Моделирование гарантированного управления с интегральным ограничением в линейной управляемой системе Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ В ЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЕ

С.Р. Алеева, В.И. Ухоботов*

Челябинский государственный университет

Для линейной управляемой системы с интегральным ограничением на выбор управления и при наличии воздействия на нее со стороны неконтролируемой помехи общего вида излагается алгоритм построения управления, гарантирующего вывод фазовой точки в фиксированный момент времени на заданное множество.

Ключевые слова: управление, интегральное ограничение, помеха, стабильность.

Введение

В [1] изложен метод поглощения областей достижимости для построения управления игроков в линейных дифференциальных играх. Введено понятие первого момента поглощения и установлены условия регулярности, при выполнении которых правило экстремального прицеливания гарантирует окончание игры за первый момент поглощения. Условия возможности окончания за первый момент поглощения и регулярности рассматривались в работах [2 - 5]. В работах [6; 7] обобщаются прямые методы из [8; 9] на случай интегральных ограничений на управления. Линейную задачу управления с фиксированным моментом окончания р с помощью замены переменных [10] можно формализовать следующим образом.

1. Постановка задачи

Точка г € К” перемещается из состояния г^) в состояние г(т) при t < т под воздействием управления и : \р, т] —> К и помехи V по правилу

г(т) = г(Ь) + ^ М(г)и(г)с1г + V . (1-1)

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 00-01-00018).

Элементы матрицы М(г) на каждом отрезке [£, г] имеют интегрируемые 1-е степени, где 1/1 + 1/т = 1.

На формирование управления и(г) тратится неотрицательное количество ресурсов д, оставшийся запас которых определяется формулой

д(г) = д(£) — ^ \и(г)\т<1г > 0 . (1-2)

Здесь целое число т > 2, |и| — норма вектора и 6

Предполагается, что при выборе помехи V также тратится некоторое количество ресурсов, запас которых характеризуется точкой у из метрического пространства У. Ограничения на расход ресурсов, а также возможное значение помехи при заданных начальном ?/(£) и конечном у(т) запасах ресурсов имеют вид

у(т) е <3(г, т, у (г)), V е Угт(у(г),у(т)). (1.3)

Здесь многозначные функции С^)(Ь,т,у) С У и У^(у,х) С К” определены при всех £ < г, у 6 У, ж € С^)(Ь, г, у).

Процесс управления оканчивается в фиксированный момент времени р, его цель заключается в выводе точки г(р) на заданное замкнутое множество Е С К”.

В случае импульсных воздействий со стороны помех конечное состояние г(р) может мгновенно измениться [11].

Имея в виду возможность наличия таких помех, определим более формально условие окончания процесса управления [12].

Введем в рассмотрение область достижимости помехи

= У Уг{У-,х)^х е <2(£,р,у), * < р. (1.4)

X

Условие окончания запишем в следующем виде:

г(р) + V(р, у(р)) с г. (1.5)

Зафиксируем начальное состояние £о < Р, го £ К11, До > 0 и уо £ У. Управление будем строить, основываясь на процедуре коррекции программных управлений [13; 14].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Стратегией назовем последовательность точек to < tl < < ti ^ р н правило, ставящее каждому состоянию г £ К”,

/I > 0, (/ £ У в соответствие функцию щ : [£;,£;+1] —> такую, что М ^ 1и+1 \иг{г)\тс1г.

Пусть при выбранной стратегии в момент времени t = ti реализовалось состояние = 2"(£г') , Дг- = //(^-), Уг' = ?/(^г'). ТоГДа В МОМеНТ Времени £г'_|_1

при помехе

V, е у1'+1 (уг, уг+1), уг+1 е <2(£г,г!+ьг/«) (1-6)

реализуется состояние

/■^+1

гг+1 = Zi + иг + V,, щ = ! М(г)щ(г)йг. (1.7)

г

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1. Пределы Нт уг-, Нт ^ Vj существуют для

г-Ь-оо г-Ь-оо j=o

любых последовательностей точек < ti+l —у р, г>г- и уг-, удовлетворяющих условиям (1.6).

