CC BY
34Аналитические таблицы для пропозициональной логики Роговского
Н.И. Стешенко
abstract. Formalization of Rogowski's logic is offered by simple and generalized analytical tableaus. Generalized tableaus are constructed in R. Hehnle's style. The theorem of completeness is proved by the Smallyan's method.
Ключевые слова: множество Хиетикки, помеченная формула, правила редукции, простые аналитические таблицы, обобщенные аналитические таблицы, табличное доказательство.
1 Простые аналитические таблицы
Построим формализацию логики R4 Роговского методом аналитических таблиц. Как в двухзначной, так и многозначных логиках, метод аналитических таблиц является опровергающей процедурой. Поиск обоснования общезначимости формулы осуществляется по определенным правилам и начинается с предположения, что формула не общезначима. Это предположение ведет к противоречию, если формула на самом деле общезначима. Правила редукции создаются на основе следующей таблицы
4
говского.
А - А ТА ВА ИА УА ЕА А^В 3 2 1 0
3 0 3 1 2 3 3 3 3 2 1 0
2 1 0 3 0 3 0 2 3 2 1 1
1 2 0 0 3 0 3 1 3 2 2 2
0 3 0 2 1 0 0 0 3 3 3 3
Логические константы читаются так: А» — не есть так, что А; «ТА» — истинно, что А; «ВА» — возникает так, что
А; «ИА» — исчезает так, что А; «УА» — уже есть так, что А; «ЕА» — еще есть так, что А; «А — В» — если А, то В.
Расширим ттапт язык операциями 3, 2, 1 и 0, которые будут применяться к формулам. Выражения ВИДЕ1 ЗА, 2А, 1А и ОА называются помеченными формулами, и соответственно читаются «А истинно», «А подистиппо», «А подложно» и «А ложно», где А непомеченная формула.
Семантические сущности, т.е. истинностные значения, превратились в синтаксические объекты 3, 2, 1 и 0.
Простыми аналитическилш таблицами называются аналитические таблицы для формул ВИДЕ1 1А, ОА, 2А и ЗА.
Аналитические таблицы для логики Роговского датты в духе Р. Смальятта [6]. Отметим, что в отечественной литературе метод построения аналитических таблиц Р. Смальятта применялись к формализации многозначных логик, (см. [1][2, с. 265-324]).
Введем правила редукции для построения аналитических таблиц логики Роговского.
Правила для импликации
0(А — В) 1(А — В)
(-0) ЗА (-1) 2А 2А ЗА
ОВ ОВ 1В 1В
2(А — В)
3(А — В)
(-2)
1А 1А 1А 2А ЗА (—3) ОА зв
ОВ 1В 2В 2В 2В
Правила для оператора «В»
(Во) : ОБА (В1) : 1ВА (В2) : 2ВА (В3) : ЗВА 1А ЗА ОА 2А
Правила для отрицания (слабого)
(~0) : 0 ~ А (-1) : 1В ~ А (~2) : - А (~3) : 3 ~ А ЗА 2А 1А ОА
Правила для оператора «И»
(Ио) : ОИА ^ 1) : 1ИА (И2) : 2ИА (Из) : ЗИА
1А ЗА ОА
Правила для оператора «Т»
2А
(Т о):
ОТА
( 1) : ( 2) : ( з) :
ОА
1А
2А
ОА ЗА
ОА ЗА
Правила для отрицания (сильного) Т»
(~Т0) : 0 ~ТЛ (~Т 1) : 1 ~ТЛ
ЗА
ЗА ОА
Т2) : 2 ~ТЛ Тз) : 3 ~ТЛ
ЗА ОА
ОА
1А
2А
ЗА
Правила для оператора «У»
(Уо) : ОУА (У1) : 1УА (У2) : 2УА (У3) : ЗУА
ОА
1А
ЗА ОА
ЗА ОА
2А
ЗА
Правила для оператора «Е»
(Ео) : ОЕА да 1) : 1ЕА да2) : 2ЕА (Ез) : ЗЕА
ОА
2А
ЗА ОА
ЗА ОА
1А
ЗА
Помеченную формулу над чертой назовем посылкой правила редукции. Все помеченные формулы под чертой правила редукции — заключением, которое состоит из помеченных подформул
формулы, находящейся в посылке. Вертикальная черта «|» в заключении правил редукции означает «ветвление» результата применения правила.
В заключении правил (Т1), (Т2), (— Т1), (— Т2), (У1), (У2), ^ 1) и да2) имеется пара помеченных формул (ОА, ЗА), которая означает, что заключение дает противоречие. Это объясняется таблицами истинности для указанных операторов. Например, формула ТА может принимать только два истинностных значения «3» и «О» из множества {3, 2,1, 0} (согласно таблице истинности для оператора Т). И если мы приписываем ТА истинностные значения «1» или «2», т.е. истинностные значения, которых ТА тте имеет, то это синтаксически означает, что помеченные формулы ITA рт 2ТА дают в заключении противоречие. Это напоминает случай замкнутой ветви в классической логике, которая содержит константы «ложь» и «истина».
Сформулированные правила разбиваются па четыре группы а, ß, y и 5. К группе а относится правило, которое порождает 5 ветвей; к группе ß принадлежат все те правила, которых порождают 3 ветви; к группе y относятся правила, порожда-
5
редукции, применения которых дает одну ветвь. Такая классификация правил нужна для определения множества Хиттттики и доказательства метатеорем об аналитических таблицах, чтобы избежать повторений в однотипных шагах доказательства.
ß ßi ß2 ß3
а ai а2 аз а4 а5 1(A ^ B) 2А 2А ЗА
2(A ^ B) 1А 1А 1А 2А ЗА OB 1В 1В
OB 1В 2В 2В 2В ОТА ОА 1А 2А
3 - TA ОА 1А 2А
y Yi Y2
3(A ^ B) ОА ЗВ
ЗУА ЗА 2А
ОУА 1А ОА
ЗЕА ЗА 1А
ОЕА 2А ОА
6 61
0(А — В) ЗА
ОВ
ОБА 1А
1ВА ЗА
2ВА ОА
ЗВА 2А
0 - А ЗА
1 - А 2А
2 - А 1А
3 - А ОА
ОИА 2А
1ИА ОА
2ИА ЗА
ЗИА 1А
2 ТА ЗА
ОА
ЗТА ЗА
2 - ТА ЗА
ОА
1 - ТА ЗА
ОА
0 - ТА ЗА
2УА ЗА
ОА
1УА ЗА
ОА
2ЕА ЗА
ОА
1ЕА ЗА
ОА
Отметим то важное обстоятельство, что каждое правило редукции структурно соответствует ДНФ логики изменения и
направленности Роговского. В посылке правила указана формула и ее истинностное значение тта синтаксическом уровне, в заключение правила представлено разложение посылочной формулы в нормальную форму (ДНФ или СДНФ как частный случай ДНФ). Например, правило —1 соответствует фрагменту СДНФ импликации А — В, а именно тем наборам истинностных значений «А» и «В», па которых формула А — В принимает истинностное значение «1». Для демонстрации этого используем обозначения нужных истинностных значений формулы и ее подформул верхними индексами:
(А — В)1 = (А3 Л В1) V (А2 Л В1) V (А2 Л В0)
—1
ДНФ определяется очевидными соглашениями: 1Ф = Ф1, вертикальная черта «|» заменяется знаком «V»; формулы, паписатт-
Л
Это соответствие легко распространить тта остальные правила редукции группы а, в и 7. Кроме того, будем считать, что правила группы 6 соответствуют усеченным дизъюнкциям вида Ф V 0 = Ф, где 0 есть константа. Например, (А — В)0 =
(А3 Л В0) V 0 = (А3 Л В0). Из таблицы истинности для импли-( — )0
рой импликация тта указанных индексами истинностных ттабо-
0
Атталитические таблицы есть частный случай математического дерева. В описании дерева будем следовать статье [2, с. 281— 282].
Под неупорядоченным деревом Д понимается множество О элементов, называемых точками, которое удовлетворяет следующим условиям:
имеется функция <р, которая приписывает каждой точке натуральное число <^(А), называемое уровнем точки А;
(2) тта точках задано отношение АШЗ, которое читается «А
есть предшественник В» или «В есть сукцессор А», т.е. В есть точка, следующая за точкой А. Отношение К удовлетворяет таким условиям:
имеется единственная точка А1 уровня ^>(А 1) = 1, называемая корнем дерева Д;
(2.2) каждая точка, отличная от корня, имеет единственного
для любых точек А и В, если В есть сукцессор А, то ^>(В) = р(А) + 1.
