Однотипная игра с интегральным ограничением первого игрока Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОДНОТИПНАЯ ИГРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ПЕРВОГО ИГРОКА

С Р Алеева , В И Ухоботов

Челябинский государственный университет

Рассматриваются однотипные игры в которых вектограмма второго игрока е каждый момент времени гомотетична некоторому выпуклому симметрическому компакту На выбор управления первого игрока накладывается интегральное ограничение с помощью функции Минковского этого компакта Платой является значение этой функции Минковского на фазовой точке в заданный момент времени

Ключевые слова: дифференциальные игры интегральное ограничение га рантирующие стратегии игроков.

Введение

Линейная дифференциальная игра с фиксированным моментом окон чания с помощью замены переменных [1] может быть сведена к их ре < ирос тым движением При такой замене переменных дифференциальная И1ра ''изотропные ракеты" [2] и ее вариант при отсутствии трения "мальчик и крокодил" [1, 3], а также контрольный пример Л С Понтрягина [3], сво дягся к виду, когда вектограммы И1 роков в каждый момент времени гомо гетичны одному и тому же выпуклому симметрическому компак1у Для игр такого вида в [4] вычислена функция цены и синтезированы оптимальные управления игроков В [5] синтезированы оптимальные управления ш роков, когда на выбор >правления первого игрока накладывается допочьительное охраничеьие в виде интеграла от нормы управления

При проектировании игры с простым движением на одномерное под пространство получается одномерная однотипная игра, критерий оконча ния которой из начальною сосюяния дает необходимые условия окончания в исходной задаче [б] С точки зрения этого метода необходимо получить решение в однотипной игре

1. Постановка задачи

Задано линейное пространство Е Фиксирован момент времени р и при £ < р определены неотрицательные скалярные функции а(£) и ЬЦ) Рассматривается дифференциальная игра

2 = -а{1)и + г,и,у € Е, А(г>) < 1,

(I = -Ат(и(*)), /и > 0. (1.1)

Здесь т - натуральное число, большее единицы. Считаем функции а1(1) и 6^) суммируемыми на каждом конечном отрезке, причем 1/1 + 1/т = 1. Относительно ненулевой функции X : Е Я предполагаем, что она удовлетворяет следующим условиям функции Минковского:

ХЦг) = |<|А(г), Шей, 0 < А(з) < +оо,

А(ж) - А(г) < А(г + х) < А(г) + А(ж) Чх,геЕ. (1.2)

Первый игрок стремится минимизировать величину, а второй игрок — максимизировать.

Определим стратегии игроков и порожденное ими движение. Обозначим через Ьт[1,р] пространство измеримых функций : Д с сум мируемой т-й степенью. Стратегией первого игрока является функция вида

и = (1.3)

Здесь г) - любая функция, удовлетворяющая равенству

А(Цг,г))= 1. (1.4)

Функция ц> 6 Ьт\Ь,р\ является неотрицательной, строится в зависимости от начального состояния и удовлетворяет неравенству

ГуЛда^Й). (1.5)

Стратегией вюрого игрока является любая функция 1<(1, г), удовлетворяю щая неравенству

А(г/(М)) < 1. (1.6)

Зафиксируем начальный момент времени ¿о < р и возьмем разбиение

¿0 < ч < ■ ■ ■ < ¿г < и+1 <■■■< = V. (1.7)

Для начального состояния ¿(¿о) = го, //(¿о) — № о и для выбранных стратегий построим ломаную

г(*) = гЩ - ^ а(г)<р{г)с1г^ ■ т +

+ (^Ь(г)Л') -у(и,г(и)), (1.8)

МО = М<о) - / у>т(г)«гг, ¿о < г < р.

•/«О

18 С.Р. Алеева , В.И. Ухоботов

Из свойств (1.2) и ограничений (1.4) и (1.6) следует, что

|А(г(«)) - А(г(г))| < £ (а(г)^(г) + Ъ(г))<1г. Отсюда, применяя неравенство Гельдера [8], получим, что

|А(г(0)-А(г(г))|< а^г^' + ¡\{т)йт.

