CC BY
31Логика направленности и изменения Л. Роговского как функциональная система
Н.И. Стешенко
abstract. In this paper, we prove functional completeness of the four-valued logic of Rogowski by reduction to several well-known functionally complete systems by using J. Slupecki's completeness criterion. We also indicate the bases of this logic.
Логика направленности и изменения, созданная Роговским, — четырехзначная [8]. Он аксиоматизировал эту логику, доказал ее корректность, непротиворечивость, полноту и независимость системы аксиом.
Мне не известны работы, в которых эта логика рассматривалась бы как функциональная система. Задать логику как функциональную систему — означает указать систему исходных функций и операцию (суперпозицию) над множеством исходных функций так, чтобы посредством этих функций и их суперпозиций были определяемы все другие функции. Определение операции суперпозиции будет дано ниже. При исследовании логики Роговского как функциональной системы будем заниматься двумя естественными задачами. Во-первых, проверим, является ли исходная система функций этой логики функционально полной, во-вторых, выделим лишь те базисы в множестве всех функций логики Роговского, которые оправданы (не разрушают содержательной основы этой логики).
Исходными синтаксическими понятиями логики направленности изменения являются импликация и оператор возникновения «Б», который читается «возникает так, что... », где вместо точек подставляются пропозициональные переменные, т.е. в этой логике имеется потенциально бесконечный список пропозициональных букв. Через исходные понятия определениями вводятся
другие логические связки и операторы. Дадим некоторые важные определения логики направленности.
(Б1) — р ВВр — «не есть так, что р»;
(Б2) Ир В — р — «исчезает так, что р»;
(БЗ) р Л д =щ— (р д);
(Б4) Тр рЛИ(р Л Вр) Л В(рЛИр) — сильное утверждение: р
(Б5) р V д — (— рЛ — д) =— р ^ д;
(Б6) Ур Т(р V Вр) — «уже есть так, что р»;
(Б7) Ер Т(р^ Ир) — «еще есть так, что р».
С содержательной точки зрения логика направленности изменения дедуктивно систематизирует высказывания о переходе
в гегелевском смысле (направленные интервалы). Они выделя-
р
не есть так, что р), (не есть так, что р; есть так, что р). Опе-ВЕ
свойств перехода. Семантическое значение логических связок и операторов определяется таблицами истинности.
Выделенным значением является «3» — истина. Остальные истинностные значения обозначаются так: «2» — подистина; «1» — подложь; «0» — ложь.
Таблица 1
р — р Тр Вр Ир Ур Ер р ^ д 3 2 1 0
3 0 3 1 2 3 3 3 3 2 1 0
2 1 0 3 0 3 0 2 3 2 1 1
1 2 0 0 3 0 3 1 3 2 2 2
0 3 0 2 1 0 0 0 3 3 3 3
Перейдем к описанию логики Роговского как функциональной системы. Функция f (х\, ■ ■ ■ ,хп) от п-аргументов называется функцией четырехзначной логики, если ее аргументы определены на множестве Г4 = {3, 2,1, 0} и сама функция прини-
мает значение из того же множества. Функции логики Роговского полностью определяются ее таблицами истинности, т.е. в каждой строчке таблицы, которая определяет ту или иттуто функцию, вначале задается значение переменных функции, затем значения функции на построчных наборах. Если функция f
Pi формула Ф имеют одну и ту же таблицу истинности, то будем
f
Произвольные формулы Ф1 и Ф2, представляющие одну и ту же функцию, называются эквивалентными, т.е. Ф1 и Ф2 имеют совпадающие таблицы истинности. Другими словами, в отличие от табличного задания функции, представление данной функции формулой тте единственно.
Ниже отождествляются знаки и названия некоторых логических связок рт операторов логики Роговского со знаками и названиями функций.
Обозначим систему исходных функций указанной логики через F = B}.
Суперпозицией функций называется образование НОВЫХ функций PI3 множества исходных функций через а) операцию пере-ршеповатшя переменных (в частности, Pix отождествления) и б) операцию подстановки некоторой функции вместо аргументов какой-то функции — исходной или образованной из исходных — (в частности, подстановкой фиксированной функции вместо собственного аргумента)(см.: [2, с. 33]).
