CC BY
43Стандартные и нестандартные логики аргументации I
В.К. Финн
1 Введение
В [1] был предложен вариант логики аргументации А4, истинностные значения которой 1,-1, 0, г истолковывались соответственно как «фактически истинно», «фактически ложно», «фактически противоречиво» и «неопределенно». Семантика логики аргументации А4 образована непустым множеством доводов (возможных аргументов и контраргументов) А и функциями §+ и g- такими, что:
ga : р ^ 2а, где а € {+, —}, а р — множество пропозициональных переменных р, д, г, в (быть может с нижними индексами) . §+ (р) и g- (р) являются множеством аргументов и контрар-
р
для любого р € р имеет место g+(p) П g- (р) = 0.
Принцип оценивания пропозициональных переменных прост: рр
фактически истинно (у[р] = 1, где у[р] — функция оценки);
рр
фактически ложно (у[р] = —1);
рр
чески противоречиво (у[р] = 0^; тел и р не имеет ни аргументов, ни контраргументов, то р неопределенно (у[р] = г).
Таким образом, функция оценки атомарных формул определяется следующим образом:
у[р] = 1, если и только еели §+ (р) = 0 и g- (р) = 0; у[р] = — 1 если и только еели g+(p) = 0 и g-(p) = 0; у[р] = 0, если и только еели §+ (р) = 0 и g- (р) = 0; у[р] = г, если и только еели g+(p) = g-(р) = 0.
Д.А. Бочвар1 высказал соображение об осмысленности многозначных логик при условии интерпретируемости Pix истинностных значений. Он предположил, что интересные многозначные логики могут быть фрагментами формализованной семантики. В соответствии с этим соображением рассмотрим 3 типа отношения порядка на множестве истинностных значений {1, -1, 0, т}:
-1
-1
-1
(1)
(2)
(3)
1
1
1
0
0
Интерпретация порядка (1) следующая: высказывания подразделяются па принимаемые в силу наличия аргументов и отсутствия контраргументов (они получают оценку 1), па отвергаемые в силу наличия контраргументов и отсутствия аргументов (они получают оценку —1) и на не принимаемые и не отвергаемые, соответственно, имеющие аргументы и контраргументы (они получают оценку 0 — «фактически противоречиво») и тте имеющие пи аргументов, пи контраргументов (они получают оценку т — «неопределенность»).
Естественно тогда считать, что У^ = {1, —1} образует множество выделенных истинностных значений, а {0, т} — множество Н6В ЫД 6Л 6НН ЫХ •
Рассмотрим теперь следующие варианты четырехзначных логик аргументации I = 0, 1, 2, 3.
2 Логика аргументации лТ
(п > 2, N — множество натуральных чисел), У(2), Э. Связки определяются следующими истинностными таблицами.
'Устное сообщение.
р ~ р э 1 - 1 0 г
1 -1 1 1 - 1 0 г
-1 1 -1 1 1 1 1
0 0 0 1 - 1 1 г
г г г 1 - 1 0 1
&20) 1 -1 0 г
1 1 0 0 г
-1 0 -1 0 -1
0 0 0 0 0
г г -1 0 г
V®
1 -1 о
г
г
1 1 1 -1 1 -1 о 1 -1 о
1 1 -1 -1 о
г
А40) является модификацией логики аргументации А4 из [7]: заменена дизъюнкция на V®, которая является тах(р, д) на порядке (2).
{1, —1}
&20); так как 1 &20) —1 = 0, следствием которой является ее неассоциативность [7]. Очевидно, что ограничение &2° на {1, — 1} является ттебулевским. Однако дизъюнкция образует полурешетку с единицей «1», а именно: р У(2) р = р
р V(2) (д V® г) = (р V(2) д) У(2) г р V(2) д = д V® р р V(2) 1 = 1.
Отметим, что ограничение
па множестве истинностных
{1, —1}
(1) 4
3 Логика аргументации Л,
Логические связки: {V!1) }гаеМ, (п > 2), э — определяют-
ся истинностными таблицами2
2 Для п > 2 V но [7].
(1)
определяется посредством функции оценки аналогич-
п
&(1) 1 -1 0 г V« V2 1 -1 0 г
1 1 0 0 г 1 1 г 1 1
-1 0 -1 0 г -1 г -1 -1 -1
0 0 0 0 г 0 1 -1 0 0
г г г г г г 1 -1 0 г
и истинностными таблицами для ~ (отрицания) и D (импликации) A4 .
Легко проверить, что p q = mini(p,q) для порядка (1), но p V(1) q не является max\(p, q) для этого порядка, так как 1 V« -1= г.
Имеет место ассоциативность для p&(1)(q&(1)r) = (p&(1)q)&(1)r
Очевидно, что &(1) образует полурешетку с нулем г, а именно: p&(1)p = p
p&(1)(q&(1)r) = (p&(1)q)&(1)r p&(1)q = q&(1)p
p&(1)г = г
Так как 1 V^ —1 = г, то дизъюнкция не является max1(p, q) для порядка (1). Более того,^1^ не является ассоциативной логической связкой, так как имеет место:
1 v21) (1 v21) —1) = 1 v21) г = 1 и (1 v21) 1) v21) —1 = 1 v21) —1 = г
Как было сказано выше, {1, —1} — множество выделенных истинностных значений в соответствии с Pix принятой итттер-
—1
v[p] = 1, то p принято на основании имеющейся аргументации, но если v[p] = — 1, то p не принято (опровергнуто) на основании
—1
и 1 V^1) —1 = г. В силу этого аналогично [7] вводится счетное множество п-местных дизъюнкций где n > 2 и определя-
ется функция оценки v[vi^(p1,... ,pn)].
4 Логика аргументации
Логические связки:
v(2) , D — определяются следующими
истинностными таблицами
&(2) 1 -1 0 г V® 1 -1 0 г
1 1 -1 0 г 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 0 г -1 1 -1 -1 -1
0 0 0 0 г 0 1 -1 0 0
г г г г г г 1 -1 0 г
и истинностными таблицами для ~ и э А40).
Легко видеть, что р&(2)д = тгп2(р, д), а р V® д = тах2(р, д) для порядка (2). Множество выделенных истинностных значений Уа = {1}.
Очевидно, что &(2) и
(2)
образуют решетку, а ограничения
&(2) и
(2)
на множестве {1, —1} являются булевскими & и V, соответственно.
Можно показать, что имеют место аксиомы дистрибутивности р&(2)(д V(2) г) = (р&(2)д) V(2) (р&(2)г), р V(2) (д&(2)г) = (р V® д) &(2)(р V(2) г). Таким образом, &(2) и
(2)
образуют дистрибутивную
рептетку.
5 Логика аргументации л43)
Логические связки: &(3), V(3) э истинностными таблицами
&(3) 1 -1 0 г v(3) 1 -1 0 г
1 1 -1 0 г 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 г -1 1 -1 0 -1
0 0 -1 0 г 0 1 0 0 0
г г г г г г 1 -1 0 г
и истинностными таблицами для ~ и Э А40).
Легко видеть, что р&(3)д = тт3(р, д), а р V® д = тах3(р, д)
для порядка (3). Множество выделенных истинностных зттаче-(3)
ний А4 О = {1}.
Можно показать, что &(3) и образуют дртстрртбутртвпуго решетку, а ограничения &(3) и V(3) на множестве {1, —1} являются булевскими & и V соответственно.