Точка А называется концевой точкой, если она не имеет сукцессоров.
Точка А называется простой точкой, если она имеет в точности один сукцессор. В противном случае она называется юнк-тивной (сложной) точкой.
Ветвью (путем) называется любая такая конечная или счетная последовательность точек, что: (а) она начинается с корпя дерева, и (б) каждый член последовательности, кроме послед-пего (если такой имеется), является предшественником следующего члена.
Максимальной ветвью (путем) называется ветвь такая, что ее последний член есть либо концевая точка дерева, либо бесконечная ветвь.
Упорядоченным деревом Д называется дерево, па котором задана функция £ такая, что она приписывает каждой юнктивной точке N последовательность ), не содержащую повторяющихся точек и состоящую из всех сукцессоров точки N.
Дерево Д называется конечно порожденным, если каждая точка имеет конечное число сукцессоров.
Дерево Д называется т-адическим, если каждая тоттктивттая точка имеет не более т сукцессоров (т = 2, 3,...).
Аналитической таблицей для формулы А логики изменения и направленности Роговского называется 5-адическое дерево Д (точками которого являются формулы), удовлетворяющее таким условиям.
Пусть Д1 и Д2 два упорядоченных 5-адических дерева. Д2 называется непосредственным расширением Д1; если Д2 получено из Д1 применением одного из правил типа а, в, 7 или 6. Тогда Д есть аналитическая таблица для формулы А тогда и только тогда, когда имеется конечная последовательность Д1, Д2,... Дп,
где Дга = Д такая, что Д1 одноточечное дерево, чей корень есть формула А, и Дг+1 есть непосредственное расширение Д^ для каждого г < п.
Назовем ветвь в таблицы помеченной формулы А замкнутой (закрытой), если отта содержит хотя бы одну пару помеченных формул из мттожества (ОА, 1А, 2А, ЗА). Эти пары формул будем также называть противоречивыми. В противном случае ветвь называется открытой (непротиворечивой). Более формально: на замкнутой ветви имеются помеченные формулы зЧфц ]2$>2, ■ ■■, Зифи такие, чт о Ф2 = ф 3 = • • • = ф т и {31} П {32} П • • • П {Зт} = 0, где З € {3, 2, 1, 0} и 1 < т < п. В против-ттом случае, т.е. когда пересечение тте пусто, ветвь тте является замкнутой.
Таблица называется замкнутой, если все ее ветви замкнуты.
Табличное доказательство непомеченной формулы А есть тройка замкнутых таблиц для формул ОА, 1А и 2А.
Отметим, что по сравнению с двухзначной логикой надо строить тте одну, а три таблицы. в
мулы вида а, в, 6 ветвь в удовлетворяет следующим условиям (предполагается, что каждая а, в, 6 имеет конечное число вхождений логических связок и операторов):
(у.1) если а € в, то а1 € в, или а2 € в, или а3 € в, или а4 € в, или а5 € в;
(у.2) если (3 € в, то в1 € в или (32 € в, или (33 € в;
(у.З) если 7 € в, то 71 € в или 72 € в;
(у.4) если 6 € в, то 61 € в.
Другими словами, ветвь называется полной, если отта редуцирована посредством указанных правил до помеченных атом арных подформул исходной формулы.
Таблица Д называется завершенной, если каждая ветвь таблицы или замкнута, или полттая.
Для того чтобы получить понятия выполнимости, общезначимости и другие семантические характеристики формул логики Роговского,
Функция отображающая множество А+ всех формул логики Роговского на множество истинностных значений {0, 1, 2, 3},
называется Дооценкой, если она удовлетворяет следующим условиям.
(1) „(л ^ В)
3, если ^(Л) = 0 или В) = 3
2, если. и(Л) = 1 и V(В) = 3 шш V(В) = 2 и
НЛ) = 0;
1, если. v(Л) = 3 и V(В) = 2 или V(Л) = 2 и
[V (В) = 1 или V (В) = 0]; 0 если v(Л) = 3 и V(В) = 0.
(2) v(BA)
3 если v(A) =2 3 если v(A) =0
2 если v(A) =0 (3) v(~ Л) = 2 если v(A) =1
1 если v(A) =3 1 если v(A) =2
0 если v(A) =1 0 если v(A) =0
(4) v(иa)
3, если V (Л) = 1 2, если V(Л) = 3 1, если V (Л) = 0 0 если V (Л) = 2
(5) v(~ ТЛ)
3 если V (Л) = 3 0 если V (Л) = 3
(6) v(ТЛ)
3, если V(Л) = 3 0 если V (Л) = 3
(7) v (ул)
(8) v(EA)
3, если v(A) = 3 или v(A) = 2 0 если v(A) = 0 или v(A) = 0
3, если V(Л) = 3 шш V (Л) = 1 0 если V (Л) = 3 шш V (Л) = 2
Если использовать понятие матрицы (т.е. системы, состоящей: (1) из непустого множества истинностных значений; (2) множества операций, определенных па множестве истинностных значений, и (3) множества выделенных значений, являющимся подмножеством множества истинностных значений), то можно показать, что функция оценки V есть гомоморфизм, отображающий множество формул логики Роговского в матрицу.
Интерпретацией произвольной формулы А называется приписывание истинностных значений всем атомарным подформулам, из которых построетта формула А.
Любая данная интерпретация формулы А расширяется едитт-
4
сложттой подформулы формулы А можем однозначно определить истинностное значение, руководствуясь условиями (1)-(8). Формула А называется выполнимой, если и только если (даль-
4
т.е V(А) = 3.
Множество формул А* называется одновременно выполнимым
(или, другими словами, совместным), е! имеется ^-оценка, при
*
4
отто не является одновременно выполнимым.
Формула А называется общезначимой, е! для любой ^-оценки V(А) = 3, т.е. А общезначима е! 4
оценке.
Формула А называется тождественно ложной, е! для любой Ил-оценки V(А) = 0.
Формула А не общезначима, е! отта тте является общезначимой, т.е. имеется хотя бы одна Дооценка, в которой V(А) = 2, или V(А) = 1, или V(А) = 0.
Формула А называется невыполнимой, е! отта тте является выполнимой, т.е. нет ни одной Ил-оценки, в которой V(А) = 3. Отметим, что в классической логике понятая «быть тождественно ложной» и «быть невыполнимой» равттообъемпые понятая. В рассматриваемой логике отношение между указанными понятиями иное: если формула тождественно ложттая, то отта является невыполнимой, тто тте наоборот.
Мы дали общее определение выполнимости в том смысле, что тте учитывались разные виды формул А — ОА, 1А, 2А, ЗА. Детализируем определение выполнимости относительно этих видов формул.
Для этого установим отношение между выполнимостью помеченной формулы 1А, где 1€ {0, 1, 2, 3}
меченной формулы А. Тот факт, что произвольная помечеттттая формула 1А выполнима, будем обозначать через Зv(V(1А) € {3}).
(/.1).3v(v(0 A) Е {3}) e! v (A) = 0
(/.2).3v(v(l A) Е {3}) e! v (A) = 1
(/.3).3v(v(2 A) Е {3}) e! v (A) = 2
(/.4).3v(v(3 A) Е {3}) e! v( ) = 3
Известно, что в классической логике высказываний формуле, помеченной знаком «ложь», можем поставить в соответствие формулу с оператором отрицания, а формуле, помеченной знаком «истина», — саму формулу (т.е. fA о^ А, tA о А, где «f» Pi «t» — знаки, обозначающие соответственно ложь и истину). Установим аналогичное соответствие для логики Роговского:
0Ао~А, 1А о И А, 2А о В А, ЗА о А.
Однако использовать в логике Роговского вместо помеченных формул формулы с указанными операторами возможно, по практически неудобно. В этой логике имеются различные типы отрицания (слабое и сильное, а также Pix комбинации), разные тршы утверждений (слабое и сильное), а потому появятся сложности с итерацией операторов «И», «В» и «Т» и некоторые другие. Помеченные же формулы дают единообразие в обозначениях, исключают любую неоднозначность в правилах редукции, минимизируют число правил редукции.
Введем понятие множества Xpiiitpikkpi для помеченных формул (как множества формул истинных относительно некоторой К4-оценкп). Назовем множество помеченных формул Н множеством Xpiiitpikkpi, если и только если для любых формул вида а, ß, 7, 5 оно удовлетворяет таким условиям:
(Но). Для любой атомарной формулы р только одна произвольная формула из множества помеченных формул {Ор, 1р, 2р, Зр} принадлежит Н, т.е. множество Н непротиворечиво.