Множество всех суперпозиций функций от n-аргументов (n = 0,1, 2, • • • ,n — 1) логики Роговского обозначим через R4. Константные функции (константы) рассматриваются как функции, зависящие от произвольного числа переменных, включая и пуль переменных [1, с. 88]. Образуем суперпозициями отдельные футтк-R4
указаппые определения.
1. ~ x = (3 — x) — отрицание;
2. И(х) = B(~ x) — «исчезает, что... »;
3. х V у = тах(х, у) — дизъюнкция;
4. х Л у = min(x, у) — конъюнкция.
Введем константные функции, т.е. функции, принимающие па всех значениях аргументов какое-то одно значение: 3, либо 2, либо 1, либо 0. Введем соглашение: в многократных подстановках функции В (х) (и функции И(х)) на место собственного аргу-
В(В(х))
ВВ(х)
5. 3 = х V В(х) V ВВ(х) V ВВВ(х) — константа 3;
6. 1 = В(3) — константа 1;
7. 0 = В(1) — константа 0;
8. 2 = В(0) — константа 2.
Определим в И,4 функции Россера-Тюркетта.
9. ,Ь(х) = ВВ[х ^ [В(х ^ ВВВ(х)) ^ В(х ^ В(х))]]-,
10. Ъ(х) = Jз(B(x));
11. Зг(х) = Зз(ВВВ(х))-,
12. Мх) = ,1з(ВВ(х)).
Введя переменную г, принимающую все значения из множества Г4 = {0,1, 2, 3}, мы получим известную характеристическую функцию:
() ^ 3, если х = г
Мх) = <
I 0, если х = г.
Определим посредством суперпозиции функций Россера-Тюркетта другие функции, играющие огромную роль в логике Роговского.
13. У(х) = ,12(х) V ,13(х); — «уже есть так, что... ».
14. Е(х) = ,1\(х) V ■13(х)1 — «еще есть так, что... ».
15. х П у = (У (х) Л Е(у)) V (Е(х)ЛУ (у)) — «х и вместе с тем У»■
16. x П ~ x = Ji(x) V J2{x\ — «x и вместе с тем ne-x» — гегелевская конъюнкция.
Проверка всех равенств (1)—(16) осуществляется непосредственно по таблицам истинности pi строетшто суперпо-зрщрго (правые частрт равенств), посредством которых вводятся фупкцртр! (левые частрт равенств).
Далытте сосредоточртмся па проверке функциональной полноты R4. Приспособим известные определения и формулировки теорем к сршволам логрткрт ртзмепетшя pi паправлеппостр!, которая рассматрртается как фупкцргопальпая сртстема.
Система функций F = Б} в R4 называется функциональ-
R4
F
Для прортзвольпых к-зпачпых, в том чртсле pi 4-зпачпых логртк, ршеется несколько способов проверкрт полноты сртстем функций. Компактное onpicaupie этртх способов дано, папрршер, в [1, с. 97].
Первый PI3 iiPix основан па рассмотреть™ всех предполпых R4 R4 R4
ко тогда, когда она цетшком не содержрттся iipi в одном ртз предполпых классов. Потштрте предполпого класса стандартное [7, с. 78-79]. Этот способ практртческрт малопрртгодеп, так как надо фактртческр! ршеть все предполпые классы, которых у пас пет; Pix чргсло равно 82 (см.: [3, с. 106]).
Второй способ доказательства полноты проводрттся методом сведетшя к заведомо полным сртстемам.
Наконец, третрш способ проверкрт сртстем функций па полноту COCTOPIT в том, что рассматрртается множество, содержащее некоторую совокупность функций от одной переменной pi функцию, которая существенно зависит не менее чем от двух пере-
4
фупктцш должны удовлетворять критериям (признакам) пол-поты: критериям Е. Слупецкого, C.B. Яблонского, А. Саломаа. Отметим попутно, что критерий А. Саломаа к нашему случаю неприменим, так как он предназначен для проверкрт полноты многозначных логик, имеющих не менее 5-ти истинностных значений. Нужные определения будут даны ниже.
Доказательство функциональной полноты системы функций F = {^,Б} в R4 проведем методом сведения к заведомо пол-
ттым системам посредством критерия Слупецкого.
Доказательство функциональной полноты с помощью метода сведения к заведомо полным системам покоится па теореме, формулировка и доказательство которой имеется в [о, с. 30-31]. Она сформулирована для двухзначной логики, по автоматически переносится па многозначные логики, так как понятие суперпозиции функций одинаково для двухзначных и многозначных логик.