Из этого неравенства следует, что семейство функций на отрезке [¿0,р] является равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным. По теореме Арцела [8] из любой последовательности А(г(<)) можно выделить равномерно сходящуюся на отрезке подпоследовательность. Под реализацией значений функции А на движении, порожденном управлениями (1.3) и (1.4), понимаем любую функцию А(£) > 0, которая является равномерным пределом на отрезке [¿о ,р] последовательности функций Здесь А(гга(£)) - последовательность ломаных (1.8) с диаметром разбиения

в, = тах (¿г+1 - £г) —>■ 0. 1<1 <к

Обозначим

0,~о, </>(■)) = тах{^(«0); А(^0) + /(¿о)},

/(*)= ¡\ъ{г) - а{г)<р(г))<1г, ^)=тал/(г). (1.9)

Н г<г<р

Рассмотрим оптимизационную задачу

= Ф) > 0, [%т{1)(И < ц0. (1.10)

Ниже будет показано, что функция С является ценой игры.

2. Построение гарантирующей стратегии первого игрока

ЛЕММА 2.1. Решение <¿>(t) задачи (1.10) существует.

Доказательство. G{to, zq, /¿о) > 0, гак как целевая функция в (1.10) G* > 0. Существует последовательность функций <¿>„(í), удовлетворяющих ограничениям (1.10), такая, что G*(to, -?о, <Аг(0) G(t0,z0,jj,0) при п —г оо.

ОДНОТИПНАЯ ИГРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ПЕРВОГО ИГРОКА 19

В пространстве Lm{to,p] любой шар слабо компактен [8]. Поэтому, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что существует функция </>(■) б Lm[t0,p] такая, что íf ipm{t)dt < ß0 и

lim Г<pn(t)i¡>(t)dt = fP(p(t)if)(t)dt, V^(-)e L¡[t0,p}. (2.1) Jto Jt0

Подставим функции ipn(t) в формулы (1.9). Тогда

max{i?n(¿o); A(zQ) + fn(t0)} G(t0,z0^0), (2.2)

fn{t) = Г(Ь{г) - a(r)ipn(r))dr; Fn{t) = max fn(r). (2.3) Jt t<r<p

Используя неравенство Гельдера, можно показать, что последовательность функций fn(t) на отрезке [t0,p] удовлетворяет условиям теоремы Арцела. Поэтому, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что функции (2.3) сходятся на [ío>p] равномерно к некоторой функции f(t). Из (2.1) следует, что эта предельная функция f(t) также определяется формулой (2.3) при <pn{t) = ¥>(0- Из равномерной сходимости fn{t) f(t) следует, что ^

Fn{to) max fn(r).

t<T<p

Отсюда и из формул (2.2) и (2.3) получим, что функция ip(t) является решением задачи (1.10).

Зафиксируем начальное состояние to,zo,ßo, и для него обозначим через ipQ(i) решение задачи (1.10). Тогда

G(to, ~tb/'o) --max{F(ío);A(2o) + /(í0)}- (2-4)

Здесь функции F и / определены формулами (1.9) при ip(t) = >po(t). Положим

w(z) = z/\(z), при A(z) ф 0; (2.5)

w{z) = ,s,Vs : A(s) = 1, при А(г) = 0.

ТЕОРЕМА 2.1. Управление

и = yo (t)w(z) (2 6)

обеспечивает выполнение неравенства

X(p)<G(t0.z0,ß0) = G. (2.7)

Доказательство. Обозначим

ФУ) = max{F{t)] A(i) + f{t)}. (2.8)

Тогда из формул (1.9) и (2.4) следует, что ф(10) = G и ф(р) = А(р). Допустим, что ip(t*) > G при некотором t0 < t* < р. Обозначим г = sup{i é [<о,М : Ф = G}. Тогда

ФУ)>С Vie (M.]; ф{т) = в. ' (2.9)

Отсюда и из формул (2.4) и (2.8) получим, что ф^) > G > F(to) > F(t) при всех т < t < t*. Далее, используя формулу (2.8), получим неравенство

A(i) + m > F(t), t G (r,t,]. (2.10)

Поскольку f(t) < F{t), то будем иметь

A(i) > 0, i G (r,tj. (2.11)

Пусть zn(t) — последовательность таких ломаных с диаметром разбиения dn 0, что А(гп(/)) —> A (t) равномерно на [¿о,р]. Зафиксируем число t* G (г, г»). Toi да, используя неравенства (2.10) и (2.11). найдем номер гг* такой, что для всех п > п* выполнены следующие условия:

A(zn(i)) + f(t)> F(t), te[t*,LJ, (2.12)

A(zn(t)) - j a(r)ip0{r)dr >0, t' < t < 6 < t + dn, s < tx.

