АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРИ СВЧ-МОДУЛЯЦИИ ИНЖЕКЦИОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ЛАЗЕРОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК.535.8

Амплитудно-частотное преобразование при СВЧ-модуляции инжекционных полупроводниковых лазеров

М.В.Орда-Жигулина, Ю.И.Алексеев

Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге

Исследуется полное уравнение инжекционного полупроводникового лазера (ИПЛ) в режиме модуляции СВЧ-сигналами или при автодинном детектировании амплитудно-модулированного оптического колебания. Показано, что данные процессы значительно усиливают нелинейные свойства ИПЛ и приводят к неустойчивой работе системы, сопровождаемой срывом основного режима.

Ключевые слова: амплитудно-модулированные оптические колебания, инжекционный полупроводниковый лазер, уравнение Дуффинга, теория колебаний.

Анализ нелинейных свойств автоколебательных систем, как правило, ведется с учетом их нелинейного импеданса, информация о котором содержится в коэффициенте при первой производной уравнения, описывающего поведение системы. В то же время в зависимости от электрофизических параметров исследуемой системы нелинейность может содержаться и в самой восстанавливающей силе, что превращает такую колебательную систему в существенно нелинейную.

В настоящей работе на основе применения хорошо развитого аппарата теории колебаний рассматривается внешнее воздействие на инжекционные полупроводниковые лазеры (ИПЛ), осуществляемое обычно при модуляции или при автодинном детектировании амплитудно-модулированного излучения ИПЛ, предусматривающем внешнее воздействие.

Полное уравнение, полученное на основе балансных уравнений ИПЛ [1], имеет вид

d2J 1 М

dt2 т dt

Л «у _ у (рр+р„ )"

еУ т

м = 7 ^ _(р° + Ри Ус°М2, (1)

М dt dt

где 1ё - инжекционный ток ИПЛ; т^ - спонтанное время жизни избыточных электронов; ог - поперечное сечение вынужденного излучения межзонных переходов носителей заряда; е - заряд электрона; V - объем активного слоя лазера; Р0 - погонные потери; р^ - полезные потери на излучение; Ус - скорость света в активном элементе лазера.

При анализе ИПЛ как автоколебательной системы для получения так называемого «быстрого» решения принято уравнение (1) упрощать до выражения [1, 2, 3]

d2J 1 М ■ + -

dt2 т dt

Ь Ус (Ро +Ри )"

_ё_г

еУ

М = 0,

представляющего дифференциальное уравнение нелинейного осциллятора [3]. Причем упрощение проводится при строгом соблюдении правил, распространяющихся на «грубые» активные колебательные системы [4], каковой и является ИПЛ.

© М.В. Орда-Жигулина, Ю.И.Алексеев, 2010

Однако огрубление уравнения (1) может привести к усложнению анализа устойчивости, поскольку режим, устанавливающийся после срыва равновесного состояния, может быть в том числе хаотический [4, 5], и тогда анализ затруднителен. В связи с этим в теории колебаний обращается особое внимание на корректность проведения всякого рода упрощений [4, 5, 6].

Следуя [1], будем полагать, что для адиабатического исключения некоторых членов уравнения (1) есть условия, выражающиеся в наличии малого параметра перед членом уравнения агЛ&Л, т.е. обеспечивается строгий переход к упрощенному анализу

&г

уравнения (1). Эти условия выполняются в случае лазеров класса В, к которому относится ИПЛ [1].

С учетом внешнего воздействия (при модуляции) будем иметь уравнение:

т dJ

• + а„ Л--

&2 г 0 &

!ё_ V (Рр + Ри)" еУ т

Л + (Рр + РиУсЪЛ3 = ^СВЧ • СС8(шСВчг), (2)

где ^СВЧ, юСВЧ - амплитуда и частота модулирующего сигнала. Введем следующие обозначения:

еУ т.

с = агЛ0; Р = —, а = _а, Л0

где Л0 - амплитуда стационарных колебаний ИПЛ.

Тогда при общепринятой в теории колебаний формализации уравнений движения [4, 6] уравнение (2) можно привести к уравнению вынужденных колебаний с нелинейной восстанавливающей силой, известному как уравнение Дуффинга [3, 7, 8]:

х + сх + ах + р.*3 = ^СВЧ • ео8(шСВЧ г). (3)

Здесь многочлен ах + Рх представляет нелинейную восстанавливающую силу, а подстановка х = Л • еов(юг) является переходом от формализованного уравнения к исследуемому ( Л, ю - амплитуда и частота излучения ИПЛ).

Наличие в полном уравнении модулируемого ИПЛ признаков уравнения Дуффинга свидетельствует о том, что при исследовании устойчивости развитие сценария перехода подобной колебательной системы из одного состояния в другое будет проходить сложно. Это не позволяет ограничиваться только обнаружением бифуркационных значений параметров [4, 5]. Следовательно, необходимо полностью исследовать процесс, используя аналитический аппарат уравнения Дуффинга [3, 7, 8]. В подобных колебательных системах при анализе устойчивости следует ожидать не только нестационарное, но даже хаотическое их поведение [7, 8].

При исследовании устойчивости воспользуемся аппаратом анализа уравнения Дуффинга, предложенным в [3], согласно которому уравнение геометрического места точек, в которых амплитудно-частотные кривые имеют вертикальные касательные, имеет вид

Амплитудно-частотное преобразование при СВЧ-модуляции.