ТЕОРЕМА 1. Пусть даны две системы функций из четырехзначной логики (а) ¥1 = {/1, /2,...} и (б) ¥ = {д1,д2, ■ ■ ■ }, относительно которых известно, что система (а) полна и каждая ее функция получена посредством суперпозиций функций из системы (б). Тогда система (б) является полной.
ТЕОРЕМА 2. Система функций ¥ = {^,В} в И,4 функционально полная.
Имеем систему (б) ¥ = В} в И,4, надо найти такую систему (а), относительно которой известно, что она является функционально полной. В множестве И,4 такая подсистема имеется: это 4-зпачпый вариант системы Россера и Тторкетта.
(а). ¥1 = {х V у, х Л у, ,13(х), ,12(х), ,11(х), ,10(х), 3, 2, 1, 0}.
Каждая функция системы (а) получена суперпозицией функций из системы (б): это равенства (3)—(12). Доказательство
¥1
факте, что в многозначной логике имеется аналог совершенной дизъюнктивно нормальной формы (с.д.тт.ф.).
/ (х1 ,...,хп)= \/ [(М (х1) Л ■■■ Л (хп)) Л / (¿1 ,...,5п)=0]
Дизъюнкция берется по всем 4-значным наборам §1, ■■■,§„, значений переменных х1, ■ ■ ■, хп, каждый из которых имеет длину п. Доказательство равенства левой и правой частей этого разложения аналогично доказательству в 2-зпачпой логике [о, с. 15-16]. Правая часть этого разложения есть формула логики Ро-
¥1
тцтя, которую представляет формула. Любая, отличная от тождественно ложной, формула логики Роговского, которая пред-
ставляет функцию f (x\,..., xn), преобразуема в с.д.н.ф., и такое представление единственно.
Таким образом, системы F = {—, B} и F\ = {xVy,x Ay, J3(x), J2(x), Ji(x), J0(x), 3, 2,1, 0} удовлетворяют требованиям теоремы 1, значит система F = {—, B} является функционально полной.
Известно также, что система Поста П4 = {—, V} — функци-
F=
{—,B} к полноте П4. Выше было показано, что дизъюнкция x V y = max(x, y) есть суперпозиция функций из F = {-,B}, эта дизъюнкция равнозначна постовской дизъюнкции. Но в логиках Роговского и Поста различные типы отрицания. В первой используется отрицание в виде симметрического отображения истинностных значений x = 3 — x), во второй — циклического сдвига истинностных значений (—x = x + 1(mod 4)). Надо определить постовское отрицание посредством суперпозиции функций из F = {—, B}.
— x = (Jo(x)AH(x)) V ((Ji(x)A ~ x) V J2(x)) = (J0(x) — B(x)) — (BB(J2(x)) — BB(Ji(x) — x))
Проверка равенства осуществляется с помощью применения таблиц истинности по структуре суперпозиции функций в правой части, т.е. получим x = {0, 3, 2,1} при x = {3, 2,1, 0}. Таким образом, система (а) П4 = {—, V} и система (б) F = {—, B} выполняют условия теоремы 1, значит F = {—,B} функционально полна.
В логике Роговского центральную роль играют одноместные (одноаргументные) функции B(x), H(x), y(x), E(x). Но доказательство полноты R4 методом сведения к заведомо полным системам ничего не говорит о функциональных свойствах упомянутых одноместных функций логики изменения и направленности. Критерий Е. Слупецкого, дополненный условиями па функции от одной переменной, которые задаются теоремой С. Пикар (Sophie Piccard), позволяет, в частности, исследовать функциональную полноту в множестве одноместных функций.
Дадим нужные для формулировки критерия Слупецкого обо-
R4
Обозначим через R^ множество всех одноместных функций в R4, их число равно 44 = 256; S4 — множество всех разнозначных функций, т.е. функции одного аргумента, каждая из которых принимает все четыре значения истинности, их число равно 4! = 24; этому множеству, в частности, принадлежат функции B(x), И(х), ~ ж. Но функции У(х) и E(x) принадлежат другому множеству: множеству одноместных функций, «выпускающих»
4
Будем говорить, что одноместная функция выпускает хотя бы одно истинностное значение, если совокупность ее значений является строгим подмножеством множества Г4 = {0,1, 2, 3}, т.е. f (Г4) =Г4. Множество одноместных функций, выпускающих хотя бы одно истинностное значение, есть дополнение множества разнозначных функций в множестве всех одноместных функций: CS4 = R41)\S4.