(Н1). Если а Е 0, то ai Е Н, или а2 Е Н, или аз Е Н, или а4 Е Н, или а5 Е Н;
(Н 2) — если ß Е Н, то ßi Е Н или ß2 Е Н, ил и ß33 Е Н;
(Н3) — если 7 Е Н, то 71 Е Н или y2 Е Н;
( 4) 5 Е 51 Е
Дальше докажем методом Р. Смальятта [о] теорему о полноте аналитических таблиц для логики Роговского. Покажем, что если А есть общезначимая формула логики Я,4, то все полные таблицы для ОА, 1А и 2А являются замкнутыми.
ТЕОРЕМА 1. Каждая полная открытая ветвь таблицы одновременно выполнима.
в А+ есть
в
по определению полной таблицы условия (г1) — (г4) совпадают с условиями (Н1) — (Н4) определения множества Хинтикки, а по определению открытой ветви оказывается, что открытая ветвь есть мттожество непротиворечивых формул, что равносильно условию (Но) определения множества Хинтикки. Заклю-
в
Для продолжения доказательства теоремы ттам нужна лемма.
4
одновременно выполнимым. Доказательство.
4
€
марттым подформулам, из которых построены формулы из Н, истинностные значения следующим образом:
(2). Если помечеттттая атомарная подформула тте принадлежит Н, то р можтто приписать произвольное истинностное значение, для определенности будем считать, что V*(р) = 3.
( о)
подмножества формул.
Покажем индукцией по строению формулы А, что каждая
€ ( о)
претации ее атомарных подформул истинна по меньшей мере в одной 1^4 — V*-оценке. Для доказательства используем понятие
(1) V*(р)
3, если Зр € Н 2, если 2р € Н 1, если 1р € Н 0 если Ор € Н
степени (ранга) формулы ^(А) как числа вхождений логических операторов в формулу А, более точно:
(с.1): каждая атомарная формула р имеет пулевую степень, т.е. й(р) = 0;
(с.2): фА) = ¿(А) + 1, где 8 е {В, Е};
(с.З): ¿(А — В) = ¿(А) + <В) + 1.
Базис индукции. Каждая помеченная атомарная формула, задаваемая условием (1), может быть истинной относительно указанной оценки V*.
Пусть А(К) > 0, А е Н. Предположим, что для любой С такой, что ^(С) < ^(А) имеет место V*(С) = 3 по крайней мере в одной Дооценке, где С есть помеченная подфомула помеченной формулы А. Надо показать, что V* (А) = 3. Так как А(К) > 0, то формула А есть либо а, либо в, либо 7, либо 6.
Пусть А есть формула вида а Тогда, по условию (Н1) а е Н, или а.2 е Н, или аз е Н, ил и (4 е Н, или (5 е Н. Но й(а^) < ¿(а), 1 < г < 5. По предположению дано V*(а) = 3 по крайней мере в одной Дооценке, значит и V*(а) = 3.
Случаи, когда А есть либо в, либо 7, доказываются сходным
6
логично, кроме применения правил (Т1), (Т2), ( Т1), ( Т2), (У1), (У2), № 1) и №2) принадлежащих группе 6. Эти правила дают в заключении противоречие (ОА, ЗА), а потому они не могут участвовать в построении множества Н. Случай указанных правил соответствует случаю замкнутых ветвей в классических логиках, в которых используются константы «ложь» и «истина». Лемма доказана, тем самым доказана и теорема 1.
ТЕОРЕМА 3. (а) Если А есть общезначимая формула, то все завершенные таблицы для помеченных формул О А, 1А, 2 А являются замкнутыми; (Ъ) Если А общезначима, то А таблично доказуема.
Доказательство. Доказательство (а) проведем рассуждением от противного, т.е. допустим, что таблицы для помеченных формул ОА, 1А, 2А не являются замкнутыми.
Рассмотрим случай ОА. Пусть Д есть открытая таблица, по-
е
крытая таблица, то в ттей имеется, по крайней мере, одна открытая ветвь в. Тогда по теореме 1 эта ветвь одновременно выполнима. Это значит, что и формула ОА выполнима, тогда V*(А) = 0, (где А €
воречит условию теоремы, так как V(А) = 3 = V* (А) = 0 (т.е. для любой К4-оцепки v(A) = 3, так как по условию теоремы формула А — общезначима, 4
V *, в котор ой V *(А) = 0). Значит, таблица для О А замкнута.
Случай формулы 1А. Пусть Д открытая таблица, ттачиттагоща-
€
и в случае ОА, придем к заключению, что v(A) = 3 = V*(А) = 1. Значит, таблица для 1А замкнута. Доказательство случая 2А копирует два предыдущих случая.
(Ь). По пункту (а) теоремы 2 общезначимая формула А имеет замкнутые таблицы для помеченных формул ОА, 1А, 2А. Так как по определению табличное доказательство непомеченной формулы А есть тройка замкнутых таблиц для помеченных формул ОА, 1А, 2А, то непосредственно получаем, что А таблично доказуема. д.Е.О.
СЛЕДСТВИЕ 4. Если имеется хотя бы одна незамкнутая таблица из тройки построенных таблиц для помеченных формул ОА, 1А, 2А, то формула А не является общезначимой.
Допустим, что формула А общезначима. Тогда по теореме 3 пункт (а), все таблицы для помеченных формул ОА, 1А, 2А являются замкнутыми. Последнее находится в противоречии с условием формулировки Следствия 4. Значит, формула А тта самом деле тте является общезначимой.
ЛЕММА о. Если имеется замкнутая таблица для формулы А, то множество формул, расположенных на каждой замкнутой ветви таблицы, не являются одновременно выполнимым.
Пусть имеется замкнутая таблица для формулы А, например 1А, тто формулы, принадлежащие любой из ветвей этой таблицы, одновременно выполнимы. Тогда получим противоречие. По определению одновременной выполнимости мттожества формул,
4
это значит, что ветвь непротиворечива, т.е. таблица для формулы А тте является замкнутой, что противоречит условию леммы.
ТЕОРЕМА 6. Если А имеет табличное доказательство, то А общезначима.
По определению табличное доказательство непомеченной формулы А есть тройка замкнутых таблиц для формул ОА, 1А, 2А. По лемме о все множества формул, расположенных па ветвях таблиц для формул О А, 1А, 2 А, не являются одновременно выполнимыми. При построении аналитических таблиц для помеченных формул ОА, 1А, 2А предполагалось, что имеется, соответственно, хотя бы одна оценка, в которой непомеченная формула А принимает значение «О», «1» или «2». Но во всех трех случаях эти предположения ведут к противоречию. Это означает, что нет пи одной оценки, в которой непомеченная формула принимает значения «О», «1» и «2». Тогда непомеченная формула А выполнима в каждой ^-оценке, т.е. формула А общезначима.
ЗАМЕЧАНИЕ 7. Можно видеть, что правила редукции (—о), (—з) и (~о), (~з) одинаковы для логики Роговского и классической логики высказываний. Это значит, что аналитические таблицы логики Роговского содержат изоморф аналитических таблиц классической логики высказываний. Но это также значит, что доказанная теорема о полноте для логики Роговского является обобщением этой теоремы, доказанной Смальяпом для двузначной логики.
ЗАМЕЧАНИЕ 8. Эту же теорему можно доказать в стиле М. Фиттипга [3]. Так поступает, например, Р. Хеттл [4] в доказательстве полноты для произвольной конечнозначной логики.
Основная особенность этого способа доказательства теоремы о полноте состоит в том, что используется абстрактное свойство непротиворечивости. В большинстве доказательств теорем о полноте явно используется понятие непротиворечивости (любое непротиворечивое множество формул имеет модель (выполнимо)). М. Фиттиттг называет использование понятия непротиворечивости в доказательствах теоремы о полноте «стандартным аргументом полноты». Он выделяет существенные черты этого аргумента, т.е. черты, независимые от специфики той или ртттой конкретной дедуктивной системы и ее семантики. Он указывает две существенные черты. Во-первых, произвольное мтто-
жество формул является непротиворечивым, если из ттего нельзя получить противоречия. Во-вторых, с семантической точки зрения все формулы непротиворечивого мттожества должны быть истинными, и понятие непротиворечивости руководит подбором значений пропозициональных переменных (из которых построены все формулы непротиворечивого мттожества), конструированием истинностной оценки, при которой формулы, входящие в непротиворечивое мттожество, оказываются истинными. Абстрактное свойство непротиворечивости допускает возможность уточнения для различных логик: классической, модальной, многозначной. Отто представляет собой тте отдельное мттожество формул, как мттожество Хитттикки, а совокупность (собрание) множеств формул. Вся совокупность и каждое мттожество из этой совокупности непротиворечиво, т.е. из ттего ттевозможтто по сформулированным условиям вывести противоречие. Каждое мттожество формул, если отто принадлежит этому собранию мттожеств формул, формально (структурно) удовлетворяет тем же условиям, что и мттожество Хитттикки, тто содержательно речь идет о непротиворечивости.
