CC BY
7
Известия Института математики и информатики УдГУ
2016. Вып. 2 (48)
УДК 517.977, 519.837.3 © Д. А. Серков, А. Г. Ченцов
РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПРОГРАММНЫХ ИТЕРАЦИЙ В ПАКЕТАХ ПРОСТРАНСТВ
Рассматриваемая игровая задача удержания (в случае ограниченного промежутка управления) является частным случаем задачи сближения при наличии фазовых ограничений с гиперплоскостью, отвечающей терминальному моменту времени (вместе с тем задача удержания с бесконечном горизонтом также вкладывается в предлагаемую постановку). Решение задачи удержания определяется в классе многозначных квазистратегий (неупреждающих откликов на реализации неопределенных факторов процесса). Основным отличием от ранее рассмотренных постановок задачи является возможность вариации пространства траекторий системы и пространства реализаций неопределенных факторов в зависимости от начального момента управления. Показано, что множество начальных позиций, для которых задача не разрешима, есть операторно-выпуклая оболочка пустого множества, построенная на основе оператора программного поглощения. При дополнительных условиях согласованности (пространства траекторий системы и пространства реализаций помехи в различные моменты времени) показано, что множество успешной разрешимости задачи удержания определяется в виде предела итерационной процедуры на пространстве множеств, элементами которых являются позиции игры, а также установлена структура разрешающих квазистратегий.
Ключевые слова: программные итерации, операторная выпуклость, квазистратегии, пакеты пространств.
Введение
Метод программных итераций (MIHI) применяется для решения дифференциальных игр (ДИ) в трех вариантах: построение множества позиционного поглощения (MIHI), цены игры и многозначных квазистратегий управления. В настоящей статье обсуждается абстрактный аналог первого варианта, связанного с решением ДИ сближения-уклонения [1,2] на конечном промежутке времени. Установленная H.H. Красовским и А. И. Субботиным теорема об альтернативе [1,2] определила дальнейшее развитие теории ДИ (существенное обобщение данной теоремы было получено A.B. Кряжимским [3] в виде решения ДИ для систем, удовлетворяющих условию обобщенной единственности). Важным частным случаем ДИ является игра удержания в множестве позиций, сечения которого реализуют фазовые ограничения. Само MIHI есть в данном случае множество успешной разрешимости задачи удержания. Отметим некоторые исследования по МИН: см. [4-7]. В настоящей работе мы ориентируемся на процедуру [5] построения MIHI в ДИ сближения-уклонения и, в частности, в задаче удержания. В связи с последней отметим работы [8-11] (в [10] рассматривалась игра удержания на бесконечном промежутке времени, такая возможность допускалась и в [11]). Задача удержания возникает в приложениях и играет роль важного элемента решения игры сближения-уклонения в виде требования о сохранении траекторий управляемой системы в пределах стабильного моста H.H. Красовского [12, §39]. Применяемый в упомянутых работах подход на основе МИН связывался в [4,5,11] с решением ДИ в классе многозначных обобщенных квазистратегий. Отмечалась связь MIHI и аксиоматической теории выпуклости [13]: итерационная процедура [14], двойственная к MIHI, допускает естественное толкование в виде предоболочки [13]. Упомянутая связь исследовалась в [14] для «обычных» ДИ.
В настоящем исследовании подход [14] распространяется (см. также [15]) на задачи с абстрактной динамикой: на базе схемы [11] для задачи удержания траекторий в фазовых ограничениях конструируется как прямая, так и двойственная итерационная процедура на пространстве множеств; последняя сводится к построению операторно-выпуклой оболочки пустого множества посредством последовательного применения предоболочки. Основным отличием данной работы от [15] является возможная несогласованость пространств траекторий «системы» и реализаций неопределенных факторов для различных «промежутков» времени. Требование согласованности возникает только при построении множества успешной разрешимости задачи удержания в классе квазистратегий. Итогом применения процедуры на основе MIHI является построение данного множества, причем «промежуток» управления не предполагается конечным. Результаты данной работы были анонсированы в [16].
§ 1. Общие понятия
Обозначения и определения общего характера. В дальнейшем используется теоретико-множественная символика (кванторы, пропозициональные связки, 0 — пустое множество); = — равенство по определению; ёе£ заменяет фразу «по определению». Принимаем аксиому выбора. Семейством называем множество, все элементы которого — множества. Если Я — семейство подмножеств (п/м) множества Ъ, то обозначим Съ[2] двойственное к нему семейство:
Съ[Я] 4 {Ъ \ Z: Z еЯ].
Через Р(Т) (через Р'(Т)) условимся обозначать семейство всех (всех непустых) п/м произвольного множества Т; семейство Р(Т) именуем также булеаном множества Т; при этом через Еш(Т) обозначим семейство всех конечных множеств из Р(Т). Если А и В — непустые множества, то ВА есть ёе£ множество всех отображений из множества А в множество В (см. [17, с. 77]). Если при этом / е ВА и С е Р'(А), то (/ | С) е Вс есть ёе£ сужение / на множество С: (/ I С)(х) 4 /(х) Ух е С. В случае когда F е Р'(ВА), полагаем | С) 4 {(/ | С): / е F]. Если г есть упорядоченная пара (УП), то есть г = (а, Ъ) для некоторых объектов а и Ъ, то через рг! (г) и рг2(г) обозначаем соответственно первый и второй элементы г, однозначно определяемые условием г = (рг1 (г), рг2(г)); при этом ясно, что р^(г) = а и рг2(г) = Ъ.
Назовем частично упорядоченное множество направленным, если каждое конечное его подмножество имеет мажоранту. Если (Ь, А), (Ы, <) суть непустые направленные множества, то
(ЪоЬ)[Ц А; N; <] 4 {д е Nь | (Уп е N 31 е Ь: п< д(1)) &
&(У1 е Ь У1' е Ь (1А1') ^ (д(1) < д(1')))].
При этом множество М е ) назовем конфинальным направленному множеству (Ы, <), если Уп е N 3т е М такой, что п < т.
Пусть N 4 {1;2;...] и N0 4 {0] и N (тогда N0 = {0; 1; 2;...])', кроме того, обозначим гп-о& 4 ^ е N | з ^ т]Ут е
Если Н — непустое множество и а е Нн, то последовательность
(ак)кто : N0 о Нн (1.1)
(степеней а) определяется следующими условиями: 1) а0(Ь) 4 Ь УН е Н; 2) ак 4 а о ак-1 Ук е N. В четности, (1.1) определено в случае, когда Н — семейство (множеств). В этом случае введем также понятие бесконечной (точнее, счетной) степени, следуя [11, раздел 2]: если £ — непустое семейство, а е ££, то ае Р(ине£Н)£ таково, что
а (М) 4 р| ак(М) УМ е £. (1.2)
кем0
Отметим, что для всяких множества Е, последовательности (Аг)гек е Р(Еи А е Р(Е), как обычно,
((Аг)г& I А) ^ ((А = р| Аг)&А+1 с Аз Уз е N)). (1.3)
¿ем
В связи с (1.3) отметим очевидное свойство: если £ — непустое подсемейство Р(Е), а е ££ и а(Ь) с Ь УЬ е £, то для М е £ имеем (ак(М))кеы0 е £Ко и при этом множество а (М) (см. (1.2)) удовлетворяет соотношению (ак(М))ке!ч (М).
Элементы топологии. Если Н — множество, то через (Чор)[Н] условимся обозначать множество всех топологий на множестве Н; при т е ^ор)[Н] в гаде (Н, т) мы имеем топологическое пространство (ТП). Если (У,т) — ТП и Z е Р(У), то т^ 4 {Z П С : С е т] есть топология Z, реализующая в виде ТП ^,т^) подпространство (У,т); кроме того, будем обозначать о\^,т) замыкание Z в (У,т). Если (Z,т) и ^' ,т') суть ТП, то через т ® т' обозначаем далее стандартную топологию произведения (^,т) и ,т') (см., например, [18, п. 2.3]), базу которой
составляют всевозможные прямоугольники О х С, О € т, О' € тЕсли (V, т) — произвольное ТП и V € V, то через Nr(у) ниже обозначается фильтр всех окрестностей V [19, гл. I]. В дальнейшем, в ряде случаев, будет использоваться вариант оснащения множества (метризуемой) дискретной топологией, отождествляемой с булеаном соответствующего множества.
Пространства с выпуклостью. Пространства с выпуклостью соответствуют оснащению того или иного непустого множества специальным семейством его подмножеств (см. [13, с. 9]), что на идейном уровне подобно оснащению топологией. Разумеется, обычная выпуклость, реализуемая в линейных пространствах, «укладывается» в аксиоматическую конструкцию [13]. Другой естественный пример доставляет семейство замкнутых множеств в ТП, то есть замкнутая топология в терминологии П. С. Александрова [20, с. 98]. Известны и другие примеры. Весьма важными элементами аксиоматической теории выпуклости представляются понятия выпуклой оболочки, а также предоболочки. Оказалось [14], что схема на основе ГЧ (1111 исчерпывающим образом характеризуется двойственной процедурой на основе варианта предоболочки для так называемой операторной выпуклости (см. [13, с. 11])- По существу, конструкцию на основе ГЧ (1111 можно (и в [14] это было сделано для случая нелинейной дифференциальной игры общего вида) истолковать в терминах предоболочки и на этой основе реализовать одно из множеств, отвечающих альтернативному разбиению в игре сближения-уклонения, в виде выпуклой оболочки пустого множества. В данной работе это представление распространяется на случай игровой задачи удержания для системы с абстрактной динамикой.
Напомним (см. [13, с. 9]), что выпуклостью произвольного непустого множества Н называется всякое семейство Н € Р'(Р(Н)), для которого
(Н € Н)&( р| Н € Н УС € У(Н)).