Функция f (xi,..., Xk-i,Xk,Xk+i,..., xn) из R4 существенно зависит от переменной xk, если найдутся два набора истинностных значений ai = (ai,..., ak-1, ßi, ak+i,..., an) и a2 = (ai, ... , ak-1 ,ß2, ak+i,..., an), ßi = ß2 таких, что f (ai) = f (a2) [7, c. 57J. Функцию f (xi,... ,xn) назовем существенной, если она существенно зависит более чем от одной переменной и принимает
4
ТЕОРЕМА 3 (критерий Е. Слупецкого). Система функций R4i) U {—} полна в R4 тогда и только тогда, когда функция, — существенная.
Доказательство теоремы датто в [9]. Наша цель — показать, что система F = {-,B} подпадает под критерий Слупецкого. «Подпадает» означает, что F имеет все одноместные функции и функция — является существенной. Сама же функциональная полпота, т.е. существование всех остальных функций (наряду с одноместными) R4
Легко проверить по таблице истинности, что функция — суще с* J3 он * По критерию Слупецкого надо фактически иметь все функции одного аргумента, их число, как отмечали, равно
R4
получить весь список одноместных функций r4^ посредством суперпозиции функций из F = {—,B}, надо провести огромное
число вычислений. Чтобы избежать утомительных вычислений, С. Пикар предложила несколько систем одноместных функций, которые являются полными в r4^- Позже обсуждались и другие системы функций от одной переменной, достаточные для порождения всех одноместных функций [4]. Используем функции Пикар, следуя [5, с. 64-65], по изменив обозначения.
ТЕОРЕМА 4 (С. Пикар). Все функции одного переменного из
R4
г
i, если x = 0; J0i(x) = 0, если x = i(i = 1, 2, 3)-, x
1, x = 0
h(x) =
x, x = 0
Убедимся, что эти функции в r4 ) имеются, т.е. определим эти функции посредством суперпозиций функций логики Роговского:
foi (x) = (x A B(x))V ~ [(~ x A B(x)) V Ji(x) V J2(x)];
fo2(x) = [(xA ~ x)AH(x)]V ~ [J1(x) V J2(x) V (H(x)A ~ x)];
fo3(x) = [(xA ~ x)AH(x)]V ~ [Ji(x) V J3(x) V (xA ~ x)];
h(x) = x V ((H(x) A B(x) A J0(x)).
Проверка равенств проводится на основании определений функций, задаваемых теоремой С. Пикар, и по структуре суперпозиций функций в правой части равенств.
Система функций foi = (foi, fo2, fo3) порождает множество S4 всех разнозначных функций.
Докажем полноту системы функций {foi} = {foi, fo2, fo33} в S4 индукцией по i(1 < i < 3). Для доказательства полноты используем свойство функций foi(x), задаваемое их определениями: foi(x) = x, если x = i и x = 0. К тому же из четырехзнач-ности функций логики Роговского ясно, что foi (x) = x имеет
i
Установим, что любая функция s(x) из S4, удовлетворяющая условию s(x) = x при x > i = 3 (и x < i, еслш = 3) порождается
foi
Базис индукции: i = 1 Тогда условие s(x) = x при x > 1 означает, что функция s(x) тождественна на построчных наборах аргументов «2» и «3». Из трех функций {foi, fo2, fo3} только функция foi порождает множество функций, выделенных указанным свойством, так как функция fo2 (по ее определению) не сохраняет тождество s(x) = x на аргументе «2», а функция fo3 (по определению) то сохраняет тождество s(x) = x на аргументе «3». Тем самым базис индукции доказан.
Индуктивное допущение. Предположим, что мы имеем подмножество функций из S4, порожденное функцией fo2- Надо доказать, что остальные функции из множества S4 порождаются fo3, т.е. i = 3.
