CC BY
16
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 124
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-846-860 УДК 519.6
МАКСИМАЛЬНЫЕ СЦЕПЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ И УЛЬТРАФИЛЬТРЫ ШИРОКО ПОНИМАЕМЫХ ИЗМЕРИМЫХ ПРОСТРАНСТВ
^ А. Г. Ченцов
ФГБУН «Институт математики и механики им. H.H. Красовского» Уральского отделения Российской академии наук 620990. Российская Федерация, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской. 16 ФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина» 620002. Российская Федерация, г. Екатеринбург, ул. Мира. 19 El-mail: chentsov@imm.uraii.ru
Аннотация. Рассматриваются два типа семейств множеств широко понимаемого измеримого пространства: ультрафильтры (максимальные фильтры) и максимальные сцепленные системы. Получающиеся при этом множества ультрафильтров и максимальных сцепленных систем оснащаются каждое парой сравнимых топологий (по смыслу «волмэновской» и «стоуновской»), в результате чего реализуются два б и топо л о г и че с ки х пространства, одно из которых оказывается подпространством другого; точнее, ультрафильтры являются максимальными сцепленными системами, а тогда совокупность последних образует объемлющее битопологическое пространство. С использованием топологических конструкций устанавливаются некоторые характеристические свойства ультрафильтров и (в меньшей степени) максимальных сцепленных систем (речь идет о необходимых и достаточных условиях максимальности фильтров и сцепленных систем). Ключевые слова: битопологическое пространство; топология; ультрафильтр
Введение
Ультрафильтры (у/ф) используются в различных конструкциях обшей топологии, теории меры, теории булевых алгебр. Широко известны компактификация Стоуна-Чеха, расширение Волмэна, пространства Стоуна. В первом случае используются у/ф семейства всех подмножеств (п/м) фиксированного множества (единицы), во втором -у/ф семейства замкнутых множеств топологического пространства (ТП), удовлетворяющего аксиоме Ть а в третьем - у/ф алгебры множеств. Представляется полезным
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-01-00410).
объединить упомянутые (и многие другие) случаи, полагая, что упомянутые семейства являются частными случаями некоторого общего варианта структуры одного достаточно универсального типа. В качестве данного варианта предлагается (для каждого фиксированного множества - «единицы») использовать 7Г-систему [1, с. 14] с «нулем» (в виде пустого множества) и «единицей» в виде исходного объемлющего множества (сама же 7Г-система есть семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений). Топологии, семейства замкнутых множеств в ТП, алгебры и полуалгебры множеств являются 7Г-системами упомянутого типа. Среди 7Г-систем особо выделяем решетки п/м объемлющего множества (решеточпость понимается в смысле упорядоченности по включению).
Итак, будем рассматривать у/ф 7Г-систем (см. [2]) и, в частности, у/ф решеток с «нулем» и «единицей», привлекая два естественных варианта оснащения топологией: имеется в виду аналог схемы Стоуна, применяемой обычно в случае измеримого пространства (ИП) с алгеброй множеств, и топологию волмэиовского типа, которая, в частности, использовалась при построении суперрасширения ТП (см. [3-5] и др.; особо отметим систематическое изложение в [6, гл. VII, 4]). С конструкцией суперрасширс-ния, применяемой обычно в случае -пространств, связано и свойство суперкомпактности [3-6], реализующееся для пространства максимальных сцепленных систем (МСС) замкнутых множеств (см. [6, гл. VII, 4]); при этом замкнутые у/ф (точнее, у/ф семейства замкнутых множеств) являются МСС. Обратное, вообще говоря, неверно (см. [6, гл. VII, 4.18]). В этой ситуации логично рассматривать пространство МСС как объемлющее к пространству у/ф, что естественно порождает вопрос о битопологическом его оснащении (см. [7]), коль скоро такое оснащение реализуется, как уже отмечалось, для множества у/ф. Оказывается, данное оснащение удается реализовать посредством схем, подобных используемым в случае у/ф. Итак, множество МСС также оснащаем, имея в виду идейную аналогию, «стоуновской» и «волмзновской» топологиями (последнюю называют обычно топологией волмэиовского типа). В ряде случаев упомянутые топологии совпадают, а соответствующее битопологическое пространство (БТП) вырождается, реализуя при этом суперкомпакт (суперкомпактное Т2-пространство). С другой стороны, известны случаи, когда «стоуновская» и «волмэновская» топологии на множестве МСС различаются (аналогичные случаи известны и для пространств у/ф). Упомянутые возможности обсуждаются в настоящей работе.
1. Общие положения
Используем стандартную теоретико-множественную символику: кванторы, связки,
£
Л- пустое множество; сЫ заменяет фразу «по определению», = - равенство по определению. Принимаем аксиому выбора. Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Для произвольных объектов а и Ъ через }а; Ь(
обозначаем множество, содержащее а, Ь и не содержащее никаких других элементов.