Логики аргументации a42) и a43), логические связки которых и V(i) (i = 2,3) образуют дистрибутивные решетки, а ограничения &(i) |{1;-1}= & и V(i) |{1;-1}= V , где & и V соответственно конъюнкция и дизъюнкция двузначной логики (i = 2, 3)
гиками аргументации. Логики аргументации a4° и a41), кото-
i (°) \/(1)
рые содержат неассоциативные логические связки &2 и V2 , а их ограничения &2° 1{1,-1} = & и v21) |{1,-1}= V не являют-
V
пестаттд артпыми3.
6 Об интерпретации истинностных значений
логик A4
(i)
Семантическим принципом нестандартных логик аргументации A4°^ A« является условие оценки ^2) (i = 0, 2) такое,
что Ц&^ъ ^2)] = 0 если и только если у[<р\] = 1 и у[^2] = —1, или ^[^1] = — 1 и ^[^2] = 1, или ^[^1] = ^и ^[^2] = 0.
Это условие обобщается для п > 2 [10]: у[&П}(ф1,..., фп)\ = 0, если и только если Зй./] = 1 & ] = —1) V = 0),
где 1 < < п.
Таким образом, множество формул входящих в
е (»)
&П , оцениваются как «гештальт» независимо от порядка их вхождения. Этот факт связан с неассоциативностью и ис~ толкованием &2г)(1 —1) = 0 как фактического противоречия. Атомарная формула р получает оценку у[р] = 0, если и только если §+(р) = 0 и §_(р) = 0 Это означает, что р имеет аргументы и контраргументы.
Порядок (1) используется для определения ассоциативной &(1) с небулевским ограничением &(1) 1ц_1}, так как 1&(1) - 1 = 0.
При этом для л41) У^ = {1, —1} это означает, что принятыми высказываниями являются как аргументируемые, так и те, которые отвергаются в силу наличия контраргументов при отсутствии аргументов.
Для нестандартных логик аргументации можно выдвинуть
3Очевидно, что логика А4, рассмотренная в [7], является нестандартной логикой аргументации.
гипотезу о том, что функции g+ и g индуктивно определимы для формул <р произвольной сложности. В частности, v[&^ )] = 0, если и только если (g+(!i) = 0&g=
0) v (g+ы = 0&g!) = 0) V (te+(!i) = 0&s-(!i) = 0)&(g+(!2) = 0&S-!) = 0)) V ((g+Ы = 0&g-(!i) = 0)&(g +(!2) = 0&g - (!2) = 0)).
(2) (3)
Интерпретации истинностных значений для A4 и Ад отли-(2)
чаются тем, что для Ад предпочтительнее является непринятие
высказывания посредством установления контраргументов (при
отсутствии аргументов) по сравнению с установлением фактиче-
(3)
ского противоречия, что соответствует порядку (2); а для Ад предпочтительнее является непринятие высказывания посредством установления как наличия аргументов, так и наличия контраргументов, по сравнению с установлением фактической ложности, что соответствует порядку (3).
7 Замечание о теории истины и семантике логики аргументации
В [10] было отмечено, что развитие теории автоматического порождения гипотез делает актуальным применение различных теорий истины — теории соответствия (Аристотель — А. Тар-ский), теории когерентности и прагматической теории [о]. В самом деле, формирование базы фактов интеллектуальной системы требует применения теории соответствия, оценивание и автоматическое принятие гипотез основано па теории когерентности [о] — согласованности порождаемых гипотез с имеющимися знаниями (в том числе использование абдуктивттого объяснения базы фактов для принятия гипотез). Выделение падежных гипотез требует проверки Pix полезности при практическом применении, что означает применение теории прагматической истины.
Аналогичное имеет место и в семантике логики аргументации, ибо атомарная оценка основана на применении функций g+ и g-и множества возможных аргументов и контраргументов A, что означает использование теории когерентности.
В [7] семантика A4 была охарактеризована посредством ар-гументационной матрицы M = ({1, -1, 0, т}, Vd, A, g+, g-) и функции оценки v[!\ для соответствующего множества логических связок. Можно сформулировать реляционный вариант се-
матттики логики аргументации, задав отношение частичного порядка > на множестве А, изменив, соответственно, определения ф].
Аналогично А4, рассмотренной в [7], для логик Аг), г = 0, 1, 2, 3 могут быть построены формализации доказательства и выводимости из гипотез посредством метода аналитических таблиц как для логики высказываний, так и для логики предикатов.
В последнее время активно развиваются идеи и средства формализации аргументации [13, 14, 16]. Обстоятельный обзор логик аргументации и их сематттик содержится в [4].
8 Логики аргументации для ДСМ-метода автоматического порождения гипотез
В [8] были представлены принципы ДСМ-метода автоматического порождения гипотез, реализующего синтез познавательных процедур — индукции, аналогии и абдукции (с возможным применением дедукции после завершения формирования знании в результате применения ДСМ-рассуждеттий).
ДСМ-метод АПГ для формализации рассуждений использует итеративную логику, которая обладает следующим принципом «раскрытая неопределенностей»:
(т, п) = {(1, п + 1), (—1, п + 1), (0, п + 1)} и (т, п + 1), где п и
п + 1 — числа применений правил правдоподобного вывода, выражающие степень правдоподобия порождаемых гипотез (чем п
Истинностные значения ДСМ-логик определяются следующим образом:
(у, п) &(г)(ц, т) = (у &(г)ц, тах(п, т)),
(у, п) V(г) (ц, т) = (у V(г) ц, тгп(п, т)),
(у, п) э (ц, т) = (у э ц, тах(п, т)),
~ (у, п) = у, п).
Рассмотрим логические связки, определяемые следующими истинностными таблицами
&24) 1 -1 0 т (4) v2 1 -1 0 т
1 1 0 0 т 1 1 т 1 1
-1 0 -1 0 т -1 т -1 -1 -1
0 0 0 0 0 0 1 -1 0 т
т т т 0 т т 1 -1 т т
Тогда для симметричного ДСМ-метода АПГ &24 и v24) оказываются адекватными в соответствии с рекуррентным определением множества истинностных значений (т, и), определенным выше. В силу этого для симметричного ДСМ-метода АПГ адекватными являются логики аргументации A(4), (i = 1, 2), исходными логическими связками которых являются D, [&n^}neN, [V^UeN с VdA = {1} и = [1, -1}.
Отметим, что A(42 с Vd,2 = [1, -1} наиболее соответствует идее симметричного ДСМ-метода АПГ.
Логики аргументации A^J являются нестандартными четы-
& (4) \/(4)
рехзначными логиками аргументации, так как &2 и V2 являются пеассоциативпыми логическими связками, а Pix ограничения &24) 1{1,-1} и v24) |{i,-i} не являются, соответственно, ¡к и V двузначной логики.
В заключение следует указать, что всем логикам аргументации, рассмотренным выше, соответствуют формализации посредством метода аналитических таблиц.