Сначала. надо убедиться, что множество функций, порождаемых функцией fo3, отличается (не пересекается) от тех множеств функций, которые порождаются функциями foi и fo2-Другими словами, надо показать, что fo3 не является суперпозицией фуНКЦИЙ foi И f02, т.е. fo3(x) = foi(fo2(x))[fo3(x) = fo2(foi(x))]■ Из базиса индукции известно, что все функции, заданные foi, сохраняют тождество s(x) = x на значениях аргументов «2» и «3», по индуктивному допущению имеем, что все функции, порожденные функцией fo2, дают тождество s(x) = x па значениях аргументов «3» и «1». Тогда суперпозиция функций из этих множеств функций сохраняет тождество па аргументе со значением «3». Но fo3 не сохраняет тождество (по определению fo3) па аргументе со значением «3». Значит, множество функций, порождаемое fo3, не может пересекаться с множествами функций, порождаемых функциями foi и fo2- Условие s(x) = x при x < 3 означает, что множество функций тождественно па наборах аргументов со значением «2» и «1». Но множество функций, выделенное этим условием, порождается функцией fo3- Доказательство полноты системы функций {foi} = {foi, fo2, fo3} в S4 завершено.
Функции B(x),if(x)x и — x — разнозначные функции, и, стало быть, выразимы функциями из fof. B(x) = foi(fo:i(fo2(x))); H(x) = fo2 ( fo3 (foi(x))) - x = fo3(fo2(foi(fo2(x))) — x = fo3(fo2(foi(x))).
Функция h(x) (с использованием функций из S4) позволяет задать любую функцию из множества CS4, т.е. множество
функций, выпускающих хотя бы одно значение истинности из множества Г4 = {0,1, 2, 3^. Выделим те функции из 84, которые нам особо понадобятся в порождении множества функций из С84: И(х), Б(х), ~ (х), /12(х) = /01(/02(/01(ж))), /13(х) =
/01(/03(/03(х)))-
/12(х) = <
1, если х =2;
2, если х = 1; х
случаях.
/13(х) = <
1, х = 3 3, х = 1 х
случаях.
Из определения функций, выпускающих хотя бы одно значение истинности из множества Г4 = {0,1, 2, 3}, легко видеть, что в таких функциях имеется по меньшей мере два повторяющихся (одинаковых) значения истинности. Например, в функциях /1(х) = (1, 2,1, 3), /2(х) = (1, 2, 3, 2), /з(х) = (3, 2, 3,1) выпуще-
(1, 1)
(2, 2) (3, 3)
Доказательство проведем индукцией по ] (1 < ] < 3), где ] — число, выпускаемых в функциях истинностных значений. Установим, что любая функция р(х) из С84, удовлетворяющая условию «иметь одинаковые истинностные значения», задается функцией Н(х) (с использованием функций из С84).
Базис индукции ] = 1. Имеем четыре случая: (а). Выпускается значение «0» и повторяются в функциях истинностные значения — (1,1) (2, 2) и (3, 3), т.е. р0(х) = р0(х) и р0(х) и р3(х), где нижний индекс указывает какое истинностное значение выпускается, а верхние индексы показывают, какие истинностные значения повторяются. Другими словами, множество функций, в котором выпущено истинностное значение «0», состоит из трех подмножеств функций, (б). Выпускается значение «1» и повто-
(0, 0) (2, 2)
(3, 3), т.е. р1(х) = р0(х) и р2(х) и р^3(х). (в). Выпускается значение «2» и повторяются в функциях истинностные значения — (0, 0) (1,1) и (3, 3),т.е. р2(х) = р2(х) ир2(х) ир3(х). (г). Выпускается значение «3» и повторяются в функциях истинностные значения — (0, 0) (2, 2) и (1,1), т.е. р3(х) = р33(х) ир33(х) ир3(х).
Рассмотрим случай (а). Подстав»™ вместо аргумента функции ^(ж) каждую функцию из класса 84. Тогда в так полученном множестве функций появятся пары таких функций, которые состоят из одинаковых по значению функций. Например, различные функции в 84 вк(ж) = (3, 0, 2,1) и в^(ж) = (3,1, 2, 0) в результате подстановки окажутся одинаковыми — Ь(вк;(ж)) = Н(ве(х)) = (3,1, 2,1). Оставим по одной функции из каждой па-
84
ратотся функции таким образом, чтобы указанные повторы при подстановке вместо аргумента Н(ж) не встречались. В результате получим класс р^(ж) всех функций, в которых во всевозможных комбинациях повторяется значение «1», так как множество 84, из которого собственно и получили р0 (ж) посредством Н(ж),
84
строчными наборами истинностных значений «0» и «1». Осталось получить р0 (ж) и р3 (ж). Подставим вместо аргумента функции /12(ж) каждую функцию из множества р0(ж), в результате получим все функции класса р2 (ж). Подставим вместо аргумента функции /13 (ж) каждую функцию из мн ожества р0 (ж), в результате получим все функции класса р3(ж). Случай (а) доказан, т.е. ро(ж) = р0(ж) ир2(ж) ир3(ж).
