Аналитическая схема построения стабильных мостов для операторов программного поглощения с инвариантными семействами множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© В.И. Ухоботов

[email protected]

АНАЛИТИЧЕСКАЯ СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ СТАБИЛЬНЫХ МОСТОВ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ПРОГРАММНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ С ИНВАРИАНТНЫМИ СЕМЕЙСТВАМИ МНОЖЕСТВ

Ключевые слова: стабильный мост, оператор программного поглощения, дифференциальная игра.

Abstract. Consider one analitytical schema for building a stable bridge.

Введение

При построении управления в дифференциальной игре основополагающим является вопрос о построении стабильного моста [1]. Сама процедура построения стабильного моста [1;2;3] сложна. Поэтому представляет интерес выделение классов дифференциальных игр, в которых вопрос о построении стабильного моста сводится к исследованию хорошо изученных задач.

В данной статье продолжается исследование дифференциальных игр, начатое в работе [4], в которых оператор программного поглощения обладает инвариантным семейством множеств.

1. Постановка задачи

Пусть в пространстве Z = Rn происходит движение вектора z по закону

z = ft, z, u, v). (1.1)

uv го игрока. На выбор управлений накладываются геометрические ограничения

u € U С Rn, v € V С R1.

Предполагаем, что для любых чисел to < t\ и любых измеримых управлений u : [to,ti] ^ U, v : [to,ti] ^ V задача Коши

Z = f(t,z,u(t),v(t)), z(t0) = z0 (1.2)

для любого начального условия zo € Z имеет единственное ре-zt

Введем оператор программного поглощения Т [2]. Зафиксируем множество X С Z. Точка zo принадлежит множеств Т% (X) тогда и только тогда, когда для любого измеримого управления v : [to,ti] ^ V существует измеримое управление u : [to, ti] ^ U такое, что z(ti) € X . Здесь ft) - решение задачи Коши (1.2).

Многозначная функция W : [а, b] ^ 2Z называется стабильным мостом [1] на отрезке [а, b] , если для любых чисел а ^ t ^ т ^ b выполнено включение

TT (WW) э W(t).

Если известен стабильный мост, то при ряде дополнительных предположений на правую часть системы (1.1) можно построить u t, z € U

z а € W а z t € W t

а ^ t ^ b и при любом управлении v(t, z) € V.

2. Построение стабильного моста при наличии семейства инвариантных множеств

Z

||z||, z € Z задан оператор TtT, который каждой паре чисел из

промежутка I С К и любому множеству X С Z ставит в соответствие множество ТТ (X) С Z. Считаем, что это отображение удовлетворяет следующим свойствам

Свойство 2.1. Тт( X) С Тт( Х1) при X С Хь

Свойство 2.2. Если X замкнуто, то Т4Т( X) замкнуто.

Свойство 2.3. Тт( Т^Х)) С ТГ(Х).

Предположим, что задано замкнутое множество У в конечномерном пространстве К1 с нормой |у|, у € К1. Считаем, что при любых у € У, г € I определено непустое замкнутое множество В (г, у) С Z.

У словиеА. Если последовательность уп ^ у, а точка г € В (г, у), то существует последовательность гп € В(г,уп), Хп ^ Х*

У словиеБ. Заданы открытое множество В С I х У и число а > 0. При любых (г, у) € В, 0 < Н < а определена функция /(Н, г, у) € У такая, что /(О, г,у) = 0 и /(Нг, и, уг) - у*| ^ 0 для любых последовательностей

(и, уг) € В, и + Нг € I, 0 < н <а

сходящихся (и,уг) ^ {г, у) € В, Нг ^ 0. Пусть выполнено включение

Т1+Н(В(г + н,/(н, г, у))) э в(г, у); (2.1)

при всех (г, у) € В, 0 < Н < а, г + Н € I.

Условие В. При всех (г,у) € В определена непрерывная функция Е(г,у) € К1 такая, что для любых последовательностей {гг, у г) € В, гг + Нг € I, 0 < Нг < а, сходящихся

(к, уг) ^ {г, у) € В, Нг ^ 0, выполнено равенство

Нш = у)_ (2.2)

Нг

Рассмотрим задачу об отыскании функции у(г), удовлетворяющей следующим условиям:

Определение 2.1. Будем говорить, что задача (2.3) удовлетворяет свойствам единственности, если она удовлетворяет следующему условию: пусть х : [Ьо, т] ^ У и у : [Ьо,т] ^ У — два решения задачи (2.3) и х^) = у(г\) при некотором Ьх € [Ьо,т] , тогда х(Ь) = у(г) при всех Ьо ^ г ^ т .