н ее
Через (С01МУ)[Н] обозначим множество всех выпуклостей Н, то есть
(сотощ = {Н € У(У(Н)) | (н € Н)&( р| н € н Уе € У(Н))}. (1.4)
н ее
Если Н € (С01МУ)[Н], то всякому множеству Б € Р(Н) сопоставляется непустое (см. (1.4)) семейство [Н](Б) = {Н € Н | Б С Н} всех множеств из Н, содержащих Б, а стало быть, определено пересечение
(Н-Ьи 11)[Б] = р| Н € У(Н), (1.5)
не^Кй1)
которое: 1) содержится в Н; 2) содержит Б. Множество в левой части (1.5) будем называть Н-выпуклой оболочкой Б. Ясно, что
(Н-Ьи 11)[Б] С Л УЛ € [Н](Б).
Если О € Р'(Р(Н)) и 3 € Р(Н)°, то определена соответствующая 3-операторная выпуклость Н
(3-сопу)[Н] = {А € У(Н) 1УВ € О (В С А) ^ (3(В) С А)}; (1.6)
согласно [13, теорема 1.3] (3-сопу)[Н] € (С01ЧУ)[Н] (семейство О есть область определения 3 и, следовательно, определяется по 3 однозначно).
Следуя [13, с. 12], введем понятие (выпуклой) предоболочки, определяя множество
(р-НиЬЬ)[Н] й {д € Р(Н)р(Н) | (Е С д(Е) УЕ € У(Н)) &
&(УЕ € У(Н) УЕ1 € У(Н) (Е С Е') ^ (д(Е) С д(Е')))}; (1.7)
Н
Определение (1.6) применимо, в частности, в случае, когда О = Р(Н) и 3 € (р-НиЬЬ)[Н]. Согласно [13, лемма 1.1] в этом случае
(3-сопу)[Н] = {А € У(Н) | А = 3(А)} У3 € (р-НиЬЬ)[Н]. (1.8)
Абстрактная динамическая система. Всюду в дальнейшем фиксируем непустое п/м I вещественной прямой R в качестве аналога временного интервала и непустое множество X, соответствующее фазовому пространству. Полагаем D = I х X, получая пространство позиций. Если t £ I, то введем It = {{ £ I | £ ^ t} и It = {{ £ I | £ ^ t}. Если t £ I и в £ It, то полагаем,
(0) А
что ) = I$ П It. Если L — непустое множество, то определен булеан P(I х L) непустого множества I х L и, как следствие, Llt £ P'(P'(I х L)) (мы отождествляем отображения из It в L с их графиками, получая при этом непустые п/м I х L). С учетом сказанного имеем семейство Uter Llt и его булеан. Итак, определено семейство P'(Ut^ILlt) = P(Ut^iLlt) \ {0}; с учетом последнего равенства имеем при в £ I, что P'(Ut^iLlt) ПP'(L1) = P'(Lle). Иными словами, для непустого множества L определено отображение в ^ L1: I ^ P'(Ut^iLlt), а потому имеем
(Pack)[L] = П P'(Lle )■ eei
Фиксируем произвольное непустое множество Y и выберем (непустые по построению) множества (Ct)teI £ (Pack)[X] и (Üt)teI £ (Pack)[Y]. Тогда имеем при t £ I свойства
Ct £ P'(XIt), Üt £ P'(Yl); (1.9)
в частности, Ct С Xlt, Üt С Ylt.
It X Ct
моментом t £ I. Элементы ш £ Üt рассматриваем в качестве реализаций неопределенных
It
(St)tei £ П P'(Ct)XxQt • (1.Ю)
ta
Из (1.10) следует, конечно, что при t £ I St : X х Üt ^ P'(Ct); для данного оператора определены сечения: при x £ X определено отображение St(x, ■) вида ш ^ St(x,w) : Üt ^ P'(Ct) Поскольку при z £ D v нас prj (z) £ I и pr2 (z) £ X, то определены также множества
§(г,ш) = Sprx(z) (Pr2(z), £ P'(Cpr1(z)) Уш £ Üpr1 (z^
Стало быть, мы при t £ I, x £ X и ш £ Üt располагаем множеством
S((t,x),u) £ P'(Ct). (1.11)
Если z £ D (то есть z = (t,x), где t £ I и x £ X)иш £ Üpri(z), то 8^,ш) £ P'(Cpri(z)) есть
z
ш ш Ipr1(z)
В этой связи введем при t £ I в рассмотрение множество Mt = P(Ct)Qt всех мультифунк-ций (м/ф) на Üt со значениями в Ct: а(ш) С Ct при ш £ Üt, а £ Mt.
Если t £ I и а £ Mt, то называем м/ф а неупреждающей, если Уш £ Üt Уш' £ Üt У£ £ It:
((ш I if)) = ((и/ I I(?))) ^ ((а(ш) I ф) = (а(ш') I I(?)))• (1.12)
Мы полагаем, что управляющая сторона может использовать для целей формирования траекторий непустозначные м/ф из Mt со свойством (1.12). В связи с этим полагаем при (t, x) £ D,
M(tx) = {a £ П P'(S((t,x)^)) I Уш £ Üt Уш' £ Üt У£ £ It
((ш I I(?)) = (ш I I(?))) ^ аа(ш) I if) = (а(ш') I I(?)))}• (1.13)
Следовательно, при z £ D определено множество мультифункций Mz. Элементы (1.13) рассматриваем в качестве допустимых процедур управления — (многозначных) квазистратегий,
отвечающих позиции (t,x). Имея ту или иную цель управления, мы будем считать ее достижимой для заданной позиции (t,x) G D, если существует квазистратегия ао G M(t;^), для которой требуемая цель достигается на каждой траектории из объединения всех множеств ао (ш), ш G Q.t.
Всюду в дальнейшем фиксируем топологию т множества X; постулируем при этом, что (X, т) есть Тг-пространство.
Условимся через F обозначать семейство всех п/м X, замкнутых в (X, т). Оснащаем D топологией D определяемой в виде произведения топологий P(I) (дискретная топология I) и т: (D, D) есть произведение ТП (I, P(I)) и (X, т). Условимся также, что
H {t} = {x G X | (t,x) G H} У H G P(D) yt G I (1.14)
D
том (1.14) имеем, кроме того, при H G P(D)
H = {(t, x) G D I x G H{t}}. (1.15)
Используя (1.14) и определение D легко видеть, что семейство F всех п/м D, замкнутых в ТП (D, D), допускает представление
F = {F G P(D) | F {t} G F yt G I} (1.16)
FD
Если (Hi)ieN G P(D)n и H g P(D), to (Hi)ieN l H в соответствии с (1.3) равносильно условиям
(H = f| Hi)&(Hj+1 С Hj yj G N).
ieN
При каждом t G I оснащаем множество X1 всех отображений из It в X стандартной топологией (т) тихоновской степени ТП (X, т) при условии, что It используется в качестве индексного множества. Тогда
(XIt , (т)) (1.17)
есть Тг-пространство; с учетом (1.9) на непустом множестве Ct введем топологию Ct подпространства ТП (1.17), т.е.
C = (т)|ct = {Ct n G : G G ®It(т)}, получая, как следствие, Тг-пространство
(Ct, Ct). (1.18)
Ct
t G I введем семейства Ft = Cct [Ct^ и Kt = (Ct-comp)[Ct] всех п/м Ct, замкнутых и компактных в смысле (1.18) соответственно. В связи с определением Kt отметим представление [21, (2.3.23)].
§ 2. Оператор программного поглощения
При H G P(D), z G D и ш G ^pri(.) полагаем, что
П(ш | z,H) â {s g S(z,w) I (C,s(C)) G H УС G Ipr1(.)}. (2.1)
С учетом (1.15) выражение (2.1) можно переписать следующим образом: при z = (t,x), где t G I x G X
П(ш | (t,x),H) â {s g S((t,x),w) | s(C) G H {С} У С G It}. (2.2)
Мы рассматриваем (2.2) как естественную модификацию (2.1). Нетрудно проверить, что для любых (t,x) G D, ш G Qt и H G P(D) выполняются равенства
П(ш | (t, x),H) = П(ш | (t, x), H П (It x X)). (2.3)
В терминах (2.1) введем оператор программного поглощения (ОПП):
А: 9(Б) о Р(Б), (2.4)
а именно, полагаем, что УН е 9 (Б)
А(Н) 4 {г е Н | П(ш | г, Н) = 0 Уш е ПрГ1(г)]. (2.5)
Следуя (2.2), выражение (2.5) можно представить в виде
А(Н) 4 {(г, х) е Н | П(ш | (г, х),Н) = 0 Уш е П4] УН е 9 (Б). (2.6)
Заметим, что согласно (1.14), (2.4) при Н е 9(Б) и г е I определено сечение
А(Н)(г) = {х е X | (г,х) е А(Н)] е 9(х). Л е м м а 2.1. Если Н е 9(Б) и г е I, то
А(Н)(г) = {х е Н(г) | П(ш | (г,х),Н) = 0 Уш е Доказательство следует сразу из (2.6).
Мы рассматриваем (2.4), (2.5) как своеобразный игровой оператор, который, однако, можно связать с системой неигровых отображений: если г е I, ш е П^ то итератор Аш [г] : 9(Б) о 9(Х) определяется тем условием, что
Аш[г](Н) 4 {х е Н(г)|П(ш | (г,х),Н) = 0] УН е 9(Б). (2.7)
В силу (2.3) для всех г е I, ш е П^ и Н е 9(Б) имеем равенства
лш[г](Н) = к[г](Н п (ъ х х)). (2.8)
Связь ОПП и системы Аш[г], г е I, ш е П, определяемой в (2.7), дается следующими утверждениями.
Предложение 2.1. Если г е I и Н е 9(Б), то
А(Н)(г) = р Аш[г](Н). (2.9)
Следствие 2.1. Если Н е 9 (Б), то А(Н) = {(г,х) е Н | х е Пшеп4 Аш Щ(Н)].