Отметим, что интегральные ограничения вида (1.2) удовлетворяют этому предположению.

Из предположения 1 следует, ЧТО у последовательности (1.7) существует предел, значение которого обозначим через г(р).

2. Построение нижней оценки необходимого начального запаса

ресурсов

Обозначим через (^1,^2) скалярное произведение векторов 6 Опорную функцию компакта X С К” будем обозначать

с(ф, X) = тах(г, ф), фа К” .

При £ < г обозначим

Щ ^ М(г)и(г)с1г : \и{г)\тйг = 1| . (2-1)

Можно показать, что это множество является выпуклым компактом в К”, который удовлетворяет следующему условию:

Тр _

0< Л <1

При любом числе у > 0 имеет место равенство

^ М(г)и(г)с1г : \и(г)\ш(1г = . (2-3)

Опорная функция множества Щ равна

с(Ф,Щ)=([ с1(г,ф)с1г) , ф,ф) = тах(М^)и,ф) . (2.4)

\Jt / |и| = 1

Щ= и (А1/т£/; + (1- \)1/ти?) . (2.2)

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 2. Множества Z и Т^т(ж,у) являются компактами в IRn.

Обозначим

а('Ф) = (с(ф, Z) + с(-ф, Z)) /2, А{ф) = (с{ф, Z) - с(-ф, Z)) /2 , (2.5)

b(t, т, у, х, ф) = (c(V>, V?(x, у)) + с( ф 1 VI(ж, у))) /2 , (2.6)

B(t, т, у, х, ф) = {с{ф, VtT(x, у)) - c(-V>, У/(ж, у))) /2 . (2.7)

Отметим, что функции а и b неотрицательны.

Зафиксируем число t < р и точку у £ У. Возьмем разбиение

t = t0 < ti < ... < tk+1 = p (2.8)

с диаметром разбиения d = max (£;+i — ti) и набор точек уг-, удовлетворя-

0<л</с

ющих следующим условиям:

У = Уо, yi = Q(io, *1, Уо), • • -,yfc+i = Q(h,P,yk), х £ Q{p,p,yk+1) • (2.9)

Возьмем числа

д = д0 > Hi > ... > д^+i > 0 , (2.10)

удовлетворяющие условиям

к

МФ) = - Mj+i)1/mc(^, vj+1 (yj, yj+i)) -

j=i

-b(ij,ij+i,yj,yj+i, V>)] - Ь(р,р,ук+1,х,ф) + a(^) > 0 (2.11)

при всех г = 1,..., /г.

Обозначим через g*(t, у, ф, 5) нижнюю грань чисел д > 0 таких, что для любого разбиения (2.8) с диаметром разбиения d < 5 и набора точек уг- (2.9) найдется набор чисел (2.10), удовлетворяющих неравенствам (2.11). С уменьшением числа S функция у* не убывает. Обозначим

9(t,y) = lim supy*(i,y, ф,6), (ф,ф)= 1. (2.12)

5^0 ф

Покажем, что если начальный момент времени to и начальные запасы ресурсов до и уо таковы, что

До < Уо) 1 (2-13)

то из любого начального состояния zq G IR” невозможно осуществить окончание (1.5).

Из формулы (2.12) и неравенства (2.13) получим, что для любого сколь угодно малого числа 6 > 0 найдется единичный вектор ф{8) такой, что до < д*^о,Уо,ф(^),6). Из определения функции <7* следует, что существует разбиение (2.8), диаметр которого меньше 6, и набор точек (2.9) такие, что для любого набора чисел (2.10) будет нарушаться одно из неравенств (2.11) при ф = ф(5).

