферы, построенная на основе уравнения турбулентной диффузии, и аналитические выражения, аппроксимирующие результаты расчета приземной концентрации, получаемые с помощью предлагаемой модели. В настоящей работе исходная математическая модель уточняется за счет применения новой аппроксимации скорости ветра, представлены также уточненные варианты выражений для приземной концентрации и пространственного распределения концентрации выбросов.

Рассмотрим стационарный точечный источник выбросов высотой Н и мощностью выброса Q, расположенный в начале ортогональной системы координат, причем ось х ориентирована по направлению ветра в приземном слое, а ось г - вертикально вверх. В работе используется предположение о пространственно-временном постоянстве метеорологических условий и обычная классификация по классам (категориям) устойчивости атмосферы: 1-3 - разные степени неустойчивости, от сильной до слабой; 4 - безразличная стратификация; 5-6 - разные степени устойчивости [3]. Применяемая математическая модель основана на уравнении турбулентной диффузии, при этом распределение концентрации выбросов в поперечном к ветру направлении у полагается гауссовым:

источника времени осреднения и, вообще говоря, от высоты источника. Приближение (1) подтверждается опытными данными и в настоящее время широко используется [3,6]. Для величины а у (х) часто применяется зависимость

',па у (х)

(1)

где а У (х) - дисперсия примеси в этом направлении, зависящая от расстояния от

© А. А. Федосов

Проблемы энергетики, 2005, № 3-4

( Т \ 0,2

[3] а у = Ьух| — , где Т - время осреднения в минутах (Т =20 соответствует

V 20 У

так называемому разовому осреднению); типичные значения Ьу приводятся в таблице 1. Принимается, что функция к( х, г) удовлетворяет уравнению диффузии

, .дs дs д ч дs>

и(г)-— ——I к(г)—

дх дг дг V дг

= 0 . (2)

Здесь и(г)- скорость ветра; к(г)- коэффициент турбулентной диффузии; w -скорость гравитационного осаждения твердых частиц (в случае газообразных выбросов w = 0). Поскольку размеры источников выбросов малы по сравнению с расстояниями, на которых исследуется создаваемое ими поле концентраций, при постановке начальных условий рассматривают только точечные или линейные источники. Для точечного источника, расположенного в точке х = 0, у = 0,

г = Н, начальное условие записывается в форме [4]

иц = Q8(у)8(г - Н) при х = 0, (3)

где 5(г — Н) - дельта-функция; Q - выброс вещества от источника за единицу времени. Под Н понимается эффективная высота источника: Н = Н + АН, где Н -геометрическая высота источника; АН - высота начального подъема примеси. В случае газообразных выбросов на нижней г = 0 и верхней границе г = Н1 , соответственно, обычно ставится условие отражения

дк

к^ = 0. (4)

дг

При разностном решении величина Н1 должна выбираться так, чтобы ее

увеличение не сказывалось на разностном решении в рассматриваемом диапазоне расстояний от источника. Задача расчета поля концентраций выбросов сводится к определению функции к(х, г) из уравнения (2) при начальном условии (3) и граничных условиях (4).

Таблица 1

Параметры модели

Параметр Класс устойчивости атмосферы

1 2 3 4 5 6

Ьу 0,16 0,15 0,14 0,11 0,06 0,05

Ак -0,67 -0,46 -0,32 0,07 0,30 0,83

* Ь 0,7 0,7 0,6 0,4 0,25 0,25

Лк 1,05 0,7 0,5 0,33 0,15 0,07

Исходные уравнения (1)-(4) использовались многими авторами [1-5]. Отличие этих работ состоит в выборе профилей скорости ветра и коэффициента турбулентной диффузии, а также в способе решения рассматриваемой краевой задачи. В имеющихся моделях обычно используется степенной или логарифмический закон роста скорости ветра с высотой, в то время как скорость ветра стремится к постоянному значению при приближении к верхней границе пограничного слоя. В работе [9] для разных классов устойчивости атмосферы предложен способ восстановления профиля скорости ветра в пограничном слое по наземным метеорологическим данным. Профиль скорости ветра в пограничном слое (при С ^ СЬ) задается в виде

и( г) = — н(0, г = &, X = %и*// X

где х = 0,4 - постоянная Кармана; / - параметр Кориолиса; величина £ь считается заданной. В [9] содержатся таблицы и(£) для разных классов устойчивости, и* - динамическая скорость выражается через скорость на высоте флюгера ию с помощью функций Бюзингера

