Моделирование гарантированного управления с многогранной областью значений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

С МНОГОГРАННОЙ ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ

В.И. Ухоботов, О.Ю. Титов*

Челябинский государственный университет

Излагается алгоритм моделирования гарантированного управления линейной системой при наличии малой нелинейности и воздействия со стороны неконтролируемых помех. Значения управления лежат в многограннике, который удовлетворяет определенному свойству линейности.

Ключевые слова: гарантированное управление, многогранная область значений, помеха.

1. В пространстве IR” происходит движение вектора z по правилу

z = -и + v + 7/(i, z), t<p. (1.1)

Здесь и — вектор управления, v — вектор помех, р — момент окончания процесса управления, 7 — малый параметр. На возможные значения управления и помехи накладываются геометрические ограничения

и ell(t) сШ.п , v ev(t) С Ш.71 . (1.2)

Отметим, что линейная управляемая система при наличии малой нелинейности может быть с помощью линейной замены переменных [1] сведена к виду (1.1).

Предположим, что || f(t, z)\\ < F Mt < p Mz £ IRn , F > 0 . (1-3)

Здесь посредством ||г|| обозначена евклидова норма вектора z £ IRn. Скалярное произведение двух векторов z и ж из Е” будем обозначать (z; х). Обозначим через S = {z £ IRn : Ц^Ц < 1} шар единичного радиуса.

Относительно многозначной функции V(t) предполагаем, что при каждом t < р множество V(t) является компактом в IR”, измеримо по

Лебегу, зависит от i и содержится в шаре радиуса p(t). Здесь p(t) — инте-

грируемая по Лебегу на каждом отрезке скалярная функция. Тогда [2] для любых t < т < р интеграл Ц V(r)dr является выпуклым компактом.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 00-01-00018).

Предполагаем, что вектограмма управления имеет вид

1Г(?) = А(а(*)) . (1.4)

Здесь А(у) — многогранник, задаваемый с помощью фиксированного набора векторов Xj £ К”, j = 1,... ,1 системой линейных неравенств

А(у) = {г £ Еп : (х3, г) < у3, ] = 1,. (1.5)

Известно [3], что многогранник (1.5) не пуст тогда и только тогда, когда у £ К, где конус

I I

К = {у £ Ег : ^ А3у3 > О УА.,- > 0, .7 = 1,^ \3х3 = 0} . (1.6)

3=1 3=1

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1. Функция а(£) 6 К при £ < р является кусочно-непрерывной, имеющей на каждом отрезке не более, чем конечное число точек разрыва первого рода, причем в точке разрыва функция непрерывна слева.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 2. При каждом у £ К многогранник (1.5) является ограниченным.

Для этого [3] необходимо и достаточно, чтобы

I

{г £ Е” : 2 ^ А ^ > 0, ^ = 1,...,/} = Еп . (1-7)

3 = 1

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 3. При любых у, у* £ К выполнено равенство А(у + у*) = А(у) + А(у*) . (1.8)

Отметим, что в работе [4] приведены некоторые типы многогранников (1.5), удовлетворяющие условию (1.8).

Допустимым управлением является любая функция

и(£, г) £ А(а(Ь)) . (1.9)

Пусть выбрано управление (1.2) и задано начальное состояние г^о). Возьмем разбиение и : to < tl < ... < ^+1 = р с диаметром разбиения с1(ш) = тах(£г'+1 — ti), i = 0,1,..., к. Построим ломаную Эйлера:

Мг) = ^ш(и) + (г-и)(-и(и,гш(и))+у/(и,гш(и))) + у, и < £ < и+х. (1.10)

Здесь V £ V(г)(1г — любая реализация помехи.

Задана непрерывная функция ?/(£) 6 К при Ьо < Ь < р. Цель синтеза управления (1.9) заключается в том, чтобы реализовавшееся движение *(£) как можно ближе находилось к множеству А(у(Ь)).

Обозначим

шах (и, х^) = ] = 1,...,/. (1.11)

г>£ V (4)

Каждая из этих функций интегрируема на каждом отрезке из промежутка ( — оо,р].

2. Для дальнейшего потребуются некоторые свойства многогранника (1.5).

ЛЕММА 2.1. Существует Р > 0 такое, что при каждом у £ К выполенно включение

А{у) С 5(у)РЗ, 6(у) = тахтах(0;%) . (2.1)

1<з<1

Доказательство. Обозначим через А± многогранник (1.5), у которого в правых частях определяющих его неравенств стоит число 5(у). Тогда А(у) С А\. Поэтому достаточно доказать включение (2.1) для многогранника А\.