Пусть по какому-то правилу на каждом из отрезков форми-

руется допустимое управление Ui(t). Тогда оставшиеся в моменты времени ti запасы ресурсов образуют набор чисел (2.10). Для этих чисел при каком-то номере г* неравенство (2.11) нарушится.

Предположим, что до этого момента помеха формируется произвольным образом, тратя запасы в соответствии с набором (2.9). Тогда реализовавшееся в этот момент времени состояние будет удовлетворять

неравенству

к

\{г(и,),ф(5)) - А(ф(5)) - ^2 в(и,и+1,уг,уг+1,ф(5)) -

~ В(р,р,ук+1,х,ф(6))\ > ^,(ф(5)) . (2.14)

Функции /г- (2.11) являются четными, а функции А (2.5) и В (2.7) — нечетными. Поэтому из неравенства (2.14) получим, что на одном из векторов ф = ±ф(5) будет выполнено

(г(к,), ф) > Ри(ф) . (2.15)

Здесь обозначено

к

т) = £(/ъ- - /ъ-+1 )1/т<#, ^+1 (У3, у]+1)) -

3=г

к

-^2с(ф^у^+1(У],У]+1)) - с(ф,У*(ук+1,ж)) + с(ф,г) . (2.16)

3=г

Далее помеха формирует свое управление так, чтобы выполнялось равенство

(иг, ф) = с(ф, У/;+1 (уг, уг+1)) . (2.17)

Из (2.3) и (2.4) следует, что

{Ф, £ М(г)щ(г)(1г) > (дг - дг+1)1/т ^ с1(г,ф)(1г^ . (2.18)

Из этого неравенства, используя правило перехода (1.7), а также соотношения (2.17) и (2.18), получим, что

(г{и,+1),ф)) > (г(и,),ф))~ (д,-. ~ Дг*+1)1/тХ

ft.

: + 1

1/1

х| / ' с1(г,ф)(1г\ + с(ф,У^*+1(уг,,уг,+1)). (2.19)

ftг

Отсюда, используя формулы (2.15) и (2.16), получим, что

(z(*t-.+i), ф) > • (2-20)

Продолжая этот процесс дальше, получим, что

(г(р),ф)) > -с(ф,уР(ук+ьж)) + с(ф,г) . (2.21)

Это означает, что включение (1.5) не выполнено.

3. Построение стабильного моста

Зафиксируем произвольную функцию g(t,y) > 0, определенную при t < р, у G Y и удовлетворяющую условию монотонности:

t < г, ж G Q{t, г, у) => #(£, у) > 5-(г, у) и g(t, у) > д{т, ж) . (3.1)

Отметим, что функция (2.12) удовлетворяет этому условию.

Для начального запаса до > 0 условие возможности синтеза управления, которое из состояния t < р, z G К”, у G Y гарантирует окончание (1.5), будем искать в следующем виде:

г G (д£/т - g(t, г/)) Щ + W(t,y), д0 > gm{t,y) . (3.2)

Многозначную функцию 14^(i, у) С IR”, определенную при t < р, у £ Y, будем искать из условия стабильности [10].

Введем в рассмотрение функцию

G(t, у) = и о - (до/т - g(t, y))m > 0, Vi < р, у G Y, д0 > gm(t, у) . (3.3)

Тогда из условия (3.2) получим, что

^ G (д0 -G(t,y))1/mU? + W(t, у), до > G(t,y) . (3.4)

Запишем для этих соотношений условие стабильности [10]. Это условие означает, что для любого момента времени г G (t,p\ и произвольной помехи

ж G Q{t,T,y), v G Vf{x,y) должна существовать функция и : \t, т\ —> Ш.к

такая, что \u(r)\mdr = 7 < До и

z J" M(r)u(r)dr + v G (до - 7 _ G(t, x))l^m Щ + W(t, ж), (3.5)

до — 7 > G(r, ж) .