и* = Хи10А( г0 ^ А( г0) = -л-тЦ—Г", г/ =10 м,

1п(г//г0) + Ак

здесь г0 - шероховатость подстилающей поверхности; значения коэффициента

Ак приводятся в таблице 1. Вне пограничного слоя (при £ >СЬ) скорость ветра

полагается постоянной. Профиль скорости ветра [9] используется в работах [7,8, 10-17] для расчета начального подъема и распределения концентрации выбросов, при этом приходится решать задачу аппроксимации табличных значений скорости ветра тем или иным аналитическим выражением. В [13] для аппроксимации табличных значений скорости ветра предлагается зависимость

и = ию(г/г/)а при ь» и = иь при С>Сь. (5)

Выражение (5) лучше описывает профиль скорости в нижней части пограничного слоя по сравнению с аппроксимацией, применяемой в предыдущих работах [7,8,10-12]. Задача построения аппроксимирующей зависимости (5) сводится к применению метода наименьших квадратов для определения а [12,16]. Метод наименьших квадратов в стандартном виде приводит к необходимости решать нелинейные уравнения для определения а. Это затруднение можно легко обойти, используя вместо табличных значений их логарифмы. Логарифмируя (5), получаем

1п(и/ию)=аЫ, г = г/г/ .

Для определения параметра а необходимо найти минимум выражения £ (и[ - известные табличные значения скорости для заданных значений г = ):

© Проблемы энергетики, 2005, № 3-4

£=Е(1п(и*/ию)—“1пг! )2.

Решением поставленной задачи является следующее выражение:

X 1п(и*/и10 )г1

а = -------^-----.

X 1п2г*

Для практического использования показатель степени а удобно

представить в виде а = Ьи—0 , где коэффициенты Ь, с зависят от класса

устойчивости атмосферы и шероховатости г0. Для наиболее интересных для практики умеренно неустойчивых и нейтральных условий устойчивости атмосферы коэффициенты Ь, с представляются как функции шероховатости г0

в следующем виде: Ь = Ь1 г0* , с = Ь2г0С2 (для 0,05м </0 < 0,8м, 1м < «ю < 10м), значения коэффициентов приводятся в таблице 2.

Таблица 2

Коэффициенты аппроксимации Ь1, С1, Ь2 , С2

Класс Ь1 С1 Ь2 с2

2 0,380 0,315 0,213 0,095

3 0,425 0,240 0,223 0,091

4 0,486 0,206 0,264 0,094

Как и в работах [7,8], используется следующее выражение для коэффициента турбулентной диффузии, являющееся комбинацией известных приближений Юдина-Швеца и Будыко:

к = Лки*г при г < гтах , к = Лки*гтах при г > гтах, (6)

при этом коэффициенты Лк считаются зависящими от класса устойчивости атмосферы. Значения Лк для шести классов устойчивости атмосферы приведены в табл. 2. Для высоты излома коэффициента турбулентной диффузии гтах принимается соотношение гтах = аЛки* //, смысл которого состоит в том, что высота излома коэффициента турбулентной диффузии гтах пропорциональна характерному масштабу пограничного слоя атмосферы X = %и* / / , параметр а = 0,2.

Полученная краевая задача решается численно с помощью известных разностных схем Дюфорта-Франкела и Кранка-Николсона. Для газообразных выбросов эти схемы дают практически совпадающие результаты, при этом явная схема Дюфорта-Франкела легче в реализации и позволяет сократить затраты машинного времени.

В работах [7,8] предлагаются аналитические выражения для вычисления приземной концентрации выбросов. В предположении, что к( г) линейно зависит

от г, а и(г) - степенная функция г для осевой приземной (г = 0, у = 0) концентрации газообразных выбросов от точечного источника эффективной высоты Н , Бозанке и Пирсоном [3] получено следующее выражение:

Чо =-

й

-ехр

( Н'

л/ 2%/)у В оо и нх х В0 = 2Ви(Н)/иН, В = КН/иНН,

(7)

(8)

где Кн и Рн - средние в слое 0<г<Н значения к(г)ии(г). Подставляя в (8) профили (5) и (6) , получаем следующие конечные выражения:

В = (¡к и* при н < гт, В =

Лки* гт

1 -

2Н

Рн =

2Рн и10 {Н/г/ )*

1 + а

ни

Н

при гт < Н < гь;

В0 = 2(1 + а)В при Н < гь;

(9)

dku* гт

В =

1 -

2 Н

ни

, В0 =

Н

2В

1-

агь

(1 + а)Н )

при Н > гь;

