Алгоритмы метода Монте-Карло для моделирования автотранспортного потока со случайными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

АЛГОРИТМЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ АВТОТРАНСПОРТНОГО ПОТОКА СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

А. В, Бурмистров1,2, М, А. Коротченко1

1 Институт, вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Новосибирск 2 Новосибирский государственный университет, 630090, Новосибирск

УДК 519.642

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10012

В данной работе авторами предложены новые алгоритмы метода Монте-Карло для численной оценки вероятностных моментов линейных функционалов от решения уравнения больцмановского типа со случайными параметрами. Уравнение такого типа возникает в кинетической модели автотранспортного потока с выделенными ускорениями. Для возможности учета разных типов взаимодействующих автомобилей, а также случайных параметров, которые описывают навыки и поведение водителя конкретного автомобиля, модель усовершенствована в рамках подхода, ранее разработанного авторами.

Ключевые слова: кинетическая модель, весовое моделирование цепи Маркова, двойная рандомизация.

Введение

Настоящая работа изучает влияние ряда параметров, в том числе случайных, на моделирование автотранспортного потока (АТП) в рамках кинетической модели с выделенными ускорениями [1]. Актуальность данного исследования обусловлена постоянным увеличением объема транспортных и пассажирских перевозок, связанных, в том числе, с увеличением количества личных и общественных транспортных средств. Это приводит к перегруженности дорог, большим пробкам, увеличению количества аварий и, как следствие, к необходимости оптимизации транспортной системы с учетом закономерностей её функционирования.

На протяжении нескольких десятилетий исследованием транспортных систем занимались ученые из различных областей науки и сегодня имеется обширная литература по теме изучения и моделирования АТП. Представленные в литературе модели можно разбить на три класса (подробнее обзор см. в [1]): микроскопические, мезоскопические и макроскопические. Кроме того, различают детерминированные и стохастические модели. Кинетические модели являются мезоскопическими: они оперируют информацией об индивидуальном автомобиле, а именно о его параметрах на микро уровне. В результате моделирования модели этого класса дают возможность получить данные о поведении АТП в целом, то есть о макрохарактеристиках потока. Такие модели рассматривают поток автомобилей как газ, состоящий из взаимодействующих частиц, в котором каждая частица соответствует автомобилю. Уравнения, используемые в моделях данного типа, аналогичны уравнениям газовой кинетики, в частности, уравнению Больцмана. Однако, в отличие от уравнения Больцмана, в случае АТП нет аналогов законам сохранения момента и энергии при парных взаимодействиях.

В кинетических моделях выделяют два основных типа взаимодействий: ускорение и торможение. Кроме того, возможность обгона обычно вводят с помощью вероятности, которая зависит от плотности автомобилей на многополосной дороге. Выбор между перечисленными видами взаимодействий зависит как от абсолютных, так и от относительных величин скорости и ускорения взаимодействующих автомобилей.

В выбранной авторами модели изучается связь количества автомобилей (аналог концентрации вещества в газовой динамике) и частоты изменения ускорений автомобилями (аналог скорости реакции). Подобно

Работа выполнена в рамках государственного задания ИВМиМГ СО РАН (проект 0315-2019-0002) и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 17-01-00698, 18-01-00356, 18-01-00599).

!ЯВ.\ 978-5-901548-42-4

взаимодействиям молекул с парными скачкообразными изменениями скоростей в газовой динамике, в описываемой модели использование водителями педалей управления рассматривается как акт кинетических парных взаимодействий автомобилей, приводящих к скачкообразным изменениям ускорений.