Теорема 2.1. Пусть функция у : [д,р] ^ У являет.. ст,вом, едипст,веппост,и решения. Тогда

В

(г,у(г)) € В при д ^ г ^ р. Существует число т > 0 такое, что множество

Вт = И г, у) € В : 1у - у (г) \ ^ т, д ^ г ^ р} С В. (2.5)

Это множество является замкнутым и ограниченным. Из условия В следует, что существуют числа М > 0 и е € (0, а) такие, что

Доказательство проводится от противного.

Из замкнутости множества Вт следует, что существует число 0 < ео ^ е такое, что

В(г) = {(т,у) : \т - г\ < е0, \у - у (г) \ < е0} С Вт, Ш € [д,р]. (2.7)

(г,у(г)) € В, у(г) = F(t,y(t)), Ш € [д,р]. (2.3)

ТЦ В(т,у(т))) э В(г,у(г)), д < г<т < р. (2.4)

ДМ, у) - у к

^ м, шн € (о,е), (г,у € Вт, ^ н ^ р. (2.6)

Обозначим

.

Допустим, что включение (2.4) доказано для любых точек д ^ г < т ^ Ь + ё, т ^ р. Тогда для любой точки т € (Ь,р] можно построить числа

г = Ьо < < ... < < т ^ Ьи+1, и = Ьо + гё, г = 1,..., к + 1.

Из свойств 2.1 и 2.3 отображения Т следует, что

ТДВ(т,у(т))) э ТЦ...Т— {ТЦВ{т,у{т)))...) э

э ТЦ...Т— (В(гк,у(Ш э ... э В(г,у(г)).

г € д, р , т € д, р Ьо < т ^ Ьо + ё. Возьмем точки

т - г ё

£0 < ^1 < ••• <Ьп = т, и = и + гап, ап =--------- ^ (2.9)

п п

Обозначим

Хп(0) = у (к), Хп(1) = /(&п,Ьо,Хпф)),...,

Хп(г) = /{ап,Ьг-1 ,Хп{г - 1)). (2.10)

Покажем, что

(Ьг,Хп(г)) € В(Ь0), \Хп{г) - Хп{г - 1)! ^ ё,пМ. (2.11)

Из формул (2.7) и (2.8) имеем, что

г , Хп г , у г С В г

\Хп(1) - Хп(0)\ = \/(<Тп,г0,Хп(0)) - Хп(0)\ ^ апМ.

г.

\и+1 - Ь0\ = {% + !)(Гп ^ пап ^ ё ^ е0. (2.12)

Далее, из формулы (2.6) получим, что

\Хп(г + 1) - Хп(г)\ = \/(ап,и,Хп(г)) - Хп{г)\ ^ а,пМ.

Следовательно,

\Хп(г + 1) - у(Ьо)\ ^ \Хп(г + 1) - Х^г)К \Хп(0 - Х^г - 1)\ + ...

+\хп(1) - Хп(0)\ < апМ + ... + апМ =

= (г + 1)апМ ^ папМ = ёМ ^ е$.

Отсюда и из (2.12) получим включение

(Ьг+1 ,Хп(г + 1)) € В(Ь0).

Определим при Ьо ^ Ь ^ т последовательность ломаных

Хп г - Хп г -

Жп(^) = Хп(г~1) +--------------------(£-£;_!), и_1 ^ ^ (2.13)

ап

Функция Хп{Ь) непрерывна при Ьо ^ Ь ^ т и, как следует из неравенства (2.11), \Хп(Ь)\ ^ М для почти всех Ь € [Ьо,т] . Отсюда следует, что каждая из функций (2.13) удовлетворяет условию Липшица с константой М. Поэтому последовательность функций

Хп г

реходя, если нужно, к подпоследовательности) можно считать,

Хп г

Хг

вию Липшица с той же постоянной М. Поэтому у нее почти всюду па отрезке [Ьо,т] существует производная. Кроме того, из неравенства (2.10) и из включения (2.11) получим, что

х(Ьо) = у(Ьо), (г, х(ь)) € в(ь0), ш € [г0,т]. (2.14)

Покажем, что

х(г) = ^г,х{г)), Ьо ^ г ^ т. (2.15)

Пусть в точке г € [Ьо, т) существует производная Х{Ь) . Для любого 0 < Н < т - Ь выполнено равенство

«* + *>-*№). Цш + /«■)* (2.16)

Н п^™.]о

Из формул (2.10) и (2.13) следует, что для почти всех т € [0,1] выполнено равенство

Хп( г + Нт) =

_ /(Рте, £р + гпап, хп{го + гпап)) - жга(£0 + гпап)

а

тп

(Ь + Нт - Ьо)/ап . Так как последовательность тпап ^ Ь + Нт - Ьо ,

Хп г Х г

равномерно, то хп(Ьо + тпап) ^ х(Ь + Нт) при п ^ то . Из формул (2.2) и (2.17) получим, что Хп(Ь + Нт) ^ + Нт,х(Ь + Нт))

почти всюду па отрезке [0,1] . Кроме того, \Хп(Ь + Нт)\ ^ М. Следовательно, применяя к равенству (2.16) теорему Лебега [5], получим,что

х(г + Н) - х(г) [1 . . , . , [11_1. 1 . , .. ,

---------------= пт жга(£ + пг)аг = г (£ + пт, ж(£ + пт))ат.