£
Если х - объект, то }х{ = }ж; х{ есть синглетон со свойством х / }ж{. Заметим, что
для любых двух объектов (см. [8, гл. II, 2]) и и V имеем }«;г>( = П }г>{; для
£
трех объектов р, д и г }р; д\ г( = }р;д{ П }г{ = П }д( П }г(. Множества являются
объектами; поэтому, следуя [8, гл. II, 2, (1)], полагаем при всяком выборе объектов
£
т и п, что (т, п) = }}ш{; }га; п( {, получая упорядоченную пару с первым элементом т и вторым элементом п. Для каждой упорядоченной пары г через рг1(г) и рг2(;г) обозначаем соответственно первый и второй элементы г, однозначно определяемые условием г = (рг1(г:), рг3(2)).
Если X - множество, то через 5 (X) (через ) обозначаем семейство всех
(всех непустых) п/м X, = 5 (X) § ; Рт(Х) есть с!е£ семейство всех конечных
множеств из ¿>^Х). Для произвольного непустого семейства X полагаем, что
}П{(Х) = } и X: У /5(3£)<, М(Х) = } П X: У /£«(*)<,
, (1.1) }П<в(*) = } и X: £/Кп(ЗЕ)<,М|(Э£) = } П X: £/Рш(Х)(,
хде хде
получая четыре семейства п/м объединения всех множеств из X; само X является подсемейством каждого из вышеупомянутых четырех семейств (см. (1.1)). В дальнейшем семейства (1.1) используются как правило при условии А/ X. Если М - множество и V /5^5(М)), то
См[Р]=}М§М: М /V < /5^5(М)).
£
Для непустого семейства £ и множества В в виде £\р = } А\'В \ А / £ { / (В)) имеем след £ на множество В. Каждому семейству X и множеству Б сопоставляем семейство [X ](5) = }Н / X /5(Х).
Если II и V - множества, то V1' есть с1с£ множество всех отображений из II в У;
при / / Vй и \¥ / Б{и) в виде = }/(:г) : х / / реализуется образ
£
\¥ при действии /. Как обычно, М - вещественная прямая, N = }1; 2;...{ и при п / N
_ £ л— £
1,тг = }к / С п{, а также п. е = / С к(. Если Б - множество и п / М, то вместо
используем более традиционное обозначение Б4, полагая при этом, что элементы N (натуральные числа) не являются множествами. Если М - множество, то
7Г[М] = }Г /5%5{М))\Л/Т )&(М/V /V ЗЛ /V ЗВ /V ){
есть семейство всех 7Г- систем п/м множества М с «нулем» и «единицей», а
п°[М] = }Г /тг[М]Щ/Г Зх/М§ЬФА/Р : (х / Л)&(Л V Ь = 4{
есть семейство всех отделимых 7Г-систем п/м упомянутого множества; в виде
£
(а^)[М] = / и[М]\Е' § Ь / V 31/ / V { имеем семейство все алгебр п/м М.
Заметим, что при всяком выборе непустого множества X, 7Г-системы У / х[Х] и множества У / У ъ виде [Сх СУ]] 00 имеем непустое семейство п/м X, а потому определено пересечение всех множеств данного семейства; эти множества называем квазиокрестностями У. С учетом этого корректно следующее определение: если X -непустое множество, то
АХ\=}У /*[Х]\ П А/СХ[У\Ч¥/У{-
А4Сх[{ иоо
ясно, что = }У / 7r[X]W / У 0ЛО / [СХ[У]](¥) : Л0 ЗЛ / [СХ[У]](¥)(.
Введено семейство 7Г-систем с наименьшими квазиокрестностями всех своих множеств.
Элементы топологии. До конца настоящего раздела фиксируем непустое множе-
£
ство I. Через (top) [I] обозначаем семейство всех топологий на I и полагаем (clos) [I] = }Ci[r] : т / (top) [I] ( (семейства из (top)[I] и (clos)[I] находятся в естественной двойственности). Полагаем, что
(BAS)[I] = }/3 / I = U / Р / /3 / Вг V В2 0Б3 / 0 :
в
(cl BAS)[I] £ =}/? / S%S(I))\l / ¿¡)&( n / /3 зв2//? Зх/п (В1пв2)
в/уз
0£3//?: (В1ПВ2^В3)к(х / Д0)<;
введены базы топологий (открытые базы) и базы семейств замкнутых множеств (за-
£
мкнутые базы). Если т / (top)[I], то семейства из (т BAS)o[I] = }/3 / (BAS)[I]\r =
£
}П((/?)< являются (открытыми) базами ТП (1,т), а семейства из (cl BAS)0[I;r] =
}В / (cl BAS)[I]\Ci[r] = }V{(/3)(, соответственно, замкнутыми базами этого ТП. Се-
£
мейства из (р BAS)[I] = }к / S^S(I))\}V(h(k) / (BAS)[I]{ - суть открытые прсдбазы
£
топологий на I (прсдбазы открытых множеств), а семейства из (р BAS)ci[I] = }х / S%S(I))^n(„(x) / (cl BAS)[I]{ - замкнутые предбазы топологий на I. Наконец, при т / (top) [I] в виде
(р BAS)0[I;t] = }«; / (р BAS)mv(t(K) / (т BAS)0[I]{ имеем семейство всех открытых предбаз конкретного ТП (I, т); соответственно, (р BAS)°[I;t]^}x/(P BAS)cl[I]\He(X)/(cl BAS)0[I;r](
есть семейство всех замкнутых предбаз упомянутого ТП.