иН = и10

/ N V

гь

Vг/ ] V

1 —

агь

(1 + а) Н

при Н > гь; гт =

0,2^и*

/

Для данного класса устойчивости атмосферы и заданных значений й, Н, ию и г0 приведенные выше соотношения позволяют рассчитать приземную концентрацию выбросов 40. Сравнение численного и аналитического методов решения рассматриваемой краевой задачи показывает, что полученные выше конечные соотношения в случае неустойчивой и нейтральной стратификации атмосферы можно рассматривать как аналитическое решение этой краевой задачи для приземной концентрации примеси. Для 2-4 классов устойчивости атмосферы относительное отличие численного решения и результатов расчета по аналитическим соотношениям обычно не превосходит 10-15% и увеличивается с ростом отношения Н/г/ (для источника вблизи границы пограничного слоя отличие результатов расчета может достигнуть 30%). С помощью конечных выражений для приземной концентрации выбросов можно легко проводить различные параметрические исследования. Параметры вертикальной диффузии В и В0 для заданного класса устойчивости атмосферы зависят только от

гт

гт

параметра п • Для характеристики положения источника выброса в пограничном слое атмосферы удобно использовать отношение іь / Н = £ь/ П • Внутри пограничного слоя параметр Бо меняется слабо, значительное убывание Во начинается при приближении к верхней границе пограничного слоя (іь / Н = 1). Для газообразных выбросов осевая координата максимума приземной концентрации хт связана с Бо соотношением

хт = Н/2Б0.

(1о)

Для практического применения желательно иметь также аналитические выражения для пространственного распределения выбросов. Для описания поля концентрации выбросов часто применяются гауссовы аппроксимации вида

«( х, і) =

й

л/2П

пист

ехр

- (I - Н )2 2ст 2

+ ехр

- (і + Н )2 2ст 2

(11)

где ст2 (х) - дисперсия гауссова распределения в вертикальном направлении, определяемая на основе обработки экспериментальных данных [5]. Выражение

12к X

(11) при ст г =——— является точным решением уравнения диффузии (2) для

V иь

концентрации выбросов с постоянными коэффициентами к = к—, и = иь [3, 4]. Во всех остальных случаях (11) представляет собой приближенное выражение для описания распределения концентрации выбросов, причем о качестве аппроксимации можно судить путем сопоставления с экспериментом или разностным решением соответствующей задачи. Для приземной осевой (у = 0,1 = 0) концентрации имеем выражение [5]

й

пЬустгих

ехр

Н

2ст

г у

Во многих работах для дисперсии стг (х) принимается стг = Схв. В этом случае приземная концентрация достигает максимума при х = х— , где

Н 2

Ч2С 2 В у

^ В = 1+в ’ 2Р

(12)

Величину стг можно выразить через параметр вертикальной диффузии Во (9). Для этого потребуем совпадения координат максимумов (10) и (12). Приравнивая (11) и (12), получаем следующую связь стг и Во :

хт ~

: ск (й0 х )^(1+а) Н а (1+а), Ск

2^ (1+а)

л/2

(13)

+ а

При выводе (13) предполагается в =

1

1 + а

(при таком предположении

величина аг в пограничном слое атмосферы не зависит от высоты выброса). Заметим, что имеющиеся экспериментальные данные не обнаруживают сколько-нибудь существенной зависимости аг от высоты выброса [5, 6]. Зависимость

показателя степени в от скорости ветра «ю для 3 класса устойчивости и различных значений шероховатости го показана на рис. 1.

Пространственное распределение концентрации выбросов для источника в пограничном слое при неустойчивой и нейтральной стратификации, полученное с использованием приведенных выше формул, оказывается близким к результату расчета численным методом. Расчеты показывают, что значения максимальной приземной концентрации, рассчитанные с помощью гауссовой модели, превышают примерно на 10% соответствующие значения, полученные разностным методом. Поэтому представляется целесообразным ввести поправочный множитель, уменьшающий на эту величину значения концентрации, рассчитываемые в рамках предлагаемой гауссовой модели. В качестве иллюстрации на рис. 2 показано распределение приземной концентрации выбросов, рассчитанное численным методом (линия 1), по аналитическим формулам (7), (9) (линия 2) и с помощью гауссовой аппроксимации (11), (13) (линия 3). На рис. 3 и 4 представлено вертикальное распределение концентрации на расстоянии 5 и 10 км от источника выброса, полученное численным методом (линия 1) и с помощью гауссовой аппроксимации после введения поправочного множителя (линия 2). Высота источника выброса данного примера И = 240 м, скорость газов на срезе трубы ^о = 20 м/с, радиус устья дымовой трубы Щ = 3м, температура газов 20 = 420 К, температура окружающего воздуха Та = 300 К, скорость ветра «ю = 5 м/с, шероховатость 0,2 м.