Если применить эти содержательные соображения к помеченным формулам логики Роговского, то абстрактное свойство непротиворечивости уточняется следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть А есть собрание множеств помеченных формул логики Роговского. Назовем А свойством непротиворечивости помеченных формул, если для каждого 5 € А оно удовлетворяет следующим условиям:
Для всех атомарных формул р, если ^р, ^Р € то {31}П
Ш = 0, где з € {3, 2, 1, 0};
0(А ^ В), 1ТА, 2ТА, 1 - ТА, 2 - ТА, 1УА, 2УА, 1ЕА,
2ЕА € 5;
Если а € 5, то 5и{а1} € А или 5и{а2} € А или, 5и{аз} € А или, 5 и {а4} € А или, 5 и {аб} € А;
Если в € 5, но 5и{в{} € А или 5и{в2} € А или, 5и{в3} €
А
Если 7 € 5, то 5 и {71} € А или 5 и {72} € А;
Если 5 € то 5 и {¿1} € Д, причем из 5 исключены формулы, указанные в пункте 2.
Например, пункт 5 определения означает, что если 7 € 5, то удлинение 5 посредством 71 или 72 непротиворечиво. Основная идея доказательства теоремы о полноте состоит в том, что-
5
5
5
теорему Липдепбаума (всякое непротиворечивое множество 5
тиворечивого множества), и показать, что максимальное непротиворечивое множество предложений есть множество Хитттикки.
Приведем несколько примеров проверки общезначимости формул.
ПРИМЕР 10. Тр ^ (д ^ р). Проверим, является ли эта формула общезначимой. Надо построить три аналитические таблицы 0(ТР ^ (д ^ р)), 1(Тр ^ (д ^ р)), 2(Тр ^ (д ^ р)).
П) 0(Тр^ (д ^ р))
(2) ЗТр
(3) 0(д ^ р)
(4) Зр(2)
О) з8
(6) 0р(3)
пр. 4, 6
Таблица для помеченной формулы 0(Тр^ (д ^ р)) замкнута, на что указывает знак «пр.» после строчки (6), который читается «противоречие». Вторая и третья строчки получены из (1), но во второй строчке это не отмечается. Пятая и птестая строчки получены из строчки (3), по в пятой строчке указание па это опускается. Мы также опускаем указание на то, что вторая и третья строчки получены из (1), а пятая и шестая из (3) по одному и тому же правилу редукции (^о). По знаку помеченной формулы, из которой получаем другие строчки, и расположению скобок, выделяющих в формуле (или подформуле) главную логическую связку или оператор, однозначно определяется используемое правило редукции. Такие сокращения оправданы для лучшего обозрения весьма громоздких таблиц (см. Приложение 1).
Все ветви для помеченной формулы 2(Тр — (д — р)) замкнуты. Все таблицы для помеченных формул 0(Тр — (д — р)), 1(Тр — (д — р)) и 2(Тр — (д — р)) замкнуты. А потому формула (Тр — (д — р)) общезначима.
ПРИМЕР 11. р — (д — р). Проверим, является ли эта формула общезначимой. Надо построить три аналитические таблицы 0(Р — (д — р)) 1(Р — (д — р)) 2(р — (д — р)).
(1) 0(р
(2) Зр
(3) а
(4) з8
О) Ор
пр. ю
(а ^ р))
■р) (1)
Таблица для помеченной формулы 0(р — (д — р)) замкнута. Таблица для помеченной формулы 1(р — (д — р)) замкнута (см. Приложеттие 2).
Проверять построение ветвей, порождаемых формулами (с 1), (й\) ж (е 1), — лишняя работа, так как часть ветвей (три), полученные на основании формулы 61, оказались полными, но не замкнутыми. Значит, таблица для помеченной формулы 2(р —
(д — р)) не замкнута (см. Приложение 3.), и формула (р — (д — р))
ПРИМЕР 12. Проверить общезначимость формулы У(р — д) — (Ур — Уд) - Надо построить три аналитических таблицы 0(У(р —
д) — (Ур — Уд)), 1(У(р — д) — (Ур — Уд)), 2(У(р — д) — ( р — д))
(1). о(У(р ^ а) ^ (Ур ^Уа))
(2). з(У (р ^ а))
(3). о((Ур ^ Уа)) (1)
(4). з((р ^ _| (8). 2((р ^ а)) (2)
14.1). Ор (4) 14.2). Зк (4)
(4.1.1). ЗУр (3) (4.2.1). ЗУр (3)
(4.1.2). 0У8 (3) (4.2.2). 0У8 (3)
(5).
(а). Зр (Ь). 2р (с). 1р (а). 1р (е). 1р
("1)- Ч (В) (Ь1) ■ 28 (о) (С1) 28 (о) (¿1) 18 О) (в1) 08 (о)
(а2). ЗУр (3) (Ъ2) . ЗУр (3) (с2 ) ЗУр (3) №) ЗУр (3) (е2 ) ЗУр (3)
(аз). 0У8 (3) (Ьз) . 0У8 (3) (с3 ) 0У8 (3) (¿з) 0У8 (3) (ез) 0У8 (3)
(6). (7).
(6.1). Зр(4.1.1) пр. 4.1,6.1 (6.2). 2р(4.1.1) пр. 4.1,6.2 (7.1). 08(4.2.2) пр. 4.2,7.1 (7.2). 18(4.2.2) пр. 4.2,7.2
(8). (9).
№1). Зр№) №2). 2р№) (е21)- Зр(е2) (е22)- 2р(е2)
пр. d2l пр. d, d22 пр. е, е21 пр. е, е22
(10). (11). (12).
(азО- ^(аз) (а32^К(а3) (ц зО- 1г(в з) (вз2^ Ог(вз) (с21^Р(с2) (с22^Р(с2)
пр. а1 , аз1 пр. а1 , аз2 пр. В1 , вз1 пр. В1 , вз2 пр. с, С21 пр. с, С22
Все ветви помеченной формулы 0(У(р ^ д) ^ (Ур ^ Уд)) замкнуты. Однако ветви не являются завершенными: помеченные формулы (4.1.2) и (4.2.2) не редуцированы к помеченным подформулам.
1(У(р ^ д) ^ (Ур ^ Уд))
(а).2У(р ^ д) (Ь).2У(р ^ д) (с).ЗУ(р ^ д)
(а1)0(Ур ^ Уд)(1) (61)! (Ур ^ Уд)(1) (с1)1(Ур ^ Уд)(1)
пр. (а) пр. (Ь)
(сц).ЗУр пр-(с12)_
(с1з).2Ур
пр.(с14 )_
(с15).2Ур
пр.(с15)_
Таблица для помеченной формулы 1(У(р ^ д) ^ (Ур ^ Уд)) замкнута, хотя и не является полной. К помеченным формулам, например, строки (с).ЗУ(р ^ д) и строки (а\)0(Ур ^ Уд) правила редукции не применялись.
Все ветви помеченной формулы 2(У(р ^ д) ^ (Ур ^ Уд)) замкнуты (см. Приложение 4). Непомеченная формула У(р ^ д) ^ (Ур ^ Уд) общезначима.
Кроме указанных примеров, были проверены па общезначимость все аксиомы (третий пример — это аксиома), правило вывода и ряд других формул аксиоматической системы Роговского, т.е. тестирование правил редукции, па мой взгляд, было достаточным. Множество правил редукции логики Роговского удовлетворяет методологическим требованиям полноты (Теорема 3) и корректности (Теорема 6).
2 Обобщенные аналитические таблицы
Практика построения аналитических таблиц даже для сравнительно простых формул, т.е. формул, имеющих небольшое число логических связок и операторов, показывает их громоздкость, сложность по сравнению с аналитическими таблицами классической ЛОГИКИ. Эт£1 сложность объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых, максимальное число новых ветвей, порождаемых правилом (—2), равно пяти, тогда как в классической логике это число равно двум. Во-вторых, для каждой формулы логики Роговского строятся три аналитические таблицы, в классическом случае одна. Назовем тта время эту вторую сложность «проблемой большого числа аналитических таблиц». Проблематичность имеет место тте с теоретической точки зрения (система правил редукции полтта и корректтта), а с практической: в конце концов табличный способ формализации логики Роговского должен быть удобным инструментом для проверки общезтта-чимости более или меттее сложных формул.
