CC BY
21
Известия Института математики и информатики УдГУ
2017. Том 49
УДК 517.977, 519.837.3 © А. Г. Ченцов
СУПЕРРАСШИРЕНИЕ КАК БИТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Рассматриваются суперкомпактное пространство максимальных сцепленных систем топологического пространства (суперрасширение) и его подпространство, состоящее из ультрафильтров семейства замкнутых множеств. Получены соотношения, связывающие упомянутые пространства, и некоторые следствия, относящиеся к расширению Волмэна в случае, когда исходное топологическое пространство удовлетворяет аксиоме Тъ В этом случае указаны некоторые представления множеств в пространстве обобщенных элементов (определяемых в виде замкнутых ультрафильтров), имеющие отношение к абстрактной задаче о достижимости при ограничениях асимптотического характера. Исследуется также более общий случай упомянутых соотношений, отвечающий ситуации, когда исходное пространство произвольно (рассматривается конструкция, использующая замкнутые ультрафильтры исходного топологического пространства). Наряду с оснащением топологией волмэновского типа используется топология, подобная применяемой при построении компактов Стоуна. В результате реализуются битопологическое пространство максимальных сцепленных систем и связанное с ним битопологическое пространство замкнутых ультрафильтров в виде соответствующего подпространства.
Ключевые слова: битопологическое пространство, замкнутый ультрафильтр, суперкомпактность, суперрасширение.
Б01: 10.20537/2226-3594-2017-49-03 Введение
Суперкомпактные топологические пространства (ТП) и связанная с ними конструкция суперрасширения были введены в [1,2]. Важную роль в этих построениях играли топологии волмэновского типа. Особое внимание уделялось исследованию функтора суперрасширения (см. [3, гл. 3, § 4]). При этом точками пространства суперрасширения являются максимальные сцепленные системы (\!('(') замкнутых множеств. Отмечено [3, 4.18], что суперрасширение ТП практически никогда не является расширением исходного ТП.
С другой стороны, конструкции, связанные с применением расширений (компактифика-ций), оказались (см. [4-7] и др.) полезными при исследовании прикладных по своей сути задач, связанных с достижимостью при ограничениях асимптотического характера. В этих конструкциях, однако, объектом расширения является не ТП, а сама задача о достижимости. В частности (см. [7,8]), оказалось возможным применить (в интересах построения пространства обобщенных элементов [7]) расширение Волмэна. В этой связи представляется логичным рассмотреть данный вариант расширения и несколько более общую схему, оперирующую с замкнутыми ультрафильтрами (у/ф) произвольного ТП, в терминах представлений на основе подходящего объемлющего пространства. В качестве последнего, как показано в статье, оказывается возможным использовать суперрасширение исходного ТП (имеется в виду представление волмэновского пространства в виде подпространства суперрасширения).
Итак, по сути речь идет о представлении расширения Волмэна и некоторых эффектах, возникающих в связи с данным представлением. В этой связи отметим, что в [8] использовалась еще одна топология на множестве замкнутых у/ф (и в более общих случаях), которую можно назвать стоуновской по способу построения (обычно данная топология применяется в случае использования у/ф алгебры множеств). В настоящей работе для упомянутой топологии также конструируется объемлющее ТП. Устанавливается его сравнимость с исходным пространством суперрасширения и, таким образом, реализуется естественное оснащение парой топологий. Таким образом, возникает структура, связанная с оснащением множества МСС парой сравнимых топологий, то есть реализуется битопологическое пространство. В свою очередь, замкнутые у/ф могут рассматриваться как частный случай МСС, а совокупность всех таких у/ф также допускает оснащение парой сравнимых топологий (волмэновской и стоуновской), порождая битопологическое пространство. В работе устанавливается, что последнее индуцировано из суперрасширения (в его битопологическом варианте).
В заключительной части статьи приведены два добавления, ориентированные на применение в конструкциях расширений абстрактных задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера (ОАХ); см. [4-8]. В частности, устанавливается одно свойство, касающееся эквивалентности двух семейств, определяющих каждое соответствующий вариант ОАХ. В основе данной конструкции находится подход, связанный с применением расширения Волмэна при построении пространства обобщенных элементов.
В конструкциях с применением у/ф мы не ограничиваемся построениями только замкнутых у/ф: используются определения, естественные для широко понимаемых измеримых пространств (оснащения п-системами, решетками и, в частности, алгебрами п/м того или иного множества). Это естественно для расширений задач о достижимости с ОАХ, которые в настоящей работе не рассматриваются (однако соответствующие ссылки по ходу изложения позволяют осуществить нужную «привязку»).
§ 1. Обозначения и определения общего характера
Ниже используется стандартная теоретико-множественная символика (кванторы, пропозициональные связки и др.); с1е£ заменяет фразу «по определению», = — равенство по определению, 0 — пустое множество. Принимаем аксиому выбора. Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Если х и у — объекты, то через {х; у} обозначаем (единственное) множество, содержащее х, у и не содержащее никаких других элементов. Тогда для всякого объекта г в виде {г} = {г; г} имеем синглетон, содержащий г.
Множества — объекты, а потому для произвольных объектов а и Ь в виде (а, Ь) = {{а}; {а; Ь}} мы имеем [9, с. 87] упорядоченную пару (УП) с первым элементом а и вторым элементом Ь. Если же Н — какая-либо УП, то через р^ (Л,) и рг2(Н) обозначаем соответственно первый и второй элементы Н, однозначно определяемые условием Н = (рг1(Н), рг2(Н)).
Через V(X) обозначаем семейство всех подмножеств (п/м) множества X и, кроме того,
полагаем, что V' (X) = V (X )\{0}; через Пп^) обозначаем семейство всех конечных множеств из V'(X), то есть семейство всех непустых конечных п/м X.
Для каждого множества У в виде V'(V(У)) имеем семейство всех непустых семейств п/м У, а в виде V'(V'(Y)) — семейство всех непустых семейств непустых п/м У. Если А — непустое семейство, а В — множество, то
А|в △ {А П В : А е А} € V (V(В)) есть след семейства А на множество В. Если М — множеств о и М е V ' (V (М)), то
См[М] △ { М \ Н : Н е М} е V'(V(М))
есть семейство п/м М, двойственное по отношению к М.
Ниже используются некоторые специальные семейства, которые не определяются однозначно набором ключевых свойств; вместо этого мы получаем семейства, «составленные» из семейств и определяемые уже однозначно упомянутыми свойствами. Так, в частности, мы вводим семейства п-систем п/м заданного множества, семейство топологий на этом множестве, семейство алгебр его п/м; соответствующие алгебры множеств и топологии рассматриваются как варианты п-систем. В этой связи рассмотрим непустое множество I, а также семейство
п[I] △ {£е V'(V(1))| (0 е С)&(1 е С)&( А п В е £ V А е С VВ е£)} (1.1)
всех п-систем п/м 1с «нулем» и «единицей», а также
(а^)[1] △ {Ае п[1]|1 \ А е А V А е А}, (1.2)
^ср)[1] △ {т е п[1]| и О е т ^ е V'(т)}.
сед
Итак, введены семейства всех алгебр п/м I и всех топологий на I. Введем, кроме того, семейство
(ЬАТ)° [I] △ (16 Р' (Р (1))|(0 еХ )&(1 е1)&(У А В е! (А и В еХ)&(А п В е1))} =
= (16 п[1 ]|А и В 61 V А е!У В 6 1} (1.3)
всех решеток п/м I с «нулем» и «единицей». Каждое из семейств (1.2)—(1.3) является подсемейством (1.1). В виде
П°[!] △ (16 IVЬ 6 IVх 6 I \ Ь 61 : (х 6 7)&(7 П Ь = 0)}
имеем семейство всех отделимых п-систем п/м I. Наконец, еели 16 п[!], то в виде
(Сеп)[Х] △ (Я 6 Р'(!)| р| Я = 0 Е1п(£)}
2 ек
получаем семейство всех непустых центрированных подсемейств п-системы I.
Элементы топологии; базы и предбазы. Условимся о следующих обозначениях: если 5 — непустое семейство, то полагаем, что
sex s ex
{U}„(S) = { U S : X € Fin(S)},
{U}(S)△ ^ S : x €P(S)},
sex
{n}(S)△ { П S : X €P(S)},
△
sex
{n}„(S)△ {f| S : x € Fin(S)},
sex
S
не определяется и не используется пересечение множеств пустого семейства).
Для большей краткости в обозначениях фиксируем до конца настоящего пункта непустое множество X. Тогда семейство открытых баз топологий на X имеет вид
(BAS)[X] △ {B€P'(P(X))|(X = U B)&(V B €BV B2 €BV x € B П B2
BeB (1-4)
ЗВ3 € B : (x € Вз)&(Вз С Bi П B2))};
ясно, что {U}(B) € (top)[X] V B € (BAS)[X]. Введена топология, порожденная соответствующей базой. Если же т € (top)[X], то
(т - BAS)o[X] △ {B € (BAS)[X]|т = {U}(B)} (X, т).
что в виде
(p - Bas)[X] △ {X € P'(P(X))|{П}(X) € (BAS)[X]} = {X € P'(P(X))|X = [J X}
△ (X 6 V (Р(X))|{П}ц(X) 6 (ВАЙ)[Х]} = (X 6 Р (Р(X))|Х =
хех
имеем семейство всех открытых предбаз топологий на X. Ясно, что
(и}((п}в(х)) 6 ^ср)[Х] VX 6 (р - Вав)[Х].