1 Кинетическая модель с выделенным ускорением

Одним из основных предположений в кинетических моделях является возможность учитывать только парные взаимодействия частиц. Другими словами, среднее время между двумя взаимодействиями автомобилей должно быть намного больше времени самого взаимодействия. Если результатом взаимодействия автомобилей становится скачкообразное изменение скорости (как в газовой динамике), то предположение о парных взаимодействиях остается обоснованным только при достаточно неплотных потоках, что подтверждается наблюдениями. Поэтому в [2] была предложена модель, в которой ускорение внесено в число фазовых координат, описывающих состояние автомобиля (наряду с пространственной координатой и скоростью, которые традиционно используются в кинетических моделях), т. к. именно эта координата скачкообразно меняется при взаимодействии автомобилей. Такая модификация фазового пространства дает возможность распространить кинетическую модель на более широкий класс АТП (полученная модель достаточно адекватно описывает не только случай частично затрудненного движения, но и более плотные АТП) и была обусловлена несколькими причинами. Во-первых, как показали измерения, относительное изменение ускорения намного меньше, чем у других процессов в потоке (скорости, относительного расстояния и др.). Во-вторых, ускорение — это самая естественная переменная, которой управляет каждый водитель путем нажатия на педали управления своим транспортным средством. Кроме того, существенное предположение об "автомобильном хаосе" дополнительно подтверждается тем, что изменения ускорения зависят не только от типа автомобиля, но также от поведения и навыков каждого конкретного водителя, что вносит дополнительную случайность в модель. Это предположение используется в кинетических моделях АТП и является аналогичным предположению о "молекулярном хаосе" в газовой динамике.

В пространственно-однородном случае в рамках модели, предложенной в [2], одночастичная плотность $ = /(а, V, ^ распределения автомобилей с ускорением а и скоростью V удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Больцмановского типа

— + а~о~ = Р(а ^ а^, а,-а, Шf(1))/(а,у,1) — Т<(а ^ а |-у, а,-а, Шf^))/] /(а,у,1)д.а6.ад.а. (1)

Здесь а и V — соответственно, ускорение и скорость автомобиля, находящегося непосредственно перед "текущим" автомобилем. Между этими двумя автомобилями и происходит взаимодействие. Далее будем называть автомобиль с координатами (а, V) лидером, а следующий за ним — не-лидером. Заданная функция ~Е(а/ ^ Шf (I)) - взвешенная плотность взаимодействий, которая в общем случае имеет следующий

вид

сю

~Е(а' ^ а,г>, Шf = J а(а ^ а1Н,у, а,-а) • Q(h,a,v,а,а) •'Л(Н1а,у, Шf 1С) & Н. (2)

В выражении (2) использованы следующие обозначения:

Шf (I) — некоторый вектор моментов решения ](а, V, Ь), таких как, например, средние скорость и ускорение, а также их средние квадраты, определяющие разброс этих величин;

Нтт — наименьшее возможное расстояние между автомобилями в состоянии покоя, то есть средняя длина автомобиля (размерность то);

а(а' ^ а\Н,у,а,у) — плотность распределения нового ускорения не-лидера при условии, что имело место взаимодействие между автомобилями с координатами (а', «) и (а, V), и которые находятся на расстоянии Н друг от друга (размерность в2то-1);

Q(h, а!, V, а, V) — скорость или частота взаимодействий, которая зависит от текущего состояния пары взаимодействующих автомобилей и от расстояния между ними (размерность е-1);

гР(Н1а',у, Шf ^), 1С) — условная плотность распределения расстояния Н, зависящая от состояния (а',у) нелидера, вектора Шf (^, а также от плотности автомобилей 1С (размерность то-1).

Уравнение (1) нужно дополнить некоторым заданным начальным условием ](а,у, 0) = /о(а,у) и краевыми условиями, гарантирующими отсутствие отрицательных скоростей и скоростей, превышающих некоторую разрешенную или возможную максимальную скорость.

Отметим, что в результате введения ускорения в число фазовых координат, в отличие от газовой динамики, в данной модели при парных взаимодействиях скачкообразно меняется не скорость, а ускорение автомобиля. Кроме того, при взаимодействии двух автомобилей лидер не меняет своего ускорения, что выражено в несимметричности функции (2). Поэтому взаимодействующие автомобили можно представлять упорядоченными парами к = (г, ]). Для определенности полагаем, что первый индекс г — номер не-лидера,

2 Интегральное уравнение

Рассмотрим многочастичную (а именно Ж-частичную) систему, т. е. систему из N автомобилей. Обозначим векторы, состоящие из набора ускорений и скоростей всех автомобилей в заданной системе через А = (а1:..., а^) и V = (V1,..., ), соответственно. Рассмотрим также плотность распределения Р = Р(г, ^ взаимодействий в системе с фазовыми координатами (г, ^ = (к, А, V, Ранее авторами на основе Ж-частнч-

Р

нения второго рода (см. подробнее [1]):

г

р(г, г) = ! Jp(г')к(г'^' ^ г,г)&г' м' + 5(г)Р0(А^)б(к0), (з)