Первый недостаток частично устраним, при условии если формулы или подформулы имеют структуру вида: 2(ТА — В), 2(А — ТВ), 2(ТА — ТВ),1 (ТА — В),1 (А — ТВ),1 (ТА — ТВ), 2(УА — В), 2(А — УВ), 2(УА — УВ) и некоторую другую. Но в этом случае ттам нужны производные правила, которые ттесложтто получить. Например, можтто получить такое производное правило (производное правило определяется стандартно).
2 (ТА ^ В) З'ГА 2В
(+).2(ТА ^ В)
(а). З'ГА (Ъ). 2'ГА (с). ITA (d). ITA (e). ITA
(ai). 2В (+) (bi). 2В (+) (ci). 2В (+) (di). 1B (+) 1В (-t-)
(Ы-ЗА, 0A(b) (с2)-3А, OA(c) (d2).3A, OA(d) ЗА, OA (e)
пр. (b2) пр. (c2 ) пр. (d2) пр. (e2)
В данном производном правиле сокращение числа ветвей произошло за счет отсечения заведомо противоречивых ветвей. Если бы мы применили это производное правило к примеру 10
при построении аналитической таблицы для помеченной форму-( — ( д — р ))
Несложтто указать и обосновать другие производные правила.
Производные правила сокращают число ветвей при построении аналитических таблиц, по в отдельных, подходящих случаях, когда структура исследуемой формулы разрешает применять производные правила. Но отит не являются применимыми во всех возможных случаях; легко указать в принципе потенциально бесконечный список формул, структура которых не допускает применения производных правил.
В итоге можно утверждать, что появление большого числа ветвей при построении аналитических таблиц неизбежно, так как правила (^1) и (^2) отображают табличную семантику импликации. Неизбежно до тех пор, пока не произойдет некоторое обобщение па уровне табличной семантики импликации. Это станет возможным, если будет решена вторая проблема.
Что касается проблемы большого числа аналитических таблиц, то она также вполне объяснима.
Из множества Г4 = {3, 2, 1, 0} истинностных значений, допускаемых логикой Роговского, в качестве выделенного притти-{3} {0}, {1}
{2}
лучить доказательство общезначимости формулы А в табличном построении логики Роговского, надо порознь сделать три предположения о пеобщезпачимости формулы. (1) Имеется хотя бы одна возможность (т.е. открытая ветвь), в которой формула А принимает значение «О», т.е. V*(А) = 0; (2) Имеется хотя бы одна возможность, в которой V* (А) = 1; (3) Имеется хотя бы одна возможность, в которой V* (А) = 2.
Синтаксически эти три предположения означают, что построения аналитических таблиц соответственно начинаются с помеченных формул ОА, 1А и 2А. Опровержение же состоит в том (если, конечно, все аналитические таблицы замкнуты), что мы получаем противоречие в каждой ветви этих таблиц. Противоречие означает, что па ветви встречается, по меньшей мере дважды, одна и та же формула (в случае полной таблицы — атомарная формула), по она имеет различные помеченные значения. В более точной записи: па замкнутой ветви имеются помеченные формулы лфь ]2^>2, ■ ■ ■, jnфn такие, что Ф2 = ф3 = • • • = фт и • •ПЬт} = 0, где j е {3, 2, 1, 0} и 1 <т < п. Иначе, т.е. когда пересечение не пусто, ветвь не является замкнутой.
Три порознь сделанных предположения о пеобщезттачимости формулы и является подлинной причиной появления трех аналитических таблиц (или, в другой терминологии, трех подтаб-лиц данной таблицы) для одной и той же исследуемой формулы.
Если обобщить этот подход тта произвольную коттечттозттачттуто логику, то число аналитических таблиц для любой, исследуемой на общезначимость формулы равно \N|\|b|, где \N\ — мощность множества истинностных значений, Щ — это мощность выделенных значений истинности. Обобщения табличного способа формализации тта произвольную коттечттозттачттуто логику, начатое Сурмой (Sünna Stanislaw) [7] и продолженное Картти-елли (Carnielli Walter) [8J, безупречны с точки зрения методологических требований полноты и корректности, предъявляемых к табличным системам. К сожалению, при этом подходе тте решается проблема неизбежности построения большого числа аналитических таблиц QN|\|b|) для одной и той же формулы. Поэтому с практической точки зрения они малопригодны. Задача, таким образом, формулируется так: как сократить число аналитических таблиц для одной и той же формулы?
Систематическое решение этой задачи впервые было предложено Хеттлем [4|. Осттовттая идея этого решения, если применить ее к четырехзначной логике Роговского, состоит в следующем. Надо предполагать в рассуждении от противного, свойственного для аналитических таблиц, тте три изолированных друг от друга случая предположения: «v * (А) = 0», «v *(А) = 1» и «v *(А) = 2», тто следует реализовать в этом рассуждении единое условие, а именно: «v *(А) = 0, ил и v * (А) = 1, ил и v*(A) = 2». Но тогда надо изменить трактовку помеченной формулы. Отт назвал это ттовое понимание помеченной формулы «множества как знаки» (set.s as signs). «Множества как знаки» — это синтаксические операторы, которым ставятся в соответствие определенные подмножества г С Г4 истинностных значений из Г4 = {3, 2, 1, 0}. Из всех возможных подмножеств множества Г4 будут использованы следующие подмножества:
{{0,1, 2}, {0,1}, {0, 2}, {1, 2}, {0}, {1}, {2}}п{3}. Все подмножества, кроме последнего, являются подмттожества-{0, 1, 2}
леттттым мттожеством логики Роговского.
Такой выбор тте является случайным. Чтобы доказать в табличной системе логики Роговского общезначимость формулы, надо показать, что помеченная формула, соответствующая множеству {0,1,2}, не является выполнимой, т.е. все ветви этой помеченной формулы замкнуты. Все остальные подмножества {0, 1, 2}
появляются в ходе разложения исходной помеченной подформулы па подформулы, т.е. в процессе построения аналитической
{0, 1, 2}
множества в синтаксические объекты, т.е. в знаки помеченных формул, то возможны такие виды помеченных формул: 012:А, 01:А, 02:А, 12:А, 0А, 1А, 2А и, кроме этого, имеется еще одна помеченная формула ЗА, где А — произвольная формула. Тогда, например, формула 012:А читается «А ложно или А подложно, или А подиститшо».
Далытте будем называть обобщенной помеченной формулой любую формулу вида 012:А, 01:А, 02:А, 12:А.
Обобщенным правилом редукции называется любое правило, в котором в посылке или заключении имеется хотя бы одна обобщенная помеченная формула.
Обобщенной аналитической таблицей называется аналитическая таблица, построение которой начинается из формулы 012:А. Отметим, что в построении обобщенных аналитических таблиц применяются не только обобщенные правила редукции, по и некоторые прежние правила редукции. Сначала модифицируем правила редукции 1(АнВ), 2(А^В), OTA, З^ТА, ОУА и ОЕА так, чтобы в заключении этих правил имелись обобщенные подформулы. Затем укажем новые (обобщенные) правила редукции для формул 012:А, 01:А, 02:А и 12:А, где А произвольная формула, возможно с оператором. И после этого дадим обоснование этих правил.
Модифицированные правила Hl), H2), (Т0), (~Т3), (У0), (Е0).
Hi)+ : 1(A h B) (H2)+ : 2(A h B) (TQ)+ : OTA
2A ЗА 1A 12:A ЗА
01:B IB 01:B 2B 2B
(- T3)+ : З-ТА : ОУА (Ео)+ : ОЕА
012:А 01:А 02:А
Обобщенные правила: (—01), (—02), (—12), (—012) и др.
Правила для импликации
(-01) 01 :(A - B) (-02) 02 :(A - B)
2А ЗА 1А 12:А 2В
01:В 01:В 01:В 2В 02:В
(-12) 12 :(A - B) (-012) 012 :(A - B)
12:А ЗА 12:А 12:А ЗА
01:В 12:В 2В 012:В 012:В
Отметим, что правила для импликации: (— o) и (—3) сохраняются без изменений.