9 Логики аргументации А4) и их ДСМ-расширения
Рассмотрим логики аргументации а^}, г = 1, 2 такие, что У^д = {1}, уа,2 = {1, _ 1} соответственно для А44) и А^^^- Сигнатура А^4] состоит из Э, {&и^}пем, V(4), где: Э — логические связки из А4 , а
&24) 1 -1 0 т у(4) у2 1 -1 0 т
1 1 0 0 т 1 1 т 1 1
-1 0 -1 0 т -1 т -1 -1 -1
0 0 0 0 0 0 1 -1 0 т
т т т 0 т т 1 -1 т т
Легко видеть, что &4) является неассоциативной логической связкой, так как 0 = (1 &4) — 1)&4)т = 1 &24)(— 1&24)т) = 1 &24)т = т, а Р ^(4) У = тах4(р, д) для порядка
1
1
(4)
Мотивацией для введения &4) является следующее соображение, лежащее в основе процедурной семантики ДСМ-метода автоматического порождения гипотез [8]. Беско-печпозпачпая логика, посредством которой формализуются ДСМ-рассуждеттия [8], имеет конечное число типов истинностных значений и счетное множество истинностных значений V таких, что V = {у, п), где V — тип истинностных значений, а п — натуральное число, обозначающее число применений правил правдоподобного вывода (степень правдоподобия порождаемых гипотез). Минимальным множеством типов внутренних истинностных значений является множество {1, —1, 0, т}, где 1,-1,0 и т соответственно обозначают «фактическую истину», «фактическую ложь», «фактическую противоречивость» и «недоопределенность». Причем V = {у, п), где у € {1, —1, 0}, (т, п)
представляется рекуррентным соотношением
(т, и) = {{1,п + 1), {—1, и + 1), {0,п + 1)} и (т, и + 1).
Это означает, что ДСМ-метод автоматического порождения гипотез образует процедурную семантику для итеративного порождения гипотез и их истинностных значений. В этом смысле ДСМ-логика является итеративной логикой, множество иститт-
0
постных значении которой порождается динамически, уменьшая при этом неопределенность высказываний из базы фактов, оценкой которых является (т, 0). Очевидно, что факты имеют истинностные значения {v, 0), где v Е {1, -1, 0} или оценку (т, 0)
значения {v, n)(v Е {1, -1, 0}) или оценку (т, n), где n > 0, представляющую множество возможных истинностных значений порождаемых гипотез.
В ДСМ-методе автоматического порождения гипотез [8], как было отмечено выше, истинностные значения {v,n)(v е {1, -1, 0}) и множества истинностных значений (т,и),
n
и Е N (множество натуральных чисел). Параметр и представляет степень правдоподобия истинностных значений порождаемых гипотез посредством ДСМ-метода АПГ. Эти истинностные
n
петть правдоподобия порождаемых гипотез. В силу этого введем определения для v, ц Е {1, -1, 0}:
{v,n) {¡,m) = {v ¡,max(n, m)), {v, n) v|,4) {¡, m) = {v v|,4) х, min(n, m)),
{v, n) &4)(т, m) = {{v&24)1,max(n, m + 1)), {v&2,4) - 1, max(n, m + 1)), {v&2>4)0, max(n, m + 1))} U (v&2>4)т, max(n, m + 1)),
{v, n) v|>4) (т, m) = {{v v2>4) 1,min(n, m + 1)), {v&2,4) - 1, min(n, m+1)), {vV(4)0,min(n, m+1))}U(vV(4)т, min(n, m+1))4.
Предположим теперь, что логики аргументации A^j являются базисными копечпозпачпыми логиками, истинностными зпа-
v, ¡
{v, n) (т, m)
ттой логике ДСМ-метода АПГ. Проведем эвристические рассуждения для выяснения адекватности истинностных таблиц для &2;4) и V^ ДСМ-метода АПГ.
(1) v = 14 4 4
{1, n) &^4)(т, m) = {{1 &4)1, max(n, m + 1)), {1 &2>4) - 1, max(n, m + 1)), {1 &(4)0, max(n, m + 1))} U (1&(4)т, max(n,m + 1)) =
4Напомним, что в {и, п) и (т, т) — пят обозначают число применений правил правдоподобного вывода (индукции и аналогии) [8].
{{1, тах(п, т + 1)), {0, тах(п, т + 1)), {0, тах(п, т + 1))} и (т, тах(п, т + 1)) = (т, тах(п, т)), так как {{1, тах(п, т + 1)), {0, тах(п, т + 1))} представляют неопределенность с возможными типами истинностных значений «1» или «0».
(2) V = —1:
{—1,п) &24)(т,т) = {{—1&24)1,тах(п,т + 1)), {—1 &4) — 1, тах(п,т + 1)), {—1 &24)0, тах(п, т + 1))}и(—1 &24)т, тах(п,т + 1)) = {{0, тах(п, т+1)), {—1, тах(п, т+1)), {0, тах(п, т+1))}и (т, тах(п, т + 1)) = (т, тах(п, т))
(3) V = 0:
{0, п) &24)(т, т) = {{0&24)1, тах(п, т + 1)), {0&24 — 1, тах(п, т + 1)), {0 &24)0, тах(п, т + 1))} и (0 &24)т, тах(п, т + 1)) = {{0, тах(п, т + 1)), {0, тах(п, т + 1)), {0, тах(п, т + 1))} и {0, тах(п, т + 1)) = {0, тах(п, т)).
(4) V = т:
(т, п) &24)(т, т) = (т, тах(п, т)).
Таким образом, адекватны равенства 1&4)т = т, —1 &24)т = т, 0&24)т = т и т &24)т = т.
Соответственно, положим, что 1&4)1 = 1 1 &24 — 1 = 0, р&24)У = У &24)Р и 0&24)У = 0 Тогда &24)(Р, У) и ее п-арное расширение &П\р1,... ,рп) адекватны итеративному порождению истинностных значений бесконечнозначной логики ДСМ-метода АПГ.
Аналогично проверим адекватность истинностной таблицы у21) ДСМ-методу АПГ.
(1) V =4 4 4
{1,п) у24) (т, т) = {{1 у24) 1, тгп(п, т + 1)), {1 v24) —1, тгп(п, т + 1)), {1 v24) 0, тгп(п, т + 1))} и (т v24) 1, тгп(п, т + 1)) = {{1, тгп(п, т + 1)), (т, тгп(п, т + 1)), {1, тгп(п, т + 1))} и {{1, тгп(п, т + 1))} = {{1, тгп(п, т + 1)), (т, тгп(п, т + 1))} = {1, тгп(п, т + 1))}, так как 1 v24) т = 1.
(2) V = —1:
{—1,п) v24) (т,т) = {{—1 v24) 1, тгп(п, т + 1)), {—1 v24) —1, тгп(п,т +1)), {—1 v24) 0, тгп(п,т +1))} и (т v24) —1, тгп(п, т + 1)) = {(т,тгп(п,т + 1)), {—1,тгп(п,т + 1)), {—1,тгп(п,т + 1))}и{{—1, тгп(п, т + 1))} = {(т, тгп(п, т + 1)), {—1, тгп(п,т +
1))} = {—1, тгп(п, т + 1)), так как т v24) —1 = —1.
(3) V = 0:
{0, п) v24) (т, т) = {{0v24) 1, тгп(п, т+1)), {0v24) — 1, тгп(п, т+ 1)), ^24)0, тгп(п, т+1))}и^24) т, тгп(п, т+1)) = {{1, тгп(п, т + 1)), {—1, тгп(п, т + 1)), {0, тгп(п, т + 1))} и (т, тгп(п, т + 1)) = (т, тах(п, т + 1)) так как 0 v24) т = тив силу определения (т, тгп(п, т + 1)).
(4) V = т:
(т,n)v2\т,m) = {(тv24) 1, тгп(п+1, т+1)), (тv24) —1,тгп(п+ 1, т+1)), (тv24)0, тгп(п+1, т+1))}и(тv24)т, тгп(п+1, т+1)) = {{1, тгп(п + 1, т + 1)), {—1, тгп(п + 1, т + 1)), (т, тгп(п + 1, т + 1))} = (т, тгп(п + 1, т + 1))), так как 1 v24) —1 = т.
(5) {1,п) v24) {—1, т) = {1 v24) —1, тгп(п, т)) = (т, тгп(п, т)), так как 1 v24) — 1 = т.