Для г е I, ш е П обозначим Г(ш) 4 {(х,Ь) е X х С | Ь е §((г,х),ш)]. Из данного определения следует, что при всех г е I, ш е П^ и х е X имеет место равенство
§((г,х),ш) = {Ь е С1 (х, Ь) е Г(ш)}. (2.10)
Введем
(Ак)кено : N0 о 9(Б)Р(П) (2.11)
традиционным образом:
(А0(Н) 4 Н УН е 9(Б))&(Ак+1 4 А о Ак Ук е N). (2.12)
оо
Теперь введем также в рассмотрение оператор А: 9(Б) о 9(Б), полагая, что
оо
А(Н) = р| Ак(Н) УН е 9(Б). (2.13)
кеНо
Предложение 2.2. Если Е € 9(0), т о У И € 9(Е)
те
(И = А(И)) ^ (И С А(Е)). (2.14)
Доказательство. Фиксируем Е € Р(О) и И € 9(Е). Тогда И € 9(0). Пусть И = А(И)
И С А0(Е). (2.15)
Пусть вообще т € N0 таково, что И С Ат(Е). Тогда из (2.1), (2.5) вытекает (см. (2.12)), что
И = А(И) С А(Ат(Е)) = Ат+1(Е).
Итак, имеем, что (И С Ат(Е)) ^ (И С Ат+1 (Е)). Поскольку выбор т € N0 был произвольным, получаем с учетом (2.15), что И С Ак(Е) Ук € N0. Тогда (см. (2.13)) имеем вложение
те
И С А(Е). Импликация (2.14) установлена.
Условие 2.1 (замкнутость образа). Если Ь € I, х € X и ш € П4, то §((£, х),ш) €
Условие 2.2 (замкнутость графика). Если Ь € I и ш € то Г4(ш) € Сххс4[т & С^].
Условие 2.3 (Предкомпактность множеств-значений). Если Ь € I, х € X и ш € то ЗИ € Nr (х) ЗК € % §((Ь,у),ш) С К У у € И.
Предложение 2.3. Из условия 2.2 следует условие 2.1.
Доказательство. Пусть выполнено условие 2.2. Фиксируем Ь € I, х € Хиш € Воспользуемся теоремой Биркгофа. Пусть (Е, 4,ф) ?: Е н §((Ь,х),ш) — направленность в 3((Ь, х),ш), и пусть
(Е, К. (2.16)
Определим отображение ф: Е н-> О х вид а ф(5) = (х,ф(5)) У 5 € Е. Тогда, в силу определения Г^(ш), имеем ф(5) € Г^(ш) У5 € Е (напомним, что ф(е) € §((£, х),ш) при е € Е). Таким образом, (Е, 4,ф) есть направленность в Г^(ш). Из (2.16) легко получим, что
(Е, 4,ф) ^ (х,Н*). (2.17)
По условию 2.2, множество Г^(ш) замкнуто в (X х С^,т & С)- Тогда, по теореме Биркгофа, из (2.17) следует включение (х,Н*) € Г^(ш). Из этого включения получаем (см. (2.10)) К* € В((Ь, х),ш). Так как направленность (Е, 4,ф) была выбрана произвольно, из теоремы Биркгофа следует включение $((Ь,х),ш) € В силу произвольного выбора Ь € I, х € X и ш € П выполняется условие 2.1. Доказательство завершено.
Предложение 2.4. Пусть выполнены условия 2.2 и 2.3. Тогда для, любых Ь € I, ш € П и Е € Е выполняется
К[Ь](Е) € (2.18)
Доказательство. Фиксируем Ь* € I, ш € П^ и Е € Е. Тогда из (1.16) следует, в частности, что Е(Ь*) € При этом
Аш[Ь*](Е) = {х € Е(Ь*) | П(ш | (Ь*,х),Е) = 0}. (2.19)
Заметим, что
Лш[Ь*](Е) С с1(Лш[Ь*](Е),т). (2.20)
Выберем произвольно х* € с1(Лш[Ь*](Е),т). Тогда, то теореме Биркгофа, имеем, что х* € X, и для некоторой направленности (Б, 4, К) в Аш[Ь*](Е) имеет место сходимость
(Б, 4, К) Л х*. (2.21)
Здесь (Б, 4) ^ (непустое) направленное мн ожество и Ь е Аш ). Тогда
Ь(5) е Аш[и]^) У5 е Б. (2.22)
Из (2.19), (2.22) имеем, в частности, что
Ь(5) е F(г*) У5 е Б. (2.23)
Из (1.14), (2.23) следует Ь(5) е X У5 е Б. Тогда, в четности, имеем, что (Б, Ь) есть направленность в F(г,) и х* е X. Из (2.21), поскольку F(г*) е следует, что
х* е F(г*). (2.24)
Кроме того, из (2.19), (2.22) вытекает, что
П(ш | (г*,Ь(5)), F) = 0 У5 е Б. (2.25)
Напомним, что согласно (2.1) У5 е Б
п(ш | (г*,Ь(5))^) = {в е т*,Ь(5)),ш) | (г,в(г)) е F Уг е ], (2.26)
п(ш | (г*,х*), F) = {в е §((г*,х*),ш) | (г, в(г)) е F Уг е ъ,]. (2.27) С учетом условия 2.3 можно указать Н* е Nr(х*) и К* е К, для которых
§((г,,у),ш) с К* Уу е Н*. (2.28)
Тогда из (2.21) вытекает, что для некоторого 5* е Б имеет место свойство У5 е Б
(5* 4 5) ^ (Ь(5) е Н*). (2.29)
У5 е Б
(5* 4 5) ^ (§((г*,Ь(5)),ш) с К*). (2.30) У5 е Б
(5* 4 5) ^ (П(ш | (г*,Ь(5))^) е 9'(К*)). (2.31)
Введем в рассмотрение множество
Б* 4 {5 е Б | 5* 4 5] е У(Б). (2.32)
Б* (Б, 4)
У5 е Б 35' е Б* : 5 4 5'. (2.33)
Напомним, что (строго говоря) 4е 9(Б х Б) и в силу (2.33) бинарное отношение
□ 44 п(Б* х Б*) (2.34)
есть направление на Б*. Итак, (Б*, □) есть направленное множество, Б* = 0. При этом Ь 4 (Ь | Б*) е Аш[¿*]^)в*, в частности, Ь е Xв*. Тогда, конечно,
Ь(5)= Ь(5) У5 е Б*, (2.35)
У5 е Б* У5' е Б*
(5 □ 5') & (5 4 5'). (2.36)
Из (2.21) и (2.36) вытекает, что
(Б*, Ц, К) Л х*. (2.37)
Согласно (2.30), (2.32) и (2.35) §((Ь*,Ц5)),ш) С К* У5 € Б*. Из (2.31), (2.32) и (2.35) имеем также
П(ш | (Ь*, Н(5)), Е) € У (К*) У5 € Б*. (2.38)
По аксиоме выбора, имеем, что
П П(ш | (Ь*,Н(5)), Е) = {д € (С4* )Б* | д(5) € П(ш | (Ь*, Н(5)),Е) У5 € Б*} = 0. (2.39) геБ*
С учетом этого выберем произвольно ф € П¿ев П(ш | (Ь*, Н(5)),Е). Тогда имеем, что
ф : Б* н Си (2.40)
и при этом
ф(5) € П(ш | (Ь*,Н(5)),Е) У5 € Б*. (2.41)
Из (2.38) и (2.41) вытекает, что ф(5) € К* У5 € Б*. Иными словами, ф : Б* н-> К*, а триплет (Б*, Ц, ф) есть направленность в К*. Тогда [21, (2.3.23)] с учетом компактности К* в (С^, ) для некоторых непустого направленного множества (Е, —), оператора
р € (Ьо^[Е; —; Б*; Ц] (2.42)
и Л* € К*
(Е,-,ф о р) ^ Л*. (2.43) Кроме того, из (2.37) и (2.42) вытекает, что
(Е,— ,К о р) Л х*. (2.44)
Напомним (см. (2.24)), что (Ь*,х*) € Е. При этом имеем ТП (X х Сг*,т & ); вместе с тем Л* € С* (х*, Л*) € X х Сг* и ((К о р)(С), (ф о р)(С)) € X х Сг* УС € Е. Введем теперь в рассмотрение оператор ф: Ен X х Сг*, определяемый по правилу
ф(С) = ((К о р)(С), (ф о р)(С)) УС € Е. (2.45)
В силу условия 2.2 имеем
V 4 Гг*(ш) €Сх*си [т & Сг*]. (2.46)
Учитывая (2.26), (2.32) и (2.35), получаем, что
П(ш | (Ь*,К(5)), Е) С ЩЬ*,К(5)),ш) У5 € Б*. (2.47)
В частности, из (2.47) вытекает, что
П(ш | (Ь*, (Л о р)(С)),Е) С В((Ь*, (Л о р)(С)),ш) УС € Е. (2.48)
фр
РГ2(Ф(С)) = (ф о р)(С) € 8((Ь*, (К о р)(С)),ш) УС € Е. (2.49)
Из (2.10), (2.45), (2.46) и (2.49) получаем, что ф(С) € V УС € Е. Иными словами,
ф : Ен V. (2.50)
Итак, имеем направленность (Е, —, ф) в подмножестве V. Из (2.43), (2.44), (2.45) вытекает, что (по определению топологии произведения) имеет место [18, п. 2.3.34] сходимость
(Е, —,ф) Г^* (х*,Л*).