Правила для оператора «В»
(B01) : 01:ВА (B02) : 02:ВА 1А | ЗА 01:А
(B12) : 12;ВА (B012) : 012;ВА ОА | ЗА 01А | ЗА
Правила для отрицания (слабого)
(-01) : 01 : - A (-02) : 02 : - A 2А | ЗА 1А | ЗА
(-12) : 12 : ~ A (-012) : 012 : - A 12:А 12:А I ЗА
Правила для оператора «И»
(И01) : 01:ИА (И02) : 02:ИА 02:А 2А | ЗА
12:11 Л (И012) : 012:ИА 0А | ЗА 02:А | ЗА
Правила для оператора «Т» (Т01) = (Т02) = (Т012), т.е. заключения этих правил совиада-
(Т01) : 01:ТА (Т 12) : 12:ТА 012:А 0А, ЗА
Правила для отрицания (сильного) « — Т»
— (Т01) =— (Т02) =— (Т012), т.е. заключения этих правил совпадают
- (Т01) : 01:-ТЛ - (Т12) : 12:- ТА ЗА 0А, ЗА
Правила для оператора «У» (У01) = (У02) = (У012) т.е. заключения этих правил совпадали) : 01;УА (У 12) : 12;УА 01:А 0А, ЗА
Правила для оператора «Е» (Е01) = (Е02) = (Е012), т.е. заключения этих правил совпада-
(Е01) : 01:ЕА (£12) : 12:ЕА 02:А 0А, ЗА
Разобьем эти правила на три группы : (в)*, (7)* и (^)*
(в)* в* в** вз*
2(А ^ В) 1А 12:А ЗА
01:В 2В 2В
02:(А ^ В) 1А 12:А ЗА
01:В 2В 02:В
12:(А ^ В) 12:А ЗА 12:А
01:В 12:В 2В
(7)* * 7* * 72*
1(А ^ В) 2А ЗА
01:В 1В
01:(А ^ В) 2А ЗА
12:А 01:В
012:(А ^ В) 12:А ЗА
012:В 012:В
01:ВА 1А ЗА
12:ВА 0А ЗА
012:ВА 01:А ЗА
01:- А 2А ЗА
02:- А 1А ЗА
012:- А 12:А ЗА
02:11А 2А ЗА
12:11 А ОА ЗА
012:ИА 02:А ЗА
12:ТА ОА ОА
ЗА ЗА
12:- ТА ОА ОА
ЗА ЗА
12:УА ОА ОА
ЗА ЗА
12:ЕА ОА ОА
ЗА ЗА
(6)* 6*
ОТА 012:А
3- ТЛ 012:А
ОУА 01:А
ОЕА 02:А
02:ВА 01:А
12:- Л 12:А
01:11 А 02:А
01:ТА 012:А
01:- ТЛ 3:А
01:УА 01:А
01:УА 02:А
Прежде чем дать обоснование модифицированных и обобщенных правил, укажем на очевидные факты. В модифицированных правилах число столбцов в заключении, как можно видеть, уменьшилось по сравнению со старыми правилами. Кроме того, во всех указанных правилах максимальное число столбцов (ветвей) в заключении равно трем. Последнее очень важно для практики построения аналитических таблиц, так как это означает, что число ветвей в ходе построения аналитической таблицы для определенной формулы сокращается. Хотя, с другой стороны, число правил редукции увеличивается, по это неудобство скорее психологического характера. И, наконец, вместо трех аналитических таблиц, что особенно важно, строится одна.
Модифицированные и новые правила получаем из старых правил посредством некоторых эквивалентных преобразований ДНФ: переход»™ от правил редукции к соответствующим им ДНФ, затем проводртм эквивалентные преобразования ДНФ, »т, наконец, от преобразованной ДНФ переход»™ к модифицированным или новым правилам редукции.
Прежде отмечалось, что правилам редукции соответствует ДНФ. Надо более точно описать это соответств»те. Введем два определения.
(д.1). Ф1 =В1 1Ф, где I е {012, 01, 02, 12, 0, 1, 2, 3), если I есть оператор фор-
мулы, т.е. знак помеченной формулы, иг € {{0, 1, 2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0}, {1}, {2}, {3}}, если I есть знак истинностного значения формулы. В последнем случае I используется в качестве верхттего индекса, т.е. Ф1. Ф1 читается «Ф имеет истинностное значение 1». Определение (д.1) позволяет переходить от операторов формулы к истинностным значениям формулы, и обратно.
(д.2). Ф« =в/ Ф'УФ^, ,
одной и той же формулы Ф. Это определеттие позволяет объ-едиттить отдельные истинностные значение формулы Ф в множество, и ттаоборот, разбить мттожество истинностных значений тта отдельные истинностные значения фиксированной формулы. Например. А1 V А0 = А^10 = А10, т.е. ради краткости скобки и запятую мы опускаем.
Эти два определения и соглашения о заметте конъюнкции запятой (в правилах редукции тта самом деле используется тте запятая, а запись в виде написанных одна под другой формул) и обратно; а также замены дизъюнкции вертикальной чертой, и обратно, позволяют описать соответствие между ДНФ и правилами редукции.
Дадим обоснование правила (^1)+.
^ В) (д.1) ^ В) (п0 таблице истинности для Л
В1)У((А2ЛВ>(А2ЛВ0)) =(ДИСТР.) (А3ЛВ>(А2Л(В°УВ1)) =и.2) (А3 ЛВ1) V (А2 ЛВ01) =и .1) (ЗА Л1В) V (2А Л 01: В) = (С00тветствие)
ЗА, 1В | 2А, 01:В
Обоснование правила (^2)+.
2(А ^ В) (д.1) (А ^ В) (п0 таблице истинности для Л
В2) V ((А2 Л В2) V (А1 Л В2)) V ((А1 Л В1) V (А1 Л В0)) =(дистр.) (А3 ЛВ2) V (В2 Л (А1 V А2) V (А1 Л (В0 V В1) =(д .2) (А3 ЛВ2) V (В2 Л А12) V (А1 ЛВ01) =(д1) (ЗА Л 2В) V (2В Л 12:А) V (1А Л
01:В) ^соответствие) ЗА,2В | 2В, 12:А |1 А, 01:В
Далытте будем использовать термитт обобщенные таблицы истинности для обозначения факта объединенных истинностных значений, выраженных верхними индексами формул. Например, формула (А3 ЛВ2) V(В2ЛА12) V(А1 ЛВ01) представляет обобщенные таблицы истинности, так как в ттей использованы вхождения 12, 01
Отметим, что после второго знака равенства мы имеем СДНФ импликации, принимающей истинностное значение «2», где верхние индексы формул А и В указывают те построчные истинностные наборы, па которых импликация принимает значение «2». После третьего знака равенства датта одна из возможных ДНФ, полученная из СКНФ, поэтому в принципе возможна различная формулировка правил редукции. В этом случае для формулы 2(А ^ В) мы могли бы получить еще один вариант правила редукции, а именно: ЗА, 2В | 2Л,2Б | 1А, 012:В. И первый вариант правила редукции, и второй (я его не использовал) порождают в аналитических таблицах одинаковое число ветвей (три ветви), по в первом варианте имеется две ветви с обобщенными помеченными формулами, тогда как во второй — одна. В первом варианте будем иметь две ветви меньшей длины, во втором одну. Однако формулы, выражающей точные количественные оценки длины ветвей, мы не имеем.
Дальше приведем обоснование некоторых новых правил. Все эти новые правила есть результат старых правил (ОА ДА, 2А, ЗА) и модифицированных правил.
Обоснование правила 01: (А ^ В).
01:(А ^ В) =(д.1) (А ^ В)01 =(д.2) (А ^ В)° V (А ^ В)* =
= (таб. ист., обобщ. таб. ист.) (А3 Л В0) V ((А2 Л В01) V (А3 Л В1)) = = (коммутат., ассоц.) ((А3 Л В0) V (А3 ЛВ1)) V (А2 ЛВ01)(А2 Л В01) = =(дист Р.) ((А3 Л (В0 V В1)) V (А2 ЛВ01) =(Д .2) ((А3 ЛВ01) V (А2 Л В01) =(д1) (ЗАЛ01:В) V(2АЛ01:В) =(соотв_е) ЗА,01:В | 2А,01:В
Обоснование правила 12:(А ^ В)
12 : (А ^ В) =(ДЛ) (А ^ В)12 =(д.2) (А ^ В)1 V (А ^ В)2 =(0б. таб. ист.) ((А2 ЛВ01) V (А3 ЛВ1)) V ((А1 ЛВ01) V (А12 Л В2) V (А3 ЛВ2)) =(КОммУтат., ассоц.) ((А2 ЛВ01) V (А1 ЛВ01)) V ((А3 Л В1) V (А3 ЛВ2)) V (А12 ЛВ2) =(ДИСТР.) ((А2 Л А1) V В01) V (А3 Л (В1 V В2)) V (А12 ЛВ2) =(коммутат., д.2) (А12 V В01) V (А3 ЛВ12) V (А12 ЛВ2) =(Д1) (12:АЛ01:В) V(ЗАЛ12:В) V(12:АЛ2В) =(соотв.) 12:А,01:В | 3А,12:В | 12:А, 2В
Остальные правила для импликации обосновываются сходным образом.