(6) Аналогично: {—1,п) v24) {1, т) = (т, тгп(п, т)) в силу ком-
(4)
мутативности V2 ■
Так как {и, п) &4) {/, т) и {и, п) v24) {/, т) при V, /л € {1, —1, 0} определяются посредством {и &24)тах(п, т)) и V v24) л,тгп(п, т)) соответственно установлена адекватность определения &4) и v24) для А44 и ее бесконечнозначных расширений А^, являющихся вариантом ДСМ-логик с конструктивно порождаемым множеством истинностных значений. Базис-
(4) (4)
нои логике аргументации А4 1 соответствует А^ 1 с множеством
выделенных истинностных значений У(с^>) = {{1,п)}п^, а ба-
л(4) Л (4) т/М
зиснои логике аргументации А4 2 соответствует А^ 2 е ^ 2 =
{{1,п), {—1, п)}п£^, где N — множество натуральных чисел.
Базисными логиками аргументации для бесконечнозначных ДСМ-логик А^ являются логики А^ такие, что истинностными значениями являются типы истинностных значений V, входящие в качестве первой компоненты в {V, п) — истинностные значения логик А^ (г = 1, 2).
Сигнатурой А^ является Э, {&п4) }пем, где
& (4) „(4)
&п и Vn определяются для типов истинностных значении ниже следующим образом (п > 2).
Обозначим посредством v[р] функцию оценки формул р логик .
&п^(ръ..., рп) (р1,..., рп) соответственно обозначают
и-членные конъюнкции и дизъюнкции.
1) , • • •, рп)] = 1, если и только если = v[р2] =
... = v[рn] = 1-
2) ^[&П4)(^1,..., рп)] = — 1, если и только если = v[р2] = ... = v[рn] = —1-
3) V [&п4) (р1 , ...,рп)] = 0 если И только если ЗгЗ,]^[р*] = 1& V [р-] = — 1) V ЗН^рь] =0).
4) v[&n4^(p1,..., Рп)] = т, если и только если Зг^[рг] = т) & Vj(v[рj] = 0) &-ЗНЗшИр^] = 1& v[pm] = —1).
5) v[vn4^(p1 ,...,рп)] = 1, если и только если Зг^[рг] = 1) & Vj(v[рj ] = —1).
6) v[vn4^(р1 ,...,рп)] = — 1, если и только если Зг^[рг] = —1)& Vj(v[рj ] = 1).
7) v[vn4^(р1,..., рп)] = 0 если и только если v[р1] = v[р2] = ... = v [рп] = 0.
8) v (Р1 ,...,рп)] = т, если и только если ЗгЗ,](^[рг] = 1& v[рj] = —1)& Vh(h = г & Н = j) Э (v[рh] = 0 V (v[рh] = т)) VЗm(v[рm] = т & Vk(v[рk] = т V v[рj] =0)).
Рассмотрим некоторые функциональные свойства логик А(4). Определим логическую связку эквивалетщии аналогично [7]:
(Р = а) ^ &П4)((р Э д), (д Э р), (~ р д), (~ д р)),
где ^ — иак равенства по определению. Легко показать, что
, . I 1, если v[р] = v[g]
(р = д) = <
I 0, если v[р] = v[g]
Следовательно, для любой оценки V v[(ф = ф)] = 1 тогда и только тогда, когда v[ф] = v[ф]5.
Пусть ,...,рп) — четырехзначная п-арная логическая связка, пусть, далее, ф — формула, содержащая вхождение переменных р1,...,рп и логическихсвязок А^} (т.е. -, Э, {&П4}пем, и не содержащая вхождений V. Тогда будем говорить, что V(pl,..., рп) выразим а в А^4}, если и только если для любой оценки V имеет место v[V(pl,... ,рп) = ф] = 1, т.е. для любой оценки v v[V(p1,... ,pn)] = v[ф].
Легко показать, что константы 1, —1, 0, т выразимы в А^4-:
1 = (р Э р), —1 =- (р Э р), 0 = &24)((Р Э Р), - (Р Э Р)),т = у24)((р Э р), - (р Э р)).
Очевидно также, что (р = д) выразима в а4 }, так как
(р = д) = &4)((р Э д), (д Э р), (- р Э- д), (- д Э- р)).
Пусть V— множества выделенных истинностных значений
Л (4) Л (4) - л (4)
для логик А4 1 и А4 2 соответственно, тогда тавтологиеи А4}
будем н эз ыв э/г ъ формулу ф такую, что для всякой оценки v vф] € V«, где = {1} а у(2) = {1, —1}.
Тавтологии и доказуемые формулы будем обозначать посредством |= ф и Ь ф соответственно, где |= — обозначение тавтоло-гичности, а Ь — обозначение доказуемости формулы ф соответственно.
Очевидно следующее
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. В логике а4 2 имеются тавтологии трех типов таких, что они принимают истинностные значения только «1», только «-1» и «1,-1».
Пусть =1, =2 и |=3 обозначают тавтологичность трех приведенных выпте типов соответственно, тогда
= 1 (р Э р), =2 (- (р Э р)), =3 ((pv24) - (р Э р)) Э (- р Э-(р Э р))).
Таким образом,
°Обратим внимание на тот факт, что в трехзначной логике Д. А. Бочвара логическая связка эквивалентности = определяется аналогично: (р = д) ^ (р ^ д)^(д ^ Р ^^ д)<П(^ д ^^ р) где П и ^ соответственно
внутренняя конъюнкция и внешняя импликация Бз [3, 6].
|=1 у ^ = 1),
1=2 у ^ = -1),
=3 у - уф[у] С {1, -1}).
В самом деле,
р р v24) 0 — р - р v24) 0 р v24) 0 3 (- р v24) 0)
1 1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 1
0 0 0 0 1
т т т т 1
Таблица А
Согласно методу аналитических таблиц [15] построим классификацию формул логик А^, особенностью которой будет введение параметра п — числа различных переменных, входящих в данную формулу у.
Определим непомеченные формулы А^4] стандартным образом. Пусть у — формула, тогда ,1у, 1-1у, 1оу 1т У будем называть помеченными формулами.
{Ь, если у[у] = V
/, если у[у] = V,
где Ь, / — истина и ложь двузначной логики соответственно.
Классификацию формул построим для помеченных формул А^4]. Эта классификация учитывает наличие (отсутствие) и характер ветвления следствий, получаемых из посылок правил вывода, что соответствует определению оценки у[у] для формул
- у (у 3 ф), &14)(У1, • • .,Уп), vi4)(уl, .. .,уп). а(п) — формулы (п = 1, 2,...): 1(— у) где V е {1, -1, 0, т}, а п = 1;
(у 1,... ,уп)), 1о(vn4)(Уl,... ,уп))■
в1 — формулы: 10(у1 3 у2), в2 ~ формулы: 1т(у1 3 у2);
в(3) — формулы в(4) — формулы 7(п) — формулы: .1о(&Пп\у1, ■■■, уп))-
¿(п) — формулы: Jl(vn4)(уl,..., уп)) 1-1^п4)(у1,..., уп))-
1-1 (у 1 3 у2); ,1(у1 3 у2).
^(п) — формулы: ,1Т^П4)(ф1,..., фп))-П(п) — формулы: ,1т(&п4)(ф1,..., фп))-
Можно представить число ветвлений в правилах вывода формул соответствующего типа. Например, В&п обозначает число ветвлений для п(п) — формул.
Соответственно получаем В^ = В^(14)п = Ап — Ап = 3п — 2п для ¿(п) — формул, где А^ — число размещений с повторениями из т элементов по к элементам.