Н ]о п^~ Уо

Переходя в последнем равенстве к пределу при Н ^0 и используя непрерывность функции получим равенство (2.15).

Из равенства Хо(Ь) = у(Ьо), учитывая единственность решения задачи (2.3), получим, что х(Ь) = у(Ь) для всех Ь € [Ьо,т] .

Итак доказано, что существует последовательность точек Хп п Хп т у т

Из условия Б и из формул (2.10) и (2.11) получим, что Б(и,Хп(г)) = Б(и, /(ап, Ь—, Хп{г - 1))) =

= Б(и-1 + а,п, /(апЛ— ,Хп(г - 1)) С Т— (В(Ь— ,Хп{г - 1)).

Из этого включения, используя свойства 2.1 и 2.3 отображения Т, получим, что

В(т,Хп(п)) С ТТ(В(г0,у(га))). (2.18)

Возьмем точку г € В(т, у(т)) . Поскольку хп(п) ^ у(т), то из условия А следует, что существует последовательность точек гп € В(т,хп(п)) такая, что гп ^ г . Следовательно, точки гп принадлежат множеству, стоящему в правой части включения (2.18). Согласно свойству 2.2 отображения Т, это множество замкнуто. Следовательно, точка г принадлежит этому множеству.

.

Рассмотрим теперь случай, когда вместо включения (2.1) выполнено включение

Т+\В(г + Н,у)) э В(г,/(Н,г,у)). (2.19)

Теорема 2.2. Пусть функция у : [д,р\ ^ Я1 явля-

ется единственным, решением следующей задачи:

(г,у(г)) € D, у(г) = -F(t,y(t)), Ш € [д,р]. (2.20)

..

Доказательство. Вместо формул (2.10) запишем следующие формулы:

Хп(п) =у(т),...,Хп(г) = /(ап,и,Хп(г + 1)), г = 0,...,п. (2.21)

Покажем, что

(к, Хп(г)) € Щт), \хп{г) - Хп{г - 1)\ ^ а,пМ. (2.22)

Из формул (2.7) и (2.8) имеем, что

(Ьп,Хп(п)) = {т,у{т)) € Щт);

\хп(п) - Хп(п - 1)\ = \/(ап,Ьп-1 ,Хп(п)) - Хп(п) \ ^ апМ.

Допустим, что условия (2.22) выполнены для числа (г + 1) . Тогда из формулы (2.21) получим, что

lxn(г) - xn{г - 1)\ = lf(an,ti-i,Хи(г)) - Xn{г)\ ^ &nM. Следовательно,

\xn(г) - у{т)\ = \xn( г) - Хп(и)\ ^

^ \xn(г) - Xn(г + 1 )\ + ■■■ + \xn(и - 1) - Xn(и)\ ^ ua-nM = 5M = е0.

Отсюда и из условия \ti - т\ ^ uan ^ 5 ^ ео получим включение (2.22).

xn г .

(2.13). Поскольку xn{г) - xn{г - 1) = - f(^n, t— ,xn(г)) - xn{г)), то производная xn{t + hr) равняется выражению, стоящему в правой части (2.17), взятому со знаком минус. Поэтому предель-xt

рассуждения те же, что и в теореме 2.1.

Включение (2.4) было доказано в предположении, что отображение Т удовлетворяет условиям 2.1-2.3. Однако, например, свойство 2.3 для операторов, которые строятся на основе аппроксимирующей модели, может и не выполняться.

Условие Г. Заданы непрерывная функция у : [q,p] ^ R1 и число m > О такие, что выполнено включение (2.5). Существует

число L > 0 такое, что для любых т € [q,p], \у - у{т)\ ^ m,

в(т, у{т)) + Цу(т) - y\S D Bt, у). (2.23)

Здесь обозначено S = {z € Z : \\z\\ ^ 1} .

Теорема 2.3. Пусть оператор Т удовлетворяет .