Если т / (top)[I] и х /1, то N?(x) = } G / т\о / G{ и NT{x) = } H / S(l)fG / N?{x) : G Я{. Тогда при т / (top)[I] и А/ 5(1) в виде
с1(Дт) = } ж /1\GVA^ ЛЗС / Щх)( = } х /1\Н V А^АЗН / NT(x){ имеем замыкание А в ТП (I,т). Если % / iS^tS (I)), то полагаем, что
(C0V)[I\c] = }K/sb)4=
(семейство всех покрытий I множествами из к). Тогда в виде
((SC top)[I]=}r/(top)[I]^r/(p BAS)q\L]t\ 37// (COV)[I\7]
0Gi /mG2 / К: l = G1nG2{
имеем семейство всех топологий на множестве I, превращающих I в суперкомпактное ТП. Если же т / ((§С top)[I] и при этом (I, т) есть Т2-пространство, то данное ТП (I, т) называют суперкомпактом.
Сцепленные системы и фильтры. Согласно [3-6] семейство J называется сцепленным (сцепленной системой), если 1\ V 12 4= J3h I ЛЬ I J- Тогда
(link) [I] = } J / S\S (I))Vi Vl2¥: JBh / J1I2 / J(
есть семейство всех непустых сцепленных подсемейств <S(I). Логично рассматривать сцепленные подсемейства того или иного семейства множеств: если X / <S^iS(I)), то )Х link| [I] = } J/ (link)[I]\7-)•£<; тогда
)Х link | о [I] = }У I )Х link | / )X link] [I] (У -HJ) =00 (У = U)(
есть [9] семейство всех MCC, содержащихся в X.
Фиксируем до конца настоящего раздела 7Г-систему fC / 7г[1]. Тогда
>JC link| 0[I] = } J /)К link| [I]\3 J /1С (J V I )£ J3I / J) =oo (J / J) {.
Введем в рассмотрение фильтры широко понимаемого измеримого пространства (ИП) (I, /С):
г (/с) =} д / S%K, § avb /д ЗА /д зв /дщ 3F /д 3J /к
(F J) (J / д){ / S%)JC link| [I]) есть множество всех вышеупомянутых фильтров; если х / I, то
{1С triv)[ж] = } J / 1С\с / J( / Г {1С) есть тривиальный (фиксированный) фильтр, соответствующий точке х. В виде
=}v/Ф(к)\эд /г(1С) (V^g)^c(v = g){ = }v/¥(}С)\ и /1С (JvU^JBU /V) =оо ( J / V)( = } V /)К, link|o[I]\ (12) А V В / УЗА / V 35 / V( / S%)JC link|o[I])
имеем семейство всех у/ф ИП заметим, что у/ф данного ИП - суть макси-
мальные центрированные подсемейства 7Г-системы 1С и только они (см. [3, раздел 3]). Напомним, что с учетом леммы Цорна стандартным способом проверяется, что
зе /г {¡с) 0у /г0(/с): д ->v.
Аналогичное свойство имеет место для сцепленных систем:
3Т/)К link|[I] 0Т/)/С link|o[I] : Т^Т.
Применение упомянутых двух свойств традиционно и специально в дальнейшем оговариваться не будет. В связи со свойствами тривиальных фильтров отметим, что (см. [10, (5.9)])
{{К triv)[ж] /¥'0{К) Зж/1)^оо(/С /тг0[1]). (1.3)
В (1.3) имеем необходимые и достаточные условия максимальности тривиальных фильтров. В связи с представлениями у/ф напомним известное свойство
(/С / (alg)[I]) =оо (Г0(К) = } V / Г (JC)^A / К, (A/V){ (I %A/V)(.
Подобное представление имеет место и для МСС.