Тем самым введена топология, порожденная открытой предбазой. Полагаем также, что (р - ВАЯ)о[X; т] △ (X 6 (р - Ва8)[Х]|(п}„(X) 6 (т - ВАЯ)о[Х]},
получая семейство всевозможных открытых предбаз конкретного ТП (X, т). Введем теперь в рассмотрение замкнутые топологии П. С. Александрова (см. [10, с. 98]): семейство всех таких топологий имеет вид
(е1о8) [X] △ |7е V'(V(X))|(0 е/)^ е/)&(А и В е^ А е^ В е/)&
&( р| F е /V/' е V'(/))}.
^ ет'
Ясно, что Сх[т] е (е^)^] Vт е (top)[X]; кроме того, Сх[/] е (top)[X] V/ е (еЬ^^]. Наряду с открытыми (см. (1.4)) рассматриваем замкнутые базы: в виде
(е1 - ВАЯ)^] △ {В е V'(V(X))|^ е В)&( П В = 0)&(УВх е ^В2 е BVх е X\ (В1 иВ2)
вев
ЗВ3 е В : (В1 и В2 С В3)&(х е В3))}
имеем семейство всех замкнутых баз (фиксированного множества X). При этом, конечно,
{П}(В) е (е^в)^] VB е (е1 - BAS)[X].
Рассматриваем, кроме того, замкнутые базы ТП с «единицей» X; в этой связи полагаем при т е ], что
(е1 - ВАЯ^; т] △ {В е (е1 - BAS)[X]|Сх[т] = {П}(В)}.
Введем в рассмотрение семейство замкнутых предбаз на множестве X, полагая
(р - ВАЯ^И △ {X е V'(V(X))|{и}(X) е (е1 - BAS)[X]}.
Наконец, введем множество всех замкнутых предбаз фиксированного ТП с «единицей» X: если т е ^ор) [X], то
(р - ВАЯ)° [X; т] △ {X е (р - ВАЯЫ^Мй(X) е (е1 - ВАЯ^^; т]}.
Введем также в рассмотрение семейство покрытий X множествами заданного семейства: если X е V'(V(X)), то
(соу)^|х] △ {X е V'(х^ = у X}.
хех
Если т е (top)[X] и х е X, то N°(х) △ {О е т|х е О}, а
N(х) △ {Н е V(X)|3О е №(х): О с Н}
есть фильтр окрестностей х в ТП (X, т), понимаемых в смысле [11, гл. I]; №(х) С N(х).
Если т е ] и А е V(X), то через е1(А, т) обозначаем замыкание множества А в ТП
(X, т). Наконец, при т е (top)[X] условимся через (т - comp)[X] обозначать семейство всех компактных в ТП (X, т) п/м множества X.
§ 2. Фильтры и сцепленные системы
Фильтры. В последующем изложении фиксируем непустое множество Е и рассматриваем различные варианты п-систем из множества п[Е]. Есл и Се п[Е], то в виде
Е*(С) △ {/ е V' (С \ {0})|(А п В е/ V А е / V В е /) & ,2 ^
& (VF е / VЬ е С (F с Ь) (Ь е /))}
(Е, С)
пС
п
Е2(С) △ {и е F*(С)|VF е Е*(С) (и с /) (и = /)} =
= {и е F*(С)|VЬ еС (Ь п и = 0 V и еи)=^ (Ь еи)} = (2.2)
= {и е (Сеп)[С]^ е (Сеп)[С] (и С V) (и = V)},
FQ(С) = 0. Заметим в этой связи, что
(С - Шу)[х] △ {Ь е С|х е Ь} е FQ(С) Vх е Е.
Таким образом, введены тривиальные (фиксированные) фильтры. При этом [12, (5.9)]
(С е п°[Е]) ^ ((С - ^1у)[х] е Е2(С) Vх е Е) (2.3)
(в (2.3) указаны необходимые и достаточные условия максимальности тривиальных фильтров п
Ф£(Ь) △ {и е FQ(£)|L е и} VЬ е С. (2.4)
Тогда (Ш)[Е; С] △ {Ф£(Ь) : Ь е С} е (BAS)[FQ(С)], а топология
Т£[Е] △ {U}((UF)[E; С]) = {О е V(С))|М е О Зи е и : Ф£(и) С О} е ^рЖ(С)] (2.5) превращает FQ(С) в нульмерное Т^-пространство. С другой стороны, при С е (ЬАТ)°[Е] имеем
(UF)[E; С] е (е1 - BAS)[F°(С)] (замкнутая база), а порожденная данной замкнутой базой топология
т£[Е] △ СВД[{П}((Ш)[Е; С])] е ^р)К(С)] превращает (см. [7, раздел 6]) F°(С) в компакт ное ^-пространство, для которого
Т°[Е] С Т£[Е];
в итоге получаем, что триплет
^(С), Т°[Е], Т^[Е])
является (при С е (ЬАТ)° [Е]) битопологическим пространством (см. [13]). Отметим, что в качестве С можно использовать замкнутую топологию Се [т], где т е (^р)[Е]. Если к тому же ( Е, т ) Т1 Т1
^(Се [т ]), Т°Св [г] [Е])
(Е, т) С е (а^)[Е], ТП
^°(С), Т^ [Е])
является нульмерным компактом (пространством Стоуна).
Сцепленные системы. Напомним, что (см. [1^3]) семейство Е е V'(V(Е)) (п/м множе-Е
системы замкнутых множеств), если А П В = 0 V А е Е V В е Е. Тогда полагаем, что
(11пк)[Е] △ {Ее V' (V (Е))|А п В = 0 V А е Е V В е Е}, (2.6)
получая семейство всех сцепленных систем п/м множества E.
Фиксируем до конца статьи топологию т € (top)[E] и полагаем, что
(cl - link)[E;т] △ {E € (link)[E]|E С Ce[т]},
получая семейство всех сцепленных систем замкнутых (в ТП (E, т)) множеств. Наконец,
(cl - link)o[E; т] △ {E € (cl - link)[E; т]|VS € (cl - link)[E; т] (E С S) (E = S)} (2.7)
есть семейство всех максимальных сцепленных систем (МСС) замкнутых (в ТП (E, т)) множеств. Семейство (2.7) будет предметом нашего дальнейшего рассмотрения наряду с (2.2) при L = Ce [т].
Суперкомпактность. Введем ряд известных понятий, связанных с суперкомпактными ТП, фиксируя, как уже отмечалось, т € (top)[E]. В частности, полагаем, что
((p, bin) - cl)[E; т] = {X € (p - BAS)0i[E; т]| f S = 0 VS € (link)[E] ПР(X)}; (2.8)
ses
замкнутые предбазы ТП (E, т) из множества (2.8) называем бинарными. Легко видеть, что (см. (2.6), (2.8)) VE € ((p, bin) - cl)[E; т] VC € (COV)[E|Ce[E]] 3Ci € C ЗС2 € C:
E = Ci U C2 (2.9)
(в (2.9) проясняется выражение «бинарная предбаза»). Разумеется, по двойственности имеем, наряду с (2.9), что VE € (p - BAS)0[[E; т]
(VC € (COV)[E|Ce[E]] 3Ci €C ЗС2 € C : E = Ci U C2) (E € ((p, bin) - cl)[E; т]). (2.10)
В определении суперкомпактного ТП следуем [1-3]: ТП (E, т) называем суперкомпактным, если ((p, bin) - cl)[E; т] = 0 (суперкомпактность отождествляется с фактом существования замкнутой бинарной предбазы).
§ 3. Суперкомпактные пространства
В настоящем параграфе фиксируем непустое множество M, получая в виде
((SC) - top) [M] △ {t € (top)[M]|((p, bin) - cl) [E; t] = 0} (3.1)
семейство всех топологий, превращающих M в суперкомпактное ТП, или (короче) семейство суперкомпактных топологий на M. Следуя традиции, суперкомпактное Т2-пространство называем суперкомпактом. С учетом (2.9), (2.10) устанавливается, что
((SC) - top)[M] = {t € (top)[M]|3S € (p - BAS)o[M; t] VG € (COV)[M|S]
3Gi € G 3G2 € G: M = Gi U G2}. (3'2)
В (3.1), (3.2) имеем очевидную двойственность, связанную с (2.8)^(2.10). С учетом леммы Алек-сандера [14, 3.12.2] имеем при t € ((SC) - top)[M], тао (M, t) есть компактное ТП.
В заключение параграфа отметим некоторые простые свойства, связанные с переходом к подпространству ТП. Так, в частности, Vt € (top)[M] VB € (t - BAS)0[M] VH € P'(M)
B|h € (t|H - BAS)o[H]. (3.3)
С другой стороны, как легко видеть, VE € (p - Bas)[M] VH € Р'(M)
E|h € (p - Bas)[H]. (3.4)
Комбинируя (3.3) и (3.4), получаем (см. §1), что Vt € (top)[M] VE € (p - BAS)0[M;t] V H € P' (M)
E|h € (p - BAS)0[H; t|H] (3.5)
(в (3.5) имеем известное свойство «сужаемости» открытых предбаз).