2___, 3 0 Л2 п Е0СБЧ

Ш" = а + -ВА" - В

4Р А

(4)

Данное уравнение совпадает с равенством Дуффинга при ЕБЧ = РЕ0СБЧ [3]. Решение уравнения (4) обычно представляется в виде семейства кривых, для которых амплитуда возмущающей силы играет роль параметра. Такие кривые называются амплитудно-частотными кривыми и при В = 0 приводятся к известным амплитудным кривым вынужденных линейных колебаний [3, 6, 7].

Из уравнения (4) нетрудно понять, что в плоскости параметров ш— А кривые, представляющие решение (4), будут иметь известный в теории колебаний вид

[6, 7, 8]. Причем для исследуемой системы существуют некоторые значения

*

Есвч = ЕСвч, такие, что амплитудные характеристики, соответствующие значениям

р < Е

СБЧ СБЧ

не будут иметь вертикальных касательных.

Результаты работы показаны на рисунке. Видно, что учет нелинейности восстанавливающей силы в дифференциальном уравнении (1) приводит к получению нелинейной АЧХ исследуемой системы. Это хорошо согласуется с анализом подобных систем [2, 3, 7,] и свидетельствует о некорректности опущения некоторых членов уравнения (1) при исследованиях чисто автоколебательных режимов, на что справедливо указано в [2]. Амплитудно-частотные характеристики, свойственные только нелинейным системам, получены при следующих электрофизических параметрах ИПЛ:

5

т, = 10

-12 2 м ;

1§ = 10 мА; V = 10-18 м3;

В =10-6 м-1,

с; аг = 10

характеризующих ИПЛ как активную колебательную систему.

Следует отметить, что полученные результаты позволяют свободно реализовывать «правые» ( В> 0) и «левые» ( В < 0 ) амплитудно-частотные характеристики, качественно совпадающие с результатами анализа уравнения Дуффинга [3, 7].

Выявленная нелинейность АЧХ, приводящая к амплитудно-частотному преобразованию в системе, в количественном отношении незначительна (см. рисунок), что может быть объяснено высокой добротностью колебательной системы ИПЛ, основные характеристики которой представлены электрофизическими параметрами исследуемого ИПЛ. Несмотря на малые количественные показатели амплитудно-частотного преобразования, выявленной дополнительной нелинейностью АЧХ пренебрегать нельзя. Она

Нелинейные амплитудно-частотные характеристики: при В > 0 (а); при В < 0 (б)

должна быть учтена при исследовании результатов внешнего воздействия на колебательные системы подобного рода. В этом смысле работа актуальна, поскольку в настоящее время интенсивно осваивается элементная база радиопередающих устройств оптического диапазона, когда для получения эффекта модуляции оптического излучения СВЧ-сигналами на ^-и-переход ИПЛ непосредственно воздействуют модулирующим сигналом. Кроме того, нелинейность АЧХ следует учитывать при осуществлении автодинного детектирования модулированного ИПЛ. Не менее важной задачей является взаимная синхронизация колебаний двух ИПЛ, когда пренебрежение выявленной нелинейностью может привести к существенному расхождению расчетной и экспериментальной полос синхронизации.

В работе рассмотрена возможность исследования устойчивости сложных колебательных систем. Выявленная амплитудно-частотная зависимость показывает, что системы, начиная с внешней воздействующей силы F определенной величины, могут быть устойчивы (малосигнальное воздействие), в то время как увеличение внешней силы приводит к неоднозначности амплитуды колебаний в пределах нелинейной АЧХ. Это является основанием для постановки задачи об устойчивости получаемых решений, которая базируется на рассмотренной методике анализа.

Литература

1. ХанинЯ.И. Основы динамики лазеров. - М.: Наука, Физматлит, 1999. - 368 с.

2. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Наука, Физматлит, 1990. - 128 с.

3. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. - М.: Иностранная литература, 1952. - 264 с.

4. Алексеев Ю.И. Определение параметрических бифуркаций при анализе устойчивости колебаний инжекционных полупроводниковых лазеров // Нелинейный мир. - 2005. - № 3. - С. 37, 38.

5. Алексеев Ю.И., Орда-Жигулина М.В., Михеев С.С. Анализ устойчивости инжекционных полупроводниковых лазеров методами теории колебаний // Радиотехника и электроника. - 2006. - № 43. -С. 476-479.

6. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981. - 568 с.

7. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. - М.: Машиностроение, 1984. - 216 с.

8. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1969. - 379 с.

Статья поступила 9 апреля 2010 г.

Орда-Жигулина Марина Владимировна - кандидат технических наук, доцент кафедры АиРПУ ТТИ ЮФУ. Область научных интересов: генерация, усиление и преобразование СВЧ-колебаний, модуляция и детектирование оптических колебаний, мощные СВЧ-генераторы шума. E-mail: jigulina@mail.ru

Алексеев Юрий Иванович - доктор технических наук, профессор кафедры антенн и радиопередающих устройств (АиРПУ) ТТИ ЮФУ. Область научных интересов: генерация, усиление и преобразование СВЧ-колебаний, модуляция и детектирование оптических колебаний, мощные СВЧ-генераторы шума.