Предложение 1.1. Если fC / (alg) [I]. то справедливо равенство
)/С link|0[1] = }!■ / )fC link| / /С (A/J){ {\%A/J)(. (1.4)
Доказательство. Пусть £1 - семейство в правой части (1.4). Покажем, что )fC link|0[I] = fi. С использованием соотношений двойственности проверяется вложение )fC link|0[I] —Пусть W/ О. Покажем, что VV/ )fC link|0[I]. Допустим противное: W/)/С link|0[I]. Тогда для некоторого X / )К. link] [I] имеем свойства
(^)fe(WA'). (1.5)
Тогда (см. (1.5)) X § VV¥= А Пусть W / Л7 § W Тогда, в частности, W / 1С. По определению fi имеем, что (W / { (I § W / У\|. По выбору W получаем, что I § W / W Тогда I § W / X . Последнее невозможно, т.к. W / X , и мы получаем противоречие со сцепленностью X . Данное противоречие доказывает требуемое свойство максимальности W Итак, Q —>)/С link|0[I]. □
2. Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных
сцепленных систем
Фиксируем в дальнейшем непустое множество Е и 7Г-систему М/ к[Е\. Рассматриваем оснащения (топологиями) для непустого семейства Fq(A)I. Если L / то полагаем
ФM(L) = }V/r0(W/V{.
При этом (Ш)[Я;Л£ = } Фм(Ь) : L / Ц / тг[Г0(ЛЙ; в частности, (UF)[E;Mf. / (BAS)[Fq(A^| порождает топологию Т'и[Е\ = }П<((Ш)[В;Aft / (top)[F[,(Afl. В виде
и[Е]) (2.1)
имеем (см. [11]) нульмерное [12, 6.2] Т2 -пространство со свойством
(Ш)[Е-^Т'и[Щ VCW[TM; (2.2)
если М/ (alg) [Е]. то ТП (2.1) является нульмерным компактом, а (2.2) превращается в равенство.
Замечание 2.1. Пусть Л4/ тг°[£7]. Тогда (см. (1.3)) имеем отображение
(М triv)[}=((A4 triv)^])^ /F^(Af, (2.3)
которое реализует погружение Е в ТП(2.1) со свойствами [10, предложение 1,(3.5),(3.6)]. В частности, образ множества Е при действии отображения (2.3) есть множество, всюду плотное в ТП (2.2). □
В общем случае _М/ тг\Е\ при Н / S{E) рассматриваем множество
¥*С[ЛЩ} = } V / ¥'0{Л^фи / V : U
(при L / .Ми Н = Е § L имеем равенство F^-.[AW] = Fq(AJ(§ Фц{Ь) ). Как следствие JicWl: Л / СЕ[Щ = Cn(u)[(W)[E-,MH / (cl BAS)0[T0(Aj(; Т'и[Е\]. (2.4)
Вместе с тем, как легко видеть (см. (2.4)), / (р BAS)[Fg('A1] и определена
(см. [2, (5.4)]) топология
ТЬ)Е\ = }n((}V(^cm / (Ьф)И,(ЛМ. (2.5)
В связи с (2.5) обратимся к представлениям [2] для у/ф, рассматриваемых как варианты МСС. В этой связи напомним, что семейство
)М linklo[Е\ = }Т/)М Ъпк\[Е№Г/)М link|[Е\ (Т-ьТ) =эо (Jr= Т}{ = }Т/)М lmk| [Е]Щ / / J) =ос (L / J){
содержит Fq(AJ( и, следовательно, непусто;
Fо(М=}Г/)М lmk|o [E]\\V В / ПА / ТБВ / Ц / S%)M link|
Введем в рассмотрение следующие множества:
()М link\°[E\L] = }F/)М link|o[F]\L /Д 3L /Ц &()М 11пк|°р[Я\Д] = }Г/)М link|0[F]fE/Т\ Е ->Я( ЗЯ/S(E))
(см. [2, раздел 4]). В этих терминах определяем, следуя [2, (4.9)], два непустых семейства
link| °[£r\L] : L / Ц)^1[Е;Ц£=})М ВпкЩВУЧ : А / СЕ[Щ),
(2.6)
для которых (см. [2, (4.10)]) ¡¿'0[Е]Л$=С)ц lint 0Щ(семейства (2.6) находятся
л
в двойственности). Легко видеть, что / (р В AS) [) A1 link|o[£]], а потому
данное семейство порождает топологию
Т0)ЕЩ= }П((}Ч(^р[Е;т / (toP)[)A4 \mk\0[E]],
для которой является [2, предложение 4.1] замкнутой прсдбазой. Более того
(см. [2, раздел 5]), Т0)ЕЩ / ((SC) top)[)AI link|0[£]], а ТП
ОМ 1шк|оИ,То)МАЮ (2-7)
есть суперкомпактное Tj-пространство (см. [2,(5.6)]), для которого
Т°и)Е\ =Т(2-8)
Таким образом, имеем в виде
(ВД,Т°)£|) (2.9)
подпространство ТП (2.7). Как следствие (используем также построения на основе [11, (6.18)]) получаем следующее положение.