§4. О подпространствах суперкомпактных пространств
Настоящий параграф содержит замечание, относящееся к (3.2)-(3.5). В этой связи отметим весьма очевидное
Замечание 1. Если (X, t) есть Т П, X = 0 и Y G P '(X), то истинна следующая импликация:
(3S G (p - BAS)o [X; t] V G G P'(S)
(Y с \J G) (3Gi G G 3G2 G G : Y С Gi U G2)) (t|y G ((sc) - top)[Y]). (4Л)
GeG
Доказательство импликации (4.1) по сути дела сводится к непосредственной комбинации (3.2) и (3.5) (отметим, что общие вопросы, связанные с подпространствами суперрасширений, рассматривались в [2]; мы ограничиваемся здесь замечанием простейшего характера). Тем не менее рассмотрим краткую схему, полагая истинной посылку доказываемой импликации (4.1). Зафиксируем открытую предбазу S G (p — BAS)o [X; t] со следующим свойством: VG G P '(S)
(Y с [J G)=^ (3Gi GG3G2 GG: Y С Gi U G2). (4.2)
GeG
Тогда в силу (3.5) имеем очевидное свойство
S|y G (p — BAS)o[Y;%]. Выберем произвольно U G (COV)[Y|S|Y]. Тогдa U G P'(S|Y), и при этом
Y = U Z. (4.3)
z eu
Легко видеть, что V = {L G S|Y П L G U} G P '(S), и при этом
Y С U L (4.4)
Lev
UY
для некоторых множеств Li G Vn L2 G V свойств о Y С Li U L2. Тогда Ui = Y П Li G U Y П L2 G U реализуют равен ство Y = Ui U U2. Следовательно,
3Gi G U 3G2 G U: Y = Gi U G2. (4.5)
Поскольку S|y предбаза ТП (Y, tjy), получаем из (3.2) и (4.5) требуемое свойство
11y G ((SC) — top)[Y].
Итак, импликация (4.1) установлена.
§ 5. Суперрасширение топологического пространства
Напомним, что в последующих построениях (E, т), E = 0, — фиксированное ТП. Итак, E — непустое множество и т G (top) [E] (дополнительные условия будут оговариваться по мере надобности). Заметим, что некоторые из рассматриваемых ниже построений соответствуют [3, гл. VII,§ 4]. По ходу изложения отмечаются соотношения, связывающие МСС и замкнутые у/ф (имеются в виду v/ф п-системы Ce[т]). В этой связи напомним, что 0 / E VE G (link)[E]. Легко видеть, что
F*(Ce[т]) С (cl — link)[E;т]. Кроме того, имеем следующее легкопроверяемое равенство:
(cl — link)o[E; т] = {Eg (cl — link)[E; т]|V A G Ce [т] (A П E = 0 V £ G E) (A G E)}. (5.1)
Из (2.2) и (5.1) легко следует вложение
Fq(Ce[т]) С (cl - link)0[E; т]. (5.2)
В свою очередь, (5.2) означает (см. §2), что (cl - link)0[E; т] = 0. При этом (см. [3, 4.7])
VEi € (cl - link)[E; т] 3E2 € (cl - link)0[E; т]: Ei С E2. (5.3)
Отметим ряд совсем простых свойств. Так, в частности, имеем {F} € (cl - link)[E; т] при F € Ce[т] \ {0}. В качестве F может быть выбрано множество E. Вообще же
E U {E} € (cl - link) [E; т] V E € (cl - link) [E; т].
При этом, конечно, имеем (см. (2.7)), что E € E VE € (cl - link)0[E; т]. Следуя [3, гл. VII, § 4], введем V F € CE [т]
(cl - link)0[E; т|F] △ {E € (cl - link)0[E; ^|F € E}. (5.4)
Ясно, что (cl - link)0[E; т |0] = 0 и (cl - link)0 [E; т |E] = (cl-link)0[E; т]. Кроме того, V A € CE [т] V B € Ce[т]
(A С B) ((cl - link)0[E; т|A] С (cl - link)0[E; т|B]). (5.5)
Полезно отметить очевидную связь замкнутых v/ф и МСС, дополняющую (5.2):
F0(Ce[т]) = {U € (cl - link)0[E;т]|А П B € U V A € U VB € U}. (5.6)
Итак, замкнутые у/ф суть МСС, замкнутые относительно конечных пересечений, и только они. В связи с (5.6) отметим одно свойство, касающееся тривиальных фильтров (см. §2): если (E, т) есть Ti-npocTpancTBO, то
(Ce[т] - triv)[x] € (cl - link)0[E; т] Vx € E (5.7)
((5.7) получается фактически комбинацией (2.3) и (5.2) с учетом простейших следствий Ti-отделимости).
Замечание 2. Подчеркнем, что предположение о Ti-отделимости ТП (E,т) существенно для справедливости (5.7). Рассмотрим соответствующий пример, который, кроме того, показывает, что уже в To-пространстве тривиальный замкнутый фильтр может не быть максимальным.
Пусть в данном замечании множество E совпадает с натуральным рядом n = {1;2;...}. Итак, в
нашем примере E = n (E есть натуральный ряд с обычной у поря доченностыо и п, оО = {k € n |n ^ k} Vn € n. Тогда полагаем (в данном примере), что
т △ {i-^ : n € n}U{0} (5.8)
(заметим, что E = - оо). Ясно, что в данном случае т € (top)[E], a (E, т) теть Т0-пространство. Пусть T~n △ {k € n|k < n} Vn € n. Тогда в силу (5.8)
С_е [т] = {Т~п : я G N} U {0; Е}.
Выберем произвольно m € n со свойств ом 2 ^ m. Рассмотрим тривиальный замкнутый фильтр
M △ (Ce[т] - triv)[m] = {L € Ce[т]|т € L} € F*(Ce[т]). Поскольку m - 1 € n, имеем очевидное свойство
1, m - 1 € Ce[т] \M, (5.9)
1, m - 1 = 0.
U = {Tk: к G N} U {E} = Се[г] \ {0} G FS(Ce[t]) (5.10)
(в самом деле, Ы е р*(СЕ[т]), причем Ы не только обладает максимальностью, но и является наибольшим в упорядоченности по включению элементом Е*(Се[т]), поскольку
^С Се[т] \{0}^е ¥*(Се[т])
согласно (2.1)); в частности (см. (5.2)),
Ые (е1 - 11пк)о[Е; т]. (5.11)
При этом М С СЕ[т] \ {0} в силу (2.1), а потому М С Ы. Но (см. (5.9), (5.10)) 1,т - 1 €Ы\М. Тогда
(МсЫ )&(М = Ы), (5.12)
а потому (см. (2.2), (5.10)) имеем
М/ ¥*0(Се[т]). (5.13)
В связи с (5.9), (5.11) полезно отметить, что
Ы = (Се [т] - Шу)[1].
С учетом (5.10), (5.13) получаем, что в данном примере одна «часть» замкнутых тривиальных фильтров обладает свойством максимальности, а другая нет. Из (2.7), (5.2), (5.11) и (5.12) имеем, конечно, что М / (е1 - 1тк)о [Е; т]. □
Предложение5.1. Пусть (Е,т) естьТ\-пространство. Тогда VА е Се[т] VВ е Се[т]
(А С В) ^ ((е1 - 11пк)°[Е;т|А] С (е1 - 11пк)°[Е;т|В]). (5.14)
Доказательство. Фиксируем А е Се [т] и В е Се [т]. Пусть
(е1 - 11пк)°[Е;т|А] С (е1 - 11пк)°[Е;т|В]. (5.15)
Покажем, что (в этом случае) А С В. Допустим противное: А \ В = 0. Пусть д е А \ В. С учетом (5.7) Ы = (СЕ[т] - Шу)[д] е (е1 - Ипк)°[Е; т], причем А е Ы (см. § 2). Тогда
Ые (е1 - Ипк)°[Е; т |А]
в силу (5.4). С учетом (5.15) получаем, как следствие, включение
Ы е (е1 - 1ink)0[E; т|В],
а потому (см. (5.4)) В е Ы, что означает справедливость свойства д е В (по определению Ы). Получено противоречие. Итак, А С В. Тем самым установлена импликация
((е1 - Ипк)°[Е; т|А] С (е1 - 1ink)0[E; т|В]) (А С В).
С учетом (5.5) получаем требуемое свойство (5.14). □
Следствие 5.1. Если (Е, т) ест, ь Т\-пространство, то V Ае Се [т] V В е Се [т]
(А = В) ^ ((е1 - 1ink)0[E;т|А] = (е1 - 1ink)0[E;т|В]).
Доказательство очевидно. Полагаем теперь, что
С°[Е;т] = {(е1 - 1ink)0[Е;т|^]: ^ е Се[т]}, (5.16)
получая непустое семейство п/м (е1 - 1тк)°[Е; т]. Если О е т, то полагаем
(е1 - 1ink)0p[E; т |О] = {Ее (е1 - 1ink)о[E; т]|ЗЕ еЕ: Е С О}; (5.17)
ОЕ
Если ^ е СЕ[т], то
(е1 - 1тк)0р[Е; т|Е \ = (е1 - Ипк)°[Е; т] \ (е1 - 1ink)0[E; т]. (5.18)
Ясно также, что (е1 - Ипк)0р[Е;т|Е] = (е1 - 1ink)0[E;т]. Заметим, что (см. (5.17), (5.18))
С0р[Е; т] = {(е1 - 1ink)0p[E; т|О]: О е т} е (р - Бая)[(е1 - 1ink)о[E; т]]. (5.19) С учетом (5.19) получаем теперь, что
Т°[Е] = {и}({П}„(С0°р[Е;т])) е ^ср)[(е1 - 1ink)о[E;т]]: С°р[Е;т] С Т°[Е]. (5.20)
В виде ((е1 - Ипк)°[Е; т], Т°[Е]) имеем [1-3] суперрасширение исходного ТП (Е, т), причем (см. (5.16), (5.18), (5.19))
Со [Е; т] = С(с1-Ипк)о[Е;т][С0р[Е; т]] е (р - БА8)С1[(е1 - 1ink)о[E; т]; Т°[Е]]. (5.21)
Итак, (5.16) — замкнутая, а (5.19) — открытая предбазы суперрасширения; последнее — суперкомпактное ТП:
Т°[Е] е ((§€) - ^р)[(е1 - 1ink)о[Е; т]]; (5.22)
см. [3, 4.13]. При этом (см. (2.8), (5.21)) имеет место следующее свойство:
С°о[Е; т] е ((р, bin) - е1)[(е1 - Ипк)°[Е; т]; Т°[Е]]; (5.23)
кроме того, получаем с учетом (5.21)-(5.23), что Vх е (СОУ)[(е1 - 1ink)0[E; т]|С0р[Е; т]] ЗХ1 е х ЗХ2 е х:
(е1 - 1ink)о[E; т] = Х1 и Х2.