(б). Для доказательства этого случая используем функцию И (ж) = /о2(/о3 (/01 (ж))) и все функции, полученные в случае (а).
(ж)
ства р0(ж), получим все множество функций из р3(ж), т.е. множество функций, в которых выпускается значение «1» и повторяются значения (3, 3). Сокращенно эти подстановки запишем И(р^(ж)) = р3(ж). Дальше подставим вместо аргумента И (ж) каждую функцию из множества р"^(ж), получим все множество функций из р0(ж), т.е. множество функций, в которых выпускается значение «1» и повторяются значения (0, 0). Сокращенно эти подстановки запишем И(р2(ж)) = р1(ж). Наконец, под-
(ж)
р0 (ж), получим все множество фу нкций из р2 (ж), т.е. множество функций, в которых выпускается значение «1» и повторяются значения (2, 2). Сокращенно эти подстановки запишем И(р^(ж)) = р1 (ж). Случай (б) завершен, т.е. имеем р1(ж) = р0(ж)и р1(ж) ир\(ж).
(в). Для доказательства этого случая используем функцию B(x) = /01 (/03(/02(x))) и все функции случая (а). Все нужные подстановки запишем сокращенно: B(p 1(x)) = p0(x)); B(p2(x)) = p2(x)) B(p33(x)) = p1 (x)), т.е. были получены все функции, в которых выпускается значение «2» и повторяются значения (0, 0), (1,1)и (3, 3)- P2(x)= p°0(x) и p^x) и p2(x).
(г). Для доказательства последнего случая используем функцию ~ x = /03(/02(/01 (/02(x)))) и все функции, полученные в случае (а). Все нужные подстановки запишем сокращенно: ~ (p1(x)) = p3(x) ~ (p0(x)) = pUx); ~ (p3(x)) = p0(x), т.е. получили все функции, в которых выпущено значение «3» и повторяются значения (0, 0) (1,1) и (2, 2) — p3(x) = p3(x) Up33(x) Up^(x).
Таким образом, все случаи базиса индукции доказаны.
Индуктивное допущение i = 2. Предполагая, что имеются все функции, выпускающие ровно два значения (либо 0 и 1, либо 0 и 2, рт т.д.), можем построить множество всех функций, выпускающих три значения истинности ((0, 1, 2), либо (0, 1, 3) либо (0, 2, 3), либо (1, 2, 3)), т.е. получим все константные функции.
Среди функций, выпускающих два истинностных значения, имеются функции, выпускающие истинностные значения «2» и «3», например функция /к = (0,1,1,1). Суперпозиция функций h(/k(x)) дает константу 1, т.е. функцию, выпускающую истинностные значения (0, 2, 3). Нетрудно получить оставшиеся константные функции.
Так как функции У(х) и Е(x) выпускают истинностные значения «1» рт «2», то Pix можно определить, например посредством таких суперпозиций функций: Y(x) = — (— (h ~ (h(x)))) и E(x) = — (— (/i2(h(~ h(B(x)))))).
Итак, суперпозицией функций из F = {^,B} была определена система одноместных функций {/oi, h(x)}, которая порождает множество всех одноместных функций R^- Функция ^ является существенной. Значит, система функций F = {^,B} удовлетворяет критерию Е. Слупецкого, т.е. является функционально полной в R4.