Предложение 2.1. В виде (2.9) реализуется компактное Т[ -пространство. Заметим, что А|1 / (р ВАЗ)[)_М Нпк|0[£]], а потому определена топология
/$ор)[)М ИпВДЯ]],
превращающая [2, предложение 6.4] )М. 11пк:10в нульмерное Т2 -пространство
(}М 1шк|0[Я],Т,)Д\Л$. (2.10)
При этом согласно [2, предложение 6.5] в виде (2.1) имеем подпространство ТП (2.10):
ед = т,)£\л^о(м). (2.п)
Кроме того, отметим (см. [2, предложение 7.1]), что топологии Т0)£^\Д[( и Т7 сравнимы, причем
Т0)ЕЩ^Т,)ЕЩ. (2.12)
Итак (см. (2.9),(2.10)), получаем следующее БТП с элементами в виде МСС:
()М \тк\0[Е],Т0)ЕЩ,Т,)ЕЩ). (2.13)
При этом (см. (2.8),(2.11),(2.12)) ~^Т'и[Е\] в виде
(ВД,Т°)£|,ВД) (2.14)
имеем БТП с элементами в виде у/ф 7Г-системы Л4 В силу (2.8) и (2.11) логично рассматривать БТП (2.14) как подпространство БТП (2.13). В связи с исследованием БТП отметим монографию [13]. Если (X, Т\,т2) - произвольное БТП (X - множество, Т\ / (1;ор)[А], т2 / (1юр)[А'] и при этом Т! —>т2), то называем данное БТП вырожденным, если Т1 = т2. Напомним, что имеет место следующее (см. [9, 8,9]
Предложение 2.2. Если М/ (а%)[Е] или М/ ^ор)[£], то БТП (2.13) вырождено, то есть Т0)£'УЦ( = Т7) а каждое из ТП (2.7), (2.10) является нульмерным суперкомпактом.
Отметим, кроме того, что справедливо
Предложение 2.3. Если Л4/ [1?], то БТП (2.14) вырождено:
Т°и)Е\ =Ти[Е\; (2.15)
при этом каждое из ТП (2.1),(2.9) является нульмерным компактом, то есть нульмерным компактным Т2 -пространством.
Из (2.8) и предложения 2.1 следует, что в общем случае А4/ я[Е] множество FQ(Лjf компактно в ТП (2.7). Как следствие (см. (2.11)) получаем следующее положение.
Предложение 2.4. Если Л4/ [1?], то замкнуто в ТП (2.10):
Доказательство. Пусть Л4/ тг^Е]. Тогда в силу предложения 2.3 имеем равенство (2.15), означающее согласно предложению 2.1, что (2.1) есть компактное ТП. Стало быть (см. (2.11)), F^AJi есть компактное множество в Т-2 -пространстве (2.10), откуда и вытекает требуемое утверждение. □
В связи с вопросом об условиях невырожденности БТП (2.13) и (2.14) отмстим положения [9, раздел 7]: если т / (top) [Е], (Е, т) есть Тг -пространство и при этом т * 5(E), то при А£= СЕ[т]
(Т°)Е| * Ти[Е]ЩТ0)ЕЩ^Т,)ЕЩ).
Итак, в случае Тг -пространства, не являющегося дискретным, при C^fr], где т -топология данного пространства, каждое из БТП (2.13), (2.14) является невырожденным (в [14] приведен целый ряд содержательных примеров такого рода).
Пусть до конца настоящего раздела АЛ/ 7Г°[Е] (итак, .Месть отделимая 7Г-система). Поэтому в силу (1.3) (М. triv)[x] / Fß(AJ( Зж / Е. Тогда с учетом [10, предложение 1] при А / <S(E) устанавливается, что
cl(}M triv)[x] : ж / А{,Т'и[Е\) = }V A3U/У(.
С этим свойством связано одно следствие, показывающее, что в рассматриваемом случае две вышеупомянутые топологии на множестве у/ф в некотором смысле близки:
Фи(Е) = cl(}(.M triv) \х\ : X / L(,T°u)E\)=c\(}(M triv) [ж] : х / L{, T'U[E]) 3L / М
Это означает, в частности, что F^A^f = cl(}(.M triv)[x] : х / Е(,Т^)Е|) = с1(}(.М triv)[х] : х / Е{,Т'и[Е]). Грубо говоря, само исходное множество Е всюду плотно в каждом из ТП (2.1) и (2.9).