С учетом (2.46) и того, что (2.50) определяет направленность в У, следует
(х*,Л*) е У. (2.51)
Из (2.46), (2.51) получим
Л* е §((г*,х*),ш). (2.52)
Покажем, что
Л*(г) е F(г) Уг е . (2.53)
Для этого напомним, что (С^, ) есть подпространство (X, (т)), а потому в силу (2.43)
(г)
реализуется сходимость (Е, х,р о р) о Л*. Тогда, как следствие [18, п. 2.3.34],
(Е, х, (р о р)(.)(г)) о л*(г) Уг е I*,. (2.54)
Фиксируем г* е Тогда из (2.54) получаем
(Е, х, (р о р)(-)(г*)) о л*(г*). (2.55)
Напомним, что (см. (2.40)) р(5)(г*) е X У5 е Б*. Как следствие, имеем, что р(р(£))(г*) е X У£ е Е. Иными словами, (р о р)(£)(г*) е X У£ е Е. С учетом (2.26), (2.32), (2.39) и (2.41) получаем, что при 5 е Б* (г*,р(5)(г*)) е ^^ ^^^^ ^^^ то же самое, р(5)(г*) е F(г*). Как следствие (см. (2.42)), (р о р)(£)(г*) е F(г*) У£ е Е. Значит, (Е, х, (р о р)(-)(г*)) есть направленность в F(г*) для которой верно (2.55). Из (1.16) по выбору ^ и ^^ем F(г*) е Тогда из (2.55), по теореме Биркгофа, получаем свойство Л*(г*) е F(г*). Поскольку выбор г* был произвольным, установлено (2.53), а потому
(г,Л*(г)) е F Уг е 1и. (2.56)
Из (2.27), (2.52) и (2.56) вытекает, что Л* е П(ш | (г*,х*В частности,
П(ш | (г*,х*)^) = 0. (2.57)
Из (2.7), (2.24) и (2.57) получим х* е [ш](F). Следовательно, поскольку выбор х* был произвольным, установлено, что с1(А^ [ш](F),т) С [ш](F), откуда (см. (2.20)) имеем равенство А4, [ш]^) = с1(А4, [ш](F),т). Следовательно, А4, [ш](F) е Так как выбор г*, ш и F е Е был произвольным, получаем искомое соотношение (2.18). Доказательство завершено.
С учетом (2.9) и предложения 2.4, по аксиомам семейства замкнутых множеств, имеем
А^)(г)е$ УF е Е Уг е I. (2.58)
Из (1.16), (2.4) и (2.58) получаем
Следствие 2.2. Пусть выполнены условия 2.2 и 2.3. Тогда А^) е Е УF е Е.
Л е м м а 2.2. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для любых (г,х) е Б, ш е и F е Е множество П(ш | (г,х)^) з^кнуто в ТП (Сг, С)-
Доказательство. Фиксируем (г*,х*) е Б, ш е П4, и F е Е. Из (1.14) и (2.2) вытекает, что П(ш | (г*,х*)^) = {в е В((г*,х*),ш) | в(г) е F(г) Уг е ]. При этом F(г) е $ Уг е В силу условия 2.1
В((г*, х*),ш) е . (2.59)
t* •
А
Если t е It*, то отображение p[t]: Ct* ^ X гада <^[t](s) = s(t) непрерывно как отображение из (Ct*, Ct* ) в (X, т). Тогда
П(ш | (t*,x*),F)= S((U,x*),u)f] I р| p[t]-1(F(t))
\teiu
и, в силу непрерывности, ф[Ь] 1(Е(Ь)) € УЬ € Тогда, как следствие, по аксиомам семейства замкнутых множеств,
р| ф[Ь]-1(Е(Ь)) € . (2.60)
Из (2.59)-(2.60) вытекает, что
П(ш | (Ь*,х*),Е) € ¥и.
Последнее означает справедливость требуемого положения. Доказательство завершено.
В следующем утверждении обосновывается секвенциальная непрерывность семейства операторов Аш [Ь] при Ь € I, ш €
Предложение 2.5. Пусть выполнены условия 2.1 и 2.3. Тогда для любых (Ег)гем € Ем и Е € Р(О) истинна импликация
((Ег)геп I Е) ^ ((Аш[Ь](Ег))геп I Аш[Ь](Е) УЬ € I Уш € П4). (2.61)
Доказательство. Фиксируем (Ег )геМ € Ем и Е € Р(^), для которых (Ег )геМ X Е. По определению, получим, что
(Е,+1 С Е3 Уз € М)&(Е = р| Ег). (2.62)
гем
Из (2.62), по аксиомам семейства замкнутых множеств, следует, что
Е € Е. (2.63)
Пусть Ь* € I и ш € С учетом (2.7) получаем, что
Аш[Ь*](Ег) = {х € Ег(Ь*) | П(ш | (Ь*,х),Ег) = 0} Уг € М, (2.64)
Аш[Ь*](Е) 4 {х € Е(Ь*) | П(ш | (Ь*,х),Е) = 0}. (2.65) При этом из определения (Ег)гем условия 2.1 и (2.63), используя лемму 2.2, получим, что
П(ш | (Ь*,х),Ег) = {в € §((Ь*,х),ш) | в(Ь) € Ег(Ь) УЬ € 14* }€ Ух € X Уг € М, (2.66)
П(ш | (Ь*,х),Е) = {в € ЩЬ*,х),ш) | в(Ь) € Е(Ь)УЬ € 14*}€ Ух € X. (2.67) Из (2.62), (2.66), (2.67) вытекают следующие свойства:
П(ш | (Ь*,х),Ез+1) С П(ш | (Ь*,х),Ез) Ух € X Уз € М, (2.68)
П(ш | (Ь*,х),Е) С П(ш | (Ь*,х),Ег) Ух € X Уг € N. (2.69) В свою очередь, из (2.64), (2.65), (2.68) и (2.69) следует
Аш[Ь*](Е,-+1) С Аш[Ь*](Е3) Уз € М, (2.70)
Аш[Ь*](Е) С Аш[Ь*](Ег) Уг € N. (2.71) Как следствие из (2.71), получим, что
Аш[Ь*](Е) Ср| Аш[Ь*](Ег). (2.72)
гем
Покажем, что выполняется и обратное вложение
Р) Аш[Ь*](Ег) С Аш[Ь*](Е). (2.73) гем
В самом деле, пусть
х* ер| Аш[г*]^г). (2.74)
¿ем
Тогда согласно (2.64) имеем, в частности, х* е П^нFг(г*), а потому (г*,х*) е Fг Уг е N. С учетом (2.62) получаем, что (г*,х*) е F или (см. (1.14))
х* е F(г%).
Возвращаясь к (2.74), отметим с учетом (2.64), что
П(ш | (г*,х*)^з)= 0 У] е N. Согласно лемме 2.2 из определения ^г)ген имеем
П(ш | (г*,х*) е У] е N.
С учетом условия 2.3 выберем Н* е Nr(х*) и К* е такие, что
§((Ь*,у),ш) С К* У у е Н*.
х* е Н*
&((и,х*),ш) С К*.
Из (2.66), (2.79) вытекает, что
П(ш | (г*,х*)^з) с К* У] е N. С другой стороны, из (2.68) имеем
П(ш | (г*,х*)^1) с П(ш | (г*,х*) Ук е N У1 е к~о°.
(2.75)
(2.76)
(2.77)
(2.78)
(2.79)
(2.80) (2.81)
Из (2.76), (2.81) вытекает, что п = {П(ш | (г*,х*)^г) : г е N1 есть центрированное семейство замкнутых п/м К*. Вместе с тем в силу компактности К* в (Сг,, ) следует, что Си К* = {К* П О: О е Си } есть топология К*, превращающая К* в компактное ТП. С учетом [21, (2.3.12)] = {К* П Q : Q е } есть семейство всех п/м К*, замкнутых в (К*, )■
Из (2.77), (2.80) получаем П(ш | (г*,х*), Fj) е К* У] е N Значит, п с К* • Тогда п является центрированным семейством замкнутых множеств в компактном ТП (К*, К,) а потому имеет непустое пересечение. Выберем и зафиксируем
в* е Р) П(ш | (г*,х*), Fj).
jеN
Из (2.66) и (2.82) вытекает, что в*(г) е Fj(г) Уг е У] е N. Иными словами,
в*(г) ер Fj (г)
j еN
Ше I
и.
1и.
С учетом (2.83), (2.62) и (1.14) имеем, что
в*(г) е F(г) Уг е
Из (2.82) следует, в частности, что в* е П(ш | (г*,х*)^\), а потому согласно (2.66)
в* е $((г*,х*),ш).
Из (2.66), (2.84) и (2.85) получаем, что в* е П(ш | (г*,х*)^) и, в частности,
П(ш | (г*,х*)^) = 0.
(2.82)
(2.83)
(2.84)
(2.85)
(2.86)
Из (2.65), (2.75) и (2.86) получаем, что х* € Аш[Ь*](Е). Поскольку х* выбиралось произвольно, установлено вложение (2.73), а вместе с ним (см. (2.72)) и равенство
Аш[Ь*](Е) = р| Аш[Ь*](Ег). (2.87)
гем
Из (2.70), (2.87) вытекает следствие импликации (2.61). Итак,
((Ег)гем X Е) ^ ((Аш[Ь*](Ег))гем X Аш[Ь*](Е)). Коль скоро выбор Ь* и ш был произвольным, предложение доказано.
Следствие 2.3. Пусть выполнены условия 2.1 и 2.3. Тогда для, произвольных
(Ег)гем € Ем, Е € Р(Б) истинна импликация, ((Ег)гем X Е) ^ ((А(Ег))гем X А(Е)).
Доказательство. Фиксируем (Ег)гем € Ем и Е € Р(^), для которых
(Ег)гем X Е. (2.88)
Это означает, что
(Е,-+1 С Е3 Уз € М)&(Е = р| Ег). (2.89)
гем
Из (2.1), (2.5) и (2.89) вытекает, что
А(Е,-+1) С А(Е3) Уз € м, (2.90)
А(Е) С П А(Е,-). (2.91)
з ем
Выберем произвольно (Ь*,х*) € Пз-ем А(Ез-). Тогда согласно следствию 2.1
х* € Аш[Ь*](Ез) Уш € Ог* Уз € м. (2.92) Вместе с тем из (2.88) в силу предложения 2.5
Аш[Ь*](Е) = [) Аш[Ь*](Ез) Уш € Пи. (2.93)
з ем
Из (2.92), (2.93) получим, что х* € Пшеп4 Аш[Ь*](Е). Теперь с учетом следствия 2.1 имеем, что
(Ь*,х*) € А(Е). (2.94)
Так как выбор (Ь*,х*) был произвольным, из (2.94) получаем вложение
П А(Ез) С А(Е). (2.95)
з ем
Из (2.91), (2.95) получим равенство
А(Е) = П А(Ез). (2.96)
з ем
Из (2.90) и (2.96) следует, что
(А(Ег))гем X А(Е). (2.97)
Итак (см. (2.88), (2.97)), имеем импликацию ((Ег)гем X Е) ^ ((А(Ег))гем X А(Е)). Поскольку выбор (Ег)гем и Е был произвольным, предложение доказано.