д, мг/м3

р

0.95

0.90

0.85 1

0 80

2

0.75 0 70 3,

0

2

4

6

8 и , м/с

Рис. 1. Зависимость показателя степени в от скорости ветра «ю для 3 класса устойчивости и различных значений шероховатости 10 : 1 - 0,05 м; 2 - 0,2 м; 3 - 0,5 м

Рис.2. Распределение приземной концентрации линии, рассчитанное численным методом (линия 1), по аналитическим формулам (7), (9) (линия 2) и с помощью гауссовой аппроксимации (линия 3)

q, мг/м'

3

q, мг/м'

3

0.010

0.005

0.008

0.006

0.004

0.002

0'......................,■^.-=-7-.

0 500 1000 z, м

0

500 1000 z, м

Рис.3. Вертикальное распределение концентрации на расстоянии 5 км, рассчитанное численным методом (линия 1) и с помощью гауссовой аппроксимации (линия 2)

Рис.4. Вертикальное распределение концентрации на расстоянии 10 км, рассчитанное численным методом (линия 1) и с помощью гауссовой аппроксимации (линия 2)

Полученные в работе аналитические выражения позволяют рассчитать пространственное распределение концентрации выбросов в пограничном слое атмосферы в зависимости от характеристик источника, скорости ветра на высоте флюгера, шероховатости подстилающей поверхности и класса устойчивости атмосферы. Применение аналитических выражений вместо решения соответствующей краевой задачи для дифференциального уравнения

турбулентной диффузии значительно упрощает проведение различных параметрических исследований.

The analytical expressions for the concentration of pollutants in the atmospheric boundary layer are presented.

1. Рихтер Л.А., Волков Э.П., Покровский В.Н. Охрана водного и воздушного бассейнов от выбросов тепловых электростанций. - М.: Энергоиздат, 1981. -

2. Волков Э.П. Контроль загазованности атмосферы выбросами ТЭС. - М.: Энергоатомиздат, 1986. - 256 с.

3. Бызова Н.Л. Рассеяние примеси в пограничном слое атмосферы. - М.: Гидрометеоиздат, 1974. - 192 с.

4. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1975. - 436 с.

5. Practical guide to atmospheric dispersion modeling. US EPA. - 1989. - Р. 448.

6. Атмосфера. Справочник (справочные данные, модели) / Под ред. Ю.С. Нова и др. - Л.: Гидрометеоиздат, 1991. - 510 с.

7. Fedosov A. A. Мatematical model of pollution dispersion from an elevated point source // Environ. Radioecology and Appl. Ecology. 1997. - Vol. 2 - P. 3-l6.

8. Федосов А.А. Расчет распространения невесомой примеси от высотного

Summary

Литература

296 с.

точечного источника // Метеорология и гидрология. - 1998. - № 10. - С. 45-56.

9. Бызова Н.Л., Шнайдман В.А., Бондаренко В.Н. Расчет вертикального профиля ветра в пограничном слое атмосферы по наземным данным // Метеорология и гидрология. - 1987. - №11. - С. 75 - 83.

10. Федосов А.А. Математическая модель распространения выбросов тепловых электрических станций в атмосфере // Докл. 2-го международного симпозиума по энергетике, окружающей среде и экономике, 7-10 сентября 1998 г. - Казань: КГЭИ, 1998. -Т. 1. - С. 174-177.

11. Чичирова Н.Д., Федосов А.А., Безруков Р.Е. Математическая модель для расчета приземной концентрации выбросов тепловых электрических станций в атмосферу // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. -2000. - № 11-12. - С. 106-113.

12. Чичирова Н.Д. Федосов А.А., Безруков Р.Е. Параметрическое исследование приземной концентрации выбросов тепловых электрических станций в атмосферу // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. -2002. - № 5-6. - С. 26-31.

13. Федосов А.А., Шарифуллин А.Ш. Моделирование распространения газообразных выбросов тепловых электрических станций в атмосфере // Труды 4 международного симпозиума «Ресурсоэффективность и энергосбережение в современных условиях хозяйствования» - Казань, 2003. -С. 315-323.

14. Федосов А.А., Чичирова Н.Д., Безруков Р.Е. Моделирование начального подъема выбросов тепловых электрических станций. 3. Динамический подъем в масштабе пограничного слоя атмосферы // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. - 2003. - № 1-2. - С.3-9.

15. Федосов А.А., Чичирова Н.Д., Безруков Р.Е. Моделирование начального подъема выбросов тепловых электрических станций. 4. Тепловой подъем в масштабе пограничного слоя атмосферы // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. - 2003. - № 3-4. - С.3-8.

16. Федосов А.А., Чичирова Н.Д., Шарифуллин А.Ш. Моделирование начального подъема выбросов тепловых электрических станций. 5. Учет совместности динамического и теплового подъема, // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. - 2003. - № 5-6. - С.14-20.

17. Федосов А.А. Распространение выбросов тепловых электрических станций в атмосфере.- Казань: Изд. КГЭУ, 2004.- 168 с.

Поступила 12.01.2005