3. Некоторые типы ультрафильтров
В общем случае АЛ/ 7Г [Е] определено следующее множество
triv)[ж] : х / Е{ /S%¥'(L)) (всех тривиальных фильтров ИИ (Е,Л)(). Тогда [10, (2.3)]
kam = >v / mmn l=a = nw § r0jtw cs.i)
LAX
есть множество всех свободных у/ф ГШ (Е, Отметим некоторые примеры возможных вариантов представления Fß(AJ(.
Пример 3.1. Рассмотрим случай, когда реализуется равенство Fß(AJ( = Fg f (..A/t Пусть E = N и }п, 1t : п / N( П}Д; тогда АЛ/ (top)[E] и, в частности, АЛ/ х[Е]. При этом (Е, является Т0-пространством, Vo = }n, ^ : п / N{ / Fg f (уЦ является наибольшим (в упорядоченности по включению) элементом Fß(A)f. Если t / Е, то (М triv)[i] = } к,е : к / М( / rot(Ai§Fi,(Ai, так как (М triv)[i] V0 и при этом (АЛ triv)[i] * Vo- Поскольку выбор t был произвольным, то F0t(A3IVF0(A*= А откуда в силу (3.1) получаем требуемое равенство Fß(AJ( = F,3 f (уЦ. При этом Fß(A)f = Ff-, {{АЛ = }Vo< по свойствам Vo- □
Пример 3.2. Рассмотрим случай, когда реализуется равенство =
Пусть М С£-[г], где топология т / (Чор) [Е] такова, что (Е, т) есть компактное Т1!-пространство. Тогда АЛ/ 7Г°[£"] и —> в силу (1.3). Поскольку при
V / ^ имеем, что V - центрированное семейство замкнутых множеств, получаем в силу компактности (Е, т), что V / Итак, —г(Л^(, а тогда =
Г0,(Л* Данное равенство понятно в свете простейших свойств расширения Волмэна.
□ '
Замечание 3.1. Пусть топология т / (1хэр) [Е1] такова, что (Е, г) есть компактное ТП, а М= С£[т] (как и в примере 3.2). Тогда Р0(Л* -^(Л* и А Итак, среди тривиальных фильтров есть максимальные. Как следствие реализуется свойство
(Зяг! / Е 0ж2 / Е : ((М -»(Л* Ыу)[Х2])&((Л1 ЫТ)^] / Г0(Л#. (3.2)
Замечание 3.2. Пусть т удовлетворяет условию предыдущего замечания, а 7Г-система АЛ/ тг\Е\ такова, что Тогда Ш'д(~~^^огСМ и выполняется (3.2).
Пример 3.3. Отметим один вариант ситуации, упомянутой в замечании 3.2.
£
Пусть а / К, Ъ / М и а < Ь. Полагаем, что Е = [а, Ь] и АЛ= }[рг1(;г), рг2(г)] :
г / [а, Ь] О [а7 Ч ( (мы допускаем при определении [с. с1], где с / М и 6. / М, любые
£
соотношения между с и <1, полагая [с, с?] = }£ / М\(с с С (1.) ( и допуская воз-
можность совпадения и Л). Тогда ^(Л^ = Рд (учитываем очевидное свойство
В [7, раздел 5] указан пример 7Г -системы (точнее, решетки) замкнутых множеств в Т0-пространстве, в котором имеются и максимальные тривиальные фильтры, то есть тривиальные у/ф, и тривиальные фильтры, не являющиеся максимальными.
4. Некоторые свойства максимальных сцепленных систем
Фиксируем 7г-систему АЛ/ тг[£/], оговаривая по мерс надобности те или иные дополнительные условия. Рассмотрим некоторые положения, касающиеся свойств МСС 7Г-системы АЛ
Легко видеть, что при Ь / непременно Фц(Ь) = )М 1тк| °[ЕЩ ^ А
Напомним здесь же, что есть множество, компактное в ТП (2.7). С учетом [11,
(2.12)] проверяется
Предложение 4.1. Если Т / )АЛ Нпк| 0[£] § FQ(Л)(, то
= Л (4.1)
ЕДРС
1'1так, МСС, не являющиеся у/ф, в некотором отношении подобны свободным у/ф. Вполне очевидны следующие два предложения.
Предложение 4.2. Справедливо равенство )АЛ Нпк|о[£] § FQ(Лjf = )АЛ
1шк|0[Я]§Г(Л*.
Предложение 4.3. Если Т / )ЛЛ link] 0[£] § t(A)f, то справедливо (4-1)-
Совсем кратко рассмотрим вопрос о существовании МСС, не являющихся у/ф; будем при этом использовать конструкцию примера 4.18 в [6, гл. VII]. В частности, в дальнейших построениях, связанных с 7Г -системами, будем всякий раз оговаривать естественное в свете упомянутого примера условие, связанное с тем, что множество Е содержит не менее трех элементов.