0

или в операторном виде Р = КР + Р0. Здесь $(•) — дельта-функция Дирака, Р0(•) — некоторое заданное начальное распределение ускорений и скоростей, 6.г = йА с^ й^(к), а интегрирование по мере ^ означает

к = ( , ) Р

(а, , ) К

ствии со своей мультипликативной структурой [1]:

К(г',г'^г, г) = к^' ^г\А'Х)К2(У' ^V\А',t— г')Кз(к)К4(а^ \к,У)| ^ 5(ат — ат) 1 . (4)

I т=г,т=1 I

Таким образом, ядро К (г' ' ^ г, €) является произведением плотностей перехода. Наличие построенного интегрального уравнения (3), а также связанного с ним марковского процесса динамики системы автомобилей, позволяет нам использовать хорошо развитый аппарат весовых и рандомизированных оценок метода Монте-Карло [3]. В том числе и метод мажорантной частоты, который обеспечивает линейную зависимость времени расчетов от числа тестовых частиц N [4]. Кроме того, это дает возможность исследовать зависимость модели от различных параметров, оценивать параметрические производные (см., например, [1]), а также уменьшать трудоемкость статистических алгоритмов с помощью ценностного моделирования.

2.1 Оценки функционалов

Обычно при решении уравнения (1) требуется оценит ь линейные функционалы 1ь(Т) от одночастичной

функции распределения / следующего вида/ь(Т) = ^ J Ь(а, V) $(а,у,Т)&а&у = J Ь(а1, у1)Р(А,V,T)&А&V.

Здесь Т — некоторый фиксированный момент времени, Р (А, V, Т) — плотность распределения Ж-частичпой системы. По аналогии с [5] можно показать, что

т I т I т

Я< - / ^(Ау+А(т—')&т\ г г

н(А, V + А(Т — г '))е1 \р (г,г ')лг<и ' = н(А,^т — г ')Р (г, г ')йгм',

Ж 0 X 0

1 м

где Н(А^) = Ь(а1, у^). В результате получаем выражение для искомого линейного функционала от

г=1

решения интегро-дифференциального уравнения (1) в виде функционала от решения интегрального уравнения (3): 1ь(Т) = (Н ,Р).

Например, для приближения распределения скоростей и ускорений, в качестве функций Ь(-) следует выбирать индикаторы некоторого разбиения соответствующих областей (по скоростям или ускорениям). Весовые функции для оценки средней скорости и среднеквадратичного рассеяния скорости автомобилей имеют вид Ь(а, V) = V и Ь(а, V) = V2, соответственно.

2.2 Моделирование цепи Маркова

Для приближенного вычисления функционала 1ь(Т) можно использовать оценки по столкновениям £ или по поглощениям щ - случайные величины, являющиеся функционалами от траекторий моделируемой цепи Маркова {2п, Ьп} (см., например, [3,6]): 1ь(Т) = Е£ = Е^, при этом

к ~ Т-*'

е = £ЩАп,Уп,Т - 1п), л = ,ттч(А,У,1') = 1 - I К1(т\А,У,1')йт.

= 0

Здесь к — помер взаимодействия, непосредственно предшествующего выходу системы за рассматриваемую временную границу Т. Каждый переход при моделировании цепи Маркова, которая связана с интегральным уравнением (3), состоит из четырех элементарных переходов в следующем порядке, который определяется формой ядра интегрального оператора (4):

1. момент времени Ь следующего взаимодействия в системе выбирается в соответствии с экспоненциальной плотностью (здесь и далее &(•) — единичная ступенчатая функция Хевисайда)

к1(г' ^ ЦА', V') = в(г - г' у (А', V' + А' (г - г')) ехр | - J V (А', V' + А' (т - г' ))ат

где функция V(А, V) = ^^ ^ , при этом ^ ^ = ^(а^ ^ , а^) <1 а;

2. скорости всех автомобилей в момент времени Ь перевычисляются в соответствии с дельта-плотностью

к2(V' ^ V\А', г - г') = 5(У - V' - А'(г - г'));

3. упорядоченная пара взаимодействующих автомобилей (г, выбирается в соответствии с вероятностями

1 .