число 5$ > 0 такое, что для всех t,т € [q,p], t < т ^ t + 5о выполнено включение

TtiЩт, у{т)) + Р(т, $S) d ЩЬ уШ. (2.24)

Здесь обозначено

Ф, г) = \/(т - t, t, у(г)) - у(т)\Ь. (2.25)

уЬ

на отрезке [д,р]. Поэтому она на этом отрезке равномерно непрерывна. Следовательно, существует число 81 > 0 такое, что для всех Ь,т € [д,р], Ь < т ^ Ь + $о выполнено неравенство

,/ч / ч, т

\уН~уШ < у/

Б, можно считать, что также выполнено и неравенство

т

\/{т-у{г)| ^ 4,те [д,р], £ < т ^ £+ 8.

Объединяя оба эти неравенства, получим, что для всех Ь,т € [д,р], Ь < т ^ Ь + 5о выполнено неравенство

\у(т) - /(т - г,г,у(г))\ ^ т. (2.26)

Стало быть, точка (т; /(т - Ь,Ь,у(у))) € для всех Ь, т € [д,р], Ь < т ^ Ь + ^. Используя включение (2.23) и обозначение (2.25), а также свойство 2.1 отображения Т, получим, что

ТИВ(т,у(т)) +<Р(т,г)3) Э ТКЩт,/(т - г,г,у(Щ).

Отсюда, используя условие Б, получим требуемое включение

(2.24).

Замечание 2.1. Пусть выполнено условие В, а функция у : [д,р] ^ У является решением задачи (2.3). Покажем, что для любого числа 7 > 0 существует число 8 > 0 такое, что

(р(т, г) ^ (т - г)^, Шг, т € [д,р\, г < т ^ г + 8. (2.27)

Допустим противное. Это значит, что существуют число

7о > 0 и последовательности точек д ^ Ьп < тп ^ р, тп - Ьп ^0 такие, что

^ Р(тп,Ьп) т /(тп Ьп,Ьп,у{Ьп)) у(тп)

7о ^-------— = ь

тп - Ьп

тп - Ьп

= Ь

/{тп Ьп,Ьп,у(Ьп)) у(Ьп) у(тп) у(Ьп)

(2.28)

тп - Ьп тп - Ьп

Считаем, что тп ^ Ь, Ьп ^ Ь (иначе перейдем к подпоследо-

уЬ

что

у тп - у Ьп

_ >т-

тп - Ьп

Отсюда и из условия В следует, что выражение, стоящее в правой части неравенства (2.28), стремится к нулю. Получим противоречие.

Рассмотрим теперь случай, когда выполнено следующее условие.

Условие Д. Заданы непрерывная функция у : [д,р] ^ К1 ш т>

число Ь > 0 такое, что для любых Ь € [д,р], \у - у(Ь)\ ^ т выполнено включение

В(г,у) + Ь\у - у (г)\Б э В(г,у(г)). (2.29)

Теорема 2.4. Пусть выполнены условие Д и условие

Б заменой включения (2.1) на включение (2.19). Тогда суще-

8 > Ь, т € д, р ,

Ь < т ^ Ь + 8о выполнено включение

ТДВ(т, у(т))) + <Р*(т, г)8 э у(г)). (2.30)

Здесь обозначено

т,г) = ь\/(т - г,г,у(т)) - у(г)\. (2.31)

зз

Доказательство. Число So возьмем из условия выполнения при всех t, т € [q,p], t < т ^ t + Sq двух неравенств

m m

\y{r)~y{t)\ < j, \f{r ~t,t,y(r)) -у(т)\ <

Тогда при всех t, т € [q,p], t < т ^ t + So выполнено неравенство

U'iT — t,t,y{^) — vtt)\ < m-Поэтому точка (t, f(т — t,t,y(т))) € Dm при всех t, т € [q,p], t < т ^ t + So-

Из включения (2.29) имеем, что

^т — t,t, у(т))) + ^>*(т, tfS э B{t, y(-t)).

Из включения (2.19) следует, что

ТДв(т, У(т))) э в^, Ят — t,t, у(т)))-

Из этих двух включений получим включение (2.30).

Замечание 2.2. Пусть оператор Т[ удовлетворяет следующему свойству:

ТДХг+X) Э TtT(X) + X, УХ С Z.

Следовательно, из включения (2.30) получим включение

(2.24) с функцией <р = ip* .

Список литературы

1. Красовский Н.Н., Субботин А.Н. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2. Пшеничный Б.П., Сагайдак М.И. О дифференциальных играх с фиксированным временем// Кибернетика. 1970. Т“2. С. 54-63.

3. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. 2 //Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, I I. С.764-766.

4. Ухоботов В.И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральными ограничениями // Прикл. матем. и мех. 1977. Т. 41, вып. 5. С.819-824.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.