Предложение 2.6. Пусть выполнены условия 2.2 и 2.3. Тогда УЕ € Е
те
(Ак(Е) € Е Ук € мо)& (А(Е) € Е). Доказательство утверждения получается индукцией на основе следствия 2.2.
2.1 2.3 Е € 9(0), (Ег)геп € Ем
истинна импликация,
((Ег)гем X Е) ^ ((Ак(Ег))гем X Ак(Е) Ук € мо). Доказательство получается индукцией по к € м на основе следствия 2.3.
2.1 2.3
Е € 9(0), (Ег)гем € Ем
истинна импликация,
те те
((Ег)гем X Е) ^ ((А(Ег))гем X А(Е)). (2.98)
Доказательство. Фиксируем (Ег)гем € Ем и Е € Р(О) такие, что (Ег)гем X Е. Тогда Е € Е и из предложения 2.7 следует, что (Ак(Ег))гем X Ак(Е) Ук € мо и, в частности,
Ак(Ег+1) С Ак(Ег) Ук € м Уг € м, (2.99)
Ак(Е) = р| Ак(Ег) Ук € мо. (2.100)
гем
Из (2.99) получим (см. (2.13)), что
тете
А (Ег+1) = П Ак (Ег+1) С р| Ак (Ег) = А(Ег) Уг € м. (2.101)
кемо кемо
Из (2.100) следуют (см. (2.13)) соотношения
тете
А(Е) = р| Ак(Е) = р| р| Ак(Ег) = р| П А (Ег) = р| А(Ег). (2.102)
кемо кемо гем гем кемо гем
Из (2.101) и (2.102) получим, что
тете
(А(Ег))гем X А(Е). (2.103)
Так как (Ег)гем и Е выбирались произвольно, из (2.103) следует импликация (2.98). Доказательство завершено.
2.2 2.3
тете
А(А(Е)) = А(Е) УЕ € Е. (2.104)
Доказательство. Фиксируем Е € Е. Из (2.12) и предложения 2.6 получаем, что
(Ак(Е))кемо : м и> Е. (2.105)
При этом Ао(Е) = Ей, кроме того,
Ак+1(Е) С Ак(Е) Ук € мо. (2.106)
Из (2.13) и (2.106) имеем, в частности,
те
(АкI A(F). (2.107)
Из (2.13), (2.105), (2.106) и следствия 2.3 получаем (см. предложение 2.3), что
те
(А(Ак^^ I А(А(F)). (2.108)
Из (2.107), (2.108) имеем цепочку равенств
А(А^)) = р А(Ак^)) = р Ak+1(F) = р Ак^) = A(F).
kеN kеN kеN
Доказательство завершено.
Предложение 2.10. Пусть выполнены условия 2.2 и 2.3. Пусть F е Е и Н е ).
те тете
Тогда (А^) с Н) ^ (А^) = А(Н)).
тете
Доказательство. Пусть А^) с Н. Тогда имеем А^) с Н с F. Это означает, что (см. 2.12)
те
А^) с А°(Н) с А0^). (2.109)
Пусть вообще т е N0 таково, что
те
А^) с Ат(Н) с Ат(2.110) Тогда из (2.1), (2.5) и предложения 2.9 получаем, что (см. 2.12)
тете
А(^) = А(А^)) с А(Ат(Н)) = Ат+1(Н) с А(Ат^)) = Ат+1^),
откуда, в частности, следует, что
те
А^) с Ат+1(Н) с Ат+1^). (2.111)
Итак (см. (2.111), (2.110)),
тете
(А^) с Ат(Н) с Ат(В1)) ^ (А^) с Ат+1 (Н) с Ат+1^)).
те к к
Поскольку выбор т е N0 был произвольным, установлено (см. (2.109)) А^) с Ак(Н) с Ак Ук е Поэтому согласно (2.13)
тетете
А^) с р| Ак(Н) = А(Н) с р| Ак^) = А^), ке^ ке^
тете
то есть А(Н) = А^). Доказательство завершено.
§ 3. Связь с операторной выпуклостью
Всюду в дальнейшем фиксируем множество N е 9(Б) (в содержательной задаче удержания траекторий управляемой системы сечения N используются в качестве фазовых ограничений). Введем в рассмотрение оператор
А: о У(Х), (3.1)
для которого
А(Н) 4 N \ A(N \ Н) УН е 9^). (3.2)
В связи с (3.1), (3.2) рассмотрим семейство
(А^опу)М 4 {Н е 9^) | У В е 9^) (В с Н) ^ (А(В) с Н)}, получая соответствующую (1.6) операторную выпуклость:
(А^опу)ДО е (СО!ЧУ)[ЭД. (3.3)
Предложение 3.1. Отображение А является предоболочкой: А € (р-НиЬЬ)[ЭД].
А
сивности); см. также (1.7).
Из предложения 3.1 в силу [13, лемма 1.1] следует свойство (см. (1.8))
(А-сопу)[^ = {Н € | А(Н) = Н}. (3.4)
С учетом (1.5) и (3.3) в связи с представлением выпуклой оболочки получаем, что У 5 €
((А^опу)[Х]-Ьи11)[5] = р| Н € (А-сопу)[^. (3.5)
не [(А-сопу)[К]](5)
Приводимые ниже общие положения согласуются с [14] в случае позиционных дифференци-
те
альных игр. В частности, (3.5) определено при 5 = 0. В этой связи напомним, что А(ЭД) € (см. (2.12), (2.13)). Полагаем в дальнейшем, что
N € Е. (3.6)
те
Предложение 3.2. Пусть выполнены, условия 2.2 и 2.3. Тогда, множе ство N \ выпукло:
те
N \ А(Х) € (А-сопу)[^. (3.7)
Доказательство. Из предложения 2.9 согласно (3.2) имеем
те те те те
А^ \ А(Х)) = N \ A(N \ (N \ А(Х))) = N \ А(А(Х)) = N \ А(Х).
Поэтому в силу (3.4) выполняется (3.7). □
Из предложения 3.2 следует, в частности, что (см. (1.5))
те
((А-сопу)[ЭД]-Ьи11)[0] С N \ A(N). (3.8) 2.2 2.3
те
((А-сопу)[ЭД]-Ьи11)[0] = N \ A(N). (3.9)
Доказательство. Выберем произвольно Н € [(А-сопу)[ЭД](0). Тогд а Н € (А-сопу)[ЭД, а потому (см. (3.4)) Н = А(Н). Отсюда, в силу определения А, Н = ^ А^\Н) и, следователь-
тете
но, N\Н = А^\Н). С учетом (2.14) получаем N\Н С АТогда N\ A(N) С N\(N\Н) = Н.
те
Поскольку выбор Н был произвольным, установлено, что С М УМ € [(А-сопу)[^](0).
С учетом (1.5) получаем, что
те
N \ А(Х) С р| М = ((А-сопу)^ЬЬи11)[0]. (3.10)
М е[(А-соп у)[К]](0)
□
те
Следствие 3.1. Пусть выполнены, условия 2.2 и 2.3. Тогда N \ A(N) есть наименьший по включению элемент, выпуклости (А-сопу)[^.
Следствие 3.2. Пусть выполнены, условия 2.2 и 2.3. Тогда, при Н €
тете
(Н € \ A(N))) ^ (((А-сопу)^ЬЬи11)[Н] = N \ A(N)).
§ 4. Согласованность пакетов пространств и квазистратегии, разрешающие задачу удержания
Напомним, что во всех предыдущих построениях не предполагалось какой-либо согласованности множеств С^, С*2 при г1 е I, г2 е I, г1 = г2. Аналогичное замечание справедливо в отношении множеств П^ г е I.
Всюду в пределах настоящего пункта полагаем, что
(С*1I*) с С, Уг е I Уг' е I* (4.1)
и, кроме того,
(П 1I?) с Уг е I Уг' е I*. (4.2)
В дальнейшем потребуется аналог полугруппового свойства. При г е I, ш е г' е I* их' е X с учетом условия (4.2) определено (см. (1.10)) множество §((г',хг), (ш | )) е 9'(С* )■
Условие 4.1 (полугрупповое свойство). У (г, х) е Б, Уш е УН е 8((г, х),ш), Уг' е I*
(Н 1I,) е §((г',Н(г')), (ш 1I*)).