Последнее означает (см. (5.19)), что е V'(т)
((е1 - 1ink)о[E; т] = и (е1 - 1ink)0p[E; т|О]) (ЗО1 е 9 ЗО2 е 9:
сед
(е1 - 1ink)о[E; т] = (е1 - 1ink)0p[E; т|О1] и (е1 - 1ink)0p[E; тО]).
§ 6. Суперрасширение и замкнутые ультрафильтры
Сохраняем предположения §5. Рассмотрим более подробно связь суперрасширения ТП (Е, т) и пространства замкнутых ультрафильтров (ПЗУ) с топологией волмэновского типа. Сначала отметим несколько легкопроверяемых общих свойств. Так, V О1 е т V О2 е т
(О1 П О2 = 0) ((е1 - Ипк)°р[Е; т|О1 ] П (е1 - 1ink)0p[E; тО] = 0).
Напомним также известное [3, 4.16] свойство: если (Е,т) есть Т4-пространство (см. [3, 2.7]), то ((е1 - Нпк)°[Е;т],Т°[Е]) является Т2-пространством, а стало быть, и суперкомпактом, то есть суперкомпактным Т2-пространством.
Легко видеть, что {^} е (е1 - 1ink)[E,т] V^ е СЕ[т] \ {0}. Как следствие (см. (5.3)),
Се[т] \{0} = У Е
£е(с1-1тк)о[Е;т]
(в этой связи отметим следующую очевидную аналогию:
£\{0} = и Ы^е п[Е];
uеFS(£)
данное свойство легко следует из построений [7]). Итак, получаем, как следствие, цепочку равенств
Се[т] \{0} = У Е = У Ы.
£е(с1-11пк)о [Е; т] WеF5(C Е [т])
Напомним, что Се[т] € (ЬЛТ}о[Е|. Это позволяет использовать битопологическое пространство ^0(С}, Т^[Е], Т^[Е]} при С = Се[т]. Полагаем, что
^С[т |С] △ {и € FQ(CE [т ]}|3и € и: и С С} V С € т. (6.1)
Посредством (6.1) реализуется конструкция, подобная расширению Волмэна в случае применения ^-пространства; мы рассматриваем ее в общем случае ТП (Е, т). Легко видеть, что
®с[т|Е \ Е] = F^(Ce[т]} \ фсе[т](е} VЕ € Се[т]. (6.2)
Введем в рассмотрение следующее непустое семейство:
Зс[т] △ [т|С] : С € т} € Р'(Р^(Се[т]}}}. (6.3)
Из (6.2), (6.3) вытекает (см. обозначения §2) очевидное представление
Зс[т] = Сп°е[Г])[(Ш}[Е; Се[т]]] € (Т°°вИ[Е] - бл^К(Се[т]}]. (6.4)
Мы получили (см.(6.4)) открытую базу ПЗУ. При этом, как легко видеть (см. (5.17), (6.1)),
FC[т|С] = (с1 - Ипк}0р[Е; т|С] П FQ(CE[т]} VС € т.
В виде непосредственного следствия получаем равенство (см. (5.19), (6.4))
Зс[т]= Со0р[Е; т]|^ (°е [Т]) (6-5)
(заметим, что согласно (5.19) и (5.20) СОр[Е; т] есть предбаза объемлющего пространства, а Зс[т] — база ТП с «единицей» FQ(CE[т]}). В свою очередь, из (6.5) вытекает следующее
Предложение 6.1. Топология Т°Е [Т] [Е] индуцирована на FQ(CE [т]} топологи ей Т° [Е] ;
Тсе [Т][Е] = Т<0 [е]к (се [т]).
Итак, в виде ^(Се[т]}, Т°Е[Т] [Е]} имеем подпространство ТП ((с1 — Нпк}0[Е; т], Т0[Е]}. Тем
самым реализуется естественная связь суперрасширения ТП (Е, т} и соответствующего ПЗУ. С учетом положений §§ 2 и 3 получаем, что
FQ(CE[т]} € (Т0[Е] — сотр}[(с1 — 11пк}о[Е;т]]. (6.6)
Из (6.6) имеем по свойствам Тг-пространств, что справедливо следующее свойство: если (Е, т} есть Т4-пространство, то
^0(Се [т ]}, Т°°е [т ] [Е]} есть Тг-пространство и, более того, компакт; при этом, конечно,
FQ(CE[т]} € С(с1_нпкЫЕ;т][т0[Е]] (6.7)
(в виде ПЗУ имеем замкнутое подпространство суперрасширения).
Предложение 6.2. Если Е € (с1 — Ипк}0[Е;т], то
{Е} = П (с1 — 1!пк}0[Е;т|Е]. (6.8)
Доказательство. Выберем произвольно № из множества-пересечения в правой части (6.8). Тогда № € (с1 — Нпк^Е;т] и, согласно (5.4), Е С №. С учетом максимальности Е
получаем равенство Е = №, а тогда № € {Е}. Установлено, что
П (с1 — Ипк}°[Е; т|Е] С {Е}.
Противоположное вложение очевидно. □
Предложение 6.3. Если Е е Се[т], то
(с1 - 11пк)°[Е;т|Е] е С(с1-Нпк)0[Е;Т][Т0[Е]].
Доказательство. Фиксируем Е е Се [т ]. Тогда Е \ Е е т, и в силу (5.18)
(с1 - 11пк)0р[Е; т|Е \ Е] = (с1 - 11пк)°[Е; т] \ (с1 - 11пк)°[Е; т|Е],
где (с1 - 1тк)0р[Е; т|Е\Е] е С°р[Е; т] и, в частности, (с1 -Ипк)£р[Е; т|Е\Е] е Т°[Е] (см. (5.20)). Дальнейшее рассуждение очевидно. □
Предложение6.4. ((с1 - 1тк)°[Е; т], Т° [Е]) ест ь Т1-пространство.
Доказательство сводится к непосредственной комбинации предложений 6.2, 6.3. Из (5.22) и предложения 6.4 получаем, что (в общем случае ТП (Е, т)) справедливо следующее положение: ((с1 - Ипк)°[Е; т], Т°[Е]) есть суперкомпактное Т1-пространство.
В связи с предложением 6.4 отметим некоторые простые представления окрестностей, реализующих ^-отделимость. Прежде всего укажем следующее свойство: если Ее (с1 - Ипк)°[Е; т], £ е Ей Ее Се [т] П Р (Е \ Е), то
(с1 - Ипк)0р[Е; т|Е \ Е] е ^(Е).
С учетом максимальности семейств из (с1 - Ипк)°[Е; т] легко проверяется, что для любых семейств Е1 и Е2 (Е1 е (с1 - Ипк)°[Е; т], Е2 е (с1 - Ипк)°[Е; т])
(Е1 = Е2) ^ ((Е1 \ Е2 = 0)&(Е2 \ Е1 = 0)).
Данное свойство, реализуемое для у/ф, использовалось в [7] в связи с процедурами расширения абстрактных задач о достижимости. Кроме того, отметим в связи с (5.1), что УЕ1 е (с1 - 11пк)°[Е; т] УЕ2 е (с1 - 11пк)°[Е; т]
(Е1 = Е2) ^ (ЗЕ1 е Е1 ЗЕ2 е Е2: Е1 п Е2 = 0).