Дадим обоснование правила 012:ВА и некоторых других.
012:В А =(дл, д.2) ВА° V В А1 V ВА2 =(табл.истин.) А1 V А3 V
А0 =(коммут.) (А0 ^ А1) ^ А3 = (д.2) А01 ^ А3 = (СОответст.) 01: А 1 ЗА.
Применение определения (д.1) перед последним знаком «=» опускается.
Обоснуем 12:ТА.
12:ТА =(д л, д.2) ТА *VTA2 =(д .1) 1TAV2TA =(п0 прав. ITA, 2ТА) 0А,ЗА V0A,ЗА =(ИДемп.) ОА, ЗА.
Обратим вттиматтие, что после второго равенства мы отступили от прежнего порядка обоснования правил, т.е. тте указали для ТА1 и ТА2 соответствующих им ДНФ. Вместо этого свели правило 12:ТА к двум старым правилам: ITA и 2ТА. Это объясняется тем, что ТА, согластто таблице истинности, тте имеет истинностных значений «1» и «2» при любом истинностном значении формулы А. В этих случаях, когда формула с каким-то оператором («Т» « У» и др.) тте имеет истинностного значения, мы приписываем им противоречие.
Обоснования остальных правил осуществляются аналогично вышеприведенным обоснованиям.
Часть прежних понятий, описывающих аналитическую таблицу, надо модифицировать.
Аналитической таблицей для формулы А логики изменения и направленности Роговского называется Ъ-адическим деревом Д (точками которого являются формулы), удовлетворяющее таким условиям.
1 2 2
12
из Д1 применением одного из правил типа (ß)*, (7)* или ($)*■
Тогда Д есть аналитическая таблица для формулы А тогда и только тогда, когда имеется коттечттая последовательность Д1, Д2, • • • Дп, где Дп = Д такая, что Д1 одноточечное дерево, чей корень есть формула А и Дг+1 есть непосредственное расширение Дг для каждого i < n.
Прежде у ттас имелось 5-адическое дерево Д, теперь 3-адичес-кое дерево Д. Это объясняется тем, что максимальное число ветвей, которые порождаются обобщенными правилами редукции, равтто трем.
Понятие ветви остается без изменений. Но понятие замкнутой ветви несколько изменяется.
Назовем ветвь в таблицы формулы А замкнутой (закрытой), если отта содержит хотя бы одну пару противоречивых формул.
Противоречие по-прежнему означает, что на ветви встречается, по меньшей мере дважды, одна и та же формула (в случае полной таблицы — атомарная формула), по она имеет непересекающиеся «множества-знаки», т.е. па замкнутой ветви имеются помеченные формулы лфь ^2ф2, • • •, Зп$>п такие, что Ф2 = ф3 = ••• = фтИ Ц^п^}^ • •пЦт} = 0, гд е ] е {3, 2, 1, 0, 01, 02, 12, 012} и 1 < т < п. В противном случае, т.е. когда пересечение не пусто, ветвь не является замкнутой.
Таблица называется замкнутой, если все ее ветви замкнуты. Естественно модифицируется понятие полной ветви.
Ветвь в таблицы Д называется полной, если для всякой формулы вида (в)+, (7)+, (6)+ ветвь в удовлетворяет следующим условиям (предполагается, что каждая формула вида (в)+, (7)+; (6)+ имеет конечное число вхождений логических связок и операторов) :
(у-1)+ — если (в)+ е в, то е в или в+ е в, или е в;
(у-2)+ — если (7)+ е в, то 7+ е в или 7+ е в;
(у-3)+ - если (6)+ е в, то 6+ е в.
Табличное доказательство непомеченной формулы А есть замкнутая таблица для формулы 012А.
Проверим работу этих правил на старых примерах: Тр ^ (д ^ р), р ^ (д ^ р) и У(р ^ д) ^ (Ур ^ Уд).
ПРИМЕР 13. Тр ^ (д ^ р). Проверить, является ли эта формула общезначимой.
Согласно новому взгляду на аналитические таблицы для логики Роговского мы можем строить не три аналитические таблицы , а одну.
(1). 012:Тр ^ (д ^ р)
(2).
(а).12:Тр
(«1)^2:(д ^ р) (1) (а2).0р, Зр(а) пр. а
(Ъ).ЗТр
(61).012:(д ^ р (Ь2) Зр (Ь) (6з). Зр
^зО-О^р (61) Ьз1 , Ь2
р) (1)
(64). 38
(640.012^ (61) пр. 641 , Ь2
Все ветви таблицы замкнуты. Формула Тр — (д — р) общезначима. Очевидтто, если сравнить Пример 10 и Пример 13, то новые правила по сравнению со старыми являются более эффективным средством проверки общезначимости исследуемой формулы.
(1). 012:Тр ^ (g ^ р)
(2).
(а).12:Тр (Ъ).ЗТр
(ai).012:(g ^ Р) (1) (bi).012 : (g ^ p) (1)
(aii).12sg (ai3).3g (bii).12:g (bi3).3g
(ai2).012:p (ai) (ai4).012:p (ai) (bi2).012sp (bi) (bi4).012:p (bi)
Таблица полттая, тти одна ветвь тте является замкнутой. Формула тте является общезначимой.
ПРИМЕР 14. Проверить общезначимость формулы У(р — g) — (Ур — Уд).
(1).012:У(р ^ g) ^ (Ур ^Уд) 12)___
(a). 12: У (p ^ g) (b). ЗУ(р ^ g)
(ai). 012:(Ур ^Vg) (1) (bi). 012¡(Ур ^Vg) (1)
(a2). ЗУ(Р ^ g) (a) (b2 ). 12:Ур (b5).3Vp
(аЗ). ОУ(р ^ g) (a) (Ьз ).012:yg (bi ) (b6).012:yg(b i)
np- (a2), (a3) (b4). р, р (b2) (bT)M-.g(b6)
np. (b4) (с). 3(р ^ g)(b) (e). 2(р ^ g) (b)
(ci). Op (c) (c2).3g (c)
np. b7, C2
(cii).3p (b5) (ci2).2p (b5)
пр. Cii , Ci np. Ci2, Ci
(ei). lp (e 2). 12:p (eз ) - 3p
(e ii).01:g(e) (e 2i).2g(e) (e3i).2:g(e)
(ei2). 2p (b5) (e 1з).3р (b5) np.e2i , b7 np-(e3i), (b7)
np. ei2, ei np. ei3,ei
Все ветви замкнуты для 012:((У(р — д) — (Ур — Уд))- Формула У(р — д) — (Ур — Уд) общезначима.
Для того чтобы доказать теорему о полттоте и корректности для формализованной логики Роговского посредством обобщенных аналитических таблиц, надо продолжить уточнения понятий.
К определениям (^1) — (^4), связывающим выполнимость помеченной формулы и оценку непомеченной формулы, добавим следующие определения:
(V(01 Л) е {3}) е! V(А) = 0 или V(А) = 1; (йъ)Зы(V(02Л) е {3}) е! V(А) = 0 или V(А) = 2;
(V(12Л) е {3}) е! V(А) = 1 или V(А) = 1; (dg)•Эv(V(012Л) е {3}) е! V(А) = 1 или V(А) = 2;
Понятая выполнимой формулы, общезначимой, тождественно ложной, необщезначимой, и невыполнимой формулы остаются прежними.
Уточняется понятие хиптикковского множества.
+
жеством Хиптикки, если и только если для любых формул вида (в) + , (7)+ и (6)+ оно удовлетворяет таким условиям:
(Н0)+ Для всех атомарных формул р, если ^р, ^Р е Н+, то
Ш п Ш = 0, где,? е {3, 2, 1, о, 01, 02, 12, 012};
(Н1)+ Есл и в е Н +^о в1 е Н + ил и в2 е Н +, или в3 е Н+; (Н2)+. Если 7 е Н +, то 71 е или 72 е + (Н3) + . Если 6 е Н + , то 61 е Н+;
(Н3.1)+ 0(А ^В), 12:ТА, 12ТА, 12:УА, 12:ЕА е Н+.
Последний пункт определения выделяет то множество правил
6
воречито.