Возьмем ломаную с номером п > п*. Пусть < Г < f/ < • • • < tj < < < iJ+1 часть ее точек разбиения. Из второго неравенства (2.12) следует, что управление (2.6) равняется u(tq,zn(tq)) = v(tq){zn(tq)/\{zn{tq))), г < Ч < 3- Подставим это управление в формулу (1.8), получим

A(2„(f,+i)) < |A(*n(i9)) - 19+1 a{r)ip0{r)dr\ + f 4+1 b(r)dr.

Jtq Jtq

Здесь использованы условия (1.2). Отсюда и из второго неравенства (2.12) получим

A(-„(f,+i)) < A(zv(tq)) + fiq+\b(r) - a(r)Mr))dr.

Jtq

Применяя последовательно это неравенство, заключаем:

Mzn(tj)) < ХЫЮ) + f\b(r) - а(г )<¿>o('*))û'r■

Перейдем в этом неравенстве к пределу при п оо и учтем, что ^ —► ^ -+ и и, в силу равномерной сходимости, А(.г„(г)) А(£), А(•?„(/;)) —А(г*), А(г„(^)) А(£*). Затем устремим —>• т. Будем иметь

А(г*) < А (г) + ^'(ЧО - а(г)^о(г)Уг.

Отсюда и из вида функции / (1.9) получим: А(^„) + /(£„) < А(г) + /(г). На основании этою, учитывая неравенство (2.10) и вид функции (2.8), получим, что < ф{т). Это неравенство противоречит условиям (2.9). Таким образом, ф(1) < О при ^ <1 <р. Следовательно, неравенство (2.7) выполнено.

3. Построение гарантирующей стратегии второго игрока

Рассмо1рим задачу с позиции второго игрока.

ТЕОРЕМА 3.1. Управление v(t,z) = w(z), где функция w(z) определяется формулами (2.5), обеспечивает для любой реализации A(t) выполнение неравенства

4p)>G(t0,z0^0). (3.1)

Доказательство. Для любой допустимой стратегии первого итрока

рассмотрим ломаную z(i) (1.8). Из формул (1.9) и (1.10) следуе1, что ли-60 р

A(z0)+ / (6(г)-a{r).p{r))dr > G(fo,^o,Mo), (3.2)

■Па

либо существует число г Ç [t0,p] такое, что

j\b{r)-a(r)v(r))dr > ОД^о-Ы (3.3)

Из свойств (1.2) функции А, а также ш вида функции т (2.5), получим

Гг'+1

п,

Пусть выполнено неравенство (3.2). Тогда из (3.4) получим

[р

По

A (2(*t+1)) > A(z(tt)) + f'+1 (¿.(г) - a(r)<p(r))dr. (3.4)

Jt.

A(z{p)) > А(го) + f\b(r) - a(r)<p(r))dr > G{t0, z0,Mo)-Jtn

Отсюда следует, что для любой реализации А(/) выполнено неравенство (3.1). Пусть выполнено неравенство (3.3). Если т = р, то (7(<о, го,р-о) = О и, следовательно, неравенство (3.1) выполнено. Пусть £0 < т < Р- Возьмем любое число е > 0. Тогда найдется число ё > 0 такое, что

!\ь{г) - а{г)ф))йг > 0,го,/1о)при I £ [г - <5, г + 6]. (3.5)

Рассмотрим ломаную с диаметром разбиения, меньшим 6. Ясно, что у этого разбиения существует точка £ [г, т + <5]. Тогда из (3.4) и (3.5) вытекает

А(г(р)) > Х(г(и)) + £(Ь(г) - а{г)ф))йт > - е.

Переходя к пределу при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, получим, что для любой реализации А(г) выполнено неравенство А(г(р)) > 2о,^о) - е. Отсюда и из произвольности числа е > 0 следует (3.1).