Е1 Е2
непустые семейства множеств, то
(Ш)[Е1; Е2] △ (г е Е1 х Е2|рг1(г) П р^г) = 0}; (6.9)
в частности, (6.9) можно рассматривать в случае, когда Е1 и Е2 — элементы (с1 - Нпк)°[Е; т], то есть являются МСС. Легко видеть, что при Е1 е (с1 - Нпк)°[Е; т], Е2 е (с1 - Ипк)°[Е; т] иге (Б1в)[Е1; Е2]
(с1 - 11пк)0р[Е;т|Е \ рг2(г)] е ^1): Е2 / (с1 - Ипк)0р[Е;т|Е \ р^)]. В этой связи отметим, что в силу (6.9)
(Ш)[Е1; Е2] = 0 УЕ1 е (с1 - 11пк)°[Е; т] УЕ2 е (с1 - 11пк)°[Е; т] \(Е1}. (6.10)
§ 7. Суперрасширение как нульмерное Т2-пространство
Вернемся к рассмотрению семейства (5.16), которое, согласно (5.21), является замкнутой предбазой суперрасширения. Легко видеть, однако, что
С°[Е; т] е (р - Бая)[(с1 - 11пк)°[Е; т]] (7.1)
(действительно, (с1 -Ипк)°[Е; т] совпадает с объединением всех множеств семейства (5.16)). Из (5.21) и (7.1) имеем, как следствие,
[Е; т] е (р - Бав)[(с1 - 11пк)° [Е; т]] П (р - Бав)с [(с1 - 11пк)° [Е; т]]. (7.2)
Согласно (7.2) семейство (5.16) является одновременно и открытой, и замкнутой предбазой. Представления, связанные со свойствами замкнутой предбазы, были предметом рассмотрения в двух предыдущих параграфах. Сейчас обратимся к (7.1), получая, что
T*[E] △ {uK{nb(Co*[E;т])) G (top)[(cl - link)o[E;т]]. (7.3)
Рассмотрим некоторые свойства топологии (7.3), для которой, конечно,
C*[E;т] С T*[E]. (7.4)
С учетом (6.9) получаем, в частности, следующее свойство:
(cl - link)0[E; т|prx(z)] П (cl - link)0[E; т|pr2(z)] = 0 VEi G (cl - link)o[E; т] VE2 G (cl - link)o[E; т] V z G (Dis)[Ei; E2]. '
Из (5.16), (6.10), (7.4) и (7.5) вытекает важное положение, а именно: справедливо
Предложение 7.1. ((cl - link)0[E; т], T* [E]) ест, ь Т2-простанство.
Покажем, что упомянутое ТП с «единицей» (cl - link)o[E; т] нульмерно. Для этого сначала установим ряд вспомогательных утверждений.
Предложение 7.2. Если A G Ce [т ], то справедливо равенство
(cl - link)° [E; т |A] = {EG (cl - link)o[E; т ]|A n E = 0 V E G E}. (7.6)
Доказательство. Через Q обозначим множество в правой части (7.6) (множество A G CE[т] фиксируем). Если S G (cl - link)o[E;т|A], то согласно (5.4) S G (cl - link)o[E;т], и при этом A G S. Поскольку, в частности, S G (link)[E] (см. §2), то A П E = 0 V E G S.
Следовательно, S G Q. Вложение
(cl - link)o[E; т|A] С Q (7.7)
установлено. Пусть V G Q. Тогда V G (cl-link)o[E;т], и при этом AПE = 0 VE G V. Поскольку A замкнуто, из (5.1) вытекает, что A G V. С учетом (5.4) получаем, что V G (cl - link)o[E; т|A], чем и завершается проверка вложения, противоположного (7.7). □
Предложение 7.3. Если A G CE [т], mo (cl - link)o[E; т |A] G C(cl-link)0[E;r][T* [E]].
A.
V G (cl - link)o[E; т] \ (cl - link)o[E; т|A]. (7.8)
В силу предложения 7.2 для некоторого множества V G V имеем A П V = 0. Рассмотрим множество
(cl - link)o[E; т|V] G Co*[E; т] (7.9)
(см. (5.16)). Легко видеть, что
(cl - linkf [E; т|V] С (cl - link)o[E; т] \ (cl - link)o[E; т|A]. С учетом (7.9) получаем, в частности, что 3B G {n}j(Co[E;т]):
(V G B)&(B С (cl - link)o[E; т] \ (cl - link)o[E; т|A]).
(cl - link)o[E;т] \ (cl - link)o[E;т|A] G T*[E],
Из (5.16) и предложения 7.3 вытекает, что
С°*[Е; т] С С(с1_нпк)о[Е;т][Т* [Е]]. (7.10)
Из (7.10) получаем по свойствам замкнутых множеств, что
(П}„(С°*[Е;т]) С С(с1_ипк)о[Е;т][Т*[Е]]. Получили свойство замкнутости множеств из открытой базы, поскольку (см. (7.3))
(П}„(С°*[Е; т]) е (Т*[Е] - БАЯ)°[(с1 - 11пк)°[Е; т]].
Итак, мы получили с учетом предложения 7.1, что (см. [14, 6.2]) ((с1 - Нпк)°[Е;т],Т*[Е]) есть Т2
Предложение 7.4. Справедливо следующее равенство:
(Ш)[Е; Се[т]] = С°*[Е; т]|^(св[т]). Доказательство. Из (2.4), (5.2) и (5.4) вытекает, что
Фсе[т](А) = (с1 - 11пк)°[Е; т|А] П F°(CE[т]) V А е Се[т]. Поэтому с учетом (5.16) и определений §2 получаем, что
С П F° (Се [т ]) е (ЮТ) [Е; Се [т ]] V Се С°* [Е; т ]. Кроме того (см. §2), имеем с очевидностью, что
VВ е (Ш)[Е; Се[т]] ЗС е С°*[Е; т] : В = С П F°(CE[т]). В итоге получаем следующую цепочку равенств:
(Ш)[Е; Се [т]] = (С П F°(CE [т]): Се С°*[Е; т]} = С°*[Е; т]|^(св [т]).
□
Из (2.5), (7.3) и предложения 7.4 вытекает следующее равенство топологий:
Тсе [т][Е] = Т* [Е]|^(св [т]). (7.11)
Итак, установлено, что ^°(Се[т]), Тсе[т][Е]) есть подпространство ТП ((с1-1тк)°[Е; т], Т*[Е]). Предложение 7.5. Топологии Т° [Е] и Т* [Е] сравнимы, и при этом,
Т° [Е] С Т* [Е].
Доказательство. Учтем (5.16) и (5.21). Действительно, согласно (5.21) имеем по определению замкнутой предбазы произвольного ТП (см. § 1), что
(и}„(С°*[Е;т]) е (с1 - БАЯ)°[(с1 - 11пк)°[Е;т];Т°[Е]], (7.12)
и при этом, конечно, С°[Е;т] С (и}^(С°[Е;т]) (см. определения § 1). В силу (7.12)
С(с1-ипк)о[Е;т][Т° [Е]] = (П}((и}„(С°*[Е; т])). (7.13)
Как следствие, получаем с очевидностью, что
(П}(С°*[Е;т]) С С(с1_ипк)о[Е;т][Т°[Е]].
Выберем и зафиксируем произвольное множество
F € С(с1_Ипк)о[Е;т][Т0[Е]]. (7.14)
В силу (7.13) получаем, что для некоторого х € Р'({и}д(С:[Е;т]}}
F = р| X. (7.15)
хех
При этом х = 0 и х С {и}^(С0[Е;т]}. Заметим, что в силу (7.10)
{и} (С0 [Е; Т]} С С(с1_1;пк)о [Е;т]Т [Е]]
(используем простейшие свойства семейства замкнутых множеств, то есть свойства замкнутой топологии). Как следствие, получаем, что
X С С(с1_11пк)о[Е;т] [Тт [Е]].
Поэтому X € Р'(С(с1_1}пк)о[Е;т] [Т:[Е]]}, а потому (см. (7.15))
F € С(с1_11пк)о[Е;т][Т: [Е]]
(произвольная замкнутая топология содержит пересечения своих непустых подсемейств). Поскольку выбор F (см. (7.14)) был произвольным, установлено, что
С(с1_11пк)о[Е;т][Т0[Е]] С С(с1_Ппк)о[Е;т] ГС[Е]К
□
Из предложения 7.5 вытекает, что триплет
((с1 — ИпкЫЕ; т], Т0 [Е], Т: [Е]} (7.16)
есть битопологическое пространство. Из (7.11) и предложения 6.1 следует
Теорем а 7.1. Битопологическое ПЗУ ^(Се [т]}, Т°Е [Т][Е], Т°Е [Т][Е]} индуцировано из суперрасширения битопологическим пространством (7.16};
(ТС е [Т][Е] = т0 №о (Се [Т])}&(т°е [Т ][Е] = Т №5(Се [Т])}.
Пусть теперь до конца настоящего параграфа (Е, т} есть ^-пространство. Тогда (см. (5.6), (5.7)) имеем очевидное свойство максимальности тривиальных у/ф
(Се[т] — Шу}[х] € F0(CE[т]} Vх € Е.
Поэтому определены множества-замыкания
с1({(Се[т] — Шу}[х]: х € Е}, Т°°еМ[Е]} €Р(F0(CE[т]}}, с1({(Се [т] — Шу}[х]: х € Е}, Т°е [т][Е]} € Р ^(Се [т]}}.
При этом (см. §2) Т°Е[Т][Е] С Т°Е[Т][Е], а потому
с1({(Се[т] — Шу}[х]: х € Е}, Т°е[т][Е]} С с1({(Се[т] — Шу}[х]: х € Е}, Т°°еИ№ (7.17) Напомним, что (см. [15, (1.21)] справедливо следующее равенство:
с1({(Се[т] — Шу}[х]: х € Е}, Т°еИ[Е]} = FQ(CE[т]} (7.18)
(учитываем, что в рассматриваемом сейчас случае Т1-пространства (Е, т) непременно Се[т] е П°[Е]). Из (7.17) и (7.18) получаем следующую цепочку равенств:
с1(((Се[т] - Шу)[ф х е Е}, тСе[т][Е]) =с1(((Се[т] - Шу)[ф х е Е}, Т^[т][Е]) = F°(CE[т]).
Заметим, что в этих построениях ТП ^*(Се[т]), ТСе[т][Е]) отвечает расширению Волмэна.
Возвращаясь к [3, 4.18], напомним, что суперрасширение отличается от F°(CE[т]) уже в простейших случаях. Для того чтобы проиллюстрировать это, воспользуемся модификацией примера [3, 4.18].