Кз(г,з) =

N - 1 и(А',У)

4. новое ускорение автомобиля с номером г (т.е. автомобиля, у которого лидером является автомобиль с номером изменяется в соответствии с плотностью К4(а'1 ^ ) = ^ )/и^¿у

Отметим, что часто более эффективно задействовать вспомогательную цепь Маркова {Zn,1п}, п = 0,1..., к, с нормированной плотностью перехода Р^',Ь' ^ ^ (см. подробнее [6]), которая имеет те же особенности,

(к(г',г' ^ г,г)'

что и плотность (4). В этом случае дополнительно вычисляются веса этом Q0 = 1) и используются весовые варианты оценок £ и

п ¡к(г',г' ^ г,г) \

| (при

е = £ япщАп,Уп,Т - и), ч = , где ч(А,УХ)

п=0

к)

т-г'

1- I Р1(т\А,У,Ь')Лт.

0

Здесь Р1 — моделируемая плотность распределения времени следующего взаимодействия в системе.

3 Индивидуальные особенности и случайные параметры

Несмотря на наличие общих правил дорожного движения, множество типов автомобилей, составляющих АТП, обладают индивидуальными техническими характеристиками, а также управляются водителями с

большим разнообразием навыков и манер вождения. Это обстоятельство мотивирует нас перейти от моделей с набором некоторых осредненных параметров к моделям, в которых параметры каждого автомобиля отличаются внутри системы и, более того, имеют вероятностную природу. Кроме того, в адекватной модели должны учитываться как влияние случайных факторов (таких как дорожно-транспортные происшествия, ремонтные работы, погодные условия, качество дорожного покрытия и др.), так и флуктуации, связанные с сезонностью, днями недели и пр.

Постановка задачи. Пусть коэффициенты уравнения (3) зависят от случайного векторного параметра ф. Рассмотрим задачу оценки математического ожидания функционалов (Т,ф) и (Т,ф)/ь2 (Т,ф) с соответствующими весовыми функциями: 1(1) (Т) = Е(^) (Т,ф) и 1(1г2)(Т) = (Т,ф) (Т,ф)]. Принцип построения новых алгоритмов решения автотранспортных задач предложен авторами в рамках подхода решения кинетических задач [7,8], в том числе со случайными коэффициентами [9,10] и параметрами [11].

3.1 Простая частота взаимодействий

В качестве первого примера для введения случайных параметром рассмотрим модель взаимодействия, предложенную в [12] и рассмотренную нами в простейшем случае в [1]. Частота взаимодействия в этой модели задается некоторым распределением: Q ~ Vfreq. С этой часто той Q водитель автомобиля не-лидера сравнивает расстояние h до лидера га значением некоторой пороговой функции Н(v). В случае относительно большого расстояния (h > Н(v)) не-лидер приобретает ускорение, распределенное с некоторой плотностью Vacc, в противном случае (h < Н(v)) не-лидер приобретает отрицательное ускорение (тормозит), задаваемое другой плотностью XV. Таким образом, плотность а(^) имеет вид:

а(а' ^ a\h, v, a, v) = a(a\h, v) = &(h — Н(v)) • Vacc(a) + &(Н(v) — h) • V^r(a).

где &(•) — функция Хевисайда. При этом в простейшем случае, учитывающем различие в автомобилях и водителях, используются дельта-функции: Vacc(a) = S(a — а+) и Vbr(а) = S(a + а-). Пороговые функции также могут отличаться параметрами для учета индивидуальных особенностей водителей, а именно: Нi(v) = a.i •v + hmin, при этом a.i также могут принимать случайные значения. При этом большее значение параметра

a.i соответствует более спокойному (консервативному) стилю вождения, а меньшее — более агрессивному.

Q

иметь рандомизированный вид:

H(Vi)

T,(a'i ^ щ\Vi, aj, Vj )=p •Q •Vbr (щ) + (1 — p) •Q • V асс(щ), vpp p = P(h < Н (vi)) = J V(h) d h.

hmin

В качестве функции P(^) при небольших плотностях автомобилей хорошо подходит экспоненциальное распределение V(h) = jj_h , exp j — jf-h™} ®(h — hmin), здесь Н — среднее расстояние между автомобилями во взаимодействующей паре, то есть Н = 1/^. При этом V(i,j) = Q.