4. Задача о минимизации запаса ресурсов

Зафиксируем число £ > 0 и рассмотрим задачу, когда цель первого игрока заключается в осуществлении неравенства

А (Р)<£ (4.J)

и в минимизации интеграла

Г ipm(t)dt min. (4.2)

Jto

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу:

/оМ-)) = Г <pm{t)d1 mm, v?(0>0, *>(•) £ Lm[t0,p), Jto

ZiM-))= max [V{b(r) - a(r)if(r))dr < e, (4.3)

t0<i<p jt

№(•)) = f\b(r) - a(r)<f(r))dr < e - А(г0). Jto

Точно так же, как и в лемме 2.1, можно показать, что эта задача имеет решение «¿>»(-)- Обозначим

M{tQ,e,X(zo)) = l\:n(t)dt. (4.4)

Jt0

ОДНОТИПНАЯ ИГРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ПЕРВОГО ИГРОКА 23

ТЕОРЕМА 4.1. Для того, чтобы из начального состояния t0,z0,n0 первый игрок смог осуществить неравенство (4 1), необходимо и достаточно, чтобы

Mo > M(t0,£,\(z0)). (4.5)

Доказательство. Пусть выполнено неравенство (4.5). Тогда выполнено неравенство G*(to, z0, ¥>*(•)) ^ £ Для решения ip*(t) задачи (4.3). Следовательно, G(t0, zo, Mo)) < Отсюда, применяя теорему 2.2, получим, что первый игрок сможет осуществить неравенство (4.1).

Пусть неравенство (4.5) не выполнено. 1огда для любой функции *?(•) G Lm[to,p], У которой ff ipm(t)dt < ß0, нарушается одно из неравенств (4.3). То есть для любой такой функции е < G*(to, ¥>(•))• Отсюда получим, что £ < G(tQ,Zo,no). Согласно теореме 3.1, второй игрок сможет не допустить выполнения неравенства (4.1).

Рассмотрим оптимизационную задачу (4.3) при \(zq) — 0.

СЛЕДСТВИЕ 4.1. Если цо < M(to,s,0), то из любого начального состояния ¿Oi ¿о^Мо первый игрок не сможет осуществить неравенство (4.1).

Доказательство. Так как AUo) > 0» то из (4-3) и (4.4) следует, что /¿о < Л/(iо,,0) < M(t0.£,A(z0)). Отсюда и из предыдущей теоремы получим следовие 4.1.

Рассмотрим более подробно задачу (4.3).

ЛЕММА 4.1. Пусть заданы числа t\ < <2 ü; Р и с € R- Решение ipo(') £ Lm[ti,t2] задачи

Г >pm(t)dl -> min, с - 1*2 а{ r)<p( r)dr < 0, <p{t) > 0 (4.6) Jti Jti

задается формулой

1 u 1

Доказательство. Если с < 0, то связь в (4.6) выполняется для любой функции <p(t) > 0. Поэтому решением будет являться нулевая функция. Следовательно, формула (4.7) верна.

Пусть с > 0. Для функции (4.7) имеем

/'2 с fb i с- a(r)<p0(r)dr = с - - - / a{r)dr = 0,

Jt\ J^ а (гjdv Jt\

\ то

[ m С I с

С другой стороны, для любой функции f(t), удовлетворяющей ограничениям (4.6), имеем

/<2 / /-Î2 , \ V / /><2 \ 1/т

с< a(r)<p(r)dr< / a'(i)di) ■ / /"(ШЛ

Jti \Jtl J \Jii

Отсюда получим, что

*m{t)dt > f2 ip™(t)dt.

Jt i

Î2

¿1

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть

/ 6(г)йг-£<0. (4.8)

Тогда решение задачи (4.3) задается формулой

= ГР тах{0; А(^0) + / 6(г)«гг--е}. (4.9)

Н0 а \г)аг ^о

Доказательство. Из неравенства (4.8) следует, что для любой функции у?(г) выполнено ограничение /\{<р(')) в задаче (4.3). Остается ограничение ¡2(у>(')) - ? ~ А(г0) Применяя лемму 4.1, получим формулу (4.9).

Пусть неравенство (4.8) не выполнено. Тогда существует такое число ¿(г), что

ГР ГР

J Ь(1)аг-е > 0 при ¿о < I < *(£); I ^ < 0 при £(5) < / < р. (4.10)

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть существуют число и > 0 и неубывающая на отрезке [¿о,р\ функция ф(1) такие, что ф(1 о) = 0 ч

I" ^(г) - с'(г) ^ < ^ *о < * < р, (4.11)

I" (^Ь(г)-а1(г) ^/г + А(г0)<£, (4.12)

£ф(г) ^¿г = ф(р)е, (4.13)

(6(г) ~ а'(г) )йг + лы ~£) = (4'14)

Тогда функция

М*) = + т)) (4Л5)

является решением задачи (4.3).