Из ограниченности многогранника А\ следует [3], что он является выпуклой оболочкой своих крайних точек, число которых конечно. Выпуклая функция ||г:|| принимает максимальное значение на многограннике А\ в одной из его крайних точек г. Эта крайняя точка [3] удовлетворяет системе уравнений

(г,хч) = %),. ..,(г,х1п) = %) , гаг^ж^,.. .,х1п) = п.

Разрешая эту систему уравнений, получим = с;5(у), i = 1 Следовательно, ||*|| < с5(у), с = (с^ + • • • + с^)2.

ЛЕММА 2.2. Для любых у, у* £ К выполнено включение

А(у) + 6(у*-у)РЗэА(у*). (2.2)

Доказательство. Из неравенств у| < yj + 5(у* — у), j = 1,..., I следует, что А(у*) С А(у + 5(у* — у)) = А(у) + А(5(у* — у)). Отсюда и из леммы

2.1 получим требуемое включение (2.2).

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Для любых I ■ г • р

А(а(г)) С А(ог(т)) + £>(г, £),?,

£>(г, Ь) = 5(а(£) — а(г))Р. (2-3)

Введем расстояние по Хаусдорфу [5] между двумя множествами Аж В в Еп:

с1{А, Б) = ш! {р > 0 : А + р,в Э В, В + р,в 3 А}.

Из включения (2.2) следует, что

<1(А(у),А(у*))<\у-у*\,Р. (2.4)

Здесь посредством | • |; обозначена евклидова норма в Ег.

ЛЕММА 2.3. Выполнено равенство

( А(а(г))с1г = А I / а(г)с1г | . (2-5)

а \а /

Доказательство. Пусть * = /а6и(г)йг, {xj1u(r)) < aj(r)1 ] = 1,...,/.

Интегрируя эти неравенства, получим, что г <Е А а(г)с1г

Пусть выполнено последнее включение. Разобъем отрезок [а, Ь] точками а = ао < <21 < ... < ад = Ь так, чтобы на каждом интервале (аг-, аг-+1)

функция а(£) была непрерывной. Тогда из равенства (1.8) получим, что

* = гг е а{^! а(г)(1г^ . (2.6)

Доопределим по непрерывности функцию а(г) на отрезке [аг-,аг-+1]. Разобьем этот отрезок на т равных частей. Пусть

18 = аг- + 80, 0 =----------, 8 = 0,1,..., ТП.

711

Из равенства (1.8) получим, что

ш —1

*г = ^ (жлто5)< / а1(г)(1г, j = l,...,l.

3=0

Рассмотрим следующую кусочно-постоянную функцию: um(t) = S~1ws, ts<t<ts+i, s = 0,1,..., m — 1. Тогда

“' + 1 m-1 tsj.1

/ um{t)dt = ^2 ws = Zi, (xj,um(t)) < 8~x / aj(r)d'

S=0

r dr.

(2.7)

Из непрерывности функций aj(t) на отрезке [аг-, аг-+1] следует их ограниченность на этом отрезке. Поэтому из (2.7) следует, что существует число /3 > 0 такое, что (Xj,um(t)) < /3, j = 1,...,/ при \ft £ [аг, a8'+i]. Отсюда и из леммы 2.1 получим, что существует число L > 0 такое, что ||ит(^)|| < L для всех т > 1 и всех £ £ [аг, a8'+i]. Поэтому каждая из функций

t

fm(t) = J um(r)dr, a% <t < at+i

аг

удовлетворяет условию Липшица с константой L. По теореме Арцела [6] из последовательности функций fm(t) можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность. Предельная функция f(t) также удовлетворяет условию Липшица с константой L. Следовательно, она абсолютно непрерывна. Поэтому у нее почти всюду существует производная. Не вводя новых обозначений, считаем, что сама последовательность функций fm(t) f(t). Далее,

f(at) = 0, f(ai+1) = Zi

(2.8)

Пусть в точке t £ (аг, аг+1) существует производная /(£). Возьмем любое число /г > 0. Тогда

(*£ ] > /ш (£ ^) /ш (^) ) — J $ > ит (г) )с?Г .

Из неравенства (2.6) следует, что (Xj, vm(r)) < a? (г*),

‘^-1 в 1 ' 1 V ■) V '-С 1 в 1 ' 1

L 6 L 6 J

Из неравенства (2.7) следует, что

Xj, um(r)) < а? (г*),

г — а,:

6 = q<r*<q + 6.