3.2 Пространственно-однородный поток

Рассмотрим пространственно-однородный (без зависимости от расстояний) почти свободный стационарный АТП, в котором скорости всех автомобилей распределены около некоторой средней скорости V ^ 0. В таком потоке, при достаточно больших расстояниях между взаимодействующими автомобилями, измерения показывают сильную зависимость частоты взаимодействия Q от относительной скорости vr = v —v автомобилей в паре Q(h,a',v,a, v) = Q(|vr Приблизим ее рядом Тейлора до первого порядка по vr:

Q(lvr |) ~ Qo + ro|vr I. (5)

Кроме того, в таком почти свободном потоке каждое взаимодействие вносит только небольшое, корректирующее изменение в ускорение не-лидера. В этом случае функцию &(•) можно представить в виде двух распределений, в зависимости от знака относительной скорости, то есть

a (a ^ alh, v, a, v) « a(aIv — v) = &( vr) • Vacc(a) + &(—vr) • Vbr (a).

В этом случае из выражения (2) получаем, что плотность взаимодействий имеет следующий вид:

^ ailVi, aj, Vj) = (Qo + ro|Vi — Vj|) [0(Vj — v¿) • Vacc(ai) + 0(Vi — Vj) • Vbr(a)].

При этом = Q0 + го\иг - \ < Q0 + г0Утах и при моделировании целесообразно использовать метод

мажорантной частоты [1]. Заметим, что для крайних случаев значений (5) существуют аналоги в газовой динамике: максвелловское взаимодействие (г0 = 0) и взаимодействие типа твердых сфер = 0). Более того, для этих случаев известны аналитические решения исходного уравнения (1) в простейшем случае, когда Расс(а) = 6(а - а0) и XV (а) = 6(а + а0) (см., например, [2]). Для большей рандомизации модели можно использовать случайные параметры г0 и Q0.

3.3 Взаимодействие на порогах

Далее рассмотрим модель, в которой профиль взаимодействия (закон изменения ускорения водителями) зависит от расстояния между лидером и не-лидером, а также от их относительной скорости. Такой профиль делает транспортный поток более однородным (см. подробнее в [13] и список литературы там же). В данной модели не-лидер с координатами (и, а!) взаимодействует с лидером (и таким образом изменяет свое ускорение а'), если расстояние к до лидера совпадает то значением одной из двух пороговых функций Н1(и) < Н2(и). Частота взаимодействий Q в этом случае выражается следующим образом

(^(к, а', V, а, у) = V, а')\ • 5(к - Н1(у)) + V, а')\ • 5(к - Н2(у)),

где V, а!) = - V - ^^(у) • а'], к = 1, 2. Для простоты предположим, что первая пороговая функция Н1(у) = а1 • V + кт[п зависит от скорости линейно, так как данные измерений для этой функции имеют большой разброс. Для аппроксимации большего порога Н2(и) с учетом данных, полученных при измерениях мы используем функцию квадратного корня: Н2(у) = а2^/V + @ + 7. Заметим, что в общем случае величины а1, а.2, Р, 7 описывают индивидуальные особенности пе-лидера, поэтому могут зависеть от номера г, а также могут быть случайными с некоторым заданным распределением.

В момент пересечения не-лидером одного из порогов происходит его взаимодействие с лидером, в результате которого ускорение не-лидера изменяется. Таким образом плотность распределения а(^) нового ускорения необходимо определить только на заданных порогах. При этом на первом пороге следует учитывать знак функции Б(у,у,а'), который отвечает за увеличение (Б > 0) или уменьшение (Б < 0) расстояния между взаимодействующими автомобилями: а(а' ^ а\Н1(ги), V, а, V) = в(Б{) • V(а) + в(-Б1) • (а).

Также, помимо знака функции Б(•), на втором пороге следует принимать во внимание знак относительной скорости взаимодействующих автомобилей уг:

а(а' ^ а\Н2(ь),у,а,ь) = в(угМ^) •Р^ + в^) •Р2^+:(а)] + в(-уг)[в(-Б2) ^¡-(а) + 0^) ^-(о)].

Заметим, что данные измерений расстояний к между автомобилями в потоке часто аппроксимируют гамма распределениями. При этом, в основе выбора плотности распределения И(к) лежит однозначное соответствие между текущим ускорением а' и порогом Н^ на котором происходит скачок а! ^ а (см. [13]).