Доказательство. Запишем функцию Лагранжа

£(¥>(•)) = + М*) + - а(*М*))Л - + к^о) - е).

Jt0

Минимум этой функции по всем функциям у?(-) 6 Ьт^0,р], кр(1) > 0 достигается на функции (4.15). Согласно равенствам (4.11) и (4.12), функция (4.15) удовлетворяет связям в задаче (4.3). Возьмем любую функцию удовлетворяющую связям в задаче (4.3). Используя формулу интегрирова ния по частям в интехрале Стилтьеса [9], будем иметь

ГР

/ ф(г)(Ь(г) - а(г)(р(г))с1г - ф(р)е =

= Г{Г(Ь(г)- а{г)^(г))дг ~ е)йф(1) < 0.

Н

Следовательно,

Г *?(г)(1г = ЦМ-)) < Ц*(-)) < Г ~рт{г)(1г.

Jt0 Jt0

Это неравенство доказывает теорему.

ГЕОРЕМА 4.4. Существуют число V > 0 и неубывающая на отрезке [£0, />] функция ф{1) такие, что фЦо) = 0, и выполнены условия (4.11), (4.12), (4.13), (4.14).

Доказательство. Будем рассматривать последовательность разбиений

диаметры которых стремятся к нулю. Предположим, что каждая точка разбиения и>п является точкой разбиения шп+1.

26 С Р Алеева , В.И Ухоботов

Рассмотрим оптимизационную задачу

Г 4>n(t))dt - min, ip(t) > 0, у>(.) G Lm[t0,p],

Jto

JJnj(b(t)~a(t)<p(t))dt-£<0, г = 0,...,кп, (4.16)

V(b(t) - a(t)(p(t))dt -e + \(z0) < 0.

io

Эта задача имеет решение, которое мы обозначим Зафиксируем чис-

ла и[п\ и составим функцию Лагранжа для задачи (4.16)

L(<p(')) = Лп) Г <pn(t)di + Гт - a(t)<p{t))dt -

Jto Jto

-е + А(*0)) + - a(t)f(t))dt - e). (4.17)

Введем в рассмотрение функцию

(w+■ ■ ■+»g ,t]<t<P

in) ,(«) ^ t s An)

V,

4>n{t) = <

0

(4.18)

4П) , iU) < * < i(in)

0 f0 = t.

То1да

E^n)(jJn)(b(t)-a(tMt))dt~e) =

>—0

= Г мта)-а(1)<р{г)№-фп(р)е. (1.19)

Ьо

С помощью эюго равенства выделим в функции Лагранжа (4.17) слагаемое, содержащее функцию <р{1):

Гип)<рт№ - а(*)(г» + ФМ))А1))<И. (4.20)

Jto

Задача (4.16) является задачей выпуклого программирования. По теореме Куна - Таккера [10] существует ненулевой набор чисел

^>0, !/<") >0,...,411) > 0 (4.21)

ОДНОТИПНАЯ ИГРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ПЕРВОГО ИГРОКА 27 такой, что выполнены условия дополняющей нежесткости

p(n]{J\b{t) - a(t)<pn(t))dt - £ + А (го) = 0, (4.22)

Л / Ш - <t)4>n(t))dt - е) = 0, г' = 0,..., кп (4.23)

Jto

и условие минимума функции Латранжа

L(<pn(-)) < 1>Ш) Mt) > 0.

Минимизируя по ip(t) > 0 подынтегральное выражение в (4.20), находим, что

^Wr1« = + Фп№ (4.24)

Допустим, что и\ ' = 0. Так как функция a(t) может обращаться в нуль только на множестве меры нуль, то из формул (4.18), (4.21), (4.24) получим, что все числа (4.21) равны нулю. Этого быть не может. Положим v^ — 1. Тогда из формулы (4.24) получим

+ 1 (4.25)

Покажем, что + фп(р) > 0. Допустим, что рассматриваемая сумма равна нулю. Тогда из формул (4.18) и (4.21) следует, что v^ + фп(1) = 0 при to < t < р. Следовательно, <pn(t) = 0 при to < t < р. Подставим эту функцию в последнюю связь (4.16). Получим неравенство, которое противоречит (4.10). Из доказанного неравенства и из формулы (4.18) вытекает, что и+ *pn(t) > 0 при 4Л) < t < V- Следовательно, учитывая определение

числа t(e) (4.10), получим, что р

J (b(r) - a(r)<pn(r))dr - е < 0 при t(e) < t < р.