Для доказательства леммы о том, что обобщенно помеченные формулы множества Хиптикки одновременно выполнимы, надо построить оценку V*, в которой все формулы этого множества истинны. Для этого припишем всем атомам, из которых построены формулы, принадлежащие
+ истинностные значения согласно следующим условиям:
(1) + ^ *(р) =
^и 1, если 01:р е Н +;
0 или 2, если 02:р е Н +;
1 или 2, если 12:р е Н +; ^и ^и 2, если 012:р е Н +;
(2)+ р жит Н+, то для определенности будем считать, что V*(р) = 3, где j е {01, 02, 12, 012}.
Поскольку среди помеченных формул из + встречаются и
(1)+ (2)+
добавляются к условиям (1) и (2), которые были сформулированы выше при доказательстве выполнимости множества Хитт-тикки, содержащее формулы ВИДЕ1 0А, 1А, 2А и ЗА.
Имея уточнения нужных понятий, сформулируем следующие утверждения об обобщенных аналитических таблицах логики Роговского.
ТЕОРЕМА 15. Каждая полная открытая ветвь обобщенной таблицы одновременно выполнима.
ЛЕММА 16. Каждое множество Хинтикки, содержащее обобщенно помеченные формулы для К4, является одновременно выполнимым.
ТЕОРЕМА 17. Если А есть общезначимая формула, то завершенная, таблица для обобщенно помеченной формулы 012:А является замкнутой (в)+. Если А общезначима, то А таблично доказуема.
СЛЕДСТВИЕ 18. Если имеется хотя бы одна незамкнутая ветвь таблицы обобщенно помеченной формулы 012:А, то формула А не является общезначимой.
ЛЕММА 19. Если имеется замкнутая таблица для формулы А, то множество формул, расположенных на каждой замкнутой ветви таблицы, не являются одновременно выполнимым.
ТЕОРЕМА 20. Если А имеет обобщенное табличное доказательство, то А общезначима.
Доказательства этих утверждений аналогичны доказательству соответствующих доказательств для случая простых аналитических таблиц логики Роговского.
ЗАМЕЧАНИЕ 21. Обобщенные аналитические таблицы более эффективны в проверке общезначимости формул логики Роговского. Но это не значит, что простые аналитические таблицы стали лишними. Обобщенные аналитические таблицы есть скрытая дизъюнкция простых аналитических таблиц. Не имея табличной семантики первых, семантика вторых была бы неясной. Обратим внимание также па то, что, увеличивая число выделенных значений, число простых аналитических таблиц для одной и той же формулы уменьшается: \N|\|Ь|, где \N\ — фиксированная мощность множества истинностных значений, |6| — это мощность выделенных значений истинности. В четырехзначной логике Роговского, руководствуясь теми или иными содержа-тельттыми соображениями, число выделенных значений может колебаться от одного до трех. В этом случае простые аналитически таблицы вовсе тте лишние. Автор благодарен В. А. Бочарову за полезные замечания.
Литература
1] Аншаков О. М. О некоторых конструктивизациях пропозициональных логик Д. А. Бочвара и С. Холдена // Исследования по неклассическим логикам и формальным системам. М.: Наука, 1983. С. 335-359.
2] Бочвар Д. А., Финн В. К. Некоторые дополнения к статьям о многозначных логиках // Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М.: ТТаука, 1976.
3] Fitting М. First — order Logic and Automated Theorem Proving. Springer-Verlag, New York. 1990. Pp. 51-55.
1] Hiihnle R. Towards an efficient tableau proof procedure for multiple- valued logics // Proceedings Workshop on Computer Science Logics. P.218-260. Heidelberg. Springer, LNCS 533, 1990.
5] Rogowski L.S. Logika kierunkowa a heglowska teza о sprecznoscizmiany/ Toruri. 1969.
6] Smullyan R. M. First — order logic. N.Y., 1968.
7] Surma S. J. An algorithm for axiomatizing every finite logic // Computer Science and Multiple-Valued Logics. P. 1 13-1 19. North-Holland. Amsterdam. 1981.
8] Carnielli W. A. Systematization of finite many - valued logics through the method of tableaux // Journal of Symbolic Logic.52(2): 173-193. June 1987.
(П __1(Тр^ (д-р))
(2)
(а) ЗТр (Ь) 2'Гр (О 2Тр
(<ч) 1(9 - Р) (П (Ы 1(9 - Р) (П (С1) 0(9 - Р) (П
(«2) Зр (а) (Ь2) Зр (Ь) (с2) Зр (с)
(3) Ор (Ь) Ор (с)
(«11) Зв 2в 2в пр.(Ь) пр.(с)
(«12) 1р («1) пр. а-2 , а12 (а13 ) 1р («1 ) (014) пр. а2,а!4 (а15 ) Ор («1 ) (а16 ) пр. а2, «16
(П ___2(Тр- (д-р))
(2)
(а) ЗТр (Ь) 2Тр (О 1'Гр (<1) 1'Гр (е) 1'Гр
(«1) 2(9 - Р) (1) (Ы 2(9 - Р) (П (С1) 2(9 - Р) (П (<¡1) 1(9 - Р) (П (в!) 0(9 - Р) (П
(а2 ) Зр (а) (Ь2) Зр, Ор (в) (с2) Зр, Ор (с) (<¡2) Зр, Ор (с!) (е2 ) Зр (е)
пр. В2 пр. с2 пр. пр. е2
(3).
(«11) Зв («13 ) 2в (а15 ) и (а17) 1к («19 )
(а12 ) 2р (а1) («14) 2р (а1) («16 ) 2р (а1) («18) 1р («1 ) («10 ) Ор (а1)
пр. а2 , «12 пр. а2 , а14 пр. а2 , ацз пр. а2 , а!8 пр. «2 , «10
(D (2)
(а)3р
(ai)l(9 - р) (1)
(3.1)
(41). з»
(ai2 ).lp(ai ) пр. а, а 12
(«13). 2»
(ai4).lp(ai )
пр. a, ai4
(«15). 2» («16 )-Op(ai ) пр. a, aie
1(р - (9 - Р» (Ь) 2р
(¡»1)1(9 -Р) (D
(3.2) (¡>11 )■ 3» (¡>12). 1р (¡>1) пр. Ъ, b 12_
(с) 2р (С1 )0(9 - р) (1) (С2)3В с30р (с) пр. С, С3
(¡>15). 2»
(¡>16. 1р (В1 )
пр. Ь, ¡>16
Приложение 3.
(1) 2(p - (9 -P))
(2)
(а)3р (b)2p (clip (d)lp (ellp
(al )2(9 - р)(1) (¡>1)2(9 -Р) (D (C1 )2(9 - p) (1) (dl)l(9 - P) (1) (ei)0(9 - P) (D
(3.1)
(«11)3» («13)2» (a15)1» (air)lg (a19)1»
(а12 )2р («14 )2р (a16)2p (ais)lp («110 )Op(ai )
(ai) («1) (4) (ai) пр.a, ai in
пр.a, ai2 пр.a, ai4 пр.a, ai6 пр.a, aig
(3.2)
(¡>11)3» (¡>13)2» (¡>15)1» (¡>17)1» (¡>19)1»
(¡>12) 2p (¡>14) 2p (f>i) (¡>16) 2p (f>i) (¡>18) lp (¡>1) (¡>110) lp (¡>1)
(¡>1) np.f>, ¡>18 np.f>, ¡>10
Приложение 4.
(1). 2(У(р -> д) -> (Ур-, Уд))
т,_
(а1)ЗУ(р -> д) (Ь1)2У(р -> д) (С1)1У(р -> 9)
(а2) 1(Ур -> Уд)(1) (Ь2)1(Ур -> У9)(1) (с2) 1(Ур -> У9)(1)
(Ьз)З(р -> 9) (сз)З(р -> 9)
(Ь4)0(р -> 9)(Ь1) (с4)0(р -> 9)(С1)
пр. £»з, £> пр. С3, с4
(3)
(а21).ЗУр (а24).2Ур (а27). 2Ур
(а22).2У8 (а2) (а25).2У8 (а2) (а28).2У8 (а2)
(а2з)-3808(а22) (а26).3р0р(а24) (а29).3р0р(а27)
пр. а2з пр. а26 пр. а29
(dl)iy(p - 9) (ei)iy(p — 9)
(d2)КУР - У9)(1) (е2)1(Ур -, У9)(1)
(d3)3(p — 9) (ез)З(р — 9)
(Al)O(p — 9)(dl) (е4)0(р -, 9)(е1 )
пр. t¡3, t¡4 пр. е3, е4