Итак, полагаем сейчас, что Е = (к е М|к ^ 3}, получая трехэлементное множество, содержащее числа 1, 2 и 3. Полагаем в данном примере, что т = Р(Е) (дискретная топология), и при этом
Е = (Ее Р ' (Е)|Зг е Е х Е: (Е = (рг^); р^)})^^) = р^))} и {Е}; (7.19) Е
(1; 2}, (1; 3}, (2; 3}, Е
(учитываем, что (рг1(г);рг2(г)} = (рг2(г); рг1(г)} Vг е Е х Е). Легко видеть, что (см. (7.19)) Ее (с1 - Ипк)[Е; т ]. Более того, Е является МСС, то есть
Е е (с1 - 11пк)°[Е; т]
(ни один из синглетонов нельзя «добавить» к Е, не разрушая сцепленность). С другой стороны, Е / F*(CE[т]) (так, например, (1;2} П (1;3} = (1} / Е). Тем более
Е/ F*(CE[т]).
Поскольку в нашем случае (Е, т) есть Т4-пространство, справедливо (6.7), и при этом
С° △ (с1 - 11пк)°[Е; т] \ F*(CE[т]) е Т°[Е] \ (0};
точнее, С° е № [е](Е). Напомним еще раз, что данный пример является простой модификацией [3, 4.18].
§ 8. Добавление 1: некоторые свойства плотности
Мы полагаем в настоящем параграфе, что (Е, т), Е = 0, есть ^-пространство, получая, в частности, свойство Се[т] е П°[Е]. Рассмотрим некоторые свойства ПЗУ, связанные с погружением в упомянутое ПЗУ исходного ТП. Будем при этом ориентироваться на оснащение ПЗУ, отвечающее расширению Волмэна.
Введем некоторые дополнительные обозначения. Если — непустые множества, то,
следуя [9, с. 77], через 7х обозначаем множество всех отображений из множества X в множество 7; если при этом / е 7х и 2 е Р (X), то / 1(^) △ (/(х): х е 2} е Р (7) есть обр аз 2 при отображении / (если 2 = 0, то и /1(2) = 0).
При условии, что (как уже отмечалось) Е — непустое множество и £ е П°[Е] в виде
(£ - ^у)[-] △ ((£ - 1;пу)[х])хеЕ
имеем элемент F*(L)E, то есть отображение из множества Е в множество F°(L); если при этом А Р(Е) А Е
(£ - tгiv) [■]1 (А) = ((£ - tгiv)[x]: х е А} е Р(£))
(имеем образ множества А в ПЗУ). Нас интересует случай £ = Се[т]. Итак, при А е Р(Е) получаем множество-образ
(Се[т] - ^Х-]1 (А) = ((Се[т] - ^)[х]: х е А} е Р^°(Се[т])); (8.1)
при А = 0 множество (8.1) непусто. В соответствии с (2.5) имеем следующее представление множества-замыкания: при А € Р(Е}
с1((Се [т ] — шух.]1^}, Т°е [т ][Е]} =
= {и € F0(CE[т]}|А П и = 0 V и € и} С ф°е[т](с1(а, т}}; (8.2)
см. [15, § 1] (учитываем, что А С с1(А, т}). Заметим, что множество в правой части (8.2) замкнуто и в смысле топологии Т°Е[Т][Е], поскольку является элементом замкнутой предбазы. Рассмотрим теперь ситуацию, когда и первое в (8.2) множество заменено на замыкание в смысле последней топологии. Итак, нас интересуют множества
с1((Се[т] — ^уН-^а}, Т°°е[т][Е]}, А € Р(Е}.
С целью их представления отметим несколько вспомогательных положений.
Предложение 8.1. Если А € Р(Е} и Р € Се[т], то
((Се[т] — ^Н1 (А} С ф°е[т](е}} (А С Р}. (8.3)
Доказательство. Фиксируем ^Рв соответствии с условиями предложения. Пусть истинна посылка доказываемой импликации (8.3). Покажем, что А С Р. Допустим противное: А \ Р = 0. Пусть X: € А \ Р. Тогда
и △ (Се[т] — Шу}[х*] € (Се[т] — Шу}^]1 (А},
а потому и € фсе[т](Е}; эт0 означает справедливость включения Р € и (см. §2), а тогда х: € Р. Получили противоречие, доказывающее вложение А С Р. □
Напомним, что в рассматриваемом случае, согласно [16, (4.7)], VР1 € Се[т] VР2 € Се[т]
(Р С Р2} ^ (Ф°е[т](р } С Ф°е[т](р}}. (8.4)
Предложение 8.2. Если А € Р (Е}; то справедливо равенство
с1((Се [т] — шух-]1 (А}, Т°°е [т] [Е]} = ф°е [т](с1(а,т}}. (8.5)
Доказательство. Обозначим через А множество-замыкание в левой части (8.5). Ясно, что
А € сжо(°е[т])[ТСе[Т][E]], (8-6)
и при этом имеет место следующее свойство:
(Се[т] — ШуХ-]1 (А} С А.
Заметим, что (ОТ}[Е; Се[т]] € (с1 — ВА8}р0(СЕ[т]}], и при этом
{П}((Ш}[Е; Се[т]]} = С^(°е[т])[Т°е[т][Е]] (8.7)
(см. §2). Из (8.6) и (8.7) следует, что
А €{П}((Ш}[Е; Се[т]]}.
Тогда (см. § 1) для некоторого семейства а € Р'((ЦЕ}[Е; Се[т]]} справедливо равенство
А = р| §. (8.8)
Выберем произвольно Л € а. Тогда, в частности, Л € (UF)[E; Се[т]], а потому для некоторого множества Ф € Се [т] справедливо равенство
л = ф°е [т ](Ф}. (8.9)
Из (8.8) с учетом (8.9) следует, что
А С Фсе[т](Ф). (8.Ю)
В свою очередь, из (8.10) вытекает, что имеет место вложение
(Се[т] - Ш^-]1 (А) С Фсе[т](Ф).
Как следствие, из предложения 8.1 вытекает, что А С Ф, откуда, в силу замкнутости множества Ф следует, что
с1(А, т) С Ф. (8.11)
Из (8.4) и (8.11) получаем очевидное следствие
фСе[т](с1(А,Т)) С фСе[т](Ф) = Л. Поскольку выбор Л был произвольным, имеем, что (см. (8.8))
Фсе[т](с1(А, т)) С А. (8.12)
Отметим, что (см. определения § 2)
(Ш)[Е; Се[т]] С (П}((Ш)[Е; Се[т]]) = [т])[Т°°в[т][Е]]. (8.13)
С другой стороны, с1(А, т) е Се[т], и при этом
Ф°е[т](с1(А, т)) е(Ш)[Е; Се[т]] (см. §2). С учетом (8.13) получаем включение
Ф°е[т](с1(А,т)) е [т])[Т°°е[т][Е]], (8.14)
то есть множество в левой части (8.14) замкнуто в ТП ^*(Се[т]), Т°е[т][Е]). Далее, пусть
Яе (Се[т] -^[-^(А).
х* А
Я = (Се [т ] - ^)[х*] = (Ее Се [т ]|х* е Е} е F°(CE [т ]). (8.15)
Ясно, что х* е с1(А,т), а потому (см. (8.15)) имеем
с1(А, т) еЯ.
В силу (2.4) и (8.15) получаем, что Я е Фсе[т](с1(А, т)). Поскольку выбор Я был произвольным, установлено, что
(Се[т] - Ш^-]1 (А) С Ф°е[т](с1(А, т)),
А
А С Ф°е[т](с1(А,т)). С учетом (8.12) получаем теперь требуемое равенство:
А = Ф°е [т] (с1(А, т )).
□
Следствие 8.1. Если А е Р (Е), то справедливо равенство
С1((Се [т ] - ^Н-]1 (А), Т°°е [т] [Е]) =С1((Се [т ] - ^[^(сКА, т )), Т°°в [т] [Е]).
Доказательство. Фиксируем А € P (Е) и получаем cl(A, т) € CE [т ]. Тогда [8, (4.10)]
cl((CE[т] - triv)[-]1(cl(A, т)), tCe[т] [E]) = х
= cl((CE[т] - triv)[-]1(cl(A, т)), TCe[т][Е]) = Фсе[т](с1(А, т)).
В (8.16) учтено то обстоятельство, что в рассматриваемом сейчас случае Ti-пространства (Е, т) имеет место
Ce[т] € (LAT)o[E]: {x} € Ce[т] Vx € Е
(итак, имеем свойство замкнутости всех синглетонов точек из E). Из (8.16) и предложения 8.2 вытекает требуемое равенство замыканий в топологии TCE [т][Е]. □
Из следствия 8.1 вытекает с очевидностью, что
cl({(Ce[т] - triv)[x]: x € А}, T^М[Е]) =
= cl({(Ce[т] - triv)[x]: x € с1(А,т)}, TCE[т][Е]) = Фсв[т](с1(А,т)) V А € P(Е). (8.17)
В конструкциях расширений абстрактных задач о достижимости, рассматриваемых в [48,13,15-17], важную роль играют множества притяжения (МП) в пространстве обобщенных элементов (ОЭ), что связано с построением компактификаторов (см., в частности, [17, раздел 4]. Последние, как показано в [7,8], можно, в частности, конструировать на основе расширения Волмэна. В связи с (8.17), предложением 8.2 и следствием 8.1 рассмотрим кратко упомянутую возможность, полагая для краткости, что
(Adm)[E] △ П d((CE[т] - triv)[-]1(S), М[Е]) VE € P'(P(Е)).