ДОЯ 7(п) — формул: В&&п4) = ^^ — 2Ап + п + 1 = 3п — 2п+1 + п + 1
а также
В
= А2п ■ Ап-2 + а4п — 1 = п(п — 1)2п-2 + 2п — 1, где А2п -
число размещений из п элементов по 2 для ^(п) — формул; для П(п) — формул: В&п) = 2А1п — 3 = 2п+1 — 3.
В соответствии с классификацией формул логик а44) приве-
п = 1 п = 2
,1(- ф) 1-1 (^ 1-1ф ' ,1ф
а(1)
ф) 1о(- ф)
1оф
1т (- ф) , 1т ф '
11(&24)(ф1,ф2))^ 11ф1,11ф2 '
а(2)
1-1(&24)(ф1,ф2)) 1-1ф1,1-1ф2 '
1о(v24)(фl,ф2)) . 1оф1,1о ф2
М2)
1о(ф1 Э ф2)
,1фЬ 1оф2 1т ф11оф2
в(2) 1т(ф1 Э ф2)
,1фЬ 1т ф2 1оф1 1т ф2
в33)
1-1 (ф1 Э ф2)
,1фЬ 1-1ф2 1оф11-1ф2 1т ф11-1ф2
в44)
,1(ф1 Э ф2)
1-1ф1 ,1ф2 1оф1,1оф2 1т ф 11тф2
7
(2)
1о(&24)(у1,у2))
1оУ1 1о у2 ,1у11-1у 2 1—1У1 ,,1у2
¿(2)
Jl(v24)(Уl ,у2)) ,1 у1,1у | ,1у1,1оу2 | 1Ш,1ту2
1оу1 ,,1у2 1т у1,1у2
J-l(v24)(Уl,У2)) 1—1у 1,1—1У2 | 1-1у1,1оу2 | 1-1у1,1ту2
1оУ11—1У2 1т у11—1У2
1т (V24)(У1,У2))
1т У1,1оУ2 1т У1 ,т У2
(2)
п
1т (&24)(У1,У2))
,1У1,1т У 2 1— 1У1, 1т У 2 1т У1,,1У2
1т У11—1У2 1т У11т У2
Приведем пример ^(3) — правила вывода для п = 3 членов
(п)
дизъюнкции V3 :
jt (V^!
JlVl,J_i^2,Jo^3 | JoVlJlV,J-1^3 | Jl^l,Jo| J_1 Pl,JoP2,JlV3 | Jl Vl,J_l V2, jt Ф3 | jt Vl, JlV2, J_ 1^3 | JlVl,jtV2,J_lV3 | j-1v1,jtV2,JlV3 | jtv1,jtV2, JoV3 | jt Vl,Jo v2,jt V3 | jov1,jt v2,jt V3 | Jo Vl,JoV2, jt V3 | JoVl ,jt V2,JoV3 | jt Vl,JoV2,JoV3 | jt v1,jt V2, jt V3
В соответствии с классификацией a(n)-, вг(2)~; в33)~> в44)~> 7(n)-, ¿(n)-, ¡(n)-, п(га)-формул и определением числа разветвлений в правилах вывода В&П Для 7^-формул, B^n для ¿(n)-
формул, В^П для ¡^-формул, В&П' дая П(п)~Ф°РмУл; а также в соответствии с определением числа разветвлений в правилах вывода построим соответствующую таблицу
Тип Число Логические
формул разветвлений связки
a(n) 0 Jv v), v £ {1, —1, 0, т}, Jl(&n4)) J_l(&n4)), Jo(vn4))
в(2) в22) 2 Jo(^) jt (D)
в33) 3 j_i(d)
в44) 4 Jl(D)
7(n) An — 2An + 1 + n = 3n — 2п+! + n + 1 Jo(&n ^ )
§(n) An — An = 3n — 2n Jl(vn4)) ,J_l(vn4))
¡(n) Ann • An_2 + An — 1 = n(n — 1)2n_2 + 2n — 1 Jt (vn4))
n(n) 2An — 3 = 2n+l — 3 Jt (&n4))
Таблица В
АП = n(n — 1) — число размещений из n то 2, Am = mn — число размещений с повторениями из m по п.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Числа разветвлений в правилах вывода логик Д4 (i = 1, 2) определяются согласно таблице В.
Блоком следствий правила вывода будем называть элемент разветвлений. Например, для ^^-формул имеем 3 блока Jiyi, J-l^2] Jo^b J-1^2] JTУь J-1^2 для ПОСЫЛКИ J-1(y1 D У>2).
Для Y(n), 5(n\ ц(п\ п(п)-формул определяются соответствующие правила вывода (аналогично [7] такие, что в каждом блоке (для ¿(n)-, ^(n)-, п(п)-правил) имеется n элементов). Всего же элементов в следствиях этих правил B ■ n, где B — число блоков правил вывода. Например, число элементов в следствиях ¿(п)-правил есть В&14П ■ n = (3n — 2n)n. Число же элементов в следствиях 7(п)-правил есть (3n—2n+1 + 1)n+n. Число элементов в следствиях а(п)-правил равно n.
Представление правил вывода логик аргументации является
n
определение v[у] и таблицу В, это сделать несложно. Из таблицы В видно, что Д4 имеют комбинаторную природу6, что требует вычислительных ресурсов современных компьютеров, ибо человеческие ресурсы ограничены, по-видимому, для n > 6. В этом смысле можно говорить о компьютерной осуществимости логик Д (4)
10 Доказуемость формул в A44i (i = 1, 2)
Аналогично [7] сформулируем схемы правил вывода для помеченных формул логик Д44) Напомним, что формулой (непомеченной формулой) называется правильно построенное выражение для сигнатуры p,q,r,... (быть может, с нижними индексами, D, [&n^}neN, {Vn^}neN)• Если у — формула, то Jvу — помеченная формула, где v Е {1, —1, 0,т}.
В схемах правил посылки а(п)-формул будут представлены посредством а(п), гд е n > 1, а следствие — посредством а1,... ,ап
В схемах ^—формул (i = 1, 2, 3, 4,j = 1, 2, 3, 4) посылки будут
(?)
представлены посредством в\ , где i — номер вида правила, а j
нентами блоков будут ви^тт гДе i — номер вида правила, k —
6Разумеется, в смысле комбинаторики, а не комбинаторной логики.
номер блока, а т — номер компоненты в к-тои блоке. Таким образом, имеем следующие схемы правил вывода:
а
(n)
а\,... ,ап
в(2)
в(2)
в(1) в(1) в(1) в(1) ИЦ ■> в12 в21 И22
в(2) в(2) в(2) в(2) в11 в12 в21 в22
в33)
И(3) в(3) в(3) в(3) в(3) в(3) в11 1 в12 | в21 в22 | в31 И32
(2) (2)
представляет Jo(Уl Э у), а в2 представляет ЗтЭ
(3)
у); соответственно в3 представляет Э у)-
представляет (^1 Э у), а следствие этой посылки состоит из четырех блоков в(4); в(4) 5 вз1\ в32) 5 в(2) ■ Таким образом, получаем
в44)
в1
(4)
в24)
в(4) в(4) в31 в32
в(4) в(4)
в41 в42
В схемах правил посылки 7(га)-формул будут представлены посредством y(n), где n > 2, а следствия — посредством блоков, число которых Б&П4) = An - 2^ + 1 + n = 3n - 2n+1 + n + 1; т.е.
B
&(4) 0,n
= Blin) + n, где Blin) = 3n - 2n+1 + 1.