Используя формулу (2.3), можно записать это условие в следующем виде:

^ + V?(y, ж) С U [(До - 7 - G(t, ж))1/"1 Щ + yl/mUj] +

+W(г, ж) . (3-6)

Здесь объединение берется по всем 7 G [0, До — G(t, ж)]. Согласно равенству (2.2), это включение принимает вид

z + VtT(y, ж) С (до - С(г, ж))1/т IJf + W(t, ж) . (3.7)

Последнее включение должно выполняться для любой точки z из (3.4). Следовательно,

(до - G(t, у))1/ти? + W(t, у) + v;(y, ж) с (До - G(t, x))^mUf+

+ТУ (г, ж) . (3.8)

Это включение будет выполнено, если

w(t, у) + v;(y, ж) с [(До - G(t, ж)у/т - (до - G(t, y))1/m]U[+

+W(T, ж) (3.9)

для любых у G Y, х G Q(t, г, у), До > G(t, у).

Подставим сюда функцию (3.3). Получим

И^,у) +У/(у,ж) С [fif(i, у) -#(г, ж)]СГ + И/(г, ж) (3.10)

для любых у G У, ж G Q(t, г, у), До > G(t, у).

Рассмотрим точку z G W(t,y), /j,о = (t,y),y £ Y и запишем условие

возможности попадания в момент времени р на терминальное множество ^ . Используя (1.4), получим

(t,y) + V(t,y) С g(t,y)U? + Z . (3.11)

В дальнейшем будем использовать следующее предположение.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 3. Для произвольных последовательностей точек ti < < 1 —т- р, yi —т- у G Y и любой точки w G V (р, у) существует такая

последовательность Wi G V(ti,yi), что Wi —> w.

4. Построение стратегии

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 4. Для любого вектора ф £ К” и для любого числа £ < р выполнено неравенство

с(Ф,Ц?)> 0. (4.1)

ЛЕММА 4.1. 6 > 0 такое, что

иI С еЩ, r-5<t<т<r + 51 т < р. (4.2)

Доказательство. Зафиксируем е > 1 и t < р. Допустим, что существует последовательность точек ti < тг-, ti —> г, тг- -т- г, для каждой из которых включение (4.2) не выполнено. Применяя теорему отделимости для выпуклых компактов, получим, что существует последовательность единичных векторов ф{ £ К” таких, что с(ф{,Щ.) > ес(ф{,и^.). Перейдем к сходящейся подпоследовательности фik —т- ф. Тогда в пределе будем иметь неравенство с(ф,11р) > £с(ф,11р). Поскольку с(ф, Щ) > 0, то получим противоречие 1 > £.

Зафиксируем < Р и до > 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Семейство непустых множеств И/(^,у) С К”, определенных при

г £ [г0,р\, У е У, до > дт^,у), (4.3)

удовлетворяет условию стабильности, если:

а) это семейство удовлетворяет включению (3.11);

б) для любой точки г 6 [*о,р) существует число 6 = 5(г) такое, что для всех Ьо < г — 5<Ь<т<г + 5, т < р,

уеУ, до >дт^,у), же<9(^,г,у) (4.4)

выполнено включение (3.10).

С помощью формулы (3.3) определим функцию 0(Ь,у). Она будет удовлетворять условию монотонности (3.1).

Обозначим Се^, у) = етО^, у).

ЛЕММА 4.2. Предположим, что семейство непустых множеств \У(Ь,у), определенных при условиях (4-3), удовлетворяет условию стабильности и до > дт^о,уо). Тогда для любого числа е > 1 существует последовательность чисел £о < ^1 < ••• <£«—>■ Р такая, что

УУ(и,у) + У/;+1(у,ж) С

С [(д - Ое(и+1,х))1/т - (м - Ое(и, У))1/т]Щ+1 + Ж(и+1,х) (4.5)