Здесь посредством [•] обозначена целая часть числа. Следовательно,

(

/т (І + Ь) ~ /т (І)

Н / — д<г<д+5

X],----------------------------- ) < тах а^' (г) .

Из непрерывности функции а? (г) следует, что максимум достигается в некоторой точке гт. Выделим из последовательности чисел гт при т —> оо сходящуюся подпоследовательность. Не вводя новых обозначений, считаем, что гт —т- г* 6 [£, £ + /г]. Поэтому, переходя в предыдущем неравенстве к пределу при т —> оо, получим, что

Устремим /г —т- 0. Получим, что (xj,f(t)) < Следовательно,

учитывая равенства (2.8), получим, что

аг + 1 аг + 1

= J /'(г)с1г, //(г) С Жа(г)) => -г; £ J А(а(г))с1г .

О

Отсюда и из (2.6) получим включение * 6 J А(а(г))с1г.

а

3. Зафиксируем число £о < Р и произвольную непрерывную функцию

У ■ [*о,р] К.

Рассмотрим следующую экстремальную задачу:

£ —> 1ШП, £ > 0, (xj,w) < (xj,u) <

(х3,г)+£ + (х3,т - и) <у3^)+£3- ] = 1,...,/. (3.1)

Если связи в этой задаче несовместны, то полагаем г(£, *) = +оо. Если связи совместны, то из замкнутости и ограниченности множества А(а) при любом а £ К следует, что задача (3.1) имеет решение. В этом случае через г(£, г) обозначим минимальное значение целевой функции. Полагаем

?70(£, г) = {и Є А{а{ґ)) : 3-й? Є А{а{ґ)) :

(х3,г) +£(і,г)(х3, то - и) < у3{і) +є(і,г), і = 1(3.2)

ЛЕММА 3.4. Пусть £^,г) < оо. Тогда

г е А(у(ф + 1Ре(г, г) (1 + 2РМ5(а(г))) Б . (3.3)

Здесь число Р из леммы 2.1, а М = шах Цж^-Ц, j =

Доказательство. В формулах (3.2) точки т,и £ А(а(Ь)). По лемме

2.1 \\т\\ и ||и|| не превосходят 5(а(Ь))Р. Отсюда и из (3.1) получим, что (х3, г) < у^) + д, д = (1 + 25(а(г))РМ)е.

Применяя еще раз лемму 2.1 и равенство (1.8), получим включение

* е А(у(г) + д) = А(у(г)) + А(д) С А(у(г)) + 1дРБ .

Отсюда следует требуемое включение (3.3).

Зафиксируем любую стратегию

и(г, г) £ 1/0^, г) . (3.4)

Возьмем любой у <Е Ш1 И положим

ГР

Уз (X) = Уз + у (аз(г) ~ 3 = !,•••,/• (3.5)

Обозначим

^+1

VI = J 6(а(г) - а(и+1 ))(1г] щ = 8{а{Ь) - 0(^+1)) . (3.6)

Из определения функции 8 (2.1) следует неравенство /■^+1

J aj{r)dr < щ — ti)aj{ti+l), ] = 1,...,/. (3.7)

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть начальное состояние таково, что г(^,^о) =

е < +оо, а функции (3.5) удовлетворяют условию у(Ъ) 6 К при ^ < t < р.

Тогда стратегия (3-4) для любой ломаной (1.10) гарантирует оценку

г

е{и+1,гш{и+1)) < [тах(е(^0, *0), й(^)) + ^ г/т +

7П = 0

г

+ (^•+1 - ехр^2РМ ^2 Мт) • (3-8)

7П = 0

Доказательство. Пусть и гг- = г(£г-, *г) < оо Тогда из (1.10)

и из (3.2) будем иметь

(х j , — (х j , (^г'-(-1 ^)[т(^:Ь I 1 ^ ) ) ~Ь

+(жл-, -и,-) + (жл ///+1 и,-(г)<гг)].

Отсюда, используя формулы (1.3), (1.11) и (3.2) и неравенство (xj,f(ti,Zi)) < М^, получим, что

(жл ^-+1) < + //;+1 /3^(г)б?г - ег{х3, гпг) +

(^г ^г + 1 + ^г) Н“ (^г + 1 ^г)Т^^ *

Далее, учитывая неравенство (3.7), будем иметь

$ ч 1) (^г + 1 ^г) Н“ ^г) ^

< ^'(^'+1) + ///+1 а3(г)с1г + (^-+1 - ^t)7MF + et <

< У:/(^г + 1) + уг + (^'+1 — и)7МР + ^{+1 — ti)aj(ti+1) + £{ .