(4)
В силу определения Ц&П^Уъ • • • , yn)] и В&&4 из утвержде-
ния 2 получаем следующую схему 7(п)-правила
Y
( n)
Y1
Yn
Y11,
, Y1n
Yb>)i YBY,(n)n
В схемах правил для ¿(п)-формул посылки будут представлены посредством ô(n\ а следствия — посредством В^П = ™ — Ân =
3n — 2n,
Таким образом, получаем следующую схему ¿(п)-правил
$(п)
$11,■ ■ ■ , $1п
(В&п
Аналогично получаем схемы правил вывода для л(п^' и п(п)-формул:
Л
(п)
Ми> ■ ■ ■, Л1п
Л(В-(п4) )1 ■ ■ ' )п
п(п)
П11, ■■■,П1п
где Б^ = А^ • А7?,-2 + А^ - 1 = п(п - 1)2п-2 + 2п - 1, а Б&4 = 21п - 3 = 2п+1 - 3.
Согласно [15] аналитическая таблица двузначной логики высказываний есть ориентированное дихотомическое дерево такое, что его вершинами являются а и ^-формулы, растущее вниз от корпя к листьям, которыми являются элементарные формулы (атомарные или их отрицания). Обобщение этого определения для логики аргументации А4 содержится в [7]. Аналогично определим аналитическую таблицу для логик А44.
Аналитической таблицей для логик высказываний А44 (г = 1, 2)
тированное дерево с разветвлениями, равными 0, 2, 3, 4, Б&п,
тэу(4') тэ&(4)
Б± 1 п, Б*п , Б&п такое, что его корнем является помеченная формула < где V £ {1, -1, 0, т}, а каждая вершина (отличная от корня) порождена применением а(пЦ вь3а14)~;
7(пЦ 6(пЦ л(п)- я П(п)~пРавилами вывода.
Аналогично [7] определяются завершенная ветвь, замкнутая и открытая ветвь аналитической таблицы (а.т.) З.^где < — корень, а также замкнутая а.т. З.^
<
А44), если и только если а.т.З._1^ и З.т^ являются зам-
А441) <
введем обозначение Ь (4)
Ал 1
Будем говорить, что непомеченная формула у доказуема в если и только если а.т. и ^ являются замкнутыми.
Соответственно, для доказуемой в формулы введем обозначение Ь (4) у.
А4,2
Очевидно, что имеет место УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Если Ь у, тоо Ь у.
А4,1 а4,2
Аналогично [7] определяются множества Хиптикки для логик А(4)
л4л-
11 Некоторые утверждения о логике
1(4)
мд
« и (4) высказывании A4
Для ,44) имеет место
ТЕОРЕМА 4 (О корректности А^Ц). Если Ь .(4) у, то =1 у.
' A4,1
Напомним, что =1 у ^ Vv(v^\ = 1), а множество выделенных истинностных значений а44) У(1 = {1}. Аналогично [15] доказываются две леммы:
ЛЕММА 5. Если 9j+1 — непосредственное расширение a.m. 9j и 9j — истинная а.т., то 9j+1 — истинная a.m.
ЛЕММА 6. Пустъ Jv у — корень а .т. 9jv ¡¿,есл и v[Jv у\ = t, то 9jv f — истинная а .т. (v £ {1, —1, 0, т}).
Аналитическая таблица 9jvf называется истинной, если в ней существует истинная ветвь в, то есть, множество всех вершин в Set (в) является таким, что ЗvVф((ф £ Set(e)) D v[^\ = t), где ф — помеченные формулы, имеющие вид ф = J^1, где Ф1 — непомеченная формула а44).
Лемма 5 доказывается разбором случаев a(n), в[2\ (32^, @(з\ Y(n\ $(n\ /(n) и n(n)- Лемма 6 доказывается индукцией по сложности формулы Jvу , а шагом индукции является лемма 5.
Доказательство. Пусть неверно, что =1 у, тогда 3v(v[y\ = / & / = 1). Следовательно, / £ {0, — 1,т}, но в силу Ь у имеем замкнутость 9j-1f, 9j0f, 9jtf. Из леммы 6 следует, что в а.т. 9 J^f существует открытая ветвь в, что противоречит замкнутости 9j_if, 9Jof и 9jTf. Q.E.D.
Имеет место также ТЕОРЕМА 7 (О слабой полноте). Если =1 < т о Ь (4) <р.
А4,1
Доказательство теоремы 7 аналогично доказательству теоре-А4
множеств Хинтикки для А44).
Рассмотрим теперь логику 1А4, имеющую семантику логики А44) и являющуюся расширением двузначной логики [9].
12 Логика высказываний JA4
Пропозициональные переменные р,д,т, ■ ■ ■ (быть может с нижними индексами).
Логические связки: где V £ {1, -1, 0, т}, &, V, V[р] £ {1, -1, 0, т}; &, V, ^ — логические связки двузначной логики высказываний.
1°. р,Ц,т, ■ ■ ■ — квазиформулы;
2°. если < — квазиформула, то < — формула, где V £ {1, -1, 0, т};
3°. если <, ф — формулы, то (< & ф), (< V ф), (< ^ ф) — формулы;
4°
{г, если V — = V
/, если у[р] = V, Помеченные формулы: г<, /< где < — формула. Контрарные пары: г<, /< и 1V Р, 1(Р^ где V = Л-Правила ВЫВОДЕ1 'А4
г(< & ф) / (< V ф) / (< ^ ф)
а
в
г<,гф ' /<,/ф ' г<,/ф
/(< & ф) г(< V ф) г(< ^ ф)
/< /ф г< гф /< гф
г1и р
1—, где V £ {1, -1, 0, т};
'и—
л. мр /1т р
1-1р | 10р | 1тр 11р | 1-1р | 10р ¡3-1Р /1ор
31Р | 10р | 1тр 11р | 1-1р | 1тр
Аналитической таблицей логики .1А4 будем называть ориентированное триадическое дерево, корнем которого является помеченная формула, а вершинами, следующими за корнем, являются формулы, порожденные применением а-, (3-, и А-правил вывода.
Аналитическую таблицу будем называть замкнутой, если все ее ветви замкнуты, т. е. содержат контрарные пары.
Будем говорить, что фомула у доказуема в 1А4, если а .т. с корнем /у является замкнутой.
Таким образом, ЬJA4 у ^ — замкнутая а.т.
Для 1А4 имеют место теоремы о корректности и слабой иол-тюте' .
Множество формул £ = {у 1,..., уп} будем называть противоречивым, если а .т. 9 с началом
¿у1
/уп
является замкнутой.
Пример: £ = {(11р ^ 11д),11р & 1- 1д)}, покажем, что £ противоречивое множество формул.
\.1р ^ 11д) ь(11р & 1-1д) t(1lp) Ь(1-1Я) /11р
11 д
1-19
И1р, /Зур и .19,1-1д соответственно — контрарные пары.
7 JA4 используется для распознавания рациональности мнений в интеллектуальных системах для анализа социологических данных [9].
Установим теперь некоторую связь между А44) и 1А4. Для этого используем следующую простую идею.
Рассмотрим формулу двузначной логики высказываний такую, что она не является противоречием. Построим аналитическую таблицу с корнем
<
Ql * * * * Qk
Пусть Ql, ■ ■ ■ ,Qk — все открытые ветви (замкнутые ветви отметим *), пусть далее, Cl ,■■■ ,Ck — элементарные конъюнкции, соответствующие ветвям Ql, ■ ■ ■, Qk■ Таким образом С\ — конъюнкция всех элементарных формул, принадлежащих Бвг^г), где Бвг^г) — множество всех формул ветви Qi. Тогда имеет место следующее:
= (< = (С1 V • • • V Ck)), т.е. (С1 V ■ ■ ■ Ck) есть дизъюнктивная
<
о слабой полноте
ь (< = (С1V • • • V Ck)).