Предложение 4.1. Пусть выполнено условие 4.1. Тогда для, любых г* е I, ш* е иН е 9(Б)
К,[г*](Н) = к,[г*]({(г,х) е I*, х X | х е А^^ЩН)}). (4.3)
Доказательство. Фиксируем г* е I, ш* е и Н е 9(Б). Тогда в силу (4.2) (ш* | I*) е Уг е I*,. С учетом этого определим
Н 4 {(г,х) е I*, х X | х е А{ш,1ь)[г](Н)} е 9(Б). (4.4)
В терминах (4.4) доказываемое равенство (4.3) записывается следующим образом:
К, [г*](Н) = К, [г*](н). (4.5)
Для доказательства (4.5) отметим (см. (2.1), (2.7)), что
А{ш^[г](Н) с н(г) Уг е I*,. (4.6)
Из (4.4), (4.6), учитывая изотонность [г*] (см. (2.1), (2.7)), получаем, что
А,[г*](н) с к,[г*]({(г,х) е I*, х X | х е н(г)}). (4.7)
Кроме того (см. (1.15)), {(г,х) е I*, х X | х е Н(г)} с {(г,х) е Б | х е Н(г)} = Н. Поэтому из (4.7) вытекает, что
А,[г*](н) с а,[г*](н). (4.8)
Покажем обратное вложение. Фиксируем у* е Аш, [г*](Н). Тогда с учетом (2.7) у* е Н(г*) и
П(ш* | (г*,у*),Н)= 0. (4.9)
Пусть Н* е П(ш* | (г*, у*),Н). Для Н* имеем (см. (2.1)), что
Н* е §((г*,у*),ш*), (4.Ю)
где $((г*,у*),ш*) с С, а тогда Н* е С, При этом
Н*(0 е Н(£) У£ е I*,. (4.11)
Из определения (4.4) получаем (см. (1.14)), что
н(г) = А{ш^[г](н) Уг е I*,. (4.12)
В частности, при Ь = Ь* имеем из (4.12)
Н(Ь*) = А(ш*\1и)[Ь*](Н)= Аш* [Ь*](Н). (4.13) По выбору у* из (4.13) имеем включение
У* € Н(Ь*). (4.14)
Покажем, что
Н* € П(ш* | (Ь*,у*), Н). (4.15)
Напомним, что согласно (2.2)
П(ш* | (Ь*,у*), Н) = {в € §((Ь*,у*),ш*) | в(Ь) € Н(Ь) УЬ € 14*}. (4.16) Выберем в € I* Тогда для (Ь*,у*), ш*, Н* и в, то условию 4.1, имеем при д = (Н * | I,), ЧТО
д € Щв,Н*(в)), (ш* | I,)). (4.17)
Из (4.11) получим
д(С) € Н(С) УС € I,. (4.18)
С учетом (2.2) из (4.17) и (4.18) получим д € П((ш* | I,) | (в,Н*(в)),Н) и, в частности, П((ш* | I,) | (в,Н*(в)),Н) = 0. Поскольку Н*(в) € Н(в), то Н*(9) € АЫ1в)[9](Н) (см. (2.7)), в силу (4.12) Н*(в) € Н(в). Таким образом,
Н*(С) € Н(С) УС € Ь*. (4.19)
Из (4.10), (4.19) с учетом (4.16) получим (4.15). В частности, П(ш* | (Ь*,у*), Н) = 0. Следовательно (см. (2.7), (4.14)), у* € Аш* [Ь*](Н). Так как у* было выбрано произвольно, имеем вложение
Аш* [Ь*](Н) С Аш* [Ь*](Н). (4.20)
Из (4.8), (4.20) получаем требуемое равенство (4.5), означающее с учетом (4.4) справедли-
□
Предложение 4.2. Пусть выполнено условие 4.1. Тогда для, любых N € 9(0) Е €
(Е = А(Е)) ^ (ЗН € У(Х): Е(Ь) = Аш[Ь](Н) УЬ € I Уш € П4). (4.21)
Доказательство. Фиксируем N € 9(0) и Е € Пусть Е = А(Е). Тогда для
Н = ЕшЬ € I имеем (см. (1.14), (2.9)) Н € У(Х) и Е (Ь) = А(Н )(Ь) = ПшеП( Аш [Ь](Н). Следовательно,
Е(Ь) С Аш[Ь](Н) Уш € П4. (4.22)
Н
Аш[Ь](Н) С Н(Ь) = Е(Ь) Уш € П4. (4.23)
Из (4.22), (4.23) получим, что для любых Ь € I и ш € выполняется равенство Е(Ь) = Аш[Ь](Н). Е
(Е = А(Е)) ^ (ЗН € У(Х) : Е(Ь) = Аш[Ь](Н) УЬ € I Уш € П4). (4.24)
Докажем обратную импликацию. Пусть (для Е € У(^) при некотором Н € и произ-
вольно выбранных Ь € I, ш € выполняется равенство Е(Ь) = Аш[Ь](Н). Поэтому в силу вложений (4.2) имеем при Ь € I и ш € что
Е(С) = АИ:5)[С](Н) УС € I*. (4.25)
В силу предложения 4.1 из (1.15), (2.7), (2.8) и (4.25) следует, что
Аш[t](F) = АшШ(£,х) е It х X | х е AHl5)[£](H)}) = Аш[t](H П (It х X)) = Аш[t](H). (4.26)
Воспользовавшись (4.25) при £ = t и учитывая, что (ш | It) = ш, получаем из (4.26) равенства F(t) = Аш[t](F) при ш е Qf Отсюда следует (см. (2.9)) F(t) = ПшеП( К[t](F) = A(F)(t). Так как t выбиралось произвольно, с учетом (1.15) имеем F = A(F). Таким образом, для F е P(N) выполняется импликация
(3H е ?(N) : F(t) = Аш[t](H) Ш е I Уш е П) ^ (F = A(F)). (4.27)
Из (4.24), (4.27) получим требуемое соотношение (4.21). □
Рассмотрим вопрос о решении задачи удержания в классе многозначных квазистратегий, имея в виду конструкции [11]. Всюду в дальнейшем при (t,x) е D полагаем
S((t, х), •) 4 (S((t, х),ш))шеъ : П ^ P'(Ct).
Далее будем придерживаться следующего соглашения: если t е I, t' е It, h е Ct и h' е Ct', то отображение h^h': It ^ X (склейка h и hr) определяется соотношениями
((h^h'm 4 h(£) У£ е I(t,)) & ((ШЫ)(Z) 4 h'(Z) У( е I, \ {t'}).
Отметим, что в следующем условии 4.2 используется предположение (4.2). Условие 4.2 (допустимость склейки движений). y(t, х) е D, yt' е It, Уш е Qt, Уш' е
((ш I if0) = (ш' I 4°)) ^ (h^h' е S((t,х),ш') yh е S((t,x)^) УЫ е S((t',h(t')), (ш' | It,))).
Предложение 4.3. Пусть выполнено условие 4.2. Тогда динам,ика S обладает, свойством неупреждаем,ост,и: У(Ь, х) е D, Уt' е It, Уш е Q.t и Уш' е Qt
((ш i i(t')) = (ш i i(t,))) ^ а т,х)ш i 4°) = т,х),ш') i itt0)). (т
Доказательство. Зафиксируем произвольно (t, х) е D. Пусть ш е Qt, ш' е nt и t' е It
таковы, что (ш | I(t)) = (ш' | I(t)). Покажем, что для множеств Г 4 (§((^х),ш) I if)),
Г' 4 (8(^,х),ш') | I(t справедливо вложение Г С Г'. Пусть y е Г; тогда для некото-
(tJ)
poro h е $((Ь,х),ш) имеем равенство y = (h | It )■ определению (см. (1.10)), найдется Ы е S((t',h(t')), (ш' I It,)). Тогда го условия 4.2 следует, что h^h' е 8(^,х),ш'). Значит, (t,)
Y = (h^h' I )) е Г^. Так как y выбиралось произвольно, получаем вложение Г С Г'. В силу симметрии определения множеств ^ Г^ мем Г = Г'. Из произвольности в выборе t', ш и ш'
(t, х)
□
Напомним, что согласно (2.1) П(ш | z,H) С 8(г,ш) УH е P(D) Ух е D Уш е npri(z). Кроме того, из (2.1) следует, что при H е P(D), z е D, ш е Hpri(z) и s е П(ш | z,H) (t,s(t)) е H
У е Ipr1 (z).
Отметим, что в следующем предложении отсутствует вводимое ниже требование 4.3 «скле-иваемости» помех. Это расширяет возможность применения данной конструкции квазистратегии на практически важные случаи, например на случай непрерывных помех.
Предложение 4.4. Пусть выполнены, условия 2.2, 2.3 и 4.2. Тогда,
те те
П(• I z, A(N)) е Mz Ух е A(N). (4.29)
Доказательство. Фиксируем г € А (ЭД; тогда для иекоторых Ь* € I и х* € X имеем г = (Ь*,х*). Для краткости полагаем, что
те
а = П(-| г, А(Х)). (4.30)
Это означает, что а : Ог* ^ 9(Сг*) удовлетворяет условию
те
(Ь, в(Ь)) € А(Х) Уш € Ог* У в € а(ш) УЬ € ; (4.31)
те
итак, а(ш) = П(ш | г, A(N)) при ш € О* В частности (см. (2.1)),
а(ш) С 8((Ь*,х*),ш) Уш € Ог*. (4.32)
те
С учетом условий 2.2, 2.3 из (2.104) и (3.6) имеем г € А(А(ЭД). Поэтому (см. (2.5), (4.30)) а(ш) = 0 Уш € О* Отсюда, с учетом (4.32) получим
а € Ц У'(8((Ь*,х*),ш)). (4.33)
шеПг*
Пусть ш € О* ш' € Ог* и в € таковы, что
(ш | I*) = (ш' | I*). (4.34)
Покажем, что для множеств Г = (а(ш) | 1^), Г' = (а(ш') | 1^) справедливо вложение Г С Г'.