Предложение 4.4. Если 0ж / Е / Е 02 / Е :
/MH}y,z( / J^(}x]Z( /Н (4-2)
то справедливо следующее свойство непустоты:
)М linking §Г(Л*У= Л (4.3)
Доказательство. Зафиксируем х, у и z со свойством (4.2), Введем трехэлементное сцепленное семейство
U = }}x;y{-,}y]z{]}x]z((, (4.4)
для которого в силу (4.2) имеем включение Ы / )М. link] [Е], а тогда для некоторой МСС V / )М. lmk| о[£] выполняется вложение Ы —^V .
Покажем, что V / F' {Л>% В самом деле, допустим противное: пусть V / ¥' (Л^. Тогда, в частности,
АчВ/V 3A/V3B/V. (4.5)
Поэтому согласно (4.4) и (4.5) }у( = у{ V }у; z( / V и по сцспленности V имеем из (4.4), что }х] z( V }у( * А что невозможно. Противоречие доказывает, что на самом деле )АА Цпк|о[£]§Г(Л^* Л □
В дальнейшем условие того, что множество Е имеет мощность не менее трех, будем записывать в форме, подобной (4.2), с тем, чтобы подчеркнуть связь доказываемых ниже утверждений с последним предложением.
Следствие 4.1. Если
0х /ЕЩу /EQz /Е : (ж * y)h{y * z)h{x * z), (4.6)
то для М= Сд[т], где т / (top)[£] и при этом (Е. т) есть -пространство, справедливо (4-3).
£
Пусть (algJgfE1] = }Л4/ (alg)[Е]\}-а;{ / А£1ж / Е( (тем самым введены алгебры п/м Е, содержащие каждая синглстоны всех точек из Е).
Следствие 4.2. Если выполнено условие (4.6) и Л4 / (alg)g[i?], то справедливо свойство (4-3).
Разумеется, согласно предложению 4.2 имеем при условии (4.6) следующее положение: если М= С£[т], где т / (top) [Е] превращает Е в Тг -пространство (Е. г),
)М link|0[F] § Fq(AJ(V: А (4.7)
Аналогичным образом, при условии (4.6) для АЛ/ (alg)g[F] (4.7) также выполняется. Напомним предложение 2.4. С учетом этого предложения и следствия 4.2 получаем
Предложение 4.5. Если выполнено (4.6) и М./ (alg)g[F]j mo
)М link| 0[Я] § Г0(Л* / Т, )ЕЩ § .
Итак, если исходная 7Г-система является алгеброй множеств с сингл ето нами, то MC С, не являющиеся у/ф, составляют в своей совокупности непустое открытое множество в ТП (2.10), то есть в «стоуновской» топологии. По аналогии с предложением 4.4 (учитывается также предложение 4.16 в [6, гл. VII]) устанавливается
Предложение 4.6. Если выполнено условие (4.6) и АЛ= С£[т], где т / (top)[F] и при этом (Е, т) есть нормальное [12,1.5] пространство, то
)М Hnk|o[£]§roGM/To)£\Mf§M-
Следствие 4.3. Если выполнены все условия предложения 4-6, то
)М Ипк| 0[ß] § Г0(Л^( / т, )ЕЩ § . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит. 2005. 402 с.
2. Ченцов А.Г. Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2018. Т. 24. № 1. С. 257-272.
3. de Groot J. Superextensions and super compactness // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wis., 1969. P. 89-90.
4. van Mill J. Sup er compactness and Wallman spaces // Amsterdam. Math. Center Tract. Amsterdam, 1977. Vol. 85. 238 p.
5. Strok M., Szymanski A. Compact metric spaces have binary subbases // Fund. Math. 1975. Vol. 89. № 1. P. 81-91.
6. Федорчук В.В., Филиппов B.B. Общая топология. Основные конструкции. М.: Физматлит, 2006. 336 с.
7. Ченцов А.Г. Суперрасширение как битопологическое пространство // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2017. Т. 49. С. 55-79.
8. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
9. Ченцов А.Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 3. С. 365-388.
10. Ченцов А.Г. Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. C. 87-101.
11. Ченцов А.Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. C. 113-142. DOI: 10.20537/vm110112.
12. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.
13. Dvalishvili B.P. Bitopological spaces: theory, relations with generalized algebraic structures and applications // Mathematics Studies. Nort-Holland, 2005. 422 p.
14. Chentsov A.G. Some representations connected with ultrafilters and maximal linked systems // Ural Mathematical Journal. 2017. Vol. 3. № 2. P. 100-121.
Поступила в редакцию 16 апреля 2018 г. Прошла рецензирование 22 мая 2018 г. Принята в печать 26 июня 2018 г.