' 1<
гики А44). Пусть — а.т. с корнем 31< логики А44) и пусть
Зу(У[<] = 1).
Рассмотрим множество всех открытых ветвей Ql, ■ ■ ■, Qk а.т. ^^ Пусть €'1, ■ ■ ■ ,0% — конъюнкции, образованные элементарными формулами вида '^р, где Л £ {1, -1, 0, т}. Тогда имеет место следующая
ЛЕММА 8. = ('к ^ (Cl V ••• V Ck)), где (р ^ д) ^ ((— ^ д) &(д ^ —)), а — импликация двузначной логики.
Таким образом, для Уу(у[(11< ^ (C1 V • • • V Ck))] = г). Формула (Cl V• • •V Ck) является формулой 1А48. Введем обозначение = (Cl V • • • V Ck), — перевод помеченной ' 1 < ' А4
8Формулы логик А4 являются ^определимыми в смысле [11].
Рассмотрим формулу
V = ((v24)(р, ~ (Р ^ Р))) ^ (v24)(~ Р, ~ (Р ^ Р)))) (см- также Таблицу А). Можно показать, что: n,Ji<f = (J_1p V Jop V JTр), nJ-i<p = Jip,
nJ1y V nJ_ есть (J1p V J-1p V J0p V JTp), a (J1p V J-1p V J0p V
JTp) ^ t (закон исключенного пятого для An)-Имеет место
ТЕОРЕМА 9. Ь .(4) у тогда и только тогда, когда Ьja4
A4,1
т.е. a.m. 9fn является замкнутой.
Доказательство. Использование леммы 8 и обратимости правил вывода для а.т. Q.E.D.
Аналогично случаю формулируются соответственно лемма 10 и лемма 11 со следующими изменениями. В лемме 10 рассматриваются две а.т. и с корня ми J^ и J_1^
соответственно. Как для a44), так и для Aj^ ветвь в а.т. называется истинной, если УуЗф((ф £ Set (в)) D (у[ф] = t)), где ф — помеченная фор мула. 9i — истинная а.т., если в ней существует истинная ветвь в (обозначение: Tv(в) — истинная ветвь, a Tv(9i) — истинная а.т. 9i).
ЛЕММА 10. Если Tv(3^), то Tv(9+1), где 9i+1 — непосредственное расширение a.m. 9i, полученное применением одного из правил вывода Ajl,.
ЛЕММА И. Если v[J1y] — t и v[J_ 1Ф] — t, то a.m. Tv(9j1^) и Tv(9j_iv), соответственно.
Доказательство. Индукцией, птагом которой является утверждение леммы 10.
Очевидно, что случаи —1 у и —2 у сводятся к соответствующим рассуждениям для Aj4]. Поэтому рассмотрим случай, когда —3 у и и незамкнутые а.т. Q.E.D.
ТЕОРЕМА 12 (О корректности a442). если Ь (4) у, то —3 у.
' A4,2
(2)
Напомним, что —3 у ^ Vv(v[tp] С {1, —1}), где VJ — {1, — 1}.
Доказательство. Пусть неверно, что |=з р, тогда ЕУ(у[р] = ц £ {0,т})); так как Ь (4) р по условию теоремы, то
А4,2
3тр — замкнутые а.т. Из леммы 11 следует, что в ал. существует открытая ветвь в(л £ {0,т}), что противоречит замкнутости а.т. ЗJTр. С}.е.б.
Имеет место
ТЕОРЕМА 13 (О слабой полноте логики А^). Если |=3 р, то
Ь
А
(4) 4, 2
=з р ^ Уу(у[р] £ {1, — 1}), а I А(4) р означает, что а.т. 3д0ш
А4, 2 0
и р замкнуты. Доказательство теоремы 13 аналогично доказательству теоремы о полноте логики аргументации А4 [7] с использованием определений множеств Хинтикки для А^-Рассмотрим теперь связь логик А(42 и .1А4. Имеет место
УТВЕРЖДЕНИЕ 14. |=3 р тогда и только тогда, когда (п11рУ п1-1р) ^ г.
п. р, где V = ±1, являются переводами помеченной формулы 1 р логики А44;>в язык логики 1А4. Эти переводы реализуются 11 р 1- 1 р соответствующих д.тт.ф. Имеет место
ТЕОРЕМА 15. Ь .(4) р тогда и только тогда, когда Ь JA4 (п11рУ
А4, 2 4
п1-1р), т.е. (■KJ1Vv■KJ является замкнутой.
Доказательство теоремы использует утверждение 14. Очевидно, что отрицание формулы (п.1рУп1-1р) логики 1А4 является тождественно ложным.
Очевидно также следующее
УТВЕРЖДЕНИЕ 16. Если Ь. (4) р, то ? - за-
А4,2
мкнутые аналитические таблицы.
Пусть р — формула А44) такая, что ==1 р, т.е. Уу(у[р] = 1), тогда =2 р), так как Уу(у[р] = —1). В силу теоремы 13 получаем, что и (I А (4) р) И I А (4) ~ р.
А4,2 А4,2
Однако формула &4)(р, ^ р) недоказуема, так как
Уу(у[&^ (р, ^ р)] = 0), то в силу теоремы 12 &24 (р, ^ р) недоказуема в А^- Следовательно, имеет место
УТВЕРЖДЕНИЕ 17. Логика аргументации А(42 является паранепротиворечивой четырехзначной логикой9.
Легко видеть, что ((&4)(Р, ~ Р)) Э Р) доказуема тогда и только тогда, когда =1 р, т.е. Уу(у[ф] = 1), что следует из определения (р Э д). Если ф теть (р, ~ р), то ^[&24)(Р, ~ Р) Э ~ р)] = 0 Э г = т, следовательно, эта формула недоказуема.
13 Замечание о ДСМ-логиках
В [8] было показано, что ДСМ-метод автоматического порожде-ттия гипотез реализует синтез трех познавательных процедур — индукции, аналогии и абдукции. Взаимодействие этих процедур формализуется посредством ДСМ-рассуждеттий, которые являются конструктивной аргументацией в том смысле, что аргументируются формулы вида 1(Т,2т)(О А), аргументами же являются формулы вида ,1 (т, 2т + 1)(Ог Аг), где V £ {1, —1, 0}, а результатом аргументации являются формулы вида 1(р,2т+2)(С А) такие, что Ц £ {1, —1, 0, т}, а Ог С О, Аг С А. В ДСМ-рассуждениях истинностные значения \у,п), V £ {1, —1, 0} порождаются конструктивно посредством применения амплиативттых правил вывода первого и второго рода — индукции и аналогии соответственно. Следовательно, теоретически ДСМ-логика является бескопечпозпачпой логикой аргу-
1, —1,
0, т
фактическое противоречие и неопределенность). Каждому типу истинного значения V £ {1, —1, 0, т} соответствует тип правила правдоподобного вывода индукции и аналогии). Эти ампли-ативпые правила вывода являются генераторами и гипотез и их оценок — истинностных значений V = \у,п),и £ {1, —1, 0}, или множества возможных истинностных значений (т,п) = {\1,п + 1), 1, п + 1), \0,п + 1)} и (т, п + 1) где т представляет динамически уменьшаемую неопределенность. Следовательно, ДСМ-
9Обзор паранепротиворечивых логик содержится в [12].