Из последнего неравенства и из условия линейности (1.8) следует, что существует точка щ £ A(a(ti+l)) такая, что

(х j , (^'-(-1 8i)(^Xj, иг') -)- Ei(xj, ТОг')

-(^•+1 - 4;)(ж?, и0) < г/Д^-к) + Щ + (^-+1 - и)уМР + ег . (3.9)

Согласно включению (2.2) и обозначению (3.6) существуют точки

в,- £ 51, г = 1, 2 и и* € А(а(£г'+1)), о;* 6 А(а(^г+1)) такие, что

Иг = и* - Дг-Рв!, тг = ТО* - ДгР52 .

Подставим эти выражения в неравенство (3.9) и учтем, что |(ж.л5г)| < М. Будем иметь

(х j , -)- (^г'-(-1

(^г + 1 7 И0) ^ ^ (^ + 1) 7 (3.10)

Bi = г/г- + (£г'+1 — и) у МР + (|^г'+1 — ti — £{ | + ег') Дг\РМ + вг' . (3-И)

Обозначим тог- = тах(гг ; £г+1 — £г-) и покажем, что

(х3, гг+1) + тг(х3,и - ги) < у3(гг+1) + Вг, (.7 = 1,...,/) (3.12)

при некоторых и, то 6 А(а(^г' + 1) ) •

Случай 1. Пусть > £{. Тогда, как следует из соотношений (3.10)

и (3.11), неравенства (3.12) выполнены при

и= —-------------И* + -------—ТО*, У} = и0.

4+1 Ч 4+1 Ч

Случай 2. Пусть ti+l — < £{, тогда неравенства (3.12) выполнены

при

^ , ^г + 1

и = то*, то = ----------------И* Н---------и0 •

Покажем, что ег'+1 < тах(т,-, В;). Если тог- > Bi, то неравенства (3.12) заведомо выполняются, если вместо поставить пц. Тогда из определения числа ег'+1 следует, что гг-+1 < пц.

Пусть пц < Bi. Тогда тг(и — то) = Bi(u* — то), где

то,- В; — пц Л , . ..

и =— иН-------------- ----ш £ А(а(и+1)) .

п; п;

Следовательно, неравенство (3.12) будет выполнено при и = и*, Bi = пц, и потому ег+1 < Вг.

Из формулы (3.11) и из доказанного неравенства получим, что

£г+1 < (1 + 2щРМ) тах(ег; £г_1 - £г) + г/г + (£г+1 - и)у MF.

Из этого неравенства с помощью индукции получается неравенство (3.8).

Из неравенства (1.3) и из выражения (2.1) получим, что II-и{и, гш{и))+у${и, гш(гг))\\ < 8{а{и))+уР. Функции а3^) ограничены на отрезке [Ь0,р] некоторым числом }. Следовательно, 8(а(Ь{)) < С}. Отсюда следует, что ломаная (1.10) удовлетворяет условию

Т

1К(£) - гш(т)\\ < /(<9 + 7Р + д(г))(1г,

и последовательность ломаных (1.10) удовлетворяет условиям теоремы Ар-цела. Следовательно, на отрезке ^о,р] определена функция г(Ь), которая является равномерным пределом некоторой подпоследовательности ломаных при диаметре разбиения с1(и>) —> 0. Такую функцию назовем реализовавшимся движением.

Можно доказать, что

1т+1

У Ь'т = £ $(су(г) — (л))с1г —^ 0 при ^ 0 . (3.13)

т—0 ш=0 +

Допустим, что существуют числа К > 0 и d*x > 0 такие, что для всех разбиений с диаметром d(u) < d* выполнено неравенство

к I / к \

X] = X! ( X! max(0; - aj(im+i)) J < К .

7П = 0 j = 1 \ 771 = 0 /

Перейдем в (3.8) к пределу при d(u) —> 0. Тогда, используя лемму 3.1, получим, что для любого движения z(t) выполнено включение

z(t) е A(y(t)) + e*(t)S, to<t<p,

е*(i) = (его + (t - to)yMF) exp(2PMK)[l + 2PM5(a(t))] .

Список литературы

1. Красовский Н.Н., Субботин А.Н. Позиционные дифференциальные игры. М.:

Наука, 1974.

2. Благодатских В.Н., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальные управления II Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 195 - 252.

3. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

4. Ухоботов В.И. Построение цены игры в некоторых дифференциальных играх с фиксированным временем // Прикл. математика и механика. 1981. Т. 45, вып. 6.

С. 994 - 1000.

5. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука, 1966.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

SUMMARY

The algorithm of modelling garanteed control linear system is considered.