4 Метод двойной рандомизации

Для решения поставленной задачи со случайным векторным параметром ф будем использовать метод "двойной рандомизации" (см., например, [3]), который строится на основе следующих равенств (здесь для примера использована оценка по поглощениям г]):

!(1)(Т) = Е(-Ф)1ь(Т,ф) = Е(^)ЕШ 11(Т,ф,ш) = Е(.ф^) 11(Т,ф,ш);

1(1,2)(Т) = Е(Ф)[1^1 (Т,ф)1ъ2 (Т,ф)] = Е(.ф,ШиШ2) [^1(Т,ф,^1)щ (Т,ф,ш2)],

где Ш1ти ш2 - условно-независимые траектории, которые моделируются для одной выборочной реализации ф,

Е

казывают, что для численной оценки функционалов 1(1) (Т) и 1(1,2)(Т) достаточно моделировать только одну траекторию и две условно-независимые траектории для каждого фиксированного набора (ш1,ш2), соответственно. При этом отметим, что для выполнения вышеприведенных равенств необходимо предполагать существование используемых в них математических ожиданий.

Заключение

Авторами в рамках кинетической модели автотранспортных потоков предложены новые алгоритмы метода Монте-Карло для оценки вероятностных моментов линейных функционалов от решения уравнений типа Больцмана. Кинетическая модель автотранспортного потока достаточно точно описывает динамику плотного движения автомобилей в силу включения ускорения в число фазовых координат модели. Именно поэтому решение уравнений больцмановского типа, возникающих в этой модели, является актуальной проблемой. С целью учета, с одной стороны, разнообразия типов автомобилей, и, с другой стороны, индивидуальных особенностей отдельных водителей, модель была усовершенствована введением параметров, в том числе случайных. Для оценки соответствующих функционалов от решения возникающего интегрального уравнения предложено использовать метод двойной рандомизации, алгоритмы которого эффективно распараллеливаются.

Авторы признательны организаторам Международной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики 2019", в том числе Новосибирскому государственному университету.

Список литературы

[1] Burmistrov A.V., Korotchenko M.A. Application of Statistical Methods for the Study of Kinetic Model of Traffic Flow with Separated Accelerations // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2011. Vol. 26. N. 3. P. 275-293.

[2] Waldeer K.T. The Direct Simulation Monte Carlo Method Applied to a Boltzmann-like Vehicular Traffic Flow Model // Computer Physics Communications. 2003. V. 156. No. 1. P. 1-12.

[3] Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование (Метод Монте-Карло). Москва: Издательский центр "Академия", 2006.

[4] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1988.

[5] Михайлов Г.А., Рогазинский С.В. Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмана // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 3. С. 620-628.

[6] Burmistrov A., Korotchenko M. Weight Monte Carlo Method Applied to Acceleration Oriented Traffic Flow Model // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. 2012. Vol. 23. P. 297-311.

[7] Burmistrov A.V., Korotchenko M.A. Application of Kinetic Models and Simulation of Multi-particle Systems in Some Fields of Science //

естественных науках. 2019. № 1. С. 4-13.

[8] Коротченко M.A. Построение статистических оценок с помощью моделирования динамики цен в рамках кинетической модели ценообразования //В сборнике: Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем под ред. д.ф.-м.н., проф. И.В. Бойкова. 2018. С. 174-179.

[9] Бурмистров А.В., Новиков А.В. Определение коэффициентов в стохастической дифференциальной модели формирования цены // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия: Естественные и технические науки. 2018. № 3. С. 39-44.

[10] Коротченко М.А., Бурмистров А.В. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения уравнения Смолухов-ского со случайными коэффициентами //В сборнике: Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем под ред. д.ф.-м.н., проф. И.В. Бойкова. 2019. С. 35-40.

[11] Бурмистров А.В. Коротченко М.А. Моделирование автотранспортного потока в кинетической модели со случайными параметрами // Тезисы XIX Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям. 2018. С. 12-13.

[12] Waldeer K.T. A vehicular traffic flow model based on a stochastic acceleration process // Transport Theory and Statistical Physics. 2004. Vol. 33. No. 1. P. 7-30.

Burmistrov A., Korotchenko M. Monte Carlo Algorithm for Simulation of the Vehicular Traffic Flow Within the Kinetic Model with Velocity Dependent Thresholds // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. 2014. Vol. 114. P. 109-117.

Бурмистров Александр Васильевич — к.ф.-м.н., науч.сотр.

Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (ИВМиМГ СО РАН); ст. преп. Новосибирского государственного университета;

e-mail: burm@osmf.sscc.ru Коротченко Мария Андреевна — к.ф.-м.н., науч.сотр. ИВМиМГ СО РАН;

e-mail: kmaria@osmf.sscc.ru Дата поступления — 1 июня 2019 г.