Ченцов Александр Георгиевич, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник отдела управляемых систем; Институт радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация, профессор кафедры вычислительных методов и уравнений математической физики, e-mail: chentsov@imm.uran.ru
Для цитирования: Ченцов А.Г. Максимальные сцепленные системы и ультрафильтры широко понимаемых измеримых пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 846-860. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-846-860
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-846-860
MAXIMAL LINKED SYSTEMS AND ULTRAFILTERS OF WIDELY UNDERSTOOD MEASURABLE SPACES
A. G. Chentsov
N.N.Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academii of Science 16 Kovalevskaja St., Yekaterinburg 620990, Russian Federation The Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin 19 Mira St., Yekaterinburg 620002, Russian Federation E-mail: chentsov@imm.uran.ru
Abstract. Two types of set families (ultrafilters or maximal filters and maximal linked systems) for widely understood measurable space are considered. The resulting sets of ultrafilters and maximal linked systems are equipped with the pair of comparable topologies (within the meaning of «Wallman» and «Stone»). As a result, two bitopological spaces are realized; one of them turns out. a subspace of another. More precisely, ultrafilters are maximal linked systems and the totality of the latter forms a cumulative bitopological space. With employment of topological constructions some characteristic properties of ultrafilters and (in smaller power) maximal linked systems are obtained (the question is necessary and sufficient conditions of maximality of filters and linked systems).
Keywords: bitopological space; topology; ultrafilters
REFERENCES
1. Bulinskiy A.V., Shiryayev A.N. Teoriya sluchaynykh protsessov [The Theory of Random Processes]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2005, 402 p. (In Russian).
2. Chentsov A.G. Bitopologicheskiye prostranstva ul'trafil'trov i maksimaFnykh stseplennykh sistem [Bitopological spaces of ultrafilters and maximal linked systems]. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki Ural'skogo otdeleniya RAN - Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2018, vol. 24, no. 1, pp. 257-272. (In Russian).
3. de Groot J. Superextensions and super compactness. Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin, VEB Deutscher Verlag Wis., 1969, pp. 89-90.
4. van Mill J. Super compactness and Wallman spaces. Amsterdam. Math. Center Tract., Amsterdam, 1977, vol. 85, 238 p.
5. Strok M., Szymanski A. Compact metric spaces have binary subbases. Fund. Math., 1975, vol. 89, no. 1, pp. 81-91.
6. Fedorchuk V.V., Filippov V. V. Obshchaya topologiya. Osnovnyye konstruktsii [General Topology. Main Constructions]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006, 336 p. (In Russian).
The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 18-01-00410).
7. Chentsov A.G. Superrasshireniye kak bitopologicheskoye prostranstvo [Superextension as bitopological space]. Izvestiya Institute, matematiki i informatiki UdGU - Proceedings of the Institute of Mathematics and Informatics at UdSU, 2017, vol. 49, pp. 55-79. (In Russian).
8. Kuratovskiy K., Mostovskiy A. Teoriya mnozhestv [The Theory of Sets]. Moscow, Mir Publ., 1970, 416 p.
9. Chentsov A.G. Ul'trafil'try i maksimal'nyye stseplennyye sistemy mnozhestv [Ultrafilters and maximal linked systems]. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuter-nye nauki - The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 2017, vol. 27, no. 3, pp. 365-388. (In Russian).
10. Chentsov A.G. Nekotoryye svoystva ul'trafil'trov, svyazannyye s konstruktsiyami rasshireniy [Some ultrafilter properties connected with extension constructions]. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki - The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 2014, no. 1, pp. 87-101. (In Russian).
11. Chentsov A.G. Fil'try i ul'trafil'try v konstruktsiyakh mnozhestv prityazheniya [Filters and ultrafilters in the constructions of attraction sets]. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki - The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 2011, no. 1, pp. 113-142. (In Russian). DOI: 10.20537/vm110112.
12. Engel'king R. Obshchaya topologiya [General Topology]. Moscow, Mir Publ., 1986, 751 p. (In Russian).
13. Dvalishvili B.P. Bitopological spaces: theory, relations with generalized algebraic structures and applications. Mathematics Studies. Nort-Holland, 2005, 422 p.
14. Chentsov A.G. Some representations connected with ultrafilters and maximal linked systems. Ural Mathematical Journal, 2017, vol. 3, no. 2, pp. 100-121.
Received 16 April 2018
Reviewed 22 May 2018
Accepted for press 26 June 2018
Chentsov Aleksandr Georgievich, N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Corresponding Member of RAS, Chief Researcher; Institute of Radioelectronics and Information Technologies of Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Yekaterinburg, the Russian Federation, Professor, e-mail: chentsov@imm.uran.ru
For citation: Chentsov A.G. Maksimal'nye stseplennye sistemy i ul'trafil'try shiroko ponimaemyh izmerimyh prostranstv [Maximal linked systems and ultrafilters of widely understood measurable spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta,. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 846-860. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-846-860 (In Russian, Abstr. in Engl.).