Зафиксируем число г £ (t(e),p). Тогда из условия дополняющей nein)

жесткости (4.23) следует, что v\■ ' = 0 для номеров г — j,j + l,...,fc„, где t(s) < < т < Поэтому из формулы (4.18) получим, что

ipn(t) = фп(р) при г < t < р. Следовательно, учитывая формулу (4.25), будем иметь

(г-р) (~П) +Jn(P}) [¿(m < jt\n(t)dt < M(to,£, А(г0)).

28 С.Р. Алеева , В.И. Ухоботов

Здесь учтено, что оптимальное значение целевого функционала в задаче (4.16) не превосходит оптимального значения целевого функционала в задаче (4.3). Из предыдущего неравенства получим, что, начиная с какого-то номера, все числа и фп(р) ограничены сверху одним и тем же числом. Согласно второй теореме Хелли [11], из последовательности функций $n{t) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в каждой точке отрезка [ichi>] к некоторой функции ip(t). Из ограниченности последовательности чисел г/™) следует, что из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Не вводя новых обозначений, считаем, что

lim фМ) = фП); lim i» = и. (4.26)

п—► оо п—wo

Отметим, что ф(Ь) не убывает, ф(^) и число v > 0. Из формулы (4.25) следует, что

lim *>„(*) = <p.(t) = (^-{v + фЦ))) (4.27)

п-*оо \ т /

Последовательность функций

ограничена суммируемой на отрезке [¿о,р] функцией Lal(t), где L - некоторое число.

Применяя к неравенствам (4.16) теорему Лебега [11] и учитывая, что диаметр разбиений oj„ стремится к нулю, получим, что предельная функция (4.27) удовлетворяет связям в задаче (4.3). Следовательно, функция фЦ) и число v (4.26) удовлетворяют неравенствам (4.11) и (4.12). Перейдем к пределу в равенстве (4.22). Получим для функции ф^) и числа и (4.26) равенство (4.14). Просуммируем равенства (4.23). Тогда, согласно формуле (4.19), получим, что

Г фпУ)(Ь(г) - a(r)ifn(i))dt - фп(р)е = 0. Jt0

Перейдем в этом равенстве к пределу. Получим, что функция Ф(1) (4.26) удовлетворяет равенству (4.13). Таким образом, теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ 4.2. Пусть начальное состояние таково, что

% b^dr + - £ > max JT b(r)dr + X(z0) - е

ftPoa!(r)dr ~ь<г<Ц<) ftpa<(r)dr ■ [4-2b)

Тогда решением задачи (4.3) является функция (4.9).

Доказательство. Положим ip(t) — 0 при to < t < р, ь, в качестве числа (v/m)1"1 возьмем выражение, стоящее в левой части неравенства (4.28). Тогда все условия в теореме 4.3 будут выполнены. Из формулы (4.15) получим формулу (4.9).

Список литературы

1. Красовский H. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры М.:

Наука. 1974. 456 с.

2. Айзеке Р. Дифференциальные игры М.- Мир, 1967. 479 с.

3. Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. Новая серия. 1980. Т.112, вып.З. С.307 - 330.

4. Ухоботов В. И. Область безразличия в однотипных дифференциальных играх удержания на ограниченном промежутке времени '/ ПММ. 1994. Т.58, вып.6.

С.55 - 60.

5. Ухоботов В. И. Однотипная линейная игра со смешанными ограничениями на управления // ПММ. 1987. Т.51, вып.2. С.179 - 185.

6. Ухоботов В. И. Метод одномерного проектирования в линейной игре с интегральными ограничениями и однотипные игры // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1994. N 3. С.192 - 199

7. Субботин А. И., Ушаков В. Н. Альтернатива для дифференциальной игры сближения - уклонения при интегральных ограничениях на управления игроков // ПММ. 1975 Т 39, вып.З. С.387 - 396.

8. Люстерник А. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа M : Наука, 1965. 520 с.

9. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу М.: Мир, 1979. 289 с.

10. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория эьстремальных задач М.: Наука, 1974. 480 с.

11. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1972. 496 с.

SUMMARY

The differential games of the same typp are considered. Vectogram of the second player is assigned by symmetric compact set. This set is homothetic expanded one. Integral restriction is laid on choice of control parameter of the first, player by means of Minkowski's function. The playoff is value of this Minkowski's function on phase point in given instant.