С целью более кратких обозначений зафиксируем (непустое) семейство E € P '(P(Е)). В интересах согласования с конструкциями [13,15-17] полагаем, что
V Ei € E V Е2 € E ЗЕэ € E:Еэ С Ei П (8.18)
(итак, мы рассматриваем направленное семейство, что достаточно (см. [8, с. 321; 12]) для всех наших последующих целей). При данном условии нужный вариант МП есть множество
(Adm)[E] = П cl((Ce[т] - triv)[-]1 (Е), М[Е]) € P(F*(Ce[т])), (8.19)
seE
точки которого (а это замкнутые у/ф) играют роль допустимых ОЭ, отвечающих постанов-
E
(ОАХ). Общие вопросы, связанные с решением задач о достижимости (в ТП) при тех или иных ОАХ, рассматривались в [4-8,15-17]. В настоящем параграфе коснемся только одного частного вопроса, имеющего отношение к представлению МП, подобных (8.19) и являющихся по смыслу вспомогательными конструкциями (имеется в виду применение в духе [8, теорема 7.1]). А именно, рассмотрим вопрос о замене E тем или иным направленным (см. (8.18)) семейством п/м Е.
E
Eci △ {с1(Е, т): Е € E} € P'(P(Е)) (8.20)
E.
конечно, что
V Е(1) € Ecl V Е(2) € Ecl ЗЕ(3) € Ecl: Е(3) С Е(1) П Е(2),
то есть семейство (8.20) является направленным. Наряду с (8.19) рассмотрим МП (см. [8, (5.2)]) следующего вида:
(Adm)[Eci] △ П c1((Ce[т] - triv)[-]1 (Е), [т][Е]) € P(F^(Ce[т])). (8.21)
seEci
С учетом следствия 8.1 имеем, однако, что
с1((Се[т] - ^[-^(Е), Т°°е[т][Е]) =с1((Се[т] - ^Н^^т)), Т°°в[т][Е]) VЕ е Е
Используя (8.19)^(8.21), получаем цепочку равенств
(Аёш)[Е] = (Аёш)[Ес1 ] = П Ф°е[т](с1(£,т)) =
(8.22)
= (и е F*(CE[т])|с1(Е,т) е и VЕ е Е} = (и е F°(CE[т])|Ес1 С и}.
Из (8.22) следует совпадение двух МП в пространстве ОЭ, одно из которых отвечает ОАХ в виде Е, а второе — ОАХ в виде семейства Есь
В заключение отметим некоторые соотношения, связывающие операторы замыкания в топологиях Т°е[т][Е] и Т°е[т][Е]. Будем рассматривать при этом процедуру погружения множе-Е
Предложение 8.3. Если А е Р (Е) и х* е с1(А, т ) \ А, то (Се[т] -^)[х*] ес1((СЕ[т] -Ш^НЧА), Т°°в[т][Е])\с1((Се[т] -tгiv)[•]1 (А), Т°в[т][Е]). (8.23)
Доказательство. Пусть Я △ (Се [т] - ^ге)[х*]. Тогда Я е F°(CE [т]), и при этом справедливо равенство
Я = (Е еСЕ[т]|х* еЕ}.
Напомним, что по свойствам ^-пространств (х*} е Се[т], а потому (х*} е Я. По выбору х* имеем, конечно, свойство (х*} П А = 0. С учетом (8.2) получаем, что
Я/с1((Се [т] - Ш^-]1 (А), Т°е [т] [Е]). (8.24)
С другой стороны, по выбору х* получаем включение с1(А, т) е Я, а тогда
Яе Ф°е[т](с1(А, т)).
С учетом предложения 8.2 получаем теперь, что
Яе с1((Се [т ] - Ш^-]1 (А), Т°°е [т] [Е]),
□
Напомним, что, поскольку топологии Т°е[т][Е] и Т°Е[т][Е] сравнимы, имеем
с1((Се[т] - Ш^НЧА), Т°е[т][Е]) С с1((Се[т] - tгiv)[•]1(A), Т°°в[т][Е]) V А е Р(Е).
Теорема 8.1. Справедливо равенство
Се[т] = (А е Р(Е)|с1((Се[т] - ^[^(А), Т°вМ[Е]) = с1((Се[т] - tгiv)[•]1(A), Т°°в[т][Е])}.
(8.25)
Доказательство. Обозначим через Н семейство в правой части (8.25). Требуется установить следующее равенство:
Се [т]= Н. (8.26)
Напомним, что Се[т] е (ЬАТ)°[Е], и при этом (х} е Се[т] Vх е Е. Тогда в силу [8, (3.4), (4.10)] имеем свойство
с1((Се[т] -Ш^-]1 (Е),Т°е[т][Е]) = с1((Се[т] -^[-^(Е),Т°°в[т][Е]) = Ф°в[т](Е) VЕ е Се[т]. Как следствие, получаем очевидное вложение
Се[т] С Н. (8.27)
Выберем произвольное множество Н € Н- Тогда Н € Р (Е), и при этом справедливо равенство
с1((Се[т] - ^[-^(Н), Тсе[т][Е]) = с1((Се[т] - triv)[•]1(H), Т°°ви№ (8.28)
Покажем, что Н € Се[т]. В самом деле, допустим противное:
Н € Се[Т]. (8.29)
Тогда Н = с1(Н, т), так как с1(Н, т) € Се [т]. Поскольку Н С с1(Н, т), имеем в рассматриваемом случае следующее свойство непустоты:
с1(Н, т) \ Н = 0.
С учетом этого выберем ж* € с1(Н, т) \ Н. Тогда из предложения 8.3 получаем, следовательно, вопреки (8.28), что
(Се[Т]-^)[ж*] € С1((Се[Т]-triv)[•]1(H),Т°°вм[Е])\С1((Се[Т]-triv)[•]1(H),Т°ви№ (8.30)
Полученное при условии (8.29) противоречие (см. (8.28), (8.30)) означает, что само (8.29) невозможно, и, стало быть, Н € Се[т], чем и завершается проверка вложения
Н С Се [т].
С учетом (8.27) получаем требуемое равенство (8.26). □
§ 9. Добавление, 2
В предыдущем параграфе для целей представления замыканий образов произвольных п/м непустого множества Е существенно использовалось оснащение данного множества топологией. Сейчас мы рассмотрим (несколько «усеченный») вариант подобного представления для случая, когда на упомянутом множестве задана произвольная решетка его п/м с «нулем» и «единицей»; предполагаем, кроме того, выполненным свойство отделимости данной решетки. Итак, всюду в настоящем параграфе фиксируется решетка
С € (ЬЛТ)о[Е] П П0[Е], (9.1)
Е
пространство
(П (С), Т°[Е], Т£[Е]), (9.2)
^о(С) = 0. Напомним следующее свойство плотности п/м множества Е при погружении в ^(£) (см. ¡15, (1.20)]):
Ф£(Ь) = с1((С- ^Х-]1 (Ь), Т£[Е]) VЬ € С. (9.3)
На самом же деле подобные свойства плотности реализуются в битопологическом пространстве (9.2) (см. [8, (4.10)]). Напомним здесь соответствующее рассуждение на этот счет. Итак, в силу сравнимости топологий Т^ [Е] и Т£[Е] получаем, что
с1((С - ^[-^(А), Т^[Е]) С с1((С - ^[-^(А), Т° [Е]) V А € Р(Е).
В частности, получаем следующую систему вложений:
Ф£(Ь) С с1((С - Ш^-]1 (Ь), Т° [Е]) VЬ € С; (9.4)
С
и «единицей») семейство (ЦЕ)[Е; С] есть замкнутая база. При этом (см. §2)
СвдТ [Е]] = {П}((Ш)[Е; С]). (9.5)
Из (9.5), в частности, следует свойство
Ф£(Ь) еСад[Т°[Е]] V !е С (9.6)
(в самом деле, (ОТ)[Е; С] С (П}((ОТ)[Е; С]); осталось учесть (9.5)). Кроме того,
(С- ^геХ-]1 (Ь) С Ф£(Ь) V Ь еС. (9.7)
Из (9.6) и (9.7) получаем следующую очевидную систему оценок:
с1((С - ^[-^(Ь), Т^[Е]) С Ф£(Ь) VЬе С. (9.8)
Из (9.4) и (9.8) вытекает свойство плотности
ф£ (Ь) =с1((С- ^[-^(Ь), Т°[Е]) V Ье С. (9.9)
С учетом (9.3) и (9.9) получаем следующее положение о плотности в смысле битопологического пространства (9.2).
Предложение 9.1. Если Ь е С, то справедлива цепочка, равенств
Ф£(Ь) = с1((С - Ш^-]1 (Ь), Т° [Е]) = с1((С - tгiv)[•]1 (Ь), Т^[Е]).