для всех У £ У, До > Д > О (и, у), X £ и+1, у) •

Доказательство. Возьмем последовательность чисел to = р0 < р\ < ... < р; —т- р. Для каждой точки г из фиксированного отрезка [рг-,р{+\\ существует 5-окрестность, для всех точек 4 < г из которой выполнены включения (4.2) и (3.10). Применяя лемму Гейне - Бореля [15], найдем конечное число точек р^ = < ... < Sj = рг_|_1 таких, что выполнены

включения (4.2) и (3.10) при £ = вк, т = «^+1, ^ = — 1- Из точек

5^ строим последовательность £г- —> р. Пусть ti = 5^, ti+\ = 5^+1. Возьмем у £ У, х £ у), До > Д > О {зк,у) и умножим обе части включе-

ния (4.2) на неотрицательное число

(д0 - 0(зк+1, ж))1/т - (до - у))1/т .

Получим

[(до - С(зк+1, ж))1/т - (до - £(**, у))1/т] и!к С С [(гтдо - С5(%1,х))1/т - (гтд0 - Ое(зк, у))1/т] Щк+1. (4.6)

Тогда из соотношения (3.9), которое является следствием включения (3.10),

следует, что

УУ{зк, у) + У/Г1 (у, х) С [(етДо - СЕ{зк+1,х))11т-

-(emнo-Ge(sk,y))l|mWSk+l+W(sk+l,x) (4.7)

для всех у £ У, До > у), х £ Qi.Sk, вк+1,у).

Для любого д 6 [0(вк, у), до] выполняется неравенство

(д - 0Е(зк+1,х))^т - (д - у))1/"1 >

> (етд0 - ж))1/"1 - (етд0 - у))1/"1. (4.8)

Поэтому из включения (4.7) следует включение (4.5) при £г- = вк, =

= 5&+1-

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть семейство непустых множеств \У(Ь,у), определенных при условиях (4-3), удовлетворяет условию стабильности, а начальное состояние удовлетворяет условиям

£ {но ~ Ge{to,yo))l^mU^0+W{to,yo), До > С^^о, Уо), (4-9)

при некотором е > 1. Тогда существует стратегия, обеспечивающая условие окончания (1-5).

Доказательство. Будем рассматривать произвольную последовательность точек £о < ^1 < » р, удовлетворяющую включению (4.5).

Рассмотрим точку г £ К”, д > 0, у £ У, удовлетворяющую условию

2 е (д - С£(и1у))1/тЩ +\У(и,у), д0 > и > Ое{гг,у) . (4.10)

Нужно построить функцию и : такую, чтобы

д* = д - ^ \и(г)\тс1г>0£(и+1,х), (4-11)

+ 1 + .

?+ М(г)и(г)с1г + Уг‘+1 (у, х) С

С (^-Ое(и+1,х))1/тЩ+1+\¥(и+1,х) (4.12)

ДЛЯ любого X £ С2(и, и+1,у)-

Из включения (4.10) следует, что

2: = + ТО, е (д - Се^г, у))1/тЩ, 10 £ \¥(и, у) . (4.13)

Рассмотрим проблему моментов [16]:

ГР ГР

/ \и(г)\тс1г—^шш, 2* + / М(г)и(г)с1г = 0 . (4-14)

Л; .пг

Пусть и : [ti,p] -т- — решение задачи (4.14). Тогда из равенства (2.3) и

из включения (4.13) следует, что

ГР

J \и(г)\т(1г < д - СЕ(Ьг,у), (4.15)

/■*!+ 1 ГР

2* + / М(г)и(г)с1г=— / М(г)и(г)с1г £

■>1г Л;

£ (д* - у) - £г+1 \и(г)\тс1г)1^ти^+1 . (4.16)

Из этих соотношений и из обозначения (4.11)

д*=д-^ |и(г)|тб?г > Ое^г, у) > ж) , (4.17)

^ М(г)И(г)йг € (д* - у))1/тЩ+1 . (4.18)

Сложим включение в (4.18) с третьим включением в (4.13) и учтем условие (4.5). Получим, что множество, стоящее в левой части доказываемого включения (4.12), содержится во множестве

(д* - ед-,у))1/?Х+1 + [(/X* - С£(^1,^))1/т -

-(/х* - Ое(и,у))^т]Щ.+1 +\¥(и+1,х) . (4.19)

Используя выпуклость множеств достижимости (2.1), получим требуемое включение (4.12).