Пусть 7 € Г; тогда для некоторого Н € а(ш) имеем равенство 7 = (Н | 1( )). При этом согласно (4.31)
те
(Ь,Н(Ь)) € А(Х) УЬ € и*. (4.35)
тете
В частности, учитывая (2.104), получаем, что (поскольку = А(А(ЭД))
те
(в,Н(в)) € А(А(Х)). (4.36)
те
Из (4.36) и (2.5) получаем, как следствие, что П(^ | (в,Н(в)), A(N)) = 0 Уи € О,. В част-
те
ности, множество П((ш' | I,) | (в,Н(в)), A(N)) корректно определено (см. вложение (4.2))
те
и П((ш' | I,) | (в,Н(в)), А(Х)) = 0. Пусть
те
Н € П((ш' | I,) | (9,Н(9)), А(Х)). (4.37)
Имеем Н € 8(г,ш), Н € 8((в,Н(в)), (ш' | I,)). С учетом (4.34) из условия 4.2 получим, что
Н' = НПН € 8(г,ш'). (4.38)
Отметим, что согласно (2.1), (4.37) и (4.38)
те
(Ь, Н'СО) € А(Х) УЬ € I, \ {9}. (4.39)
Кроме того, из (4.35) и (4.38) следует
(Ь,Н'(Ь)) € А(Х) УЬ € I*. (4.40)
В совокупности (4.40) и (4.39) дают соотношения
те
(Ь,Н'(Ь)) € А(Х) УЬ € ь*. (4.41)
Из (2.1), (4.30), (4.38) и (4.41) получим, что Н' € а(ш'). Следовательно, опять в силу (4.38) и определения Г выполняется 7 = (Н' | I,) € Г'. Так как 7 выбиралось произвольно, получаем вложение Г С Г'. В силу симметрии в определении множеств Г Г' имеем Г = Г' и, так как выбор 9, ш, ш' был произволен, окончательно получаем, что Уш1 € Ог* Уш2 € Ог* УЬ €
((ш 1 | 4?) = (ш2 | )) ^ ((а(ш1) | 4?) = (а(ш2) | 4?)). (4.42)
Из (1.13), (4.33), (4.42) получим а € М(г*) и, следовательно (см. (4.30)), включение (4.29). □
те
Из вложения С N (см. (2.13)) с учетом (4.29) получаем, что при выполнении усло-
вий 2.2, 2.3, 4.2 (и вложений (4.2)) справедливо соотношение
те
А(Х) С{г € N ^а € Мг : (Ь, в(Ь)) € N УЬ € ^^ Уш € ОрГ1(г) Ув € а(ш)}. (4.43)
Из предложения 4.4 и определения (2.1) следует, что
те те те
(Ь, в(Ь)) € А(Х) У г € А(Х) Уш € ОрГ1(г) Ув € П(ш | г, А(Х)) УЬ € !рГ1(г). (4.44)
Таким образом, из (2.12), (2.13) и (4.44) вытекает, что
тете
(Ь, в(Ь)) € N У г € А(Х) Уш € ОрГ1(г) Ув € П(ш | г, А(Х)) УЬ € ^^ (4.45)
те
Мы получили для г € А(^ явный вид квазистратегии, разрешающей для позиции г задачу удержания в N.
Далее будем придерживаться следующего соглашения: если Ь € I, Ь' € II, ш € Ог и ш' € Ог,, то отображение ш^ш' : ^ н> У (склейка ш и ш') определяется соотношениями
((ш^ш')(С) = ш(С) УС € 4°) & ((ш^ш')(С) = ш'(() УС € I, \ {'}). (4.46)
Условие 4.3 (допустимость склейки помех), ш^ш' € Ог УЬ € I УЬ' € ^ Уш € Ог Уш' € Ог,.
Заметим, что при условии 4.3 имеют место вложения, обратные вложениям (4.2), т.е. (4.2) обращается в систему равенств: (Ог | I/) = Ог, УЬ € I УЬ' €
Предложение 4.5. Пусть выполнены условия 4.1 и 4.3. Тогда У(Ь,х) € О, УЬ' € ^ Уш € Оь Уш' € О?, УН € 8((Ь,х),шШ)
(Н | I,) € 8((Ь',Н(Ь')),ш'). (4.47)
Доказательство. Фиксируем (Ь,х) € О, Ь' € ш € Ог, ш' € Ог,. Из условия 4.3 тогда следует, что ш = ш^ш' является допустимой помехой из Ог. Выберем произвольно Н € 8((Ь, х), ш) (см. (1.10)). № условия 4.1 тогда получим (Н | ^) € 8((Ь',Н(Ь')), (ш | It,)). С учетом равенства (ш | ^) = ш' из последнего включения следует соотношение (4.47), и, так как (Ь,х), Ь', ш, ш' и Н выбирались произвольно, утверждение доказано полностью. □
2.2 4.3
те
А(Х) = {г € N ^а € Мг : (Ь, в(Ь)) € N УЬ € ^^ Уш € ОрГ1(г) Ув € а(ш)}. (4.48)
Доказательство. Обозначим через Л множество в правой части (4.48). Тогда Л С N а потому (см. (2.12))
Л С А0^). (4.49)
Пусть вообще п € N0 таково, что
Л С Ап(X). (4.50)
Покажем, что тогда Л с Л"^1^). Предположим противное: нашлась позиция г* такая, что
г» е Л \ Лга+1(^). (4.51)
Тогда (см. (2.11)) из (4.50) и (4.51) следует, что г* е Л"^) \ Л(Л"(№)). Напомним, что Л(Лга(^)) = {г е Л"^) | П(ш | г, Л"^)) = 0 Уш е ПрГ1(г)}. Следовательно, найдется ш* е ПрГ1 ) такая, что
П(ш* | г*, Л"(Щ= 0. (4.52)
Из (2.1) и (4.52) получим, что
Уз е 8(г*, ш*) зг е 1рГ1 ,): (г, в(г)) е Лп(Х). (4.53)
г* е Л
а* е М2,, (4.54)
Л
(г, в(г)) е N Уг е ^^ ,) Уш е ПрГ1 (2,) Уз е а*(ш). (4.55)
В частности,
(г, з(г)) е N Уг е 1рГ1(г,) Уз е а*(ш*). (4.56) Выберем произвольно (см. (1.13))
з* е а*(ш*). (4.57)
Тогда з* е СрГ1(г,) и (см. (1.13)), более того, з* е 8(г*,ш*). Согласно (4.53) имеем для некоторого момента г* е 1рГ1(г,) соотношение (г*,з*(г*)) <е Л"(№), а потому выполнено
г* 4 (г*,з*(г*)) е Лп(И). (4.58)
Из (4.50) и (4.58) имеем, что г* <£ Л. При этом (см. (4.56)) г* е N. Тогда, то определению Л, имеем, что
У а е Мг , Зш е П*, Зз е а(ш) зг е I*, : (г, з(г)) е N. (4.59)
С учетом условия 4.3 определим в : Пг, ^ Р(С* ,) по правилу
в(ш) 4 {Н е С*, | ЗН е а*(ш*Пш) : (Н = (Н | I*,)) & ((Н | Я^,)) = (з* | ЯрГ^,)))} Уш е П*,.
(4.60)
Докажем включение в е Мг ,. Для этого сначала проверим, что
в(ш) = 0 Уш е П*,. (4.61)
Из (1.13), (4.54) и (4.57) следует, что для произвольного ш' е П, найдется Н' е а*(ш*\\ш') такое, что (Н' | Яр*Г ,)) = (з* | ,))■ Пусть д 4 (Н' | I*,). В силу вложения С*, Э (Ср,^,) | I*,) (см. (4.1)) получим д е С*». Тогда по построению имеем
Н' е а*(ш*аш') : (д 4 (Н' | I*,)) & ((Н' | )) = (з* | ,))).
д е в(ш') ш'
Для любых ш е П*, и Н е в(ш) го определений а*, в имеем (см. (1.13)), что Н = (Н'' | I*,)
для некоторого Н'' е 8(г*, ш*Ои) такого, что (Н'' | Яр*Г)(г )) = (з* | Яр*,\ )). Тогда в силу пред-
рг,) рг1,)
ложения 4.5 (Н'' | I*,) е 8((г*,з*(г*)), ш), где 8((г*,Н''(г*)) , ш) — 8((г*, з* (г*)),ш). Таким образом, Н е 8(г*,ш) Уш е П*, УН е в(ш). Отсюда с учетом (4.61) получим
в е [] 9'(8((г*,з(г*)),ш)). (4.62)
шеп4<<
(в) (в)
Выберем и зафиксируем ш € П* ш' € П* и 9 € 1^* так, что (ш | ) = (ш' | )• Обозначим
Г = (в(ш) | Г' = (в(ш') | и выберем произвольно 7 € Г. Пусть / € в(ш) таково, что (в)
7 = (/ | )• Тогда в силу (4.60) найдется Н € а*(ш*Пш) со свойствами
(/ = (Н | ги))&((Н | яр; ¡ы) = (в. | ир^*))).
Тогда получаем цепочку равенств
7 = ((Н | I*) | 1(в)) = (Н | 1(в)). (4.63)
С учетом (4.46) и условия 4.3 получаем, что определены склеенные отображения
ш*Пш € Пр;1(г *), ш*Пш' € Пр;^*),
причем справедливы равенства
(ш*Пш | ^)) = (ш*Пш' | яРв;)1(^ +)). (4.64)
Из (4.64) в силу (4.54) получим (а*(ш*Пш) | )) = (а*(ш*Пш') | Яр^(х )). Следовательно,
найдется Н' € а*(ш*Пш') такой, что
(Н | Сх)) = (Н' | )). (4-65)
2 частности /4 53^ так как (Н I 1(£*\ 0 = (з* I 1(£* \ 0 и 9 ^ Ь*. получаем, что
4 4 41 р ; 1 (х * у 4 1 р ; * у 1 <-' 1
(Н' | Яр*^. )) = (8* | Яр*^, 0- Следовательно (см. (4.60)), (Н' | ) € в(ш') и при этом в сир; 1 (х*) р;1 (х*)
лу (4.63), (4.65) 7 = (Н' | Я(в)). Отсюда получаем, что 7 € Г', и в силу произвольности выбора 7 имеем вложение Г С Г'. Из соображений симметричности получим Г = Г'. В силу произвольного выбора ш, ш' и 9 имеем импликацию Уш1 € П * € П * УЬ € *
((шх | Я«) = (ш2 | Я(*)) ^ ((в(ш1) | Я(*) = (в(ш2) | Я(*)). (4.66)
Из (4.62) и (4.66) получаем, что в € Мх *. Значит (см. (4.59)), для некоторых ш € , Ь € в(ш) и Ь € (ш, £(£)) € N. Но, то построению и условию 4.3, Ь € 1р;1(х *), ш*Пш € Пр; 1(х*) и Ь = (Ь | *) для некоторого Ь € а*(ш*Пш). Иначе говоря, (ш, Ь(Ш)) € N и Ь € а*(ш*Пш), что противоречит (4.55). Следовательно, предположение (4.51) было ложным и Л С Ага+1(^. Тем самым для произвольного п € N0 установлена импликация (Л С Ага(^) ^ (Л С Ага+1(^). В совокупности с (4.49) получим, что для всякого п € N0 выполняется (4.50). Следователь-
те
но, Л С Пга^0 Ага(^. С учетом (2.13) это завершает обоснование вложения Л С Из
ЛП
§ 5. Заключительные замечания
В работе построено решение абстрактной задачи удержания (см. предложение 4.4, (4.45),
те
теорему 4.1). В частности (см. (4.48)), в виде имеем множество успешной разрешимости
в классе квазистратегий.