логика является итеративной логикой, логикой «раскрытая» (возможного уменьшения) неопределенностей, конструктивной нечеткой логикой, ибо ее истинностные значения вида V = (у, п), где п = 0,1, 2, ... ^ содержат степень правдоподобия и (число применений правил правдоподобного вывода); и, наконец, как было сказано выше, ДСМ-логики являются логиками конструктивной аргументации. Так как ДСМ-логики являются беско-печпозпачпыми логиками с конечным числом типов истинностных значений [1, 2] (их минимальное число равно 4), то введем для них обозначение А^, где г = 1, 2. А^ — обозначение для ДСМ-логик с четырьмя типами истинностных значений {1, —1, 0,т} такими, что выделенными истинностными значениями являются 1 или 1 и — 1, т.е. г = 1, 2. Истинностные значения ДСМ-логик информативны и конструктивно интерпретируемы, ибо посредством индукции порождаются гипотезы о причиттпо-следствеппых зависимостях как позитивных (вызывающих исследуемый эффект), так и негативных (запрещающих наличие эффекта). Когда г = 2, то V = (±1,п)
® А42 равноправные выделенные истинностные значения, соответствующие симметричному ДСМ-методу автоматического порождения гипотез. В этом случае имеются два генератора гипотез — предикаты М+ и М-.
Для несимметричного же ДСМ-метода, предложенного Д.В. Виноградовым, адекватна логика А44), а множество выделенных истинностных значений = {1}.
Следует обратить внимание на тот факт, что ДСМ-метод автоматического порождения гипотез формулируется с использованием формальных языков двух уровней — внутреннего и внешнего языков представления знаний [8]. В [3] была развита важная для многозначных логик идея, используемая при анализе логических и семантических парадоксов. Логические связки трехзначной логики Д.А. Бочвара Вз сформулированы в соответствии с принципом отделимости. Внутренние связки П, Э (отрицание, конъюнкция и импликация соответственно) определены так, что если у[р] = т, где т — интерпретируется как «бессмыслица», а пропозициональная переменная р входит в формулу р, построенную посредством П, то имеет место у[р] = т. Внешние связки ,1т, &, У, ^ областью опреде-
ления имеют {г, /, т} — логическую истину, логическую ложь и бессмыслицу соответственно; областью значений этих связок является множество {г,/}. Во внутреннем языке Вз формулы построены из переменных и логических связок П, Э; во внешнем языке формулы построены из внутренних и внешних связок, но каждая переменная находится в сфере действия впептпей связки (такие формулы называются внешними). Примерами базисов для логики Вз являются П, и П, где .1 — одна
I г, если у[р] = у из Л-связок: 1р = < V € {г, /,т}.
[/, если у[р] = V,
Вз
ражаются факты, но доказательства утверждений о них в нем невыразимы и не существуют тавтологии; во впептпем языке ло-Вз
об утверждениях о фактах, представленных во внутреннем языке, так и об утверждениях об утверждениях внешнего языка. Следовательно, тавтологии во внутреннем языке не определимы, но они определимы лить во впептпем языке.
Логики А$ (и вообще рассмотренные в данной статье логики аргументации) формулируются во внутреннем языке с логическими связками упп4 , Э, без использования внешних связок — 1^-операторов. Однако в отличие от Вз в А44] существуют тавтологии (точнее, формулы, областью значений которых является у^ — множество выделенных истинностных значений). Теория доказательств А44 и других логик аргумен-ТеЩИИ (стандартных
и НбСТ&НД&рТНЫХ^, рассмотренных в данной статье, построенная посредством метода аналитических таблиц,
1
Л, V € {1, —1, 0, т}.
Аналогичная конструкция может быть реализована и для бес-конечнозначных ДСМ-логик А^, г = 1,2 с сигнатурой
{&гг^}пем, {уп4}п£м, Э и со счетным множеством 1-операторов: {1(и,п)}пем € {±1, 0}, и оператор ами 1(т,п); все эти операторы используются для определения помеченных формул логик А^. Логик и А^ являются внутренними логиками в том смысле, что в них представимо знание о фактах и гипотезах (при
n > О в v = {v, n)) а также возможно представление зависимостей между ними, выраженных посредством формул с главной (D)
В [11] рассмотрены логические языки бескопечпозпачпых
JJ торы могут быть применены к атомарным формулам. Этот вариант ДСМ-логик адекватен для формализации как процедур порождения гипотез, так и для дедуктивной имитации правдоподобных рассуждений типа ДСМ, т.е. для ДСМ-метода автоматического порождения гипотез [1, 2].
J
JA4
Автор выражает благодарность Д.В. Виноградову и U.E. Яв-чуттовской-Беловой за полезные замечания.
Литература
[1] Ангиаков Ü.M., Скворцов Д.П., Финн В. К. Логические средства экспертных систем типа ДСМ /'/ Семиотика и информатика. 1986. Вып. 28. С. 65-101.
[2] Атиакив Ü.M., Сквирцив Д.П., Финн В.К. О дедуктивной имитации некоторых вариантов ,ДОМ- метода автоматического порождения гипотез /'/ Семиотика и информатика. 1993. Вып. 33. С. 161-233.
[3] Вочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов расширенного функционального исчисления /'/ Математический сборник. 1938. Т. 1. № 2. С. 287-308.
[1] Вагин В.П., Головина Е.Ю., Загорянская A.A., Фомина М.В. Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах М.: Физматлит, 200 1.
[5] По/тер K.P. Объективное знание. М.: УРСС, 2002.
[6] Финн В. К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр /'/ Философия и логика. М.: ТТаука, 1971. С. 398-138.
[7] Финн В.К. Об одном варианте логики аргументации /'/ ТТТИ. Сер. 2. 1996. № 5-6. С. 3-19.
[8] Финн В. К. Синтез познавательных процедур и проблема индукции /'/ ТТТИ. Сер. 2. 1999. № 1-2. С. 8-15.
[9] Финн В.К., MuxttHKoea M.А. О логических средствах концептуализации мнений /'/ ТТТИ. Сер. 2. 2002. № 6. С. 1-22.
[10] Финн В.К. Об интеллектуальном анализе данных /'/ ТТовости искусственного интеллекта. 2001. № 3. С. 3-18.
[11] Anshakov Ü.M., Finn V.K., Skvortsov O.P. On axiomatization of many-valued logics associated with formalization of plausible reasoning /'/ Studia Lógica. 1989. XLVITT. № 1. P. 123-1 17. Имеется русская версия: Ангиаков Ü.M., Скворцов Д.П., Финн В.К. Об аксиоматизируемости многозначных логик, свя-ЗЕМНЫХ с формализацией правдоподобных рассуждений /'/ Логические исследования. М.: ТТаука, 1993. С. 222-217.
[12] Arrudu A.I. A survey of paraconsistent logic /'/ Mathematical Logic in Latin America. 1980. North-Holland Publ. Co. P. 1-40.
[13] van Benthem O.F, van Ehneren F.ff., Grootendrost R. and Veltman F. (Eds.) //
Logic and Argumentation. Amsterdam. North-Holland, 1996. [11] Prakken IT., Vreeswijk G. Logic for defeasible argumentation // Handbook of philosophical Logic. Vol. 1. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht, 2001.
[15] Smullyan R.M. First-Order Logic // Springer-Verlag. New York Inc., 1968.
[16] Willard C.A. Theory of Argumentation. Tuscaloosa and London: The University of Alabama Press, 1989.