Зная в момент времени ti реализовавшееся состояние г;, щ, yi, строим на отрезке [£;, ^'+1] управление по правилу (4.14). Поскольку в начальный момент времени выполнены условия (4.9), то из (4.11) и (4.12) получим, что

цг > о£(и, уг), е (т - се{гг, у^)1/тЩ + \¥(и, уг) V*. (4.20)

Пусть —т- г(р), у; —т- у(р), т -т- ц{р). Возьмем любое т £ V(р, у(р)). Из предположения 3 следует, ЧТО существует последовательность £ V (^, уг') такая, что гиг- —> т(р). Из (3.11) и (4.20) получим, что

+ wi & [(Дг — С<е(^г', Уг')) ^ Уг)] ^ + % > (4-21)

Gi = у^, д{ = д(^', У;) и Сгг' > Сч-и ^ 0- Из условия монотонности (3.1)

получим д{ > > 0. Следовательно, последовательности чисел —> Сг,

д^ —?• (/ сходятся. Далее, дг' -> д(р)5 и'1 —> 0 при £г' -> Р■ Поэтому из (4.21) получим, что г(р) + т £ Е. Следовательно, условие окончания (1.5) выполнено.

Список литературы

1. Красовский Н. Н. Об одной задаче преследования // Прикл. математика и меха-

ника. 1963. Т. 27, вып. 2. С. 244 - 254.

2. Красовский Н. Н., Репин Ю. М., Третьяков В. Е. О некоторых игровых

ситуациях в теории управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.

1965. № 4. С. 3 - 23.

3. Батухтин В. Д., Субботин А. И. Регулярный случай в линейной дифференциальной игре // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. № 6. С. 8 - 12.

4. Пшеничный Б. Н., Онопчук Ю. П. Линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1968. № 1.

С. 13 - 22.

5. Соломатин А. М., Ушаков В. Н. Конструирование множества позиционно-

го поглощения в линейной игре с интегральными ограничениями // Управление и оценивание в динамических системах. Свердловск, 1982. С. 74 - 89.

6. Никольский М. С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с общими интегральными ограничениями // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 6. С. 964 - 971.

7. Мезенцев А. В. О задаче преследования с интегральными ограничениями на управления игроков // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. математика, и кибернетика. 1981. Вып. 1. С. 964 - 971.

8. Понтрягин JI. С. О линейных дифференциальных играх 1 //Докл. АН СССР. 1967. Т. 174, № 6. С. 1278 - 1280.

9. Понтрягин JI. С. О линейных дифференциальных играх 2 // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 4. С. 764 - 766.

10. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

11. Красовский Н. Н., Третьяков В. Е. К задаче о преследовании в случае ограничений на импульсы управляющих сил // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 5. С. 587 - 599.

12. Ухоботов В. И. Линейная дифференциальная игра с ограничениями на импульсы управлений II Прикл. математика, и механика. 1988. Т. 52, вып. 3. С. 355 - 362.

13. Черноусько Ф. JI., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.

14. Дятлов В. П., Ченцов А. Г. Об одном классе линейных дифференциальных игр с ограниченным числом коррекций // Управление и оценивание в динамических системах. Свердловск, 1982. С. 9 - 16.

15. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

16. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

SUMMARY

Linear controlled system with integral restriction on choice of control parameter and with action of noncontrollable general disturbance are considered. Algorithm of construction of guaranted control parameter is explained. This control parameter provides phase point in fixed instant on given set in fixed instant.