Отметим, что данная работа продолжает абстрактные конструкции [11] и вместе с тем отвечает направлению, развиваемому в [10, 22] для конкретных вариантов задачи удержания. В [10] исследовались решения игровой задачи удержания для конфликтно-управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечном промежутке времени: рассматривалось решение в классах квазистратегий и позиционных контрстратегий (при условии седловой точки в маленькой игре [2] — в классе чистых позиционных стратегий). В [22] исследовалась задача удержания на бесконечном промежутке для системы с дискретным временем (решение — в классе квазистратегий).
Настоящая работа является в некотором смысле объединяющей упомянутые исследования. Вместе с тем представляется, что некоторые вопросы, связанные с конкретными применениями предлагаемой абстрактной процедуры, требуют дополнительного исследования.
Список литературы
1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. № 6. С. 1005-1022.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
3. Кряжимский А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Доклады АН СССР. 1978. Т. 239. № 4. С. 779-782.
4. Ченцов А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Доклады АН СССР. 1975. Т. 224. № 6. С. 1272-1275.
5. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // Доклады АН СССР. 1976. Т. 226. № 1. С. 73-76.
6. Ухоботов В.И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 2. С. 358-361.
7. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 5. С. 825-832.
8. Ухоботов В.И. К построению стабильного моста в игре удержания // Прикладная математика и механика. 1981. Т. 45. № 2. С. 236-240.
9. Ухоботов В.И. Метод итераций в дифференциальных играх удержания // International Congress of Mathematicians. Short communications (Abstract). Vol. XII. Warszawa. 1983. P. 7.
10. Дятлов В.П., Ченцов А.Г. Монотонные итерации множеств и их приложения к игровым задачам управления // Кибернетика. 1987. № 2. С. 92-99.
11. Ченцов А.Г. Метод программных итераций для решения абстрактной задачи удержания // Автоматика и телемеханика. 2004. № 2. С. 157-169.
12. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.
13. Солтан В.П. Введение в аксиоматическую теорию выпуклости / Под ред. В.И. Арнаутова. Кишинев: Штиинца, 1984. 224 с.
14. Ченцов А.Г. О задаче управления с ограниченным числом переключений / Уральский политехнический институт им. С.М. Кирова. Свердловск: 1987. 45 с. Деп. в ВИНИТИ, № 19 12-1? 87.
15. Серков Д.А., Ченцов А.Г. Метод программных итераций и операторная выпуклость в абстрактной задаче удержания // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2015. Т. 25. № 3. С. 348-366. DOI: 10.20537/vml50305
16. Ченцов А.Г., Серков Д.А. Метод программных итераций в пакетах пространств // Доклады Академии наук. 2016. Т. 470. № 6. С. 637-640. DOI: 10.7868/S0869565216300046
17. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
18. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.
19. Бурбаки П. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 275 с.
20. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Едиториал УРСС, 2004. 367 с.
21. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations. Springer Netherlands, 2002. xiv+408 p. DOI: 10.1007/978-94-017-1527-0
22. Иванов B.M., Ченцов А.Г. Об управлении дискретными системами на бесконечном промежутке времени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. Т. 27. № 12. С. 1780-1789.
Поступила в редакцию 17.10.2016
Серков Дмитрий Александрович, д. ф.-м. н., ведущий научный сотрудник, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, 620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16; профессор, кафедра вычислительных методов и уравнений математической физики, Институт радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет, 620002, Россия, г. Екатеринбург, ул. Мира, 32. E-mail: serkov@imm.uran.ru
Ченцов Александр Георгиевич, д. ф.-м. н., профессор, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, 620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16;
профессор, кафедра вычислительных методов и уравнений математической физики, Институт радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет, 620002, Россия, г. Екатеринбург, ул. Мира, 32. E-mail: chentsov@imm.uran.ru
D. A. Serkov, A. G. Chentsov
Implementation of the programmed iterations method in packages of spaces
Keywords: programmed iterations, operator convexity, quasi-strategies, packages of spaces. MSC2010: 37N35, 65J15, 47J25, 52A01, 91A25
The problem of retention studied here might be regarded (in the case of a bounded control interval) as a version of the approach problem within given constraints in the phase space and the target set given by the hyperplane of the space positions corresponding to the terminal moment of the process (the retention problem on the infinite horizon also fits to the problem statement in this paper). The essential difference of the paper from the previously considered formulations is the variability of the spaces of the system trajectories and the disturbance realizations depending on the initial moment. It is shown that the unsolvability set of the retention problem is the least element of the convexity constructed on the basis of the programmed absorption operator; under some additional consistency conditions (on the space of system trajectories and on the space of admissible disturbances corresponding to different time moments) the set of successful solvability of the retention problem is constructed as the limit of the iterative procedure in the space of sets, the elements of which are positions of the game, and the structure of resolving quasi-strategies is provided.
REFERENCES
1. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. An alternative for the game problem of convergence, J. Appl. Math. Mech., 1970, vol. 34, no. 6, pp. 948-965. DOI: 10.1016/0021-8928(70)90158-9
2. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems, New York: Springer, 1988, xi 517 p.
3. Kryazhimskii A.V. On the theory of positional differential games of approach-evasion, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1978, vol. 239, no. 4, pp. 779-782 (in Russian).
4. Chentsov A.G. On the structure of a game problem of convergence, Sov. Math. Dokl., 1975, vol. 16, no. 5, pp. 1404-1408.
5. Chentsov A.G. On a game problem of guidance, Sov. Math., Dokl., 1976, vol. 17, pp. 73-77.
6. Ukhobotov V.I. Construction of a stable bridge for a class of linear games, J. Appl. Math. Mech., 1977, vol. 41, no. 2, pp. 350-354. DOI: 10.1016/0021-8928(77)90021-1
7. Chistyakov S.V. On solving pursuit game problems, J. Appl. Math. Mech., 1977, vol. 41, no. 5, pp. 845-852. DOI: 10.1016/0021-8928(77)90167-8
8. Ukhobotov V.I. On the construction of a stable bridge in a retention game, J. Appl. Math. Mech., 1981, vol. 45, no. 2, pp. 169-172. DOI: 10.1016/0021-8928(81)90030-7
9. Ukhobotov V.I. Iterations method in differential games of retention, International Congress of Mathematicians. Short communications (Abstract), vol. XII, Warszawa, 1983, p. 7.
10. Dyatlov V.P., Chentsov A.G. Monotone iterations of sets and their applications to control games, Cybernetics, 1987, vol. 23, no. 2, pp. 259-268. DOI: 10.1007/BF01071786
11. Chentsov A.G. An abstract confinement problem: a programmed iterations method of solution, Automation and Remote Control, 2004, vol. 65, no. 2, pp. 299-310. DOI: 10.1023/B:AURC.0000014727.63912.45
12. Krasovskii N.N. Igrovye zadachi o vstreche dvizhenii (Game problems on the encounter of motions), M.: Nauka, 1970, 420 p.
13. Soltan V.P. Vvedenie v aksiomaticheskuyu teoriyu vypuklosti (Introduction to axiomatic theory of convexity), Chisinau: Shtiintsa, 1984, 224 p.
14. Chentsov A.G. On the problem of control with a limited number of switching, Ural Polytechnic Institute, Sverdlovsk, 1987, 45 p. Deposited in VINITI, no. 4942-B 87 (in Russian).
15. Serkov D.A., Chentsov A.G. Programmed iteration method and operator convexity in an abstract retention problem Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2015, vol. 25, pp. 348-366 (in Russian). DOI: 10.20537/vml50305
16. Chentsov A.G., Serkov D.A. Programmed iteration method in packages of spaces, Doklady Mathematics, 2016, vol. 94, no. 2, pp. 583-586. DOI: 10.1134/S1064562416050264
17. Kuratowski K., Mostowski A. Set theory, Amsterdam: North-Holland, 1967, 417 p.
18. Engelking R. General topology, Warszawa: PWN, 1985, 752 p.
19. Burbaki N. Obshchaya topologiya. Osnovnye structury (General topology. The main structures), Moscow: Nauka, 1968, 275 p.
20. Aleksandrov P.S. Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshchuyu topologiyu (Introduction to the theory of sets and general topology), Moscow: Editorial URSS, 2004, 367 p.
21. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations, Springer Netherlands, 2002, xiv+408 p. DOI: 10.1007/978-94-017-1527-0
22. Ivanov V.M., Chentsov A.G. On the control of discrete systems on an infinite time interval, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1987, vol. 27, no. 6, pp. 116-121.
DOI: 10.1016/0041-5553(87)90201-1
Received 17.10.2016
Serkov Dmitrii Aleksandrovich, Doctor of Physics and Mathematics, Leading Researcher, N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990, Russia;
Professor, Institute of Radioelectronics and Information Technologies, Ural Federal University, ul. Mira, 32, Yekaterinburg, 620002, Russia. E-mail: serkov@imm.uran.ru
Chentsov Aleksandr Georgievich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Corresponding Member, Russian Academy of Sciences, Chief Researcher, N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990, Russia; Professor, Institute of Radioelectronics and Information Technologies, Ural Federal University, ul. Mira, 32, Yekaterinburg, 620002, Russia. E-mail: chentsov@imm.uran.ru