Докажем, пользуясь критерием Е. Слупецкого, что система функций F3 = {^,У,Е} не является функционально полной в R4 F3
ство одноместных функций, а лить его часть, т.е. собственное
тз(1)
подмножество множества К4 ■
Посредством суперпозиций функций из Е3 образуем некоторое множество функций, зависящих от одной переменной. Этому множеству принадлежит константа 3 (например, полученная суперпозицией функций ^ и У : У(ж) ^У(ж)), тождественная функция (3 ^ ж = ж), а также подмножество функций, выпускающие значения «О» или «1», или «2» и принимающие по меньшей мере в двух строчках значения «3». Но мы тте получим пи одной одноместной функции, в которой выпускается значение «3» из Е4. Покажем это. По аналогии с трехзначной логикой [6, с. 110] будем говорить, что функция сохраняет истинностное значение 3, если /(3, 3,..., 3) = 3. Все три функции {^,У, Е} сохраняют истинностное значение 3, тогда и суперпозиция этих функций сохраняет истинностное значение 3 (доказательство такое же, как и в случае двухзначной логики (см.: [о, с. 34])). Таким образом, среди одноместных функций, порождаемых системой функций из Е3 = {^,У,Е}, нет, по меньшей
4
Это означает, что Е3 = {^,У,Е} не является функционально полной.
ТЕОРЕМА 5. Е = {^,Е} есть базис И,4.
Для доказательства этой теоремы введем ряд известных понятий. Пусть Е С И,4. Замыканием множества функций Е называется множество, обозначаемое [Е], которое состоит из функ-Е
Е [Е] =
Е Е Е
вается полным, если [Е] = И,4. Множество функций Е+ называется неполным в И,4, тел и [Е+] = И,4. Базисом называется минимальная полная система функций, т.е. такая система функций, удаление из которой любой функции делает систему неполной.
Зафиксируем, что система Е = {^,Е} является функционально полной. Ее полпота была установлена методом сведения к заведомо полным системам и при помощи критерия Е. Слу-пецкого.
Рассмотрим два случая: 1) Е1 = {Е}; 2) Е2 = В первом случае имеем [Е (ж)] = {Е(ж), ~ ж,И (ж),ж}, т.е. любая суперпозиция функции Е(ж) дает одну из четырех указанных функций.
Это означает, что [F1] = R4. Более точно, [F1] = S4, т.е. F1 тте является полной даже в множестве разнозначных функций (S4 С r41} С R4). Несложно показать, что [F2] = R4.
Суммируем: F = B} — полная система, F1 = {B} и F2 =
— неполные, значпт, F = B} есть базис в R4. Укажем еще пять базисных систем функций логики Роговского. На задание базисов введем ограничения, диктуемые содержательными предпосылками логики изменения и направленности. В логике Роговского, как отмечалось выпте, систематизируются гегелевские высказывания о переходе предмета из одного состояния в другое; функции В,У, Е,И как раз и предназначены для образования сложных высказываний, в которых что-то утверждается либо отрицается о свойствах перехода. Система функций F3 = {^,У,Е} не является базисом R4 как она — это было показано выпте — тте является полной в R4. С другой стороны, функции y(x) и E(x) определимы через импликацию и функции В (x) или И(х), поэтому включение их в базис избыточно. Функции B(x) и И(х) взаимоопредели-мы — ïï(x) = B(~ x); B (x) =И(~ x), и совпадают как замкнутые классы [B(x)] = {B(x), ~ x,IÏ(x),x} = [H(x)]. Ввиду этого среди функций, ВХОДЯЩИХ в базис, должны быть эти функции. Следующие системы функций образуют базис: F1 = {V, B}; F2 = {A,B}; F3 = {^,И}; F4 = {V,I4} F5 = {Л,И} - при этом учитываются определения (D3) и (Do). Можно получить и другие базисы, например: {^ (плюс) минимальная система одноместных функций, через которые выразима функция B (x) (x)}
минимальная система одноместных функций может быть обоснована содержательными предпосылками логики изменения и направленности.
Литература
[1] Гаврилов Г.П., Сапо-мскпко A.A. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 200-1.
[2] Гипдикип С.Г. Алгебра логики в задачах. М.: ТТаука, 1972.
[3] Карпенко A.C. Многозначные логики. Логика и компьютер. Вып. 1. М.: ТТаука, 1997.
[1] Саломаа А. ТТекоторьте критерии полноты для множеств функций многозначной логики // Кибернетический сборник. Вып. 8. М.: Мир, 1961. С. 7-32. [5] Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: ТТаука, 1986.
[6] Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В. Г. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: ТТаука, 1966.
[7] Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды МИАТТ СССР. 1958. Т. 51. С. 5-1 12.
[8] Rogowski L.S. Logika kierunkowa a heglowska teza о sprzecznosci zmiany. Toruri, 1969.
[9] Slupecki J. A criterion of fullness of many-valued systems of propositional logic // Studia logica. Vol. XXX. 1972. P. 153-157.