С
иолнительно свойство
(х} е С V х е Е;
предложение же 9.1 установлено при более общем условии (9.1). В этой связи рассмотрим следующий
Пример 9.1. Пусть Е = [0,1[ (полуинтервал, открытый справа) и рассматривается «стрелка»
£ △ ([рг^), рг2(г)[: ге [0,1] х [0,1]}
(легко видеть, что в виде £ ревизуется семейство всех полуинтервалов [а, Ь[, 0 ^ а ^ Ь ^ 1, включая пустой, получаемый, например, в виде [0, 0[); тогда £ — полуалгебра п/м ЕЕ С К, где К — вещественная прямая. Полагаем теперь, что С есть алгебра п/м Е, порожденная полуалгеброй £: Се (а^)[Е], и при эт ом С есть семейство всех мн ожеств Ь е Р (Е), для каждого из которых при некотором выборе п € N и € £га имеют место свойства
п
(Ь = и и)к{Ьр п Ьд = {р}). (9.10)
г=1
Тогда, в частности, С е (ЬАТ)° [Е]. При этом (х} / £ V х е Е. В силу представления (9.10) имеем
(х} / ^ х е Е. (9.11)
Итак, семейство С не содержит синглетонов .Вместе с тем по определению £ имеем, что
V Ь е £ V хеЕ \ Ь Зе е ]0, [х, х + е[ПЬ = 0. (9.12) Из (9.10), (9.12) вытекает, как следствие, что
V Ье С V хеЕ \ Ь Зе е]0, [х, х + е[ПЬ = 0.
В свою очередь, последнее свойство означает (после простых преобразований), что С е П°[Е] (см. §1). Получили свойство
С е (ЬАТ)°[Е] П П°[Е], С
держащая синглетонов. □
Отметим, что на основе предложения 9.1 легко получается представление для (вспомогательного по смыслу задачи о достижимости с ОАХ) МП, соответствующее [8, (4.11)].
В только что рассмотренном примере в качестве решетки использовалась на самом деле алгебра множеств, не содержащая синглетонов. Заметим в этой связи, что (см. [7, предложение 9.2])
TA[E]= TA[E] VAe (alg)[E].
Здесь же отметим и аналогичное свойство, касающееся открытых v/ф (то есть v/ф, составленных из открытых множеств) и упомянутое в [8, (8.12)]:
T0 [E] = T* [E].
В связи с общими вопросами структуры пространств, элементами которых являются у/ф, отметим исследования A.A. Грызлова и его учеников (см. [18,19]).
Список литературы
1. de Groot J. Supercompactness and superextensions // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wis., 1969. P. 89-90.
2. van Mill J. Supercompactness and Wallman spaces. Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1977. 238 p.
3. Федорчук B.B., Филиппов B.B. Общая топология. Основные конструкции. М.: Физматлит, 2006. 336 с.
4. Ченцов А.Г. Некоторые конструкции асимптотического анализа, связанные с компактификацией Стоуна-Чеха // Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 26. С. 119-150.
5. Ченцов А.Г. Ярусные отображения и преобразования на основе ультрафильтров // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 4. С. 298-314.
6. Ченцов А.Г. Об одном примере представления пространства ультрафильтров алгебры множеств // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 4. С. 293-311.
7. Ченцов А.Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 113-142. DOI: 10.20537/vmll0112
8. Ченцов А.Г., Пыткеев Е.Г. Некоторые топологические конструкции расширений абстрактных задач о достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 4. С. 312329.
9. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
10. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Едиториал УРСС, 2004. 368 с.
11. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 272 с.
12. Ченцов А.Г. Множества притяжения в абстрактных задачах о достижимости: эквивалентные представления и основные свойства // Известия вузов. Математика. 2013. № 11. С. 33-50.
13. Dvalishvili В.P. Bitopological spaces: theory, relations with generalized algebraic structures, and applications. Amsterdam: Elsevier Science, 2005. 422 p.
14. Энгелькинг P. Общая топология. M.: Мир, 1986. 751 с.
15. Ченцов А.Г. К вопросу о реализации элементов притяжения в абстрактных задачах о достижимости // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2015. Т. 25. Вып. 2. С. 212-229. DOI: 10.20537/vml50206
16. Ченцов А.Г. К вопросу о соблюдении ограничений в классе обобщенных элементов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 3. С. 90-109. DOI: 10.20537/vml40309
17. Ченцов А.Г. Компактификаторы в конструкциях расширений задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22. № 1. С. 294-309.
18. Грызлов A.A., Бастрыков Е.С. Некоторые центрированные системы множеств и определяемые ими точки // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 4. С. 76-82.
19. Грызлов A.A., Головастов P.A. О плотности и числе Суслина подмножеств одного пространства Стоуна // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 4. С. 18-24. DOI: 10.20537/vml40402
Поступила в редакцию 30.10.2016
Чепцов Александр Георгиевич, д. ф.-м. п., профессор, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник, Институт математики и механики им. Н. П. Красовского УрО РАН, 620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16;
профессор, кафедра вычислительных методов и уравнений математической физики, Институт радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. П. Ельцина, 620002, Россия, г. Екатеринбург, ул. Мира, 32. E-mail: chentsov@imm.uran.ru
A. G. Chentsov
Superextension as bitopological space
Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2017, vol. 49, pp. 55-79 (in Russian). Keywords: bitopological space, closed ultrafilter, supercompactness, superextension. MSC2010: 37N35, 65J15, 47J25, 52A01, 91A25 DOI: 10.20537/2226-3594-2017-49-03
Supercompact space of maximal linked systems of topological space (superextension) and its subspace consisting of ultrafilters of the family of closed sets are considered. Some relations connecting above-mentioned spaces and some corollaries relating to Wallman extension in the case of Tx-space are obtained. For this case, some representations of sets in the space of generalized elements (defined as closed ultrafilters) for an abstract attainability problem under constraints of asymptotic character are considered. A more general variant of the above-mentioned relations for arbitrary initial topological space is also investigated (construction that uses closed ultrafilters of initial topological space is considered). Along with equipment with topology of Wallman type, topology similar to one applied for Stone compactum is used. As a result, bitopological space of maximal linked systems and corresponding bitopological space of closed ultrafilters as its subspace are realized.
REFERENCES
1. de Groot J. Superextensions and supercompactness, Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications, Berlin: VEB Deutscher Verlag Wis., 1969, pp. 89-90.
2. van Mill J. Supercompactness and Wallman spaces, Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1977, 238 p.
3. Fedorchuk V.V., Filippov V.V. Obshchaya topologiya. Osnovnye konstruktsii (General topology. Base constructions), Moscow: Fizmatlit, 2006, 336 p.
4. Chentsov A.G. Certain constructions of asymptotic analysis related to the Stone-Ccech compactification, Journal of Mathematical Sciences, 2007, vol. 140, issue 6, pp. 873-904. DOI: 10.1007/sl0958-007-0022-8
5. Chentsov A.G. Tier mappings and ultrafilter-based transformations, Trudy Inst. Mat. Mekh. Ural. Otd. Ross. Akad. Nauk, 2012, vol. 18, no. 4, pp. 298-314 (in Russian).
6. Chentsov A.G. On one example of representing the ultrafilter space for an algebra of sets, Trudy Inst. Mat. Mekh. Ural. Otd. Ross. Akad. Nauk, 2011, vol. 17, no. 4, pp. 293-311 (in Russian).
7. Chentsov A.G. Filters and ultrafilters in the constructions of attraction sets, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2011, issue 1, pp. 113-142. DOI: 10.20537/vmll0112
8. Chentsov A.G., Pytkeev E.G. Some topological structures of extensions of abstract reachability problems, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2016, vol. 292, suppl. 1, pp. 36-54.
DOI: 10.1134/S0081543816020048
9. Kuratovskii K., Mostovskii A. Teoriya mnozhestv (Set theory), Moscow: Mir, 1970, 416 p.
10. Aleksandrov PS. Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshchuyu topologiyu (Introduction to set theory and general topology), Moscow: Editorial URSS, 2004, 368 p.
11. Bourbaki N. Topologie générale, Paris: Hermann, 1961, 263 p.
12. Chentsov A.G. Attraction sets in abstract attainability problems: equivalent representations and basic properties, Russian Mathematics, 2013, vol. 57, issue 11, pp. 28-44. DOI: 10.3103/S1066369X13110030
13. Dvalishvili B.P. Bitopological spaces: theory, relations with generalized algebraic structures, and applications, Amsterdam: Elsevier Science, 2005, 422 p.
14. Engelking R. General topology, Warszawa: PWN, 1985, 752 p.
15. Chentsov A.G. To question about realization of attraction elements in abstract attainability problems, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2015, vol. 25, issue 2, pp. 212-229 (in Russian). DOI: 10.20537/vml50206
16. Chentsov A.G. To the validity of constraints in the class of generalized elements, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2014, issue 3, pp. 90-109 (in Russian). DOI: 10.20537/vml40309
17. Chentsov A.G. Compactifiers in extension constructions for reachability problems with constraints of asymptotic nature, Trudy Inst. Mat. Mekh. Ural. Otd. Ross. Akad. Nauk, 2016, vol. 22, no. 1, pp. 294309 (in Russian).
18. Gryzlov A.A., Bastrykov E.S. Some centered systems of sets and points defined by them, Trudy Inst. Mat. Mekh. Ural. Otd. Ross. Akad. Nauk, 2011, vol. 17, no. 4, pp. 76-82 (in Russian).
19. Gryzlov A.A., Golovastov R.A. On the density and Suslin number of subsets of one Stone space, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2014, issue 4, pp. 18-24 (in Russian).
DOI: 10.20537/vml40402
Received 30.10.2016
Chentsov Aleksandr Georgievich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Corresponding Member, Russian Academy of Sciences, Chief Researcher, N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990, Russia; Professor, Institute of Radioelectronics and Information Technologies, Ural Federal University, ul. Mira, 32, Yekaterinburg, 620002, Russia. E-mail: chentsov@imm